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河南省郑州市2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题新人教A版


2013-2014 学年上期期末考试高一数学试题卷
注意事项: 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。考试时间 120 分钟,满分 150 分。考生应先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效, 交卷时只交答题卡。 参考公式: V球 ?

4 3 ?R , S球 ? 4?R 2 , 其中 R 为球的半径。

3 1 V锥体 ? Sh ,其中 S 为锥体的底面积,h 是锥体的高。 3

V柱体 ? Sh ,其中 S 为柱体的底面积,h 是锥体的高。
第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题所给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 若集合 A ? x ? 2 ? x ? 1 , B ? x 0 ? x ? 2 ,则 A ? B = A. C.

?

?

?

?

?x ? 2 ? x ? 2? ?x 0 ? x ? 1?
B. y ? log2 x

B. D.

?x ? 2 ? x ? 0? ?x1 ? x ? 2?
3

2. 下列函数中,在 R 上单调递增的是 A. y ? x C. y ? x

?1? D. y ? ? ? ?2?

x

3. 经过点 M ?- 2,m?, N ?m,4? 的直线的斜率等于 1,则 m 的值为 A. 1 B. 4 C. 1 或 3 4. 如果直线 m //直线 n ,且 m //平面 ? ,那么 n 与 ? 的位置关系是 A. 相交 B. n // ? C. n ? ? 5. 设 a ? 2
?3

D. 1 或 4 D. n // ? 或 n ? ?

, b ? log 3

7 ?2? , c ? ? ? ,则 81 ?3?
C. b ? a ? c D. b ? c ? a

?1

A. a ? b ? c

B. a ? b ? c

6. 如图是一个简单的组合体的直观 图与三视图,一个棱长为 4 的正方 体,正上面中心放一个球,且球的一

1

部分嵌入正方体中,则球的半径是

1 2 3 C. 2
A.

B. 1 D. 2

7. 若直线 ?a ? 2?x ? ?1 ? a?y ? a 2 ?a ? 0? 与直线 ?a -1?x ? ?2a ? 3?y ? 2 ? 0 互相垂直,则 a 等于 A. 1 B. -1 C.±1 D. -2

8. M ?x0 , y0 ? 为圆 x 2 ? y 2 ? a 2 ?a ? 0? 内异于圆心的一点,则直线 x0 x ? y0 y ? a 2 与该圆的 位置关系为 A. 相切 B. 相交 C. 相离 D.相切或相交

9. 直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A、B 两点,则 AB 的最小值是 A. 2 3 10. 已知 3 ? 5 ? A ,且
a b

B. 2 2

C.2

D. 1

1 1 ? ? 2 ,则 A 的值是 a b
B. 15 C. ± 15 D.225

A.15

11. 如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1 D1 上 有两个动点 E,、F,且 EF ? A. AC ? BE B. EF//平面ABCD C. 三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 D. ?AEF 的面积与 ?BEF 的面积相等 12. 已知 f ?x ? ? ? 值范围是 A. ? ,3 ? ?2 ?

1 ,则下列结论中错误的是 2

??3 ? a ?x ? a , x ? 1 , 是 R 上的增函数, 那么 a 的取 ?loga x , x ? 1

?3 ?

B. ?1,3?

1? C. ?0,

? ?? D. ?1,

第 II 卷 (非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

2

13. 棱长为 2 的正方体的外接球的表面积为 14. 已知函数 f ?x ? ? ?

. .
2

?- log3 x , x ? 0
x ?2 , x ? 0

,则 f ?3? ? f ?? 1?=

2 2 B ? ?x , y ??x ? 3? ? ? y ? 4? ? r 2 , 15. 集合 A ? ? x , y ? x ? y ? 4 , 其中 r ? 0 ,若 A ? B

?

?

?

2

?

中有且仅有一个元素,则 r 的值是



16. 一条直线经过点 A?? 2, 2? ,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1,则此直线的方程 为 .

三.解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤) 17. (本小题满分10分) 如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了并流入 杯中, 会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由。 (冰、 水的体积差异忽略不计) ?? ? 3。 14?

18. (本小题满分12分) 某商场经营一批进价是 30 元/件的商品,在市场试销中发现,此商品销售 价 x 元与日销售量 y 件之间有如下关系: x y 45 27 50 12

(I)确定 x 与 y 的一个一次函数关系式 y ? f ?x ? ; ( II )若日销售利润为 P 元,根据(I)中关系写出 P 关于 x 的函数关系,并指出当销售 单价为多少元时,才能获得最大的日销售利润?

19. (本小题满分12分) 已知直线 l 经过点 P?? 2,5? ,且斜率为 -

3 . 4
3

(I)求直线 l 的方程; ( II )若直线 m 与 l 平行,且点 P 到直线 m 的距离为 3,求直线 m 的方程.

20. (本小题满分12分) 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,截下一个棱锥 C ? A1DD1 ,求棱锥 C ? A1DD1 的体 积与剩余部分的体积之比.

21. (本小题满分12分) 已知圆 C 和 y 轴相切,圆心 C 在直线 x ? 3 y ? 0 上,且被直 线 y ? x 截得的弦长为 2 7 ,求圆 C 的方程.

22. (本小题满分12分)

? 1 ?1 ? , x ? 0 已知 a ? R ,函数 f ?x ? ? ? x . ? ??a ? 1?x ? 1, x ? 0
(I)证明:函数 f ?x ? 在 ?0, ? ?? 上单调递增; ( II )求函数 f ?x ? 的零点.

2013—2014 学年上期期末考试 高中一年级 数学 参考答案
4

18. 解: (1)因为 f(x)为一次函数,设 y=ax+b,解方程组

?45a ? b ? 27, ? ?50a ? b ? 12,

…………2 分

得 a=-3,b=162, …………4 分 故 y=162-3x 为所求的函数关系式, 又∵y≥0,∴0≤x≤54. …………6 分 (2)依题意得: P=(x-30)·y=(x-30)·(162-3x) …………8 分 2 =-3(x-42) +432. …………10 分 当 x=42 时,P 最大=432, 即销售单价为 42 元/件时,获得最大日销售利润. …………12 分

19. 解:(1)由直线 方程的点斜式,得

y-5= ?

3 (x+2), 4

…………2 分

整理得所求直线方程为 3x+4y-14=0. …………4 分

5

(2)由直线 m 与直线 l 平行,可设直线 m 的方程为 3x+4y+C=0,…………6 分 由点到直线的距离公式得
| 3 ? (?2) ? 4 ? 5 ? C| , ?3 32 ? 42
14 ? C| , 即| ?3 5

…………8 分

解得 C=1 或 C= - 29, 故所求直线方程为 3x+4y+1=0 或 3x+4y-29=0.

…………10 分 …………12 分

20.解: 已知长方体是直四棱柱, 设它的底面 ADD1A1 的面积为 S,高为 h,…………2 分 则它的体积为 V=Sh. …………4 分 而棱锥 C-A1DD1 的底面积为 故三棱锥 C-A1DD1 的体积:

1 S,高为 h, 2

…………6 分

1 1 1 VC?A1DD1 ? ? Sh ? Sh, 3 2 6 1 5 余下部分体积为: Sh ? Sh ? Sh. 6 6

…………8 分 …………10 分

所以棱锥 C-A1DD1 的体积与剩余部分的体积之比为 1∶5.…………12 分 21.解:设圆心坐标为(3m,m). ∵圆 C 和 y 轴相切,得圆的半径为 3|m|, ∴圆心到直线 y=x 的距离为 …………2 分 …………4 分

| 2m | = 2 m .…………6 分 2
2 2

由半径、弦心距、半弦长的关系得 9m =7+2m ,…………8 分 ∴m=±1, …………10 分 ∴所求圆 C 的方程为 2 2 2 2 (x-3) +(y-1) =9 或(x+3) +(y+1) =9. …………12 分

22. (1)证明:在 ? 0, ?? ? 上任取两个实数 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 1 ?

? ?

1? ? 1? 1 1 x ?x ? 1 2 . …………2 分 ? ? ?1 ? ? ? ? x1 ? ? x2 ? x2 x1 x1 x2
6

∵ 0 ? x1 ? x2 , ∴

∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 .

x1 ? x2 ? 0 , 即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 . ∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? . x1 x2

∴ 函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增. …………4 分 (2) (ⅰ)当 x ? 0 时, 令 f ? x ? ? 0 , 即 1 ? ∴ x ? 1 是函数 f ? x ? 的一个零点.

1 ? 0 , 解得 x ? 1 ? 0 . x
…………6 分

(ⅱ)当 x ? 0 时, 令 f ? x ? ? 0 , 即 ? a ? 1? x ? 1 ? 0 .(※) ① 当 a ? 1 时, 由(※)得 x ? ∴x ?

1 ? 0, 1? a

1 是函数 f ? x ? 的一个零点; …………8 分 1? a ② 当 a ? 1 时, 方程(※)无解; 1 ③ 当 a ? 1 时, 由(※)得 x ? ? 0 ,(不合题意,舍去) …………10 分 1? a 1 综上, 当 a ? 1 时, 函数 f ? x ? 的零点是 1 和 ; 1? a 当 a ? 1 时, 函数 f ? x ? 的零点是 1 . …………12 分

7


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