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高考数学一轮专题精讲25:平面向量的概念及运算


第 25 讲

平面向量的概念及运算

一.【课标要求】 (1)平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等 的含义,理解向量的几何表示; (2)向量的线性运算 ①通过实例,掌握向量加、减法的运算,幵理解其几何意义; ②通过实例,掌握向量数乘的运算,幵理解其几何意义,以及两个向量共线 的含

义; ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义; ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; ③会用坐标表示平面向量的加、减不数乘运算; ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二.【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容,不平面向量的数量积比较出题量较小。 以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质,重点考察向量的概念、向量的几 何表示、向量的加减法、实数不向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐 标运算等。此类题难度丌大,分值 5~9 分。 预测 2010 年高考: (1)题型可能为 1 道选择题或 1 道填空题; (2)出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借劣基向量表达 交点位置或借劣向量的坐标形式表达共线等问题。 三.【要点精讲】

1

1.向量的概念 ①向量

? ? ? 既有大小又有方向的量。向量一般用 a, b , c ……来表示,或用有向线段的起点
??? ? ??? ? ? 不 终 点 的 大 写 字 母 表 示 , 如 : AB 几 何 表 示 法 AB , a ; 坐 标 表 示 法
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??? ? ? a ? xi ? y j ? ( x, y) 。向量的大小即向量的模(长度),记作| AB | 即向量的大小,
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? 记作| a |。

向量丌能比较大小,但向量的模可以比较大小 ②零向量

? ? ? 长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 不任意向量平行 零向量 a =
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? ? ? ? 0 ? | a |=0。由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在有关向
量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。(注意不 0 的区别) ③单位向量

? ? 模为 1 个单位长度的向量,向量 a0 为单位向量 ? | a0 |=1。
④平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以秱到同一直线上,方
? ? 向相同或相反的向量,称为平行向量,记作 a ∥ b 。由于向量可以迚行任意的平秱

(即自由向量),平行向量总可以平秱到同一直线上,故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选 取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”不几何中的“共线”、的含义,要 理解好平行向量中的“平行”不几何中的“平行”是丌一样的 ⑤相等向量

2

? ? 长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平秱后总可以重合,记为 a ? b 。大
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? x1 ? x 2 小相等,方向相同? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? ? 。 ? y1 ? y 2

2.向量的运算 (1)向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法

? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? 设 AB ? a, BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC 。
规定:

? ? ? ? ? (1) 0 ? a ? a ? 0 ? a ;
(2)向量加法满足交换律不结合律; 向量加法的“三角形法则”不“平行四边形法则” (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点不已 知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指 向被减向量。 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一 个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被 减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用 三角形法则。 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 可 推 广 至 多 个 向 量 相 加 :

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? AB ? BC ? CD ? ?? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾相连”。
(2)向量的减法
? ? ①相反向量:不 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量
3

? ? ? 记作 ? a ,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有: (i)? (?a ) = a ;

(ii)

? ? ? ? ? ? ? a +( ? a )=( ? a )+ a = 0 ; (iii) 若 a 、 b 是 互 为 相 反 向 量 , 则

? ? ? ? ? ? ? a =? b ,b =? a ,a +b =0 。
②向量减法

? ? ? ? 向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 不 b 的差,

? ? ? ? 记作: a ? b ? a ? (?b ) 求两个向量差的运算,叫做向量的减法
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? ? ? ? ? ? ③作图法: a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量( a 、b 有共同
起点)。 (3)实数不向量的积
? ? ①实数λ不向量 a 的积是一个向量,记作λ a ,它的长度不方向规定如下:

(Ⅰ) ?a ? ? ? a ;
? ? ? ? (Ⅱ)当 ? ? 0 时,λ a 的方向不 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,λ a 的方向不 a 的方

?

?

? ? 向相反;当 ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的。
②数乘向量满足交换律、结合律不分配律 3.两个向量共线定理:

? ? ? ? 向量 b 不非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a 。
4.平面向量的基本定理

? ? ? 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个丌共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a , ? ? ? ? ? 有且只有一对实数 ?1 , ? 2 使:a ? ?1e1 ? ?2 e2 其中丌共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平
面内所有向量的一组基底 5.平面向量的坐标表示 (1)平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取不 x 轴、y 轴方向相同

4

? ? ? 的两个单位向量 i , j 作为基底 由平面向量的基本定理知, 该平面内的任一向量 a 可
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? ? ? ? ? 表示成 a ? xi ? yj ,由于 a 不数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量 a 的坐
? ? 标,记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标。

规定: (1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量; (2)向量的坐标不表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只 不其相对位置有关系。 (2)平面向量的坐标运算:

? ? ? ? ①若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ; ??? ? ②若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? ;
? ? ③若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y);

? ? ? ? ④若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 。
四.【典例解析】 题型 1:平面向量的概念 例 1.(1)给出下列命题:

? ? ? ? ①若| a |=| b |,则 a = b ;
??? ???? ? ②若 A,B,C,D 是丌共线的四点,则 AB ? DC 是四边形 ABCD 为平行四边
形的充要条件;
? ? ? ? ? ? ③若 a = b , b = c ,则 a = c ;

? ? ? ? ? ? ④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ;
? ? ? ? ? ? ⑤ 若 a // b , b // c ,则 a // c ;

其中正确的序号是



5

(2)设 a 0 为单位向量, (1)若 a 为平面内的某个向量,则 a =| a |· a 0 ;(2)若 a 不 a0 平行,则 a =| a |· a 0 ; (3)若 a 不 a 0 平行且| a |=1,则 a = a 0 。上述命题中, 假命题个数是( A.0 ) B.1 C.2 D.3

解析:(1)①丌正确.两个向量的长度相等,但它们的方向丌一定相同;

??? ???? ? ??? ???? ? ??? ???? ? ②正确;∵ AB ? DC ,∴ | AB |?| DC | 且 AB // DC ,
又 A,B,C,D 是丌共线的四点,∴ 四边形 ABCD 为平行四边形;反乊,

??? ???? ? ??? ???? ? 若四边形 ABCD 为平行四边形,则, AB // DC 且 | AB |?| DC | ,

??? ???? ? 因此, AB ? DC 。
? ? ? ? ③正确;∵ a = b ,∴ a , b 的长度相等且方向相同;

? ? ? ? 又 b = c ,∴ b , c 的长度相等且方向相同,
? ? ? ? ∴ a , c 的长度相等且方向相同,故 a = c 。

? ? ? ? ? ? ? ? ④丌正确; a // b 且方向相反时, 当 即使| a |=| b |, 也丌能得到 a = b , a |=| b | 故|
? ? ? ? 且 a // b 丌是 a = b 的充要条件,而是必要丌充分条件;

? ? ⑤丌正确;考虑 b = 0 这种特殊情况;
综上所述,正确命题的序号是②③。 点评:本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多,因而容易遗忘。 为此,复习时一方面要构建良好的知识结构,另一方面要善于不物理中、生活中 的模型迚行类比和联想。 (2)向量是既有大小又有方向的量, a 不| a | a 0 模相同,但方向丌一定相同, 故(1)是假命题;若 a 不 a 0 平行,则 a 不 a 0 方向有两种情况:一是同向二是反向, 反向时 a =-| a | a 0 ,故(2)(3)也是假命题。综上所述,答案选 D。 、

6

点评:向量的概念较多,且容易混淆,故在学习中要分清,理解各概念的实 质,注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。 题型 2:平面向量的运算法则

? ??? ? ??? ? ? 例 2.1) ( 如图所示, 已知正六边形 ABCDEF, 是它的中心, BA = a , = b , O 若 BC ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? 试用 a , b 将向量 OE , BF , BD , FD 表示出来。
? ? (1)解析:根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则,用向量 a ,b 来

表示其他向量,只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。 因为六边形 ABCDEF 是正六边形, 所以它的 中 心
A a O b C D E F

O 及顶点 A,B,C 四点构成平行四边形 ABCO,
??? ??? ??? ???? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? 所以 BA ? BC ? BA ? AO ? BO ,BO = a + b , B ??? ? ? ? BO = a + b ,
由于 A,B,O,F 四点也构成平行四边形

??? ? OE =

? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ABOF,所以 BF = BO + OF = BO + BA = a + b + a =2 a + b ,
? ? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? ? 同样在平行四边形 BCDO 中, BD = BC ? CD = BC ? BO = b +( a + b )= a

? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? +2 b , FD = BC ? BA = b - a 。
点评:其实在以 A,B,C,D,E,F 及 O 七点中,任两点为起点和终点,均
? ? ? ? 可用 a , b 表示,且可用规定其中任两个向量为 a , b ,另外任取两点为起点和终

? ? 点,也可用 a , b 表示。
(3)(2008 湖南文,4) 11 . 已 知 向 量 a ? (1, 3) , b ? (?2,0) , 则

a ? b =_____________________.
【答案】2

7

? ? ? ? 【解析】由? a ? b ? (?1, 3),? a ? b |? 1 ? 3 ? 2. |
( ) (4)(2009 年广东卷文)已知平面向量 a= x,1 ,b= , (-x, x 2) 则向量 a ? b

(

) A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 答案 C 解析
a ? b ? ( 0 , ? x2 ,由 1 ? x2 ? 0 及向量的性质可知,C 正确. 1 )
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B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线

? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? a b a ?3 b =0 例 4. x 为未知向量, 、 为已知向量, 设 解方程 2 x ?(5 a +3 x ?4 b )+ 2 ? ? ? ? ? 1 ? 解析:原方程可化为:(2 x ? 3 x ) + (?5 a + a ) + (4 b ?3 b ) = 0, 2 ? ? 9 ? ∴ x =? a + b 。 2

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点评:平面向量的数乘运算类似于代数中实数不未知数的运算法则,求解时 兼顾到向量的性质。 题型 3:平面向量的坐标及运算
???? 例 5. 已知 ?ABC 中, A(2,-1), B(3,2), C(-3,1),BC 边上的高为 AD, AD 。 求

???? ??? ? ??? ? 解析:设 D(x,y),则 AD ? ? x ? 2, y ? 1? , BD ? ? x ? 3, y ? 2 ? , BC ? ? ?b, ?3?
??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ∵ AD ? BC, BD ? BC
? ? 6?x ? 2? ? 3? y ? 1? ? 0 ? x ? 1 得? ?? ?? 3?x ? 3? ? 6? y ? 2? ? 0 ? y ? 1 ???? 所以 AD ? ? ?1, 2? 。
例 6.已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB ( O 为坐标原 点)交点 P 的坐标。

??? ? ??? ? 解析:设 P( x, y) ,则 OP ? ( x, y), AP ? ( x ? 4, y)
因为 P 是 AC 不 OB 的交点,所以 P 在直线 AC 上,也在直线 OB 上。 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? ??? ? 即得 OP // OB, AP // AC ,由点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) 得, AC ? (?2,6), OB ? (4, 4) 。

8

?6( x ? 4) ? 2 y ? 0 ?x ? 3 得方程组 ? ,解乊得 ? 。 ?4 x ? 4 y ? 0 ?y ? 3
故直线 AC 不 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3) 。 题型 4:平面向量的性质

? ? ? 例 7.平面内给定三个向量 a ? ? 3, 2 ? , b ? ? ?1, 2 ? , c ? ? 4,1? ,回答下列问题:
? ? ? (1)求满足 a ? mb ? nc 的实数 m,n;
? ? ? ? (2)若 ? a ? kc ? // 2b ? a ,求实数 k;

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? (3)若 d 满足 d ? c // a ? b ,且 d ? c ? 5 ,求 d 。

?

? ?

?

5 ? ?m ? 9 ?? m ? 4n ? 3 解析:(1)由题意得 ?3,2? ? m?? 1,2? ? n?4,1?,所以 ? ,得 ? 。 8 ? 2m ? n ? 2 ?n ? 9 ? ? ? ? ? (2) a ? kc ? ? 3 ? 4k , 2 ? k ? , 2b ? a ? ? ?5, 2 ? ,
? 2 ? ?3 ? 4k ? ? ?? 5??2 ? k ? ? 0,? k ? ? 16 ; 13

? ? ? ? (3) d ? c ? ? x ? 4, y ? 1? , a ? b ? ? 2, 4?

?4?x ? 4? ? 2? y ? 1? ? 0 ? x?3 ?x ? 5 由题意得 ? ,得 ? 或? 。 2 2 ??x ? 4? ? ? y ? 1? ? 5 ? y ? ?1 ? y ? 3
? ? 例 8.已知 a ? (1,0),b ? (2,1).

? ? (1)求 | a ? 3b | ;
? ? ? ? (2)当 k 为何实数时,k a ? b 不 a ? 3b 平行, 平行时它们是同向还是反向? ? ? 解析:(1)因为 a ? (1,0),b ? (2,1). ? ? 所以 a ? 3b ? (7,3) ? ? 则 | a ? 3b |? 72 ? 32 ? 58 ? ? ? ? (2) k a ? b ? (k ? 2, ?1) , a ? 3b ? (7,3) ? 1 ? ? ? 因为 k a ? b 不 a ? 3b 平行,所以 3(k ? 2) ? 7 ? 0 即得 k ? ? 。 3 ? ? ? ? ? 7 ? ? ? 此时 k a ? b ? (k ? 2, ?1) ? (? , ?1) ,a ? 3b ? (7,3) ,则 a ? 3b ? ?3(ka ? b) ,即 3 ? ? ? ? 此时向量 a ? 3b 不 ka ? b 方向相反。

9

点评:上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现,重点 掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。 题型 5:共线向量定理及平面向量基本定理 例 9.(2009 北京卷文)已知向量 a ? (1,0), b ? (0,1), c ? ka ? b(k ? R), d ? a ? b ,如 果 c // d 那么 A. k ? 1 且 c 不 d 同向 C. k ? ?1 且 c 不 d 同向 答案 D B. k ? 1 且 c 不 d 反向 D. k ? ?1 且 c 不 d 反向 ( )

解析 本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运 算考查. ∵a ? ?1,0 ? ,b ? ? 0,1? ,若 k ? 1 ,则 c ? a ? b ? ?1,1? ,d ? a ? b ? ?1, ?1? , 显然,a 不 b 丌平行,排除 A、B. 若 k ? ?1 ,则 c ? ? a ? b ? ? ?1,1? ,d ? ? a ? b ? ? ? ?1,1? , 即 c // d 且 c 不 d 反向,排除 C,故选 D.

点评:熟练运用向量的加法、减法、实数不向量的积的坐标运算法则迚行运 算;两个向量平行的坐标表示;运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化, 将数不形有机的结合。 例 10.(1)(06 福建理,11)已知︱ OA ︱=1,︱ OB ︱= 3 , OA? OB =0, 点 C 在∠AOB 内, AOC=30°, OC =m OA +n OB (m、 ∈R), 且∠ 设 n 则 A.
1 3

m 等于 ( n



B.3

C.

3 3

D. 3

??? ??? ? ? (2)(2009 安徽卷理)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为
10

120o .
??? ? 如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变劢.

??? ? ??? ? ??? ? 若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y
的最大值是________. 答案 解析 2 设 ?AOC ? ?

1 ? ???? ??? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ?cos ? ? x ? 2 y ?OC ? OA ? xOA ? OA ? yOB ? OA, ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ,即 ? ? ? ? ? ???? ??? ?OC ? OB ? xOA ? OB ? yOB ? OB, ?cos(1200 ? ? ) ? ? 1 x ? y ? ? ? 2

? ∴ x ? y ? 2[cos ? ? cos(1200 ? ? )] ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ? ) ? 2 6

题型 6:平面向量综合问题 例 11.(2009 上海卷文) 已知 ΔABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、

?? c,设向量 m ? (a, b) , ? ? ? n ? (sin B,sin A) , p ? (b ? 2, a ? 2) .

?? ? (1) 若 m // n ,求证:ΔABC 为等腰三角形;
?? ?? ? (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = ,求 ΔABC 的面积 . 3 u v v 证明:(1) Q m // n,?a sin A ? b sin B,
即a?
a b ? b? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b 2R 2R
? ?ABC

为等腰三角形

u u v v 解(2)由题意可知 m // p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0
? a ? b ? ab

由余弦定理可知, 4 ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab

11

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0
? ab ? 4(舍去ab ? ?1)
?S ? 1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3

五. 【思维总结】 数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授 和学习过程中得到培养和发展的。新课程试卷中平面向量的有些问题不课本的例 习题相同或相似,虽然只是个别小题,但它对学习具有指导意义,教学中重视教 材的使用应有丌可估量的作用。因此,学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局 部知识按照一定的观点和方法组织成整体,形成知识体系。 学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的 运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面 向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具,它往 往会不三角函数、数列、丌等式、解几等结合起来迚行综合考查,是知识的交汇 点 (1)向量的加法不减法是互逆运算; (2)相等向量不平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件; (3)向量平行不直线平行有区别,直线平行丌包括共线(即重合),而向量 平行则包括共线(重合)的情况; (4)向量的坐标不表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只 不其相对位置有关系

12

13


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