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函数的零点课件








问:

1、一元二次方程是否有 实根的判定方法。 2、二次函数的顶点坐标, 对称轴的求法。

2.4.1

函数的零点

方程 函数 函 数 的 图 象
方程的实数根

x2-x-6=0 y

= x2-x-6
10 8 6

4

2

-15

-10

-5

5

10

15

20

-2

-4

-6

-8

-10

x1=-2 x2=3
(-2,0) (3,0)

函数的图象 与x轴的交点

函数的零点的定义:
一般地,如果函数y=f (x)在实 数α处的值等于零,即f (α)=0, 则α叫做这个函数的零点。

思考问题:
零点是一个点吗? 函数的零点与方程的根是什么关系?

与图象和x 轴的交点又有什么关系?

特点:
零点指的是一个实数, 函数的零点就是相应方程的根, 也就是函数图象与x 轴交点的横坐标。

思考问题: 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 是否一定有零 点?

判别式 △ =b2-4ac

△>0

△=0 有两个相等的 实数根x1 = x2

△<0

方程ax2 +bx+c=0 两个不相等 的实数根x1 、x2 (a≠0)的根
y

没有实数根

y

y

函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象

x1

0

x2

x

0

x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

思考问题:给了我们一个 函数怎样去求它的零点?

例1.求下列函数的零点 ( 1) y = – 3 x – 2

( 2) y = x2 – 5x + 4
( 3) y = x3 – 8x

结论:
由于函数的零点是对应方程的根,所以求函数 的零点就是解与函数相对应的方程, 一元一次方程可直接移项求解, 一元二次方程可用求根公式, 简单的高次方程可用因式分解去求。

例2. 求函数y=x3-2x2-x+2的零点,并画出 它的图象。 解:因为x3-2x2-x+2=x2(x-2)-(x-2) =(x-2)(x+1)(x-1). 所以函数的零点为-1,1,2. 3个零点把x轴分成4个区间:(-∞,-1)、 (-1,1)、(1,2)、(2,+∞)。 在这四个区间内,取x的一些值,以及零点, 列出这个函数的对应值表:

x y

… …

-1.5

-1 -0.5 0 1.88 2

0.5

1

1.5

2

2.5



-4.38 0

1.13 0

-0.63 0

2.63 …

在直角坐标系内描 点连线,这个函数 的图象如图所示。

思考问题:
1、在零点两侧附近函数值的符号怎样? 2、在被零点划分的同一区间的所有的函 数值的符号有什么关系?

函数零点的性质
1、当函数的图象穿过x轴通过零点时, 函数值变号。
2、在被零点划分的同一区间内所有函 数值保持同号。

例3、 y=-x2-2x+3的自变量在什么 范围内取值时,函数值大于0、小于0 或等于0

练习
求下列函数的零点并画出函数的图象,并指出自变量在什么范围 内取值时,函数值大于0、小于0或等于0; (1)y=x2+7x-8 (2)y=-x2+2x+8

回忆总结:
1、本节课学习哪些知识?
2、在学习中你体会到了哪些数学思想 方法?

课堂总结:
1、知识方面:学习了零点的定义及其求法, 利用函数的零点作出函数的简图。 2、思想方法:主要有转化思想,数形结合 的思想。

快速记忆:
函数零点方程根, 数形结合是根本。

函数符号零点判,
图象连续不能丢。

布 置作 业:
P72习题 B1 (3) ,P75习题 A 2(3)(4)
思考:若函数 f (x)在区间[a , b]上存在唯一零 点则f (a)与f (b)的符号会有怎样的关系?

谢谢指导! 再 见


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