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【优化指导】高中数学 3-1-3课时演练(含解析)新人教版必修4


第三章
1 1. sin 15°cos 15°的值等于( 2 A. C. 1 4 1 16 )

3.1

3.1.3

B. D.

1 8 1 2

1 1 1 解析:原式= ?2sin 15°cos 15°= ?sin 30°= . 4 4 8 答案:B 2.计算

1-2sin 22.5°的结果等于( A. C. 1 2 3 3
2 2

) B. D. 2 . 2 2 2 3 2

解析:1-2sin 22.5°=cos 45°= 答案:B

1 3.若 α ∈(0,π ),且 cos α +sin α =- ,则 cos 2α 等于( 3 A. 17 9 17 9 B.± 17 3 17 9

)

C.-

D.

1 解析:将 cos α +sin α =- 平方整 理得 2sin α ?cos α 3 8 =- .∵α ∈(0,π ),∴cos α <0,sin α >0. 9 ∴cos α -sin α =- =- 1-2sin α cos α =-
2 2

α -sin α 17 . 3

2

∴cos 2α =cos α -sin α =(cos α +sin α )(cos α -sin α ) 17 17? ? 1? ? =?- ???- ?= 9 . 3 ? ? ? 3 ? 答案:A 1 4.若 tan α = ,则 tan 2α =________. 2
-1-

1 2? 2 2tan α 4 解析:tan 2α = = = . 2 1-tan α 1 ? ?2 3 1-? ? ?2? 4 答案: 3

?π ? 3 5.已知 sin? -x?= ,则 sin 2x 的值为______. 4 ? ? 5 ?π ? ?π ? 解析:sin 2x=cos? -2x?=cos 2? -x? 2 4 ? ? ? ?
=1-2sin ?
2

?π -x?= 7 . ? 25 ?4 ?

7 答案: . 25 6.△ABC 的三个内角为 A、B、C,当 A 取何值时,cos A+2cos 是多少? 解:cos A+2cos 1 , 2 3 即 A=60°时,取得最大值,最大值为 . 2

B+C
2

取得最大值,最大值

B+C

A A A ? A 1?2 3 2A =cos A+2sin =1-2sin +2sin =-2?sin - ? + .当 sin = 2 2 2 2 2 ? 2 2? 2

(时间:30 分钟 满分:60 分) 知识点及角度 给角求值 给值求值 化简三角函数式 一、选择题(每小题 4 分,共 1 6 分) 3 1.已知 cos α =- ,则 cos 2α 等于( 5 A. C. 7 25 24 25 ) 难易度及题号 基础 5 1、3 2、6 4、7、8 9、10 中档 稍难

7 B.- 25 24 D.- 25

-2-

7 2 解析:cos 2α =2cos α -1=- ,故选 B. 25 答案:B 2. 1+cos 100°- 1-cos 100°等于( A.-2cos 5° C.2sin 5°
2 2

)

B.2cos 5° D.-2sin 5°

解析:原式= 2cos 50°- 2sin 50° = 2(cos 50°-sin 50°)=2? 2 ? 2 ? cos 50°- sin 50°? 2 2 ? ?

=2sin(45°-50 °)=2sin(-5°)=-2sin 5°. 答案:D 3.已知 tan 2θ =-2 2,π <2θ <2π , 则 tan θ 的值为( A. 2 C.-2 2tan θ 解析:由题意得 =-2 2, 2 1-tan θ 解得 tan θ =- 2 或 tan θ = 2. 2 B.- 2 2 2 2 )

D. 2或-

π 又 π <2θ <2π ,则 <θ <π , 2 所以有 tan θ =- 答案:B 2 4.已知等腰三角形底角的余弦为 ,则顶角的正弦值是( 3 A. 2 5 9 B. 4 5 9 ) 2 .故选 B. 2

4 5 C.- 9

2 5 D.- 9

2 解析:设底角为 α ,则 cos α = ,顶角为 π -2α , 3 ∴sin(π -2α )=sin 2α =2sin α cos α =2? 答案:B
-3-

?2?2 2 4 5. 1-? ? ? = ?3? 3 9

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 5.计算:sin 22.5°- cos 22.5°=________. 解析: 原式=(sin 22.5°+c os 22.5°)(sin 22.5°-cos 22.5°)=-cos 45°=- 2 2
2 2 2 2 4 4

2 . 2

答案:-

? π? ? π? 6.已知函数 f(x)=sin?x+ ?cos?x+ ?,则函数的周期为________. 6? ? 6? ?
π π 1 π 解析:∵f(x)=sin(x+ )cos(x+ )= sin(2x+ ),∴周期为 π . 6 6 2 3 答案:π 2 π ?π ? ?π ? 7.若 cos? -θ ?cos? +θ ?= (0<θ < ),则 sin 2θ =________. 2 ?4 ? ?4 ? 6

?π ? ?π ? 解析:cos? -θ ?cos? +θ ? ?4 ? ?4 ? ?π ?π ?? ?π ? =cos? -? +θ ??cos? +θ ? ?? ? 4 ? ?2 ?4 ?π ? ?π ? =sin? +θ ?cos? +θ ? ?4 ? ?4 ?
1 ? ?π ?? 1 ?π ? = sin?2? +θ ??= sin? +2θ ? 2 ? ?4 ?? 2 ? 2 ? 1 2 = cos 2θ = , 2 6 ∴cos 2θ = 2 , 3
2

∴sin 2θ =± 1-cos 2θ =± π 又∵0<θ < ,∴0<2θ <π , 2 ∴sin 2θ = 答案: 7 3 7 . 3

7 . 3

三、解答题

?π ? 5 8. (10 分)在△ABC 中,cos? +A?= ,求 cos 2A 的值. 4 ? ? 13 ?π ? 5 解:在△ABC 中, cos? +A?= >0. 4 ? ? 13
-4-

π ∴sin( +A)= 4

? 12 2?π 1-cos ? +A?= . ?4 ? 13 ?π ? 2? +A? ?4 ?

?π ? ∴cos 2A=sin? +2A?=sin ?2 ?
=2sin?

?π +A?cos?π +A? ? ?4 ? ?4 ? ? ?

12 5 120 =2? ? = . 13 13 169

?π ? 1 9.(10 分)已知 tan? +α ?= , ?4 ? 3
(1)求 tan α 的值; sin 2α -cos α (2)求 的值. 1+cos 2α
2

?π ? 1 解:法一:∵tan? +α ?= , ?4 ? 3 ??π ? π? ∴tan α =tan?? +α ?- ? ? 4? ?? 4
π 1 ?π ? tan? +α ?-tan -1 4 3 ?4 ? 1 = = =- . π 1 2 π ? ? 1+ 1+tan? +α ??tan 3 4 ?4 ?

?π ? 法二:∵tan? +α ?= ?4 ?
1+tan α 1 = , 1-tan α 3

π tan +tan α 4 π 1-tan ?tan α 4



1 ∴tan α =- . 2 2sin α cos α -cos α 1 (2)法一:原式= =tan α - 2 2cos α 2 1 1 =- - =-1. 2 2 2sin α cos α 2tan α 法二:sin 2α = 2 = . 2 2 sin α +cos α 1+tan α cos α -sin α 1-tan α cos 2α = 2 = . 2 2 sin α +cos α 1+tan α
2 2 2 2

-5-

2tan α 2 1+tan α sin 2α 1 1 原式= - = - 2 1+cos 2α 2 1-tan α 2 1+ 2 1+tan α 1 1 1 =tan α - =- - =-1. 2 2 2 2 ? π? ?π 3π ? 10.(12 分)已知 cos?x- ?= ,x∈? , ?. 4 ? 10 4 ? ? ?2 (1)求 sin x 的值; π? ? (2)求 sin?2x+ ?的值. 3? ?

?π 3π ? 解:(1)因为 x∈? , ?, 4 ? ?2
π ?π π ? 所以 x- ∈? , ?, 4 ?4 2?

? π? 于是 sin?x- ? 4? ?
= π? 7 2 2? 1-cos ?x- ?= , 4 ? 10 ?

?? π ? π ? 则 sin x=sin??x- ?+ ? 4? 4? ?? ? π? π ? π? π =sin?x- ?cos +cos?x- ?sin 4? 4? 4 4 ? ?
= 7 2 2 2 2 4 ? + ? = . 10 2 10 2 5

?π 3π ? (2)因为 x∈? , ?, 4 ? ?2
故 cos x=- 1-sin x =- 3 ?4?2 1-? ? =- , 5 ?5?
2

24 sin 2x=2sin xcos x=- , 25 7 2 cos 2x=2cos x-1=- , 25 π? ? 所以 sin?2x+ ? 3? ? π π =sin 2xcos +cos 2xsin 3 3

-6-

24+7 3 =- . 50

-7-


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