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《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解简单的三角恒等变换(含解析)


《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法

第六节

简单的三角恒等变换

[知识能否忆起] 半角公式(不要求记忆) α α α 1.用 cos α 表示 sin2 ,cos2 ,tan2 . 2 2 2 α 1-cos α α 1+cos α α 1-cos α sin2 = ;cos2 = ;tan2 = . 2 2 2 2 2 1+cos α α α α 2.用 cos α 表示 sin ,cos ,tan . 2 2 2 α sin =± 2 α tan =± 2 1-cos α α ;cos =± 2 2 1-cos α . 1+cos α 1+cos α ; 2

α 3.用 sin α,cos α 表示 tan . 2 1-cos α α sin α tan = = . 2 1+cos α sin α [小题能否全取] 1 α 1.(教材习题改编)已知 cos α= ,α∈(π,2π),则 cos 等于( 3 2 A. C. 6 3 3 3 B.- D.- 6 3 3 3 )

解析:选 B

1 α π ? ,π , ∵cos α= ,α∈(π,2π),∴ ∈? ? 3 2 ?2 1+cos α =- 2 1 1+ 3 6 =- . 2 3

α ∴cos =- 2

π ? 2?π ? ?π? 2.已知函数 f(x)=cos2? ?4+x?-cos ?4-x?,则 f?12?等于( 1 A. 2 1 B.- 2

)

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C.

3 2

D.-

3 2

解析:选 B

π ? π? π 1 2? ?π? f(x)=cos2? ?4+x?-sin ?x+4?=-sin 2x,∴f?12?=-sin6=-2. )

cos 2α+sin 2α+1 1 3.已知 tan α= ,则 等于( 2 cos2α A.3 C.12 B.6 3 D. 2

cos 2α+sin 2α+1 2cos2α+2sin α· cos α 解析:选 A = 2 2 cos α cos α =2+2tan α=3. 4. sin 20° cos 20° =________. cos 50°

1 1 sin 40° sin 40° 2 2 sin 20° cos 20° 1 解析: = = = . cos 50° cos 50° sin 40° 2 1 答案: 2 1+tan α 1 5.若 =2 013,则 +tan 2α=________. cos 2α 1-tan α 解析: 1+sin 2α ?cos α+sin α?2 1 +tan 2α= = cos 2α cos 2α cos2α-sin2α



cos α+sin α 1+tan α = =2 013. cos α-sin α 1-tan α

答案:2 013

三角恒等变换的常见形式 三角恒等变换中常见的三种形式:一是化简;二是求值;三是三角恒等式的证明. (1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及 和、差、倍角公式进行转化求解. (2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值,对条件求值问题要充分利 用条件进行转化求解. (3)三角恒等式的证明,要看左右两侧函数名、角之间的关系,不同名则化同名, 不同角则化同角,利用公式求解变形即可.

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三角函数式的化简

典题导入 1 2cos4x-2cos2x+ 2 [例 1] 化简 . π π -x?sin2? +x? 2tan? ? 4 ? ?4 ? 1 -2sin2xcos2x+ 2 [自主解答] 原式= π ? 2?π ? 2sin? ?4-x?cos ?4-x? π ? cos? ?4-x? 1 1 2 ?1-sin22x? cos 2x 2 2 = = π ? ?π ? π -x cos -x sin? -2x? 2sin? ?4 ? ?4 ? ?2 ? 1 = cos 2x. 2 由题悟法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆 分,从而正确使用公式; (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切 化弦”; (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式 要通分”等.

以题试法

? 1 -tan 1.化简? α tan ? 2

α? α ?1+tan α· 2 ?· tan ?. 2? ?

?

?cos2 sin2 ? ? sin α sin2 ? 解:法一:原式=? α - α?· ?1+cos α· α? cos ? ? sin2 cos2? ? 2

α

α

α

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α α α α cos2 -sin2 cos αcos +sin αsin 2 2 2 2 = · α α α sin · cos cos αcos 2 2 2 α? cos? ?α-2? 2cos α = · sin α α cos αcos 2 α cos 2 2cos α 2 = · = . sin α α sin α cos αcos 2 α α sin αsin 1-tan2 2 2 法二:原式= · 1+ α α cos αcos tan 2 2

? ? ?

? ? ?

α α cos αcos +sin αsin 2 2 2 = · tan α α cos αcos 2 2cos α 2 · = . sin α α sin α cos α· cos 2 三角函数式的求值 α cos 2



典题导入 sin 47° -sin 17° cos 30° [例 2] (1)(2012· 重庆高考) =( cos 17° A.- 1 C. 2 3 2 1 B.- 2 D. 3 . 2 )

3 4 (2)已知 α、β 为锐角,sin α= ,cos(α+β)=- ,则 2α+β=________. 5 5 sin?30° +17° ?-sin17° cos 30° [自主解答] (1)原式= cos 17° = = sin 30° cos 17° +cos 30° sin 17° -sin 17° cos 30° cos 17° sin 30° cos 17° 1 =sin 30° = . cos 17° 2

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π? 3 (2)∵sin α= ,α∈? ?0,2?, 5 4 ∴cos α= , 5 4 ∵cos(α+β)=- ,α+β∈(0,π), 5 3 ∴sin(α+β)= , 5 4 4 3 3 - ?+ × =0. ∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)= ×? 5 ? 5? 5 5 3π? 又 2α+β∈? ?0, 2 ?. ∴2α+β=π. [答案] (1)C (2)π 由题悟法 三角函数求值有三类 (1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观 察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊 角并且消除非特殊角的三角函数而得解. (2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题 关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系. (3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围, 确定角. 以题试法 π? 2.(2012· 广州一测)已知函数 f(x)=tan? ?3x+4?. π? (1)求 f? ?9?的值; 3π? ?α π? ? π? (2)设 α∈? ?π, 2 ?,若 f?3+4?=2,求 cos?α-4?的值. π π tan +tan 3+1 4 π? ?π+π?= 3 解:(1)f? = tan = =-2- 3. ?9? ?3 4? π π 1-tan tan 1- 3 3 4 α π? ? 3π π? (2)因为 f? ?3+4?=tan?α+ 4 +4?=tan(α+π)=tan α=2, sin α 所以 =2,即 sin α=2cos α.① cos α

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又 sin2α+cos2α=1,② 1 由①②解得 cos2α= . 5 3π? 5 2 5 因为 α∈? ?π, 2 ?,所以 cos α=- 5 ,sin α=- 5 . π? π π 5 2 ? 2 5? 2 3 10 所以 cos? ?α-4?=cos αcos4+sin αsin4=- 5 × 2 +?- 5 ?× 2 =- 10 .

三角恒等变换的综合应用

典题导入 7π? ? 3π? [例 3] (2011· 四川高考)已知函数 f(x)=sin? ?x+ 4 ?+cos?x- 4 ?,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期和最小值; 4 4 π (2)已知 cos(β-α)= ,cos(β+α)=- ,0<α<β≤ ,求证:[f(β)]2-2=0. 5 5 2 7π ? ? π π? [自主解答] (1)∵f(x)=sin? ?x+ 4 -2π?+cos?x-4-2? π? ? π? ? π? =sin? ?x-4?+sin?x-4?=2sin?x-4?, ∴T=2π,f(x)的最小值为-2. 4 (2)证明:由已知得 cos βcos α+sin βsin α= , 5 4 cos βcos α-sin βsin α=- . 5 两式相加得 2cos βcos α=0. π π π ∵0<α<β≤ ,∴β= .∴[f(β)]2-2=4sin2 -2=0. 2 2 4

在本例条件不变情况下,求函数 f(x)的零点的集合. π? 解:由(1)知 f(x)=2sin? ?x-4?, π π x- ?=0,∴x- =kπ(k∈Z), ∴sin? 4 ? ? 4 π ∴x=kπ+ (k∈Z). 4

《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法 ? ? π ? 故函数 f(x)的零点的集合为?x? ?x=kπ+4 ,k∈Z . ? ?

由题悟法 三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合, 通过变换把函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式再研究性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思 想解决相关问题. 以题试法 π? 2 3.已知函数 f(x)=2cos xcos? ?x-6?- 3sin x+sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)当 α∈[0,π]时,若 f(α)=1,求 α 的值. π x- ?- 3sin2x+sin xcos x 解:(1)因为 f(x)=2cos xcos? ? 6? = 3cos2 x+sin xcos x- 3sin2x+sin xcos x π? = 3cos 2x+sin 2x=2sin? ?2x+3?, 所以最小正周期 T=π. π 2α+ ?=1, (2)由 f(α)=1,得 2sin? 3? ? π π 7π? , , 又 α∈[0,π],所以 2α+ ∈? 3 ?3 3 ? π 5π π 13π 所以 2α+ = 或 2α+ = , 3 6 3 6 π 11π 故 α= 或 α= . 4 12

1 1.在△ABC 中,tan B=-2,tan C= ,则 A 等于( 3 π A. 4 π C. 3 3π B. 4 π D. 6

)

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解析:选 A

tan A=tan[π-(B+C)] tan B+tan C 1 -2+ 3

=-tan(B+C)=- =- 1 1-tan Btan C 1-?-2?× 3 π =1.故 A= . 4 2. sin?180° +2α? cos2α · 等于( 1+cos 2α cos?90° +α? )

A.-sin α C.sin α D.cos α

B.-cos α

解析:选 D 原式= ?1+cos 2α?· ?-sin α? = 2sin α· cos α· cos2α =cos α. 2 2cos α· sin α

?-sin 2α?· cos2α

3.(2013· 深圳调研)已知直线 l: xtan α-y-3tan β=0 的斜率为 2,在 y 轴上的截距为 1, 则 tan(α+β)=( 7 A.- 3 5 C. 7 ) 7 B. 3 D.1

解析:选 D 依题意得,tan α=2,-3tan β=1, 1 2- 3 tan α+tan β 1 即 tan β=- ,tan(α+β)= = =1. 3 2 1-tan αtan β 1+ 3 π π? 3 7 4.(2012· 山东高考)若 θ∈? ?4,2?,sin 2θ= 8 ,则 sin θ=( 3 A. 5 C. 7 4 4 B. 5 3 D. 4 )

π π? ?π ? 解析:选 D 因为 θ∈? ?4,2?,所以 2θ∈?2,π?, 所以 cos 2θ<0,所以 cos 2θ=- 1 1-sin22θ=- . 8

1 9 又 cos 2θ=1-2sin2θ=- ,所以 sin2θ= , 8 16 3 所以 sin θ= . 4

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π ? tan? cos 2α ?4+α?· 5.(2012· 河北质检)计算 的值为( π -α? 2cos2? ?4 ? A.-2 C.-1 解析:选 D π ? cos 2α tan? ?4+α?· π ? 2cos2? ?4-α? B.2 D.1

)



π ? sin? cos 2α ?4+α?· π ? ?π ? 2sin2? ?4+α?cos?4+α? cos 2α π ? ?π ? 2sin? ?4+α?cos?4+α? cos 2α π ? sin 2? ?4+α? cos 2α π ? sin? ?2+2α? cos 2α =1. cos 2α









6.定义运算? ( ) π A. 12 π C. 4

?a b?=ad-bc.若 cos α=1,?sin α sin β ?=3 3,0<β<α<π,则 β 等于 ? ? 7 ? 2 ?c d ? ?cos α cos β? 14
π B. 6 π D. 3

解析:选 D 依题意有 sin αcos β-cos αsin β 3 3 =sin(α-β)= , 14 π π 又 0<β<α< ,∴0<α-β< , 2 2 13 故 cos(α-β)= 1-sin2?α-β?= , 14 1 4 3 而 cos α= ,∴sin α= , 7 7 于是 sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)

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4 3 13 1 3 3 3 × - × = . 7 14 7 14 2

π 故 β= . 3 π ? cos 2θ -θ =3,则 7.若 tan? =________. 4 ? ? 1+sin 2θ π ? 1-tan θ 解析:∵tan? ?4-θ?=1+tan θ=3, 1 ∴tan θ=- . 2 cos2θ-sin2θ cos 2θ ∴ = 2 1+sin 2θ sin θ+2sin θcos θ+cos2θ 1-tan2θ 1 1- 4



= =3. tan2θ+2tan θ+1 1-1+1 4

答案:3 8.若锐角 α、β 满足(1+ 3tan α)(1+ 3tan β)=4,则 α+β=________. 解析:由(1+ 3tan α)(1+ 3tan β)=4, tan α+tan β 可得 = 3,即 tan(α+β)= 3. 1-tan αtan β π 又 α+β∈(0,π),所以 α+β= . 3 π 答案: 3 cos 10° + 3sin 10° 9.计算: =________. 1-cos 80° cos 10° + 3sin 10° 解析: 1-cos 80° = = 2?sin 30° cos 10° +cos 30° sin 10° ? 2sin240° 2sin 40° = 2. 2sin 40°

答案: 2 10.已知函数 f(x)=sin x+cos x,f′(x)是 f(x)的导函数. (1)求 f′(x)及函数 y=f′(x)的最小正周期;

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π? 2 (2)当 x∈? ?0,2?时,求函数 F(x)=f(x)f′(x)+f (x)的值域. π? 解:(1)由题意可知,f′(x)=cos x-sin x=- 2· sin? ?x-4?, 所以 y=f′(x)的最小正周期为 T=2π. (2)F(x)=cos2x-sin2x+1+2sin xcos x =1+sin 2x+cos 2x π? =1+ 2sin? ?2x+4?. π? π ?π 5π? ∵x∈? ?0,2?,∴2x+4∈?4, 4 ?, π 2 2x+ ?∈?- ,1?. ∴sin? 4? ? 2 ? ? ∴函数 F(x)的值域为[0,1+ 2 ]. π α 1 2 11.已知 0<α< <β<π,tan = ,cos(β-α)= . 2 2 2 10 (1)求 sin α 的值; (2)求 β 的值. α 1 解:(1)∵tan = , 2 2 1 2× 2 4 ∴tan α= = = , 1 2α 2 ? ? 3 1-tan 2 1-?2? sin α 4 ? ?cos α=3, 由? 2 2 ? ?sin α+cos α=1, 4 4 sin α=- 舍去?. 解得 sin α= ? 5 ? 5? (2)由(1)知 cos α= = 4?2 3 1-? ?5? =5, 1-sin2α α 2tan 2

π 又 0<α< <β<π,∴β-α∈(0,π), 2 而 cos(β-α)= 2 , 10

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∴sin(β-α)=

1-cos2?β-α?=

1-?

2? 2 7 2 = , ? 10 ? 10

于是 sin β=sin[α+(β-α)] =sin αcos(β-α)+cos αsin(β-α) 4 2 3 7 2 2 = × + × = . 5 10 5 10 2 π ? 3π 又 β∈? ?2,π?,∴β= 4 . 12.已知 sin(2α+β)=3sin β,设 tan α=x,tan β=y,记 y=f(x). (1)求证:tan(α+β)=2tan α; (2)求 f(x)的解析式. 解:(1)证明:由 sin(2α+β)=3sin β, 得 sin [(α+β)+α]=3sin [(α+β)-α], 即 sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α, ∴sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α. ∴tan(α+β)=2tan α. tan α+tan β x+y (2)由(1)得 =2tan α,即 =2x, 1-tan αtan β 1-xy x x ∴y= ,即 f(x)= . 2 1+2x 1+2x2

π? ?π ? 1 1. (2012· 郑州质检)已知曲线 y=2sin? ?x+4?cos?4-x?与直线 y=2相交,若在 y 轴右侧的 交点自左向右依次记为 P1,P2,P3,…,则| P1 P5 |等于( A.π C.3π B.2π D.4π )

π? ?π ? π? 2? ? π? 解析: 选 B 注意到 y=2sin? ?x+4?cos?4-x?=2sin ?x+4?=1-cos 2?x+4?=1+sin 2x, 2π 又函数 y=1+sin 2x 的最小正周期是 =π,结合函数 y=1+sin 2x 的图象(如图所示)可知, 2 | P1 P5 |=2π.

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2.

3-sin 70° 等于( 2-cos210°

) B. D. 2 2 3 2

1 A. 2 C.2 解析:选 C

3-sin 70° 3-cos 20° = 2-cos2 10° 2-cos210°

3-?2cos210° -1? 2?2-cos210° ? = = =2. 2-cos210° 2-cos210° π? π? ? 3.(2012· 江西重点高中模拟)已知函数 f(x)=sin? ?2x+3?+sin?2x-3?+ 3cos 2x-m,若 f(x)的最大值为 1. (1)求 m 的值,并求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 f(B)= 3-1,且 3a=b+c, 试判断三角形的形状. π? π 解:(1)f(x)=2sin 2x· cos + 3cos 2x-m=sin 2x+ 3cos 2x-m=2sin? ?2x+3?-m. 3 又 f(x)max=2-m,所以 2-m=1,得 m=1. π π π 由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z) 2 3 2 5π π 得到 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 12 12 5π π kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). 所以 f(x)的单调递增区间为? 12 12? ? π? (2)由 f(B)= 3-1,得 2sin? ?2B+3?-1= 3-1, π 所以 B= . 6 又 3a=b+c,则 3sin A=sin B+sin C, 5π 1 ? ? π? 1 3sin A= +sin? ? 6 -A?,即 sin?A-6?=2, 2 π π 所以 A= ,C= ,故△ABC 为直角三角形. 3 2

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1 1 1.求证:tan α+ = . π α cos α + ? tan? ?4 2? sin α 证明:左边= + cos α π α? cos? ?4+2? π α? sin? ?4+2?



π α? ?π α? sin αsin? ?4+2?+cos αcos?4+2? π α? cos αsin? ?4+2? π α ? cos? ?4+2-α? π α? cos αsin? ?4+2? π α? cos? ?4-2? π α? cos αsin? ?4+2? 1 = =右边. π α cos α + ? cos αsin? ?4 2? π α? sin? ?4+2?







故原式得证. 1 ? 2 ? π? sin?x-π?. 2.已知 f(x)=? ?1+tan x?sin x-2sin?x+4?· ? 4? (1)若 tan α=2,求 f(α)的值; π π? (2)若 x∈? ?12,2?,求 f(x)的取值范围. π? π? 解:(1)f(x)=(sin2x+sin xcos x)+2sin? cos? ?x+4?· ?x+4? = 1-cos 2x 1 π? + sin 2x+sin? ?2x+2? 2 2

1 1 = + (sin 2x-cos 2x)+cos 2x 2 2 1 1 = (sin 2x+cos 2x)+ . 2 2 由 tan α=2, 2sin αcos α 2tan α 4 得 sin 2α= 2 = 2 = . 2 sin α+cos α tan α+1 5

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cos2α-sin 2α 1-tan2α 3 cos 2α= 2 = =- . 2 2 5 sin α+cos α 1+tan α 1 1 3 所以 f(α)= (sin 2α+cos 2α)+ = . 2 2 5 1 1 (2)由(1)得 f(x)= (sin 2x+cos 2x)+ 2 2 = π 1 2 ? sin?2x+4? ?+2. 2

π π? 5π π 5 由 x∈? ?12,2?,得12≤2x+4≤4π. 故- 2+1 π 2 2x+ ?≤1,则 0≤f(x)≤ ≤sin? , 4? ? 2 2

所以 f(x)的取值范围是?0,

? ?

2+1? ?. 2 ?


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