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河南省安阳市安阳县一中高三年级2014--2015学年第一学期第一次调研考试


河南安阳县一中高三年级 2014—2015 学年第一学期第一次调研考试 (文科数学)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 共 120 分钟
一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确

答案的序号填涂在答题卡上) 1、若复数

a ? 3i ( a ? R, i 为虚数单位)是纯虚数,则

实数 a 的值为 ( 1 ? 2i A. ? 6 B. ? 2 C. 4 D. 6
Q?



2、设集合 P ? ?3,log2 a? , Q ? ?a, b? ,若 P ? Q ? ?0?,则 P A. ?3, 0? B. ?3,0,1? C. ?3,0,2?

( D. ?3,0,1,2?



3、如图,一个空间几何体的三视图如图所示,其中,主视图中 ?ABC 是边长为 2 的正三角 形,俯视图为正六边形,那么该几何体的体积为( A. ) D. 3

3

B.

3 2

C. 3

2

俯视图

主视图

左视图

4、已知函数 f ( x) ?

1 5 x ? x 3 ? 4 x( x ? R ), 数列{an } 是等差数列, 5

a3 ? 0, 则f (a1 ) ? f (a3 ) ? f (a5 ) 的值
A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为 O ) D.既不充分也不必要条件 D.可正可负

5、 “ m ? 1 ”是“函数 f ( x) ? x2 ? x ? m 有零点”的( A.充分非必要条件 B.充要条件

C.必要非充分条件

6、在边长为 1 的正三角形 ABC 中, BD ? xBA, CE ? yCA , x ? 0, y ? 0 ,且 x ? y ? 1 , 则 CD ? BE 的最大值为( A. ? )

5 8

B. ?

3 8

C. ?

3 2

D. ?

3 4

7、执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 8,则输入的数是 A. 2 或 2 2 B. 2 2 或 ? 2 2 C. ? 2 或 ? 2 2 D. 2 或 ? 2 2

8、如上图,给定两个平面向量 OA和OB ,它们的夹角为 120? ,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上,且 OC ? xOA ? yOB (其中 x, y ? R ) ,则满足 x ? y ? A. 2 ? 1 B.

2 的概率为(
D.



3 4

C.

?
4

?
3

9、 下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y (吨标准

? =0.7x+0.35, 煤)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
那么表中 m 的值为( )

A.4 10、已知双曲线 0)到直 线

B.3.15

C.4.5

D.3

x2 y2 ? ? 1(a ? 1, b ? 0) 的焦距为 2c,离心率为 e,若点(-1,0)与点(1, a2 b2

x y 4 ? ? 1 的距离之和为 S,且 S ? c ,则离心率 e 的取值范围是( a b 5
A. [



5 , 5] 2

B. [ 2 , 7 ]

C. [ 5 , 7 ] 2

D. [ 2 , 5 ]

11、已知函数 f ? x ? ? ?

? ?log 2 x ? x ? 0 ? ,且关于 x 的方程 f ? x? ? x ? a ? 0 有且只有一个实 x ? ?3 ? x ≤ 0 ?
) B.

根,则实数 a 的范围是( A.

? ??,0?

? 0,1?

C. ?1, 2 ?

D. ?1, ?? ?

12 、 在 整 数 集 Z 中 , 被 4 除 所 得 余 数 k 的 所 有 整 数 组 成 一 个 “ 类 ” , 记 为 [k ] , 即 , [k ] ? {4 n ? k | n? Z }

k ? 0,1, 2,3 .给出如下四个结论:① 2012 ?[1] ;② ?2 ?[2] ;③ Z ? [0] ?[1] ?[2] ?[3] ;
④“整数 a , b 属于同一‘类’ ”的充要条件是“ a ? b ? [0] ”.其中正确的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

第Ⅱ卷 非选择题

(共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)

?4 x ? y ? 9 ? 0 ? 13、 已知函数 x, y满足 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则z ? x ? 3 y 的最大值是 ?y ? 3 ?



14 、已知函数 f ( x)是(-?,+?) 上的奇函数,且 f ( x ) 的图象关于直线 x=1 对称,当

1 . x ? [?1, 0] 时, f ( x) ? 1 ? ( ) x , 则f (2012) ? f (2013) ? 2 15、已知三边长分别为 4、5、6 的△ABC 的外接圆恰好是球 O 的一个大圆,P 为球面上一点,
若点 P 到△ABC 的三个顶点的距离相等,则三棱锥 P—ABC 的体积为 16 、 已 知 等 差 数 列 {an } 的 首 项 a1 及 公 差 d 都 是 整 数 , 前 n 项 和 为 S n , 若

a1 ? 1, a4 ? 3, S3 ? 9 ,设 bn ? 2n an , 则b1 ? b2 ?
三.解答题(共 6 个小题,共 70 分) 17、 (满分 12 分)阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有

? bn 的结果为



sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ------① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ------②
由①+② 得 sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ? ------③

A? B A? B ,? ? 2 2 A? B A? B cos 代入③得 sin A ? sin B ? 2sin . 2 2
令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有 ? ? (Ⅰ) 类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:

cos A ? cos B ? ?2sin

A? B A? B sin ; 2 2

C , 试判断 ?ABC ( Ⅱ ) 若 ?ABC 的三个内角 A, B, C 满足 cos 2A ? cos 2B ? 1? cos 2
的形状. (提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

18. (本小题满分 1 2 分) 如图所示,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中。AB =AA1,D 是 BC 上的一点,且 AD⊥C1D. (I)求证:A1B∥平面 AC1D; (Ⅱ)在棱 CC1 上是否存在一点 P,使直线 PB1⊥平面 AC1D?若存在,找出这个点,并 加以证明;若不存在,请说明理由.

19. (本小题满分 12 分) 某种商品在 50 个不同地区的零售价格全部介于 13 元与 18 元 之间,将各地价格按如下方式分成五组:第一组 [13,14) ; 第二组[14,15) ,??,第五组[17,18]。右图是按上述分 组方法得到的频率分布直方图. (I)求价格在[16,17)内的地区数,并估计该商品价格的 中位数(精确到 0.1) ; (Ⅱ)设 m、 n 表示某两个地区的零售价格,且已知 m, n ? [13,14)

X K B 1.C O M

[17,18] ,求事件“|m-n|>l”的概率.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的方程为

2 x 2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 左、右焦点分别为 a 2 b2

F1、F2,焦距为 4,点 M 是椭圆 C 上一点,满足 ?F1 MF2 ? 60?, 且S?F1MF ?

4 3 . 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)分别作直线 PA,PB 交椭圆 C 于 A,B 两点,设直线 PA,PB 的 斜率分别 为 k1,k2, 且k1 ? k2 ? 4 ,求证:直线 AB 过定点,并求出直线 AB 的斜率 k 的取值范围。

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 8ln x, g ( x) ? ?x2 ? 14x. (1)若函数 y ? f ( x) 和函数 y ? g ( x) 在区间 (a, a ? 1) 上均为增函数,求实数 a 的取 值范围; (2)若方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解,求实数 m 的值。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22、选修 4-1:几何证明选讲 如图,圆 O1 与圆 O2 相交于 A、B 两点,AB 是圆 O2 的直径,过 A 点作圆 O1 的切线交圆 O2 于点 E,并与 BO1 的延长线交于点 P,PB 分别与圆 O1、圆 O2 交于 C,D 两点。 求证:(Ⅰ)PA·PD=PE·PC; (Ⅱ)AD=AE。

23、选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线 L : ? sin 2 ? ? 2cos? ,过点 A(5,α ) (α 为锐角且 tan ? ? 行于 ? ?

?
4

3 )作平 4

( ? ? R ) 的直线 l ,且 l 与曲线 L 分别交于 B,C 两点。

(Ⅰ)以极点为原点, 极轴为 x 轴的正半轴, 取与极坐标相同单位长度, 建立平面直角坐标系, 写出曲线 L 和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)求|BC|的长。

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 | 2x ? 1| ? | x ?1|? log2 a (其中 a ? 0 ) 。 (Ⅰ)当 a=4 时,求不等式的解集; (Ⅱ)若不等式有解,求实数 a 的取值范围。

高三数学(文科)
一、选择题 1、A. 2、B 3、D. 4、A. 5、C.6、B.7、D.8、B 9、D.10、A 11、D. 12、C. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、-1 14、 1 15、10 16、 n ? 2n ?1

三.解答题(共 6 个小题,共 70 分) 17、解法一:(Ⅰ)证明:因为 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ?sin ? sin ? ,------①

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,------②???????1 分
①-② 得 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?2sin ? sin ? .------③????????2 分

A? B A? B ,? ? , 2 2 A? B A? B sin 代入③得 cos A ? cos B ? ?2sin .????????????5 分 2 2 (Ⅱ)由二倍角公式, cos 2 A ? cos 2 B ? 1 ? cos 2C 可化为
令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B 有 ? ?

1 ? 2sin 2 A ? 1 ? 2sin 2 B ? 1 ?1 ? 2sin 2 C ,?????????????8 分
所以 sin A ? sin C ? sin B .?????????????9 分
2 2 2

设 ?ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c , 由正弦定理可得 a ? c ? b .????????????11 分
2 2 2

根据勾股定理的逆定理知 ?ABC 为直角三角形.?????????????12 分 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式, cos 2 A ? cos 2 B ? 1 ? cos 2C 可化为

?2sin ? A ? B? sin ? A ? B? ? 1?1? 2sin 2 C ,?????????????8 分
因为 A,B,C 为 ?ABC 的内角,所以 A ? B ? C ? ? , 所以 ? sin ? A ? B? sin ? A ? B ? ? sin
2

? A ? B? .

又因为 0 ? A ? B ? ? ,所以 sin ? A ? B? ? 0 , 所以 sin ? A ? B ? ? sin ? A ? B ? ? 0 . 从而 2sin A cos B ? 0 .?????????????????9 分 又 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 0 ,故 ?B ?

?
2

.??????????????11 分

所以 ?ABC 为直角三角形. ????????????12 分 (18)(Ⅰ)证明:因为ABC-A1B1C1是正三棱柱, 所以CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AD.又AD⊥C1D,CC1∩C1D=C1,所以AD⊥平面BCC1B1, 所以AD⊥BC,所以D是BC的中点. 3分

如图,连接A1C,设与AC1相交于点E,则点E为A1C的中点.

连接DE,则在 中,因为D、E分别是BC、A1C的中点,所以A1B∥DE,又DE在平面AC1D内,A1B不在平面A C1D内,所以A1B∥平面AC1D. ……6分 (Ⅱ)解:存在这样的点P,且点P为CC1的中点. 下面证明:由(Ⅰ)知AD⊥平面BCC1B1,故B1P⊥AD. 设PB1与C1D相交于点Q,由于△DC1C≌△PB1C1,故∠QB1C1=∠CC1D, 因为∠QC1B1=∠CDC1,从而△QC1B1∽△CDC1,所以∠C1QB1=∠DCC1=90° ,所以B1P⊥ C1D.因为AD∩C1D=D,所以B1P⊥平面AC1D. …12分 (19)解:(Ⅰ)价格在[16,17﹚内的频数为 1-(0.06+0.08+0.16+0.38)=0.32, 所以价格在[16,17﹚内的地区数为 50× 0.32=16,…2分 设价格中位数为 x,由 0.06+0.16+(x-15)× 0.38=0.5,解得:x=15≈15.7(元) ( Ⅱ )由直方 图知,价格在 的地区数为 3 种情况; 若 内时,
x k b 1 . c o m

…7分

5分

的地区数为 ,记为 若

,记为 、 时,有

、 ;价格在 , ,

时,有

6 种情况;若 A B xB yB zB C D xD yD zD

分别在



[来源:学 .科.网 Z.X.X.K]

x y z

xA yA zA

xC yC zC

共有 12 种情况. 事件“

10分所以基本事件总数为 21 种,
[来源:学*科*网]

”所包含的基本事件个数有 12 种.

…12分 (20)解:(Ⅰ)在 中,设 即 , ,由余弦定理得 ,即 , ,



.

…2分又因为









所以

,所以所求椭圆的方程为

.

……6分

(Ⅱ)显然直线

的斜率 存在,设直线方程为









,即 ,





…8分



得,

,又











, 那么 则直线直线 过定点 . ……12分 ,

…10分

(21)解:(Ⅰ)因为 故当 要使 要使 在 在 时, ,当 ,因为 ,即 在 , 时,

, , ,

上递增,必须 上递增,必须 时 ,

由上得出,当

上均为增函数. ……6分

(Ⅱ)方程 设

有唯一解 ,所以 随 变化如下表:

有唯一解, (

新 课 标 第 一 网



递减 极小值 由于在 故当 上, 只有一个极小值,所以 时,方程

递增 的最小值为 ,

有唯一解. …………12 分

[来源:学

22、 【答案】 (Ⅰ)? PE 、PB 分别是⊙ O2 的割线∴ PA ? PE ? PD ? PB 分) 又? PA 、PB 分别是⊙ O1 的切线和割线∴ PA ? PC ? PB
2



(2



(4 分) (5 分)

由①,②得 PA ? PD ? PE ? PC
E A O2 B

F
P C D O1

(Ⅱ)连结 AC 、 ED 设 DE 与 AB 相交于点 F ∵ BC 是⊙ O1 的直径 ∴ ?CAB ? 90? ∴ AC 是⊙ O2 的切线. (6 分) 由(Ⅰ)知

PA PC ? ,∴ AC ∥ ED ∴ AB ⊥ DE , ?CAD ? ?ADE PE PD

(8 分)

又∵ AC 是⊙ O2 的切线,∴ ?CAD ? ?AED 又 ?CAD ? ?ADE ,∴ ?AED ? ?ADE ∴ AD ? AE 23、 (Ⅰ)由题意得,点 A 的直角坐标为 ?4,3? 曲线 L 的普通方程为: y 2 ? 2 x 直线 l 的普通方程为: y ? x ? 1 (Ⅱ)设 B( x1 , y1 )C( x2 , y2 ) (10 分)

(1 分) (3 分) (5 分)

? y 2 ? 2x ? ?y ? x ?1

联立得 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

由韦达定理得 x1 ? x2 ? 4 , x1 ? x2 ? 1 由弦长公式得 BC ? 1 ? k x1 ? x 2 ? 2 6
2

(7 分) (10 分)

【解析】略 24、 (Ⅰ)当 a ? 4 时, f ( x) ? 2 ,

1 1 x ? ? 时, ? x ? 2 ? 2 ,得 ? 4 ? x ? ? 2 2 1 1 2 ? ? x ? 1 时, 3 x ? 2 ,得 ? ? x ? 2 2 3 x ? 1 时, x ? 0 ,此时 x 不存在
∴不等式的解集为 ? x ? 4 ? x ?

(1 分) (2 分) (3 分) (5 分)

? ?

2? ? 3?
x?? ? 1 2

? ?? x ? 2, ? ? (Ⅱ)∵设 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ? ?3 x, ? ? x ? 2, ? ?
故 f ( x) ? ??

1 ? x ?1 2 x ?1

3 ? 3 ? ,?? ? ,即 f ( x) 的最小值为 ? 2 ? 2 ?


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