kl800.com省心范文网

21.2(费解)《解三角形》


【教师节回馈】高考数学:7《解三角形》
一、基础知识 在本章中约定用 A , B , C 分别表示△ABC 的三个内角, a, b, c 分别表示它们所对的各边长,

a?b?c 为半周长。 2 a b c ? ? 1.正弦定理: =2R(R 为△ABC 外接圆半径) 。 sin A sin B sin C 1 1 1 推论 1:△ABC 的面积为

S△ABC= ab sin C ? bc sin A ? ca sin B. 2 2 2 p?
推论 2:在△ABC 中,有 bcosC+ccosB=a. 推论 3:在△ABC 中,A+B= ? ,解 a 满足

a b ? ,则 a=A. sin a sin(? ? a)

正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到, 这里不再给出, 下证推论。 先证推论 1, 由正弦函数定义,

1 ab sin C ;再证推论 2,因为 B+C=-A,所以 sin(B+C)=sinA,即 2 a b ? sinBcosC+cosBsinC=sinA,两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a;再证推论 3,由正弦定理 , sin A sin B
BC 边上的高为 bsinC,所以 S△ABC= 所以

1 sin a sin(? ? a) ? ,即 sinasin( ? -A)=sin( ? -a)sinA,等价于 ? [cos( ? -A+a)-cos( ? -A-a)]= 2 sin A sin(? ? A)

1 [cos( ? -a+A)-cos( ? -a-A)],等价于 cos( ? -A+a)=cos( ? -a+A),因为 0< ? -A+a,? -a+A<. 所以只 2 有 ? -A+a= ? -a+A,所以 a=A,得证。 ?

b2 ? c2 ? a2 2.余弦定理:a =b +c -2bccosA ? cos A ? ,下面用余弦定理证明几个常用的结论。 2bc
2 2 2

(1) 斯特瓦特定理: 在△ABC 中, D 是 BC 边上任意一点, BD=p, DC=q, 则 AD = 【证明】 因为 c =AB =AD +BD -2AD·BDcos ? ADB , 2 2 2 所以 c =AD +p -2AD·pcos ?ADB . ① 2 2 2 同理 b =AD +q -2AD·qcos ?ADC , ② 因为 ADB+ADC=, 所以 cosADB+cosADC=0, 所以 q×①+p×②得
2 2 2 2

2

b2 p ? c2q ? pq. p?q

(1)

qc +pb =(p+q)AD +pq(p+q),即 AD =

2

2

2

2

b2 p ? c2q ? pq. p?q 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 . 2
1 2 2 2 1 b c sin A= 4 4
bc
2 2

注:在(1)式中,若 p=q,则为中线长公式 AD ? ( 2 ) 海 伦 公 式 : 因 为
2 S? ABC ? ?

(1-cos A)=

2

1 4

bc

2 2

? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) 2 ? 1 2 2 2 2 ?1 ? ? ? [(b+c) -a ][a -(b-c) ]=p(p-a)(p-b)(p-c). 2 2 4b c ? ? 16
这里 p ?

a?b?c . 2

所以 S△ABC= 二、方法与例题 1.面积法。

p( p ? a)( p ? b)( p ? c).

例 1 (共线关系的张角公式)如图所示,从 O 点发出的三条射线满足 ?POQ ? ? , ?QOR ? ? , 另外 OP,OQ,OR 的长分别为 u, w, v,这里 α ,β ,α +β ∈(0,),则 P,Q,R 的共线的充要条件是

sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? ? . u v w

2.正弦定理的应用。 例 2 △ABC 内有一点 P,使得 BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。 求证:AP·BC=BP·CA=CP·AB。

例 3 △ABC 的各边分别与两圆⊙O1,⊙O2 相切,直线 GF 与 DE 交于 P,求证:PABC。

3.一个常用的代换:在△ABC 中,记点 A,B,C 到内切圆的切线长分别为 x, y, z,则 a=y+z, b=z+x, c=x+y. 2 2 2 例 4 在△ABC 中,求证:a (b+c-a)+b (c+a-b)+c (a+b-c) ≤3abc. 4.三角换元。
+ 例 5 设 a, b, c∈R ,且 abc+a+c=b,试求 P ?

2 2 3 ? 2 ? 2 的最大值。 a ?1 b ?1 c ?1
2

例 6 在△ABC 中,若 a+b+c=1,求证: a +b +c +4abc< .
2 2 2

1 2

三、基础训练题 1.在△ABC 中,边 AB 为最长边,且 sinAsinB=

2? 3 ,则 cosAcosB 的最大值为__________. 4

2.在△ABC 中,若 AB=1,BC=2,则 ?C 的取值范围是__________. 3.在△ABC 中,a=4, b+c=5, tanC+tanB+ 3 ?

3 tanCtanB,则△ABC 的面积为__________.

4.在△ABC 中,3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1,则 ?C =__________. 5.在△ABC 中, “a>b”是“sinA>sinB”的__________条件. 6.在△ABC 中,sinA+cosA>0, tanA-sinA<0,则角 A 的取值范围是__________.

3 5 ,cosB= ,则 cosC=__________. 5 13 A C 1 ? ”的__________条件. 8.在△ABC 中, “三边 a, b, c 成等差数列”是“tan ? tan 2 2 3
7.在△ABC 中,sinA= 9.在△ABC 中,若 sinC=2cosAsinB,则三角形形状是__________. 10.在△ABC 中,tanA·tanB>1,则△ABC 为__________角三角形. 0 11.三角形有一个角是 60 ,夹这个角的两边之比是 8:5,内切圆的面积是 12,求这个三角形的面 积。 12.已知锐角△ABC 的外心为 D,过 A,B,D 三点作圆,分别与 AC,BC 相交于 M,N 两点。求证:△MNC 的外接圆半径等于△ABD 的外接圆半径。 13.已知△ABC 中,sinC= 四、高考水平训练题 1.在△ABC 中,若 tanA=

sin A ? sin B ,试判断其形状。 cos A ? cos B
1 1 , tanB= ,且最长边长为 1,则最短边长为__________. 2 3

2.已知 n∈N+,则以 3,5,n 为三边长的钝角三角形有________个. + 2 2 2 3.已知 p, q∈R , p+q=1,比较大小:psin A+qsin B__________pqsin C. 4.在△ABC 中,若 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC,则△ABC 为__________角三角形. 5.若 A 为△ABC 的内角,比较大小: cot

A ? cot A __________3. 8

6.若△ABC 满足 acosA=bcosB,则△ABC 的形状为__________. 7.满足 A=60 ,a= 6 , b=4 的三角形有__________个.
0

8. 设 ? 为三角形最小内角, 且 acos

2

? 2? 2? 2? +sin -cos -asin =a+1, 则 a 的取值范围是__________. 2 2 2 2
0

9. A, B, C 是一段笔直公路上的三点, 分别在塔 D 的西南方向, 正西方向, 西偏北 30 方向, 且 AB=BC=1km, 求塔与公路 AC 段的最近距离。 10.求方程 x y ? 1 ? y x ? 1 ? xy 的实数解。 11.求证:

1 7 ? sin 20 0 ? . 3 20

五、联赛一试水平训练题 2 1.在△ABC 中,b =ac,则 sinB+cosB 的取值范围是____________.

sin B cos A ? 2 cos C ? ,则△ABC 的形状为____________. sin C cos A ? 2 cos B A B C 3. 对任意的△ABC,T ? cot ? cot ? cot -(cotA+cotB+cotC), 则 T 的最大值为____________. 2 2 2 A 4.在△ABC 中, sin sin B sin C 的最大值为____________. 2
2.在△ABC 中,若 5.平面上有四个点 A,B,C,D,其中 A,B 为定点,|AB|= 3 ,C,D 为动点,且|AD|=|DC|=|BC|=1。 记 S△ABD=S,S△BCD=T,则 S +T 的取值范围是____________. 6 . 在 △ABC 中 , AC=BC , ?ACB ? 80 , O 为 △ABC 的 一 点 , ?OAB ? 10 , ABO=30 , 则
0 0
0 2 2

ACO=____________. 7 .在△ABC 中, A≥B≥C≥ __________. 8.在△ABC 中,若 c-a 等于 AC 边上的高 h,则 sin

? A B C ,则乘积 cos sin cos 的最大值为 ____________ ,最小值为 2 2 2 6
C?A A?C ? cos =____________. 2 2

9.如图所示,M,N 分别是△ABC 外接圆的弧 AB ,AC 中点,P 为 BC 上的动点,PM 交 AB 于 Q,PN 交 AC 于 R,△ABC 的内心为 I,求证:Q,I,R 三点共线。 10. 如图所示, P, Q, R 分别是△ABC 的边 BC, CA, AB 上一点, 且 AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。 求证: AB+BC+CA≤2 (PQ+QR+RP) 。 11. 在△ABC 外作三个等腰三角形△BFC, △ADC, △AEB, 使 BF=FC, CD=DA, AE=EB,ADC=2BAC,AEB=2ABC, BFC=2ACB,并且 AF,BD,CE 交于一点,试判断△ABC 的形状。 【教师节回馈】高考数学:7《解三角形》答案 1.已知等腰△ABC,AB=AC,一半圆以 BC 的中点为圆心,且与两腰 AB 和 AC 分别相切于点 D 和 G,EF 与半圆相切, 交 AB 于点 E, 交 AC 于点 F, 过 E 作 AB 的垂线, 过 F 作 AC 的垂线, 两垂线相交于 P, 作 PQBC, Q 为垂足。求证: PQ ?

EF ,此处 ? =B。 2 sin ?

2.设四边形 ABCD 的对角线交于点 O,点 M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点,点 H1,H2(不重合)分别是 △AOB 与△COD 的垂心,求证:H1H2MN。 3. 已知△ABC, 其中 BC 上有一点 M, 且△ABM 与△ACM 的内切圆大小相等, 求证:AM ? 此处 P ?

P( P ? a) ,

1 (a+b+c), a, b, c 分别为△ABC 对应三边之长。 2
0

4.已知凸五边形 ABCDE,其中 ABC=AED=90 , BAC=EAD,BD 与 CE 交于点 O,求证:AOBE。 5.已知等腰梯形 ABCD,G 是对角线 BD 与 AC 的交点,过点 G 作 EF 与上、下底平行,点 E 和 F 分别 0 在 AB 和 CD 上,求证: AFB=90 的充要条件是 AD+BC=CD。 6.AP,AQ,AR,AS 是同一个圆中的四条弦,已知 PAQ=QAR=RAS,求证:AR(AP+AR)=AQ(AQ+AS) 。 2 2 2 2 2 7.已知一凸四边形的边长依次为 a, b, c, d,外接圆半径为 R,如果 a +b +c +d =8R ,试问对此四 边形有何要求? 8.设四边形 ABCD 内接于圆,BA 和 CD 延长后交于点 R,AD 和 BC 延长后交于点 P, A, B, C 指的 都是△ABC 的内角,求证:若 AC 与 BD 交于点 Q,则

cos A cos C cos B ? ? . AP CR BQ

9.设 P 是△ABC 内一点,点 P 至 BC,CA,AB 的垂线分别为 PD,PE,PF(D,E,F 是垂足) ,求证: PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD),并讨论等号成立之条件。


江西省渝水一中高中数学必修5 第二章《解三角形》单元卷(北师大版)

江西省渝水一中高中数学必修5 第《解三角形》单元卷(北师大版) 隐藏>> ...//www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 21 2 C 新疆 ...

高考数学二十一---解三角形常见题型

高考数学二十一---解三角形常见题型正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角...又 sin B ? , 3 3 6 王新敞奎屯 新疆 2 ? 故 sin A 2 21 3 , ...

高二数学必修5月考试卷《解三角形》与《数列》

高二数学必修5月考试卷《解三角形》与《数列》_数学_高中教育_教育专区。高二数学...则 2 a2007 + a2008 的值是( A 18 B 19 ) C 20 D 21 12.已知数列...

必修5《解三角形》综合测试题及解析

必修5《解三角形》综合测试题及解析_数学_高中教育...___. o 2 解析:由余弦定理得 b ? a ? c ?...4 ? 5 ? ? 21 ,故 c ? 21 ; 2 2 1 1 ...

《解三角形与等差数列》2011-2012学年江苏省泰州市兴化市周庄高中高一(下)周末素质训练

(在△ a=xcm, b=2cm, B=45°, 若用正弦定理解此三角形时有两个解, x...∴n=﹣21+(n﹣1)×4=4n﹣25, a 由 an=4n﹣25=263,解得 n=72. 故...

高二数学必修5月考试卷《解三角形》与《数列》含答案

高二数学必修5月考试卷《解三角形》与《数列》含答案_高二数学_数学_高中教育_...a 2 ? a3 ? ? ? a n 的值。 21.如图,甲船以每小时 30 2 海里的...

《新学案》2015年春高中数学苏教版必修5名师导学:第一章 解三角形(含解析)

[规范板书] 解 21*cnjy*com (1) ∵ a<b,∴.... 2. 根据下列条件解三角形: (1) a=2,b=2 ...(余)弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解...

2013高考总复习江苏理科专用:第四篇 三角函数、解三角形《第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质》

解三角形《第20讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质》_数学_高中教育_教育...(1)求 f(x)的解析式; ?21 23? (2)在闭区间? 4 , 4 ?上是否存在 f...

2011年高考数学二轮复习精品学案:专题2:三角函数、三角变换、解三角形、平面向量-阶段质量评估(二)

2011年高考数学二轮复习精品学案:专题2:三角函数、三角变换、解三角形、平面向量...x ? cos( ? ? x)(? ? 0) 2 21.已知函数 ,且函数 y ? f ( x) ...

令人费解 | 费解的意思 | 索玛依然费解 | 一费解5费苍蝇海 | 费解对于理解相当于 | 费解的开关 | 费解 理解 | 令人费解的 英文 |