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【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 大题规范天天练 第三周 解析几何


星期三

(解析几何)

2016 年____月____日 解析几何知识(命题意图:考查直线与椭圆的位置关系,椭圆方程的求解以及等腰直角三角 形等条件的转化.) 已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的两焦点分别为 F1,F2,点 D 为椭圆 E 上任意一点,△DF1F2 面积最大值为 1,椭圆 E 的离心率为 (1)求椭圆 E 的方程; (2)已知过点(1,0)的直线 l 与椭圆 E 相交于 A、B 两点,试问:在直线 x=2 上是否存在点 2 . 2

x2 y2 a b

P,使得△PAB 是以点 P 为直角的等腰直角三角形?若存在,求出点 P 的坐标及直线 l 的方
程;若不存在,请说明理由. 解 (1)设 D 点坐标为(xD,yD), 因为|yD|≤b, 1 所以 S△DF F = ×2c×|yD|≤bc=1. 1 2 2 又 e= =

c a

2 , 2

∴a= 2,b=1, ∴椭圆方程为 +y =1. 2 (2)当直线 l 的斜率为 0 时,不存在符合题意的点 P; 当直线 l 的斜率不为 0 时, 设直线 l 的方程为 x=1+my, 代入 +y =1, 2 整理得(m +2)y +2my-1=0. 假设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2= -2m , m2+2
2 2

x2

2

x2

2

y1y2=- 2 . m +2
假设存在符合题意的点 P(xP,yP), 则|AB|= (x1-x2) +(y1-y2)
2 2

1

1

= (m +1)(y2-y1)
2 2

2

2

= m +1 (y1+y2) -4y1y2 2 2 m +1 2 2(m +1) 2 = m +1· = . m2+2 m2+2 设线段 AB 的中点 M(x0,y0), 则 y0=
2 2

y1+y2
2

=-

m , m2+2
2

所以 x0=1+my0=

m2+2

.

1 由题意知 AB⊥PM,且|PM|= |AB|. 2 由 AB⊥PM 得 kAB·kPM=-1, 1 y0-yP 即 · =-1, m x0-xP 所以 y0-yP=-m(x0-xP). 又 xP=2, 所以|PM|= (x0-xP) +(y0-yP) = 1+m ·?2-
2 2 2

? ?

2 ? m +2? ?
2

2(m +1) 2 = 1+m · , m2+2 1 由|PM|= |AB|, 2 2(m +1) 1 2 2(m +1) 2 得 1+m · = × , m2+2 2 m2+2 整理得 1+m =
2 2 2

2

2 ,方程无解. 2

故在直线 x=2 上不存在点 P,使得△PAB 是以点 P 为直角的等腰直角三角形.

2


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