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六道大题训练之《数列》(滨江十八班)


2013 届高三一轮复习:重、难点强化训练题(高叁拾捌班專輯)



列?

10.已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足:an+1=?

an+bn?

*? ,n∈N? .? 2? 2? a? +b? n n?

*? 1.已知数列{an}(n

∈N? )满足?a1=3,a2=7,且?an+2?总等于?anan+1?的个位数字,则?a2012?的值为(? )? A.1? B.3? C.7? D.9? an-1-an? an-an+1? 2.数列{an}满足?a1=2,a2=1,并且? =? (n≥2),则数列{an}的第 100?项为? (? )? an?an-1? an?an+1? 1 1? 1 1? A.? 100? B.? 50? C.? D.? 2? 2? 100? 50? ì an? ü? ? ? n? ?的通 3.对正整数?n,设曲线?y=x? (1-x)在 x=2?处的切线与?y?轴交点的纵坐标为?an,则数列í n+1? ? ? ? ? 项公式?bn=________.? S1+S2+…+Sn? 4.项数为?n?的数列?a1,a2,a3,…,an?的前?k?项和为?Sk(k=1,2,3,…,n),定义? 为 n? 该项数列的“凯森和”,如果项系数为?99?项的数列?a1,a2,a3,…,a99?的“凯森和”为?1?000, 那么项数为?100?的数列?100,a1,a2,a3,…,a99?的“凯森和”为? (? )? A.991? B.1?001? C.1?090? D.1?100? 1? 1? 2? 1? 2? 3? 1? 2? 3? 4? 5. 数列{an}的前?n?项和为?Sn, 若数列{an}的各项按如下规律排列:?,?,?,?,?,?,?,?,?,?, …,? 2? 3? 3? 4? 4? 4? 5? 5? 5? 5? n-1? 1? 2? ,? ,…,? ,…,有如下运算和结论:? n? n? n? 3? A.a24=? ;? 8? B.数列?a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10…是等比数列;? 2? n? +n? C.数列?a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10…的前?n?项和为?Tn=? ;? 4? 5? D.若存在正整数 k,使 Sk<10,Sk+1≥10,则?ak=? .? 7? 其中正确的结论有________.(将你认为正确的结论序号都填上)? n? a ,定义?Hn=? a 的“光阴”值,现知某数列的“光 6.对于正项数列{? n?}? 为{? n?}? a1+2a2+3a3+…+nan? 2? a 的通项公式为________.? 阴”值为 Hn=? ,则数列{? n?}? n+2? n? 7.数列{an}满足?an+1+(-1)? an=2n-1,则{an}的前 60?项和为(? )? A.3?690? B.3?660? C.1?845? D.1?830? 8.已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是(? )? 2? 2? 2? A.a1+a3≥2a2? B.a? +a? ≥2a? C.若?a1=a3,则 a1=a2? D.若?a3>a1,则?a4>a2? 1 3 2? 9.已知数列{an}的前?n?项和为?Sn,常数?λ>0,且?λa1an=S1+Sn?对一切正整数 n?都成立.? (1)求数列{an}的通项公式;? ì 1?ü? (2)设?a1>0,λ=100.当?n?为何值时,数列ílg? ?的前?n?项和最大?? ? an??

ì?bn??? ü ? ? bn? *? (1)设?bn+1=1+? ,n∈N? ,求证:数列í?a ÷2??是等差数列;? an? ? ? ?è n?? ? bn? *? (2)设?bn+1=? 2?? ,n∈N? ,且{an}是等比数列,求?a1?和?b1?的值.? an?

n? 11.已知数列{an}的前?n 项和?Sn=kc? -k(其中 c,k?为常数),且?a2=4,a6=8a3.? (1)求?an;? (2)求数列{nan}的前?n?项和?Tn.?

2? *? 12.设数列{an}的前 n?项和为 Sn,数列{Sn}的前?n?项和为?Tn,满足?Tn=2Sn-n? ,n∈N? .? (1)求?a1?的值;? (2)求数列{an}的通项公式.?

n+2? 13.已知数列{an}中,a1=1,前?n 项和?Sn=? a .? 3? n (1)求?a2,a3;? (2)求{an}的通项公式.?

n 2? a? 14.已知?a 为正实数,n?为自然数,抛物线 y=-x? +? 与?x?轴正半轴相交于点?A.设?f(n)为该抛物线 2? 在点?A?处的切线在 y?轴上的截距.? (1)用 a?和?n?表示?f(n);? f(n)-1? n? (2)求对所有?n 都有? ≥? 成立的?a?的最小值;? f(n)+1? n+1? f(1)-f(n+1)? 1? 1? 1? (3)当 0<a<1 时, 比较? +? +…+? 与 6?? 的大小,并说明理由. f(1)-f(2) f(2)-f(4) f(n)-f(2n) f(0)-f(1)

1?

15. 对于项数为 m?的有穷数列{an}, 记?bk=max{a1, 2, a …, k}(k=1,2, a …, m), 即?bk?为?a1, 2, a …,? ak?中的最大值,并称数列{bn}是{an}的控制数列.如?1,3,2,5,5?的控制数列是 1,3,3,5,5.? (1)若各项均为正整数的数列{an}的控制数列为?2,3,4,5,5,写出所有的{an};? (2)设{bn}是{an}的控制数列,满足? ak+bm-k+1=C(C?为常数,k=1,2,…,m),求证:bk=ak(k? =1,2,…,m);? n(n+1)? ?1? ?? 2? ,1? (3)设?m=100,常数?a∈?2? ÷.若?an=an? -(-1)? n,{bn}是{an}的控制数列,求(b1-a1)? 2? è ? +(b2-a2)+…+(b100-a100).?

19.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金? 2000?万元,将其投 入生产,到当年年底资金增长了? 50%.预计以后每年资金增长率与第一年的相同.公司要求企业从 第一年开始,每年年底上缴资金?d?万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n?年年底企业上 缴资金后的剩余资金为?an?万元.? (1)用 d?表示?a1,a2,并写出?an+1?与?an?的关系式;? (2)若公司希望经过?m(m≥3)年使企业的剩余资金为?4000?万元,试确定企业每年上缴资金?d?的 值(用?m 表示).?

16.已知{an}是等差数列,其前 n?项和为?Sn,{bn}是等比数列,且?a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.? (1)求数列{an}与{bn}的通项公式;? *? *? (2)记?Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,n∈N? ,证明?Tn-8=an-1bn+1(n∈N? ,n>2).?

1? 17.已知等比数列{an}的公比 q=-? .? 2? 1? (1)若?a3=? ,求数列{an}的前?n 项和;? 4? (2)证明:对任意?k∈N+,ak,ak+2,ak+1?成等差数列.?

20.一企业的某产品每件利润 100?元,在未做电视广告时,日销售量为?b 件.当对产品做电视广告 *? 后,记每日播?n?次时的日销售量为?an(n∈N? )件,调查发现:每日播一次则日销售量?a1?件的基础上 b? b? 增加? 件,每日播二次则日销售量?a2?件在每日播一次时日销售量?a1?件的基础上增加? 件…,每日播? 2? 4? b? n?次,该产品的日销售?an?件在每日播?n-1?次时的日销售量?an-1?件的基础上增加? n件.合同约定: 2? 每播一次企业需支付广告费?2b 元.? (1)试求出?an?与 n?的关系式;? (2)该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大,求每日电视广告需播多少次.

18.已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为?8.? (1)求等差数列{an}的通项公式;? (2)若?a2,a3,a1?成等比数列,求数列{|an|}的前?n 项和.?

2?


高三六道大题限时夺分训练1

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