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指数及指数函数习题及答案


1- 1.设 y1=40.9,y2=80.48,y3=( ) 1.5,则(D) 2 A.y3>y1>y2 【解析】
0.9 1.8

B.y2>y1>y3
0.48

C.y1>y2>y3
1.44

D.y1>y3>y2

y1=4 =2 ,y2=8

=2



1- y3=( ) 1.5=21.5, 2 ∵y=2x 在定义域内为增函数, 且 1.8>1.5>1.44, ∴y1>y3>y2.

( ) <(1 4) ,则实数 a 的取值范围是(A) 1 A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) 1 【解析】 函数 y=(4) 在 R 上为减函数,
1 2.若 4
2a+1 3-2a x

1 D. -∞,2

(

)

1 ∴2a+1>3-2a,∴a> .故选 A. 2 3.设函数 f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(x)=3x-1,则有(B) 1 3 2 A.f( )<f( )<f( ) 3 2 3 【解析】 2 3 1 B.f( )<f( )<f( ) 3 2 3 2 1 3 C.f( )<f( )<f( ) 3 3 2 3 2 1 D.f( )<f( )<f( ) 2 3 3

1 5 2 4 因为 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,所以 f( )=f( ),f( )=f( ),因为函数 f(x)=3x-1 在 3 3 3 3

5 3 4 2 3 1 [1,+∞)上是增函数,所以 f( )>f( )>f( ),即 f( )<f( )<f( ).故选 B. 3 2 3 3 2 3 4.如果函数 f(x)=(1-2a)x 在实数集 R 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是(A) 1 A.(0, ) 2 【解析】 1 B.( ,+∞) 2 1 C.(-∞, ) 2 1 1 D.(- , ) 2 2

根据指数函数的概念及性质求解.

?a<1 ?1-2a>0 ? 由已知得,实数 a 应满足 ,解得? 2 , ?1-2a<1 ?a>0
1 即 a∈(0, ).故选 A. 2 ex a 5.设 a>0,f(x)= + x(e>1),是 R 上的偶函数,则 a=___1___. a e 【解析】
x

依题意,对一切 x∈R,都有 f(x)=f(-x),

e a 1 ∴ + x= x+aex, a e ae 1 1 ∴(a- )(ex- x)=0. a e 1 ∴a- =0,即 a2=1. a 又 a>0,∴a=1. 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

6.下列空格中填“>、<或=”. (1)1.52.5____<___1.53.2,(2)0.5 【解析】
-1.2

____<___0.5
x

-1.5

.

(1)考察指数函数 y=1.5 .

因为 1.5>1,所以 y=1.5x 在 R 上是单调增函数. 又因为 2.5<3.2,所以 1.52.5<1.53.2. (2)考察指数函数 y=0.5x. 因为 0<0.5<1,所以 y=0.5x 在 R 上是单调减函数. 又因为-1.2>-1.5,所以 0.5
-1.2

<0.5

-1.5

.

1 7.根据下列条件确定实数 x 的取值范围: a< a 【解析】

()

1-2x

(a>0 且 a≠1).

1 - 原不等式可以化为 a2x 1>a ,因为函数 y=ax(a>0 且 a≠1)当底数 a 大于 1 时在 R 上是增函 2

数;当底数 a 大于 0 小于 1 时在 R 上是减函数, 1 3 所以当 a>1 时,由 2x-1> ,解得 x> ; 2 4 1 3 当 0<a<1 时,由 2x-1< ,解得 x< . 2 4 3 3 综上可知:当 a>1 时,x> ;当 0<a<1 时,x< . 4 4 8.已知 a>0 且 a≠1,讨论 f(x)=a-x2+3x+2 的单调性. 【解析】 3 设 u=-x2+3x+2=- x-2 , ( ) +17 4
2

3 3 则当 x≥ 时,u 是减函数,当 x≤ 时,u 是增函数. 2 2 又当 a>1 时,y=au 是增函数,当 0<a<1 时,y=au 是减函数, 3 3 所以当 a>1 时,原函数 f(x)=a-x2+3x+2 在 2,+∞ 上是减函数,在 -∞,2 上是增函数. 3 3 当 0<a<1 时,原函数 f(x)=a-x2+3x+2 在 2,+∞ 上是增函数,在 -∞,2 上是减函数.

[

)

(

]

[

)

(

]

9.(10 分)已知函数 f(x)=3x+3 x.


(1)判断函数的奇偶性; (2)求函数的单调增区间,并证明. 【解析】 (1)f(-x)=3 x+3
- -x -(-x)

=3 x+3x=f(x)且 x∈R,


∴函数 f(x)=3x+3

是偶函数.

(2)由(1)知,函数的单调区间为(-∞,0]及[0,+∞),且[0,+∞)是单调增区间. 现证明如下: 设 0≤x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=3x1+3-x1-3x2-2-x2 3x2-3x1 1 1 =3x1-3x2+ - =3x1-3x2+ 3x1 3x2 3x13x2

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1-3x1+x2 =(3x2-3x1)· . 3x1+x2 ∵0≤x1<x2,∴3x2>3x1,3x1+x2>1, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴函数在[0,+∞)上单调递增, 即函数的单调增区间为[0,+∞).

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