kl800.com省心范文网

北京数学竞赛培训第13讲 抽屉原理


第 13 讲 抽屉原理 把 5 个苹果放到 4 个抽屉中,必然有一个抽屉中至少有 2 个苹果,这 是抽屉原理的通俗解释。一般地,我们将它表述为: 第一抽屉原理:把(mn+1)个物体放入 n 个抽屉,其中必有一个抽屉中 至少有(m+1)个物体。 使用抽屉原理解题,关键是构造抽屉。一般说来,数的奇偶性、剩余 类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等,都可作为构造抽屉的依 据。 例

1 从 1,2,3,?,100 这 100 个数中任意挑出 51 个数来,证明 在这 51 个数中,一定: (1)有 2 个数互质; (2)有 2 个数的差为 50; (3)有 8 个数,它们的最大公约数大于 1。 证明:(1)将 100 个数分成 50 组: {1,2},{3,4},?,{99,100}。 在选出的 51 个数中,必有 2 个数属于同一组,这一组中的 2 个数是 两个相邻的整数,它们一定是互质的。 (2)将 100 个数分成 50 组: {1,51},{2,52},?,{50,100}。 在选出的 51 个数中,必有 2 个数属于同一组,这一组的 2 个数的差 为 50。 (3)将 100 个数分成 5 组(一个数可以在不同的组内): 第一组:2 的倍数,即{2,4,?,100}; 第二组:3 的倍数,即{3,6,?,99}; 第三组:5 的倍数,即{5,10,?,100}; 第四组:7 的倍数,即{7,14,?,98}; 第五组:1 和大于 7 的质数即{1,11,13,?,97}。

第五组中有 22 个数,故选出的 51 个数至少有 29 个数在第一组到第 四组中,根据抽屉原理,总有 8 个数在第一组到第四组的某一组中,这 8 个数的最大公约数大于 1。 例 2 求证:可以找到一个各位数字都是 4 的自然数,它是 1996 的倍 数。 证明:因 1996÷4=499,故只需证明可以找到一个各位数字都是 1 的自然数,它是 499 的倍数就可以了。

得到 500 个余数 r1,r2,?,r500。由于余数只能取 0,1,2,?,499 这 499 个值,所以根据抽屉原理,必有 2 个余数是相同的,这 2 个数的差 就是 499 的倍数,这个差的前若干位是 1,后若干位是 0:11?100?0, 又 499 和 10 是互质的, 故它的前若干位由 1 组成的自然数是 499 的倍数, 将它乘以 4,就得到一个各位数字都是 4 的自然数,它是 1996 的倍数。 例 3 在一个礼堂中有 99 名学生, 如果他们中的每个人都与其中的 66 人相识, 那么可能出现这种情况:他们中的任何 4 人中都一定有 2 人不相 识(假定相识是互相的)。 分析:注意到题中的说法“可能出现??”,说明题的结论并非是条 件的必然结果, 而仅仅是一种可能性,因此只需要设法构造出一种情况使 之出现题目中所说的结论即可。 解:将礼堂中的 99 人记为 a1,a2,?,a99,将 99 人分为 3 组: (a1,a2,?,a33),(a34,a35,?,a66),(a67,a68,?,a99), 将 3 组学生作为 3 个抽屉,分别记为 A,B,C,并约定 A 中的学生所认识 的 66 人只在 B,C 中,同时,B,C 中的学生所认识的 66 人也只在 A,C 和 A,B 中。如果出现这种局面,那么题目中所说情况就可能出现。 因为礼堂中任意 4 人可看做 4 个苹果,放入 A,B,C 三个抽屉中,必 有 2 人在同一抽屉,即必有 2 人来自同一组,那么他们认识的人只在另 2 组中,因此他们两人不相识。

例 4 如右图,分别标有数字 1,2,?,8 的滚珠两组,放在内外两 个圆环上, 开始时相对的滚珠所标数字都不相同。当两个圆环按不同方向 转动时,必有某一时刻,内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。 分析: 此题中没有直接提供我们用以构造抽屉和苹果的数量关系,需 要转换一下看问题的角度。 解:内外两环对转可看成一环静止,只有一个环转动。一个环转动一 周后, 每个滚珠都会有一次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现,那么 这种局面共要出现 8 次。 将这 8 次局面看做苹果,再需构造出少于 8 个抽 屉。 注意到一环每转动 45°角就有一次滚珠相对的局面出现,转动一周 共有 8 次滚珠相对的局面,而最初的 8 对滚珠所标数字都不相同,所以数 字相同的滚珠相对的情况只出现在以后的 7 次转动中,将 7 次转动看做 7 个抽屉,8 次相同数字滚珠相对的局面看做 8 个苹果,则至少有 2 次数字 相对的局面出现在同一次转动中,即必有某一时刻,内外两环中至少有两 对数字相同的滚珠相对。 例 5 有一个生产天平上用的铁盘的车间,由于工艺上的原因,只能 控制盘的重量在指定的 20 克到 20.1 克之间。现在需要重量相差不超过 0.005 克的两只铁盘来装配一架天平,问:最少要生产多少个盘子,才能 保证一定能从中挑出符合要求的两只盘子? 解:把 20~20.1 克之间的盘子依重量分成 20 组: 第 1 组:从 20.000 克到 20.005 克; 第 2 组:从 20.005 克到 20.010 克; ?? 第 20 组:从 20.095 克到 20.100 克。 这样, 只要有 21 个盘子,就一定可以从中找到两个盘子属于同一组, 这 2 个盘子就符合要求。 例 6 在圆周上放着 100 个筹码,其中有 41 个红的和 59 个蓝的。那 么总可以找到两个红筹码,在它们之间刚好放有 19 个筹码,为什么? 分析:此题需要研究“红筹码”的放置情况,因而涉及到“苹果”的 具体放置方法, 由此我们可以在构造抽屉时, 使每个抽屉中的相邻 “苹果” 之间有 19 个筹码。 解:依顺时针方向将筹码依次编上号码:1,2,?,100。然后依照 以下规律将 100 个筹码分为 20 组:

(1,21,41,61,81); (2,22,42,62,82); ?? (20,40,60,80,100)。 将 41 个红筹码看做苹果, 放入以上 20 个抽屉中, 因为 41=2×20+1, 所以至少有一个抽屉中有 2+1=3(个)苹果,也就是说必有一组 5 个筹码 中有 3 个红色筹码,而每组的 5 个筹码在圆周上可看做两两等距,且每 2 个相邻筹码之间都有 19 个筹码,那么 3 个红色筹码中必有 2 个相邻(这 将在下一个内容——第二抽屉原理中说明),即有 2 个红色筹码之间有 19 个筹码。 下面我们来考虑另外一种情况:若把 5 个苹果放到 6 个抽屉中,则必 然有一个抽屉空着。这种情况一般可以表述为: 第二抽屉原理:把(mn-1)个物体放入 n 个抽屉,其中必有一个抽屉中 至多有(m-1)个物体。 例 7 在例 6 中留有一个疑问,现改述如下:在圆周上放有 5 个筹码, 其中有 3 个是同色的,那么这 3 个同色的筹码必有 2 个相邻。 分析:将这个问题加以转化:

如右图,将同色的 3 个筹码 A,B,C 置于圆周上,看是否能用另外 2 个筹码将其隔开。 解:如图,将同色的 3 个筹码放置在圆周上,将每 2 个筹码之间的间 隔看做抽屉,将其余 2 个筹码看做苹果,将 2 个苹果放入 3 个抽屉中,则 必有 1 个抽屉中没有苹果,即有 2 个同色筹码之间没有其它筹码,那么这 2 个筹码必相邻。 例 8 甲、乙二人为一个正方形的 12 条棱涂红和绿 2 种颜色。首先, 甲任选 3 条棱并把它们涂上红色;然后,乙任选另外 3 条棱并涂上绿色; 接着甲将剩下的 6 条棱都涂上红色。问:甲是否一定能将某一面的 4 条棱 全部涂上红色? 解:不能。

如右图将 12 条棱分成四组:

第一组:{A1B1,B2B3,A3A4}, 第二组:{A2B2,B3B4,A4A1}, 第三组:{A3B3,B4B1,A1A2}, 第四组:{A4B4,B1B2,A2A3}。 无论甲第一次将哪 3 条棱涂红,由抽屉原理知四组中必有一组的 3 条棱全未涂红,而乙只要将这组中的 3 条棱涂绿,甲就无法将某一面的 4 条棱全部涂红了。 下面我们讨论抽屉原理的一个变形——平均值原理。 我们知道 n 个数 a1,a2,?,an 的和与 n 的商是 a1,a2,?,an 这 n 个数的平均值。 平均值原理: 如果 n 个数的平均值为 a, 那么其中至少有一个数不大于 a, 也至少有一个不小于 a。 例 9 圆周上有 2000 个点,在其上任意地标上 0,1,2,?,1999(每 一点只标一个数,不同的点标上不同的数)。求证:必然存在一点,与它 紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于 2999。 解:设圆周上各点的值依次是 a1,a2,?,a2000,则其和 a1+a2+?+a2000=0+1+2+?+1999=1999000。 下面考虑一切相邻三数组之和: (a1+a2+a3)+(a2+a3+a4)+?+(a1998+a1999+a2000)+(a1999 +a2000+a1)+(a2000+a1+a2) =3(a1+a2+?+a2000) =3×1999000。

这 2000 组和中必至少有一组和大于或等于 但因每一个和都是整数,故有一组相邻三数之和不小于 2999,亦即 存在一个点,与它紧相邻的两点和这点上所标的三数之和不小于 2999。 例 10 一家旅馆有 90 个房间,住有 100 名旅客,如果每次都恰有 90 名旅客同时回来, 那么至少要准备多少把钥匙分给这 100 名旅客,才能使 得每次客人回来时,每个客人都能用自己分到的钥匙打开一个房门住进 去,并且避免发生两人同时住进一个房间? 解:如果钥匙数小于 990,那么 90 个房间中至少有一个房间的钥匙 数少

房间就打不开,因此 90 个人就无法按题述的条件住下来。 另一方面,990 把钥匙已经足够了,这只要将 90 把不同的钥匙分给 90 个人,而其余的 10 名旅客,每人各 90 把钥匙(每个房间一把),那 么任何 90 名旅客返回时,都能按要求住进房间。 最后,我们要指出,解决某些较复杂的问题时,往往要多次反复地运 用抽屉原理,请看下面两道例题。 例 11 设有 4×28 的方格棋盘,将每一格涂上红、蓝、黄三种颜色中 的任意一种。试证明:无论怎样涂法,至少存在一个四角同色的长方形。 证明:我们先考察第一行中 28 个小方格涂色情况,用三种颜色涂 28 个小方格,由抽屉原理知,至少有 10 个小方格是同色的,不妨设其为红 色,还可设这 10 个小方格就在第一行的前 10 列。 下面考察第二、三、四行中前面 10 个小方格可能出现的涂色情况。 这有两种可能: (1)这三行中,至少有一行,其前面 10 个小方格中,至少有 2 个小 方格是涂有红色的, 那么这 2 个小方格和第一行中与其对应的 2 个小方格, 便是一个长方形的四个角,这个长方形就是一个四角同是红色的长方形。 (2)这三行中每一行前面的 10 格中,都至多有一个红色的小方格, 不妨设它们分别出现在前三列中,那么其余的 3×7 个小方格便只能涂上 黄、蓝两种颜色了。 我们先考虑这个 3×7 的长方形的第一行。根据抽屉原理,至少有 4 个小方格是涂上同一颜色的,不妨设其为蓝色,且在第 1 至 4 列。

再考虑第二行的前四列,这时也有两种可能: (1)这 4 格中,至少有 2 格被涂上蓝色,那么这 2 个涂上蓝色的小 方格和第一行中与其对应的 2 个小方格便是一个长方形的四个角, 这个长 方形四角同是蓝色。 (2)这 4 格中,至多有 1 格被涂上蓝色,那么,至少有 3 格被涂上 黄色。不妨设这 3 个小方格就在第二行的前面 3 格。 下面继续考虑第三行前面 3 格的情况。用蓝、黄两色涂 3 个小方格, 由抽屉原理知, 至少有 2 个方格是同色的, 无论是同为蓝色或是同为黄色, 都可以得到一个四角同色的长方形。 总之,对于各种可能的情况,都能找到一个四角同色的长方形。 例 12 试卷上共有 4 道选择题,每题有 3 个可供选择的答案。一群学 生参加考试,结果是对于其中任何 3 人,都有一道题目的答案互不相同。 问:参加考试的学生最多有多少人? 解:设每题的三个选择分别为 a,b,c。 (1)若参加考试的学生有 10 人,则由第二抽屉原理知,第一题答案 分别为 a,b,c 的三组学生中,必有一组不超过 3 人。去掉这组学生,在 余下的学生中, 定有 7 人对第一题的答案只有两种。对于这 7 人关于第二 题应用第二抽屉原理知, 其中必可选出 5 人,他们关于第二题的答案只有 两种可能。对于这 5 人关于第三题应用第二抽屉原理知,可以选出 4 人, 他们关于第三题的答案只有两种可能。最后,对于这 4 人关于第四题应用 第二抽屉原理知,必可选出 3 人,他们关于第四题的答案也只有两种。于 是,对于这 3 人来说,没有一道题目的答案是互不相同的,这不符合题目 的要求。可见,所求的最多人数不超过 9 人。 另一方面, 若 9 个人的答案如下表所示,则每 3 人都至少有一个问题 的答案互不相同。

所以,所求的最多人数为 9 人。

练习 13 1.六(1)班有 49 名学生。数学王老师了解到在期中考试中该班英文 成绩除 3 人外均在 86 分以上后就说:“我可以断定,本班同学至少有 4 人成绩相同。”请问王老师说得对吗?为什么? 2.现有 64 只乒乓球,18 个乒乓球盒,每个盒子里最多可以放 6 只乒 乓球,至少有几个乒乓球盒子里的乒乓球数目相同? 3.某校初二年级学生身高的厘米数都为整数,且都不大于 160 厘米, 不小于 150 厘米。 问: 在至少多少个初二学生中一定能有 4 个人身高相同? 4.从 1,2,?,100 这 100 个数中任意选出 51 个数,证明在这 51 个数中,一定: (1)有两个数的和为 101; (2)有一个数是另一个数的倍数; (3)有一个数或若干个数的和是 51 的倍数。 5.在 3×7 的方格表中,有 11 个白格,证明 (1)若仅含一个白格的列只有 3 列,则在其余的 4 列中每列都恰有 两个白格; (2)只有一个白格的列只有 3 列。 6.某个委员会开了 40 次会议,每次会议有 10 人出席。已知任何两个 委员不会同时开两次或更多的会议。问:这个委员会的人数能够多于 60 人吗?为什么? 7.一个车间有一条生产流水线,由 5 台机器组成,只有每台机器都开 动时,这条流水线才能工作。总共有 8 个工人在这条流水线上工作。在每 一个工作日内,这些工人中只有 5 名到场。为了保证生产,要对这 8 名工 人进行培训,每人学一种机器的操作方法称为一轮。问:最少要进行多少 轮培训,才能使任意 5 个工人上班而流水线总能工作? 8.有 9 名数学家, 每人至多能讲 3 种语言,每 3 人中至少有 2 人能通 话。求证:在这 9 名中至少有 3 名用同一种语言通话。

练习 13 1.对。解:因为 49-3=3×(100-86+1)+1,即 46=3×15+1,也就是 说,把从 100 分至 86 分的 15 个分数当做抽屉,49-3=46(人)的成绩当 做物体,根据第二抽屉原理,至少有 4 人的分数在同一抽屉中,即成绩相 同。 2.4 个。解:18 个乒乓球盒,每个盒子里至多可以放 6 只乒乓球。为 使相同乒乓球个数的盒子尽可能少,可以这样放:先把盒子分成 6 份,每 份有 18÷6=3(只),分别在每一份的 3 个盒子中放入 1 只、2 只、3 只、 4 只、5 只、6 只乒乓球,即 3 个盒子中放了 1 只乒乓球,3 个盒中放了 2 只乒乓球??3 个盒子中放了 6 只乒乓球。这样,18 个盒子中共放了乒乓 球 (1+2+3+4+5+6)×3=63(只)。 把以上 6 种不同的放法当做抽屉,这样剩下 64-63=1(只)乒乓球不 管放入哪一个抽屉里的任何一个盒子里 (除已放满 6 只乒乓球的抽屉外) , 都将使该盒子中的乒乓球数增加 1 只,这时与比该抽屉每盒乒乓数多 1 的抽屉中的 3 个盒子里的乒乓球数相等。 例如剩下的 1 只乒乓球放进原来 有 2 只乒乓球的一个盒子里,该盒乒乓球就成了 3 只,再加上原来装有 3 只乒乓球的 3 个盒子, 这样就有 4 个盒子里装有 3 个乒乓球。所以至少有 4 个乒乓球盒里的乒乓球数目相同。 3.34 个。 解:把初二学生的身高厘米数作为抽屉,共有抽屉 160-150+1=11(个)。 根据抽屉原理,要保证有 4 个人身高相同,至少要有初二学生 3×11+1=34(个)。 4.证:(1)将 100 个数分成 50 组: {1,100},{2,99},?,{50,51}。 在选出的 51 个数中, 必有两数属于同一组, 这一组的两数之和为 101。 (2)将 100 个数分成 10 组: {1,2,4,8,16,32,64}, {3,6,12,24,48,96}, {5,10,20,40,80}, {7,14,28,56},

{9,18,36,72}, {11,22,44,88}, {13,26,52}, {15,30,60},?, {49,98}, {其余数}。 其中第 10 组中有 41 个数。在选出的 51 个数中,第 10 组的 41 个数 全部选中,还有 10 个数从前 9 组中选,必有两数属于同一组,这一组中 的任意两个数,一个是另一个的倍数。 (3)将选出的 51 个数排成一列: a1,a2,a3,?,a51。 考虑下面的 51 个和: a1,a1+a2,a1+a2+a3,?, a1+a2+a3+?+a51。 若这 51 个和中有一个是 51 的倍数,则结论显然成立;若这 51 个和 中没有一个是 51 的倍数,则将它们除以 51,余数只能是 1,2,?,50 中的一个,故必然有两个的余数是相同的,这两个和的差是 51 的倍数, 而这个差显然是这 51 个数(a1,a2, a3,?,a51)中的一个数或若干个 数的和。 5.证:(1)在其余 4 列中如有一列含有 3 个白格,则剩下的 5 个白 格要放入 3 列中,将 3 列表格看做 3 个抽屉,5 个白格看做 5 个苹果,根 据第二抽屉原理,5(=2×3-1)个苹果放入 3 个抽屉,则必有 1 个抽屉至 多只有(2-1)个苹果,即必有 1 列只含 1 个白格,也就是说除了原来 3 列只含一个白格外还有 1 列含 1 个白格, 这与题设只有 1 个白格的列只有 3 列矛盾。所以不会有 1 列有 3 个白格,当然也不能再有 1 列只有 1 个白 格。推知其余 4 列每列恰好有 2 个白格。 (2)假设只含 1 个白格的列有 2 列,那么剩下的 9 个白格要放入 5 列中,而 9=2×5-1,由第二抽屉原理知,必有 1 列至多只有 2-1=1(个) 白格, 与假设只有 2 列每列只 1 个白格矛盾。所以只有 1 个白格的列至少 有 3 列。 6.能。 解:开会的“人次”有 40×10=400(人次)。设委员人数为 N,将 “人次”看做苹果,以委员人数作为抽屉。 若 N≤60, 则由抽屉原理知至少有一个委员开了 7 次 (或更多次) 会。 但由已知条件知没有一个人与这位委员同开过两次(或更多次)的会,故

他所参加的每一次会的另外 9 个人是不相同的, 从而至少有 7×9=63 (个) 委员,这与 N≤60 的假定矛盾。所以,N 应大于 60。 7.20 轮。 解:如果培训的总轮数少于 20,那么在每一台机器上可进行工作的 工人

果这 3 个工人某一天都没有到车间来,那么这台机器就不能开动,整个流 水线就不能工作。故培训的总轮数不能少于 20。 另一方面, 只要进行 20 轮培训就够了。对 3 名工人进行全能性培训, 训练他们会开每一台机器;而对其余 5 名工人,每人只培训一轮,让他们 每人能开动一台机器。这个方案实施后,不论哪 5 名工人上班,流水线总 能工作。 8.证:以平面上 9 个点 A1,A2,?,A9 表示 9 个数学家,如果两人 能通话,就把表示他们的两点联线,并涂上一种颜色(不同的语言涂上不 同颜色)。此时有两种情况: (1)9 点中有任意 2 点都有联线,并涂了相应的颜色。于是从某一 点 A1 出发,分别与 A2,A3,?,A9 联线,又据题意,每人至多能讲 3 种 语言,因此 A1A2,A1A3,?,A1A9 中至多只能涂 3 种不同的颜色,由抽 屉原理知,这 8 条线段中至少有 2 条同色的线段。不妨设 A1A2 与 A1A3 是同色线段,因此 A1,A2,A3 这 3 点表示的 3 名数学家可用同一种语言 通话。 (2)9 点中至少有 2 点不联线,不妨设是 A1 与 A2 不联线。由于每 3 人中至少有两人能通话,因此从 A1 与 A2 出发至少有 7 条联线。再由抽屉 原理知,其中必有 4 条联线从 A1 或 A2 出发。不妨设从 A1 出发,又因 A1 至多能讲 3 种语言,所以这 4 条联线中,至少有 2 条联线是同色的。 若 A1A3 与 A1A4 同色,则 A1,A3,A4 这 3 点表示的 3 名数学家可用同一 种语言通话。


北京数学竞赛培训第13讲 抽屉原理

北京数学竞赛培训第13讲 抽屉原理_数学_高中教育_教育专区。第 13 讲 抽屉原理 把 5 个苹果放到 4 个抽屉中,必然有一个抽屉中至少有 2 个苹果,这 是抽屉原...

第23讲抽屉原理

第23 讲抽屉原理(二) 【培训提示】 1.更灵活地构建“苹果"和“抽屉"。 2....(做减法时是用大数减小数) 13.小明在同学们中间表演一个数学小魔术:请一个...

数学奥林匹克专题讲座 第13讲 抽屉原理

数学奥林匹克专题讲座 第 13 讲 抽屉原理把 5 个苹果放到 4 个抽屉中,必然有一个抽屉中至少有 2 个苹果,这是抽屉原理 的通俗解释。一般地,我们将它表述为:...

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第13讲 奇偶分析

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第13讲 奇偶分析...了两个抽屉,从而奇偶分析 常常用抽屉原理为工具解决...(1963 年北京市 高中数学竞赛) 6.是否存在整数 a...

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第13讲 奇偶分析

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第13讲 奇偶分析 隐藏>> 第13 讲 奇偶...用抽屉原理证明. 证明 按横坐标与纵坐标的奇偶性把平面上的所有格点分类,共有...

第8讲[1].抽屉原理[1].题库学生版.doc

第8讲[1].抽屉原理(二).教... 13页 2财富值...【巩固】 (第八届《小数报》数学竞赛决赛)将全体...(北京市第十一届“迎春杯”刊赛)从 1,2,3,4,?...

第十三讲 染色中的抽屉原理

百度文库 教育专区 小学教育 学科竞赛上传文档支持以下设备:扫二维码下载 Android...第13讲 抽屉原理 11页 5财富值 五下第十三讲:抽屉原理 2页 5财富值 数学奥...

第13讲 奇偶分析

第13讲 奇偶分析_高一数学_数学_高中教育_教育专区...抽屉,从而奇偶分析常常用抽屉原理为工具解决问题. ...(1963 年北京市高中数学竞赛) 6.是否存在整数 a,...

第13讲 杂题

第13讲 杂题_学科竞赛_小学教育_教育专区。杂题四大问题精讲—— (抽屉原理、容斥原理、最值问题、统筹问题)【本讲重点】 “抽屉原理”“最值问题”“统筹安排...

上海奥数精讲 第13讲讲义 完全平方数(教师版)

上海奥数精讲 第13讲讲义 完全平方数(教师版)_学科竞赛_小学教育_教育专区。...放进同一个抽屉, 这是一个重要而又十 分基本的原理——抽屉原理, 它包含着 ...

抽屉原理 | 小学奥数 抽屉原理 | 办公桌抽屉锁开锁原理 | ios抽屉效果实现原理 | 抽屉原理公式 | 抽屉原理ppt | 抽屉原理2 | 抽屉阻尼滑轨工作原理 |