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13级:第二讲(四)渐开线与摆线


第二讲(四)

渐开线与摆线

一、新课教学 (一)、问题探究1 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在 绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳 子与圆相切而逐渐展开,那么铅笔会画出一条 曲线。 这条曲线的形状怎样? 能否求出它的轨迹方程? 动点(笔尖)满足什么几何条件?
2

.如 设 始 绳 外 图

开 时 子
当 端 开 点 外 展 到 绳 对 心 子 圆 角

?笔 ?位 点 A, 尖 于
M

M时, 因 为
B

?(单 是 位 弧

?
O

A

度)的 段 一 弧 AB , 展 后 开 成 为 线 BM, 所 切 切 以 线 BM

图 2 ? 17

的 就 弧 AB 的 , 这 动 ?笔 ? 长 是 长 是 点 尖 满 的 何 件 足 几 条
3

.

1.圆的渐开线定义

我们把笔 尖画出的曲线叫做圆的渐开线, 相应的定圆叫做渐开线的基圆 2、圆的渐开线的方程求解
以基圆圆心O为原点,直线OA 为x轴,建立平面直角坐标系。 设基圆的半径为r,绳子 外端M的坐标(x,y),显 然,点M由角φ唯一确定。
B y

M

B

?
O

A

图 2 ? 17

M

?
O A x

取 ? 为 参 数 , 则 点 B的 坐 标 为 ( r c o s ? , r s i n ? ) , 从 而
4

? ???? 由 于 向 量 e 1 ? (c o s ? , s in ? ) 是 与 O B同 方 向 的 单 位 向 量 ,

2、圆的渐开线的方程求解 ???? ? ???? ? B M ? ( x ? r c o s ? , y ? r s in ? ), | B M | ? r ? .

? ???? ? 因 而 向 量 e 2 ? (s in ? , ? c o s ? ) 是 与 向 量 B M 同 方 向 的 单 位 向 量 。

y ???? ? | B M | ? ( x ? r c o s ? , y ? r s in ? ) ? r ? ( s in ? , ? c o s ? )

所以 BM ? r ? ? e 2


M B

解得

? x ? r (c o s ? ? ? sin ? ) (? 是 参 数 )。 ? ? y ? r (sin ? ? ? c o s ? )

?
O

这就是圆的渐开线的参数方程。
5

A

渐开线的参数方程 ? x ? r (c o s ? ? ? s in ? )

( ? 是 参 数 )。 ? ? y ? r (s in ? ? ? c o s ? )
y

3、渐开线的应用:

在机械工业中,广泛地使 M 用齿轮传递动力。 B 由于渐开线齿行的齿轮 ? 磨损少,传动平稳,制造安 A O x 装较为方便,因此大多数齿 轮采用这种齿形。 设计加工这种齿轮,需要借助圆的渐开线方程。
6

平行轴齿轮传动机构(圆柱齿轮传动机构)

直齿
7

齿轮齿条
8

内齿轮
9

交错轴齿轮传动机构

斜 齿
10

蜗杆蜗轮
11

人字齿
12

相交轴齿轮传动机构(圆锥齿轮传动机构)

直齿
13

斜齿
14

准双曲面齿轮

15

(二)、问题探究2 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记,那 么自行车在笔直的道路上行使时,白色印记会画 出什么样的曲线? 上述问题抽象成数学问题就是:当一个圆沿 着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点 的轨迹是什么?
M

?
O A

B

16

1、摆线的定义
M

?
O A

B

摆线在它与定直线的两个相邻交 点之间的部分叫做一个拱

同样地,我们先分析圆在滚动过程中,圆 周上的这个动点满足的几何条件。
线段OA的长等于的


MA

长,即OA=rφ

我们把点M的轨迹叫做平摆线,简称 摆线,又叫旋轮线。
17

2、摆线方程的求解

M

? B
O A

根据点M满足的几何条件,我们取定直线为 X轴,定点M滚动时落在定直线上的一个位置为 原点,建立直角坐标系。

设圆的半径为r。

y
B

M

? C
A

O D

E

x

设开始时定点M在原点,圆滚动了φ角后与 x轴相切于点A,圆心在点B
18

2、摆线方程的求解
y B

M
O D

? C
A

E

x

从 点 M 分 别 做 A B, x 轴 的 垂 线 , 垂 足 分 别 是 C , D。

设点M的坐标为(x,y),取φ为参数,根据 ? x ? r (? ? s in ? ), 点M满足的几何条件有 ? (? 为 参 数 )

所以,摆线的参数方程为:
? y ? r (1 ? c o s ? ).

x ? O D ? O A ? D A ? O A ? M C ? r ? ? r sin ? , y ? D M ? A C ? A B ? C B ? r ? r co s ? .
19

3、摆线的参数方程
M

?
y B

B

O

A

M O D

? C
A

E

x

? x ? r (? ? s in ? ), 摆线的参数方程为: (? 为 参 数 ) ? ? y ? r (1 ? c o s ? ).

思考
20

在摆线的参数方程中,参数φ的取值范围 是什么?一个拱的宽度与高度各是什么?

说明

1)、摆线是研究一个动圆在一条曲线(基线) 上滚动时,动圆上一点的轨迹。 2)、当基线是直线时,就得到平摆线或变 幅平摆线。 3)、当基线是圆且动圆在定圆内滚时,就 得到内摆线或变幅内摆线。 4)、当基线是圆且动圆在定圆外滚动时,若 两圆外切,就得到外摆线或变幅外摆线。
21

二、1、练习:P42 1~2

2、作业1)、P42
2)《全优设计》P27 四

3~4


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