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全国新课标卷文理科数学2012-2015试题分类汇编22-4-1,4-4,4-5(选一考)


22-4-1,4-4,4-5(选一考)(文理科的题目是相同的)
1. (2012 新课标文科 22) (本小题满分 10 分)选修 4-1: 几何选讲 如图,D,E 分别是△ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ABC 的外接圆与 F,G 两点,若 CF∥AB,证明: (Ⅰ) CD=BC; (Ⅱ)△BCD∽△GBD. 【命题意图】本题主要考查线线平行判定、三角

形相似的判 定等基础知识,是简单题. 【解析】(Ⅰ) ∵D,E 分别为 AB,AC 的中点,∴DE∥BC, ∵CF∥AB, ∴BCFD 是平行四边形, ∴CF=BD=AD, 连结 AF,∴ADCF 是平行四边形, ∴CD=AF, ∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC; (Ⅱ) ∵FG∥BC,∴GB=CF, 由(Ⅰ)可知 BD=CF,∴GB=BD, ∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD. 2. (2012 新课标文科 23) (本小题满分 10 分)选修 4-4: 坐标系与参数方程

? x ? 2cos ? ( ? 是参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正 ? y ? 3sin ? 半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 :的极坐标方程是 ? =2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上, ? 且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, ). 3
已知曲线 C1 的参数方程是 ? (Ⅰ)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求 | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD | 的取值范围.
2 2 2 2

【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标,是容易题型. 【解析】(Ⅰ)由已知可得 A(2 cos

? ? ? ? ? , 2sin ) , B(2 cos( ? ), 2sin( ? )) , 3 3 3 2 3 2 ? ? ? 3? ? 3? C (2 cos( ? ? ), 2sin( ? ? )) , D(2 cos( ? ), 2sin( ? )) , 3 3 3 2 3 2 即 A(1, 3 ),B(- 3 ,1) ,C(―1,― 3 ) ,D( 3 ,-1) , 2 2 2 2 (Ⅱ)设 P(2cos ? ,3sin ? ) ,令 S = | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD | , 2 2 2 则 S = 16cos ? ? 36sin ? ? 16 = 32 ? 20sin ? ,
∵ 0 ? sin
2

?

? ? 1 ,∴ S 的取值范围是[32,52].

3. (2012 新课标文科 24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) = | x ? a | ? | x ? 2 | . (Ⅰ)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x ) ≥3 的解集; (Ⅱ) 若 f ( x ) ≤ | x ? 4 | 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围. 【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式的解法,是简单题.

? ?2 x ? 5, x ? 2 ? 2 ? x ? 3, 【解析】(Ⅰ)当 a ? ?3 时, f ( x ) = ?1, ? 2 x ? 5, x ? 3 ?
当 x ≤2 时,由 f ( x ) ≥3 得 ?2 x ? 5 ? 3 ,解得 x ≤1; 当 2< x <3 时, f ( x ) ≥3,无解; 当 x ≥3 时,由 f ( x ) ≥3 得 2 x ? 5 ≥3,解得 x ≥8, ∴ f ( x ) ≥3 的解集为{ x | x ≤1 或 x ≥8}; (Ⅱ) f ( x ) ≤ | x ? 4 | ? | x ? 4 | ? | x ? 2 |?| x ? a | , 当 x ∈[1,2]时, | x ? a |?| x ? 4 | ? | x ? 2 | = 4 ? x ? x ? 2 =2, ∴ ?2 ? a ? x ? 2 ? a ,有条件得 ?2 ? a ? 1 且 2 ? a ? 2 ,即 ?3 ? a ? 0 , 故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0].

4. (2013 新课标Ⅰ卷文科 22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B ,点 C 在圆上, ?ABC 的角平分线 BE 交圆于 点 E , DB 垂直 BE 交圆于点 D 。 (Ⅰ)证明: DB ? DC ; (Ⅱ)设圆的半径为 1 , BC ? 外接圆的半径。 4.解: (1)连接 DE,交 BC 为 G,由弦切角定理得, ?ABE ? ?BCE , 而 ?ABE ? ?CBE, 故?CBE ? ?BCE, BE ? CE . 又因为 DB ? BE ,所以 DE 为直径,

3 ,延长 CE 交 AB 于点 F ,求 ?BCF

? DCE=90°,由勾股定理可得 DB=DC.

D E ? ? B D E (II)由(1) , ?C

, DB ? DC ,故 DG 是 BC 的中垂线,所以 BG ?

3 , 2

0 0 圆心为 O, 连接 BO, 则 ?BOG ? 60 ,?ABE ? ?BCE ? ?CBE ? 30 , 所以 CF ? BF ,

故外接圆半径为

3 . 2

5. (2013 新课标Ⅰ卷文科 23) (本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正 ? y ? 5 ? 5sin t

半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? 。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ) 。 5.解: (1)将 ?
2 2

? x ? 4 ? 5cos t ,消去参数 t,化学普通方程 ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 25 , ? y ? 5 ? 5sin t

即 C1: x ? y ? 8x ?10 y ? 16 ? 0 , 将?

? x ? p cos? , 代入x2 ? y 2 ? 8x ? 10 y ? 16 ? 0得 ? y ? p sin ?

? 2 ? 8? cos? ?10? sin ? ?16 ? 0 ;
所以 C1 极坐标方程为

? 2 ? 8? cos? ?10? sin ? ?16 ? 0 。
(2) C2 的普通方程为 x ? y ? 2 y ? 0 ,
2 2
2 2 ? ? x =1, ? x =0, ? x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0, 解得 或? ? 2 ? 2 ? ? y=2, ? y=2. ?x ? y ? 2 y ? 0

所以 C1与C2 交点的极坐标为 ( 2,

?

), (2, ) . 4 2

?

6. (2013 新课标Ⅰ卷文科 24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) ? x ? 3 。 (Ⅰ)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a ? ?1 ,且当 x ? [?

a 1 , ) 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围。 2 2

6.解: (I)当 a ? ?2时,不等式f ( x) <g(x)化为 2x ?1 ? 2 x ? 2 ? x ? 3 <0. 设函数 y= 2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3 ,则

1 ? ? ?5 x , x ? 2 ? 1 ? y ? ? x ? 2, ? x ? 1, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1. ? ?
其图像如图所示

从图像可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时,y<0,所以原不等式的解集是 x 0 ? x ? 2 (II)当 x ? ? ?

?

?;

? a 1 , ? 2 2

? , f ( x) ? 1 ? a.

不等式 f ( x ) ≤g(x)化为 1+a≤x+3.

所以 x≥a-2 对 x ? ? ?

a 4 ? a 1? , ? 都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ? , 2 3 ? 2 2?

从而 a 的取值范围是 ? ?1, ? . 3

? ?

4? ?

7. (2013 新课标卷Ⅱ文科 22) (本小题满分 10 分)选修 4—1 几何证明选讲:如图, CD 为 △ ABC 外接圆的切线, AB 的延长线交直线 CD 于点 D ,E , F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的 点,且 BC ? AE ? DC ? AF , B, E , F , C 四点共圆. (Ⅰ)证明: CA 是△ ABC 外接圆的直径; (Ⅱ)若 DB ? BE ? EA ,求过 B, E , F , C 四点的圆的面积与△ ABC 外接圆面积的比 值.

C
F

D

B

E

A

8. (2013 新课标卷Ⅱ文科 23) (本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已 知 动 点 P, Q 都 在 曲 线 C : ?

? x ? 2cos ? (? 为 参 数 ) 上 , 对 应 参 数 分 别 为 ? ? ? 与 ? y ? 2sin ?

? ? 2? (0 ? ? ? 2? ) , M 为 PQ 的中点.
(Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

9. (2013 新课标卷Ⅱ文科 24) (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明: (Ⅰ) ab ? bc ? ca ?

1 ; 3

(Ⅱ)

a 2 b2 c2 ? ? ? 1. b c a

10.(2014 新课标卷Ⅰ文科 22) (本小题满分 10 分)选修 4-1, 几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是 O 的内接四边形, AB 的延长 线与 DC 的延长线交于点 E ,且 CB ? CE . (I)证明: ?D ? ?E ;

B ? M C (II) 设 AD 不是 O 的直径,AD 的中点为 M , 且M
证明: ?ABC 为等边三角形. 【解析】 :.(Ⅰ) 由题设知得 A、B、C、D 四点共圆,所以



? D= ? CBE,由已知得, ? CBE= ? E ,
所以 ? D= ? ……………5 分 知 MN⊥ 所
N

(Ⅱ) 设 BCN 中点为, 连接 MN,则由 MB=

以 O 在 MN 上,又 AD 不是 O 的直径,M 为 AD 中点,故 OM ⊥AD, 即 MN⊥AD,所以 AD//BC,故 ? A= ? CBE, 又 ? CBE= ? E,故 ? A= ? (1)知 ? D= ? E, 所以△ADE 为等边三角形. ……………10 分 由(Ⅰ)

11.(2014 新课标卷Ⅰ文科 23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数) 4 9 y ? 2 ? 2 t ?

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最 小值.

【解析】 :.(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为: ? 直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0

? x ? 2cos ? ? y ? 3sin ?

( ? 为参数) ,

………5 分

(Ⅱ) (2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为

d?

5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 , 5 d 2 5 ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 0 sin 30 5
,其中 ? 为锐角.且 tan ? ?

则 | PA |?

4 . 3

当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为

22 5 ; 5
…………10 分

当 sin ?? ? ? ? ? 1 时, | PA | 取得最小值,最小值为

2 5 . 5

12.(2014 新课标卷Ⅰ文科 24) (本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0, 且
3 3

1 1 ? ? ab a b

(I)求 a ? b 的最小值; (II)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由. 【解析】 :(Ⅰ) 由 ab ?

1 1 2 ? ? ,得 ab ? 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, a b ab

故 a3 ? b3 ? 3 a3 b3 ? 4 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, ∴ a ? b 的最小值为 4 2 .
3 3

………5 分

(Ⅱ)由 6 ? 2a ? 3b ? 2 6 ab ,得 ab ? 所以不存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 成立.

3 ,又由(Ⅰ)知 ab ? 2 ,二者矛盾, 2
……………10 分

13.(2014 新课标卷Ⅱ文科 22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, P 是⊙ O 外一点, PA 是切线, A 为切点,割线 PBC 与⊙ O 相 交于 B, C , PC ? 2 PA , D 为 PC 的中点, AD 的延长线交⊙ O 于 点 E .证明: (1) BE ? EC ;

(2) AD ? DE

? 2 PB 2

(13)解: (I) 连结 AB,AC.由题设知 PA=PD,故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA ∠PAD=∠BAD+∠PAB ∠DCA=∠PAB, 所以∠DAC=∠BAD,从而 BE ? EC 。 因此 BE=EC.

(Ⅱ)由切割线定理得 PA2 ? PB ? PC 。 因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB。 由相交弦定理得 AD ? DE ? BD ? DC , 所以 AD ? DE ? 2PB 2 .
14.(2014 新课标卷Ⅱ文科 23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的 极坐标方程为 ? ? 2 cos ? , ? ? [0, (1)求 C 得参数方程; (2)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(1)中你得到 的参数方程,确定 D 的坐标.

?
2

].

(14)解: (I)C 的普通方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1(0 ? y ? 1) .

可得 C 的参数方程为

? x ? 1 ? cos t , (t 为参数, 0 ? t ? x ) ? ? y ? sin t ,

(Ⅱ)设 D (1 ? cos t ,sin t ) .由(I)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的 上半圆。 因为 C 在点 D 处的切线与 t 垂直,所以直线 GD 与 t 的斜率相同, ? tan t? 3 t? , . 3 故 D 的直角坐标为 (1 ? cos

?

? 3 3 ,sin ) ,即 ( , ) 。 3 3 2 2

15.(2014 新课标卷Ⅱ文科 24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ?

1 | ? | x ? a | ( a ? 0) a

(1)证明: f ( x) ? 2 ; (2)若 f (3) ? 5 ,求 a 的取值范围.

(15)解: (I)由 a
0 ,有 f ( x) ? x ?

1 1 1 ? x ? a ? x ? ? ( x ? a) ? ? a ? 2 . a a a

所以 f ( x) ≥2.

(Ⅱ) f (3) ? 3 ?

1 ? 3? a . a
1 5 ? 21 ,由 f (3) <5 得 3<a< 。 a 2

当时 a>3 时, f (3) = a ?

1 1? 5 当 0<a≤3 时, f (3) = 6 ? a ? ,由 f (3) <5 得 <a≤3. a 2

综上,a 的取值范围是(

1? 5 5 ? 21 , ). 2 2

16.(2015 新课标 1 卷理科 22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:计分证明选讲 如图,AB 是 O 的直径,AC 是 O 的切线,BC 交 O 于点 E. (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是 O 的切线; (Ⅱ)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的大小. (16)解: (I)链接 AE,由已知得, AE ? BC AC ? AB 在 Rt ?AEC 中,由已知得,DE=DC 故 ?DEC ? ?DCE 链接 OE,则 ? OBE= ? OEB 又 ? ACB+ ? ABC=90°所以 ? DEC+ ? OEB=90°
o 故 ?OED ? 90 ,DE 是 O 得切线

(II)设 CE=1,AE=X,由已知得 AB ? 2 3 , BE ? 12 ? x2 由摄影定理可得,AE=CE.BE,所以 x2 ? 12 ? x2 即 x ? x ? 12 ? 0
4 2

可得 x ? 3 ,所以 ?ACB ? 60

o

17.(2015 新课标 1 卷理科 23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2, 圆 C2 ( : x ?1 )+(y ? 2) ? 1, 以坐标原点为极点,x
2 2

轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C1,C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 C3 的极坐标方程为 ? = (? ? R) ,设 C2 与 C3 的交点为 M,N, 求 ?C2M N 的面

?

4

积。 (17)解:

(I)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,所以 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 ,C2 的极 坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 。 ( II )将 ? ? ……5 分

?
4

代入 ? 2 ? 2 ? cos? ? 4? sin? ? 4? 0,得 ? 2 ? 3 2? ? 4 ? 0 ,解得

?1 ? 2 2 , ?2 ? 2 。故 ?1 ? ?2 ? 2 ,即 MN ? 2 。
由于 C2 的半径为 1,所以 ?C2 MN 的面积为

1 。 2

……10 分

18.(2015 新课标 1 卷理科 24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? 0 . (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (2)若 f ( x ) 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围。 (18)解: (I)当 a ? 1 时, f ? x ? ? 1 化为 x ? 1 ? 2 x ?1 ?1 ? 0 , 当 x ? ?1 时,不等式化为 x ? 4 ? 0 ,无解;

2 ? x ? 1; 3 当 x ? 1 时,不等式化为 ? x ? 2 ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 。
当 ?1 ? x ? 1 时,不等式化为 3 x ? 2 ? 0 ,解得 所以 f ? x ? ? 1 的解集为 ? x

? 2 ? ? x ? 2? 。 ? 3 ?

……5 分

? x ? 1 ? 2a, x ? ?1, ? (II)由题设可得, f ? x ? ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a, ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a, ?
所以函数 f ? x ? 的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A ?

? 2a ? 1 ? ,0? , ? 3 ?

B ? 2a ? 1,0? , C ? a, a ? 1? , ?ABC 的面积为
由题设得

2 2 ? a ? 1? 。 3

2 2 ? a ? 1? ? 6 ,故 a ? 2 。 3
……10 分

所以 a 的取值范围为 ? 2, ???

A

19.(2015 新课标 II 卷文科 22) (本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证 明选择 如图, O 为等腰三角形 ABC 内一点, 圆 O 与 ΔABC 的底边 BC 交于 M, N 两点,与底边上的高 AD 交于 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两 点. (I)证明:EF//BC; (II)若 AG 等于圆 O 的半径,且 AE=MN=2 3 ,求四边形 EBCF 的面积
B M E O

G F

D

N

C

(19)解: (Ⅰ)由于 ABC 是等腰三角形, AD ? BC ,所以 AD 是 ?CAB 的平行线。又因为

O 分别于 AB , AC 相切于点 E , F ,所以 AE ? AF ,故 AD ? EF 从而 EF BC 。
(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 AE ? AF ,AD ? EF , 故 AD 是 EF 的垂直平分线, 又 EF 为 O 的弦,所以 O 在 AD 上。 连接 OE , OM ,则 OE ? AE
0 由 AG 等于 O 的半径得 AO ? 2OE ,所以 ?OAE ? 30 . 因

此 ABC 和 ? AEF 都是等边三角形。 因为 AE ? 2 3 ,所以 AO ? 4 , OE ? 2 。 因为 OM ? OE ? 2 , DM ?

1 MN ? 3 ,所以 OD ? 1 于是 2

AD ? 5, AB ?

10 3 3 1 10 3 2 3 1 3 16 3 ?( ) ? ? ? (2 3)2 ? ? 2 3 2 2 2 3

所以四边形 EBCF 的面积为

20.(2015 新课标 II 卷文科 23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xOy 中,曲线 C1: ?

? x ? t cos ? (t 为参数,t ? 0)其中 0 ? α ? ? .在 ? y ? t sin ?

以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2: p=2 sin ? , C3: p=2 3 cos ? 。 (I)求 C1 与 C3 交点的直角坐标; (II)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.

(20)解: ( Ⅰ ) 曲 线 C2 的 直 角 坐 标 方 程 为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0, 曲 线 C3 的 直 角 坐 标 方 程 为

x2 ? y 2 ? 2 3x ? 0.
? 3 x? , ? ? x ? y ? 2 y ? 0, ? x ? 0, ? ? 2 联立 ? 解得 ? 或? 2 2 ? y ? 0, ? ? y ? 3, ? x ? y ? 2 3x ? 0. ? 2 ?
2 2

所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和 ?

? 3 3? ? 2 ,2? ?. ? ?

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为
因此 A 的极坐标为

? ? a ? ? ? R, ? ? 0? , 其中 0 ? a ? ?.
3 cos a, a . 所以

? 2sin a, a? , B 的极坐标为 ? 2

?

5? ?? ? 时, AB 取得最大值,最大值为 4. AB ? 2sin a ? 2 3 cos a ? 4 sin ? a ? ? . 当 a ? 6 3? ?

21、 (2015 新课标 II 卷文科 24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d. 证明: (I)若 ab>cd,则 a ? b > c ? d ; (II) a ? b > c ? d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.
(21)解: (Ⅰ)因为

?

a? b

?

2

? a ? b ? 2 ab ,

由题设 a ? b ? c ? d , ab ? cd 得 因此 a ? b ? c ? d 。

?

a?

? c ? d ? ?c?d ?2 b? ? ? c ? d ? 。
2 2 2

cd ,

(Ⅱ) (i)若 a ? b ? c ? d , 则 ? a ? b ? ? ? c ? d ? ,即
2 2

?a ? b?

2

? 4ab ? (c ? d ) 2 ? 4cd .

因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd 由(Ⅰ)得 a ? b ? c ? d (ii)若 a ? b ? c ? d ,则

?

a? b

? ??
2

c? d

? ,即
2

a ? b ? 2 ab ? c ? d ? 2 cd
因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd .于是

?a ? b?

2

? (a ? b ) 2 ? 4ab ? ?c ? d ? ? 4cd ? ?c ? d ?
2

2

因此 a ? b ? c ? d . 综上, a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件


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