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【人教A版】高中数学 第三章 不等式章末过关检测卷 新人教A版必修5


章末过关检测卷(三) 第三章 不 等 式

(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 2 1.不等式 x ≥2x 的解集是( ) A . {x|x ≥ 2} B . {x|x ≤ 2} C . {x|0 ≤ x ≤ 2} D.{x|x

≤0 或 x≥2} 1.D 2.不等式(x+3) <1 的解集是( ) A.{x|x>-2} B.{x|x<-4} C.{x|-4<x<-2} D.{x|-4≤x≤-2} 2 2.解析:原不等式可化为 x +6x+8<0, 解得-4<x<-2. 答案:C x-y≥1, ? ? 3.(2014·济南一模)已知变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1,目标函数 z=x+2y 的最 ? ?1<x≤a, 大值为 10,则实数 a 的值为( ) 8 3
2

A.2 B.

C.4 D.8

3.解析:不等式组所表示的平面区域如图所示:

由图可知,当 x=a,y=a-1 时,z 取得最大值,所以 a+2(a-1)=10,解得 a=4. 答案:C 4.原点和点(1,1)在直线 x+y-a=0 两侧,则 a 的取值范围是( A.a<0 或 a>2 B.a=2 或 a=0 C.0<a<2 D.0≤a≤2 4.解析:把(0,0),(1,1) 代入 x+y=a 后异号. ∴-a(1+1-a)<0,∴0<a<2. 答案:C )

? ? 1? 2 5.二次不等式 ax +bx+1>0 的解集为?x?-1<x< ?,则 ab 的值为( 3? ? ?

)

A.-6 B.6 C.-5 D.5
1 1 b 2 5. 解析: 由题意知 a<0, -1 与 是方程 ax +bx+1=0 的两根, 所以-1+ =- , (- 3 3 a 1 1 1)× = ,解得 a=-3,b=-2,所以 ab=6. 3 a 答案:B 6.若 x>y,m>n,下列不等式正确的是( )

A.x-m>y-n B.xm>yn C. >

x y n m

D.m-y>n-x

6.解析:将 x>y 变为-y>-x,将其与 m>n 相加,即得结论. 答案:D 1 1 7.若 < <0,则下列结论不正确的是( a b

)

A.a2<b2 B.ab<b2 C. + >2 D.|a|-|b|=|a-b|
7.D 8.(2014·青岛二模)已知点 P(a,b)与点 Q(1,0)在直线 2x+3y-1=0 的两侧,且 a >0,b>0,则 w=a-2b 的取值范围是( ) b a a b

? 2 1? ? 2 ? ? 1? ? 2 1? A.?- , ? B.?- ,0? C.?0, ? D.?- , ? ? 3 2? ? 3 ? ?
2?

? 3 2?

8 . 解 析 : 由 已 知 , (2a + 3b - 1)(2×1 + 3×0 - 1) < 0 , 2a + 3b - 1 < 0 , 画 出 2a+3b-1<0, ? ? 的区域及直线 a-2b=0,如图所示. ?a>0, ? ?b>0 1 1 ?1 ? 平移 w=a-2b,当其经过点 A? ,0?时,wmax= -2×0= ; 2 2 ?2 ? 1 2 ? 1? 当其经过点 B?0, ?时,wmin=0-2× =- , 3 3 3 ? ? 又因为可行域的边界为虚线,所以应选 D. 答案:D

9.下列结论正确的是(

) 1

A.当 x>0 且 x≠1 时,lg x+ ≥2 lg x B.当 x>0 时, x+
1 x 1 x ≥2

C.当 x≥2 时,x+ 的最小值为 2 D.当 0<x≤2 时,x- 无最大值
9.B 10.(2014·青岛一模)在实数集 R 中定义一种运算“*”,对任意 a,b∈R,a*b 为唯一 确定的实数,且具有性质: (1)对任意 a∈R,a*0=a; (2)对任意 a,b∈R,a*b=ab+(a*0)+(b*0). 1 x 则函数 f(x)=(e )* x的最小值为( e A.2 B.3 C.6 D.8 1 1 1 1 x x x x 10.解析:依题意可得 f(x)=(e )* x=e · x+e + x=e + x+1≥2 ) 1 x

e

e

e

e

ex· x+1=3, e

1

1 x 当且仅当 x=0 时“=”成立,所以函数 f(x)=(e )* x的最小值为 3,故选 B.

e

答案:B 11.如果 a>b,则下列各式正确的是( ) 2 2 2 2 x x A.a·lgx>b·lgx B.ax >bx C.a >b D.a·2 >b·2 11.C

y≤x ? ? 2 2 12.已知 x,y 满足不等式组?x+2y≤4,则 z=x +y +2x-2y+2 的最小值为( ? ?y≥-2

)

A.

9 B.2 C.3 D. 2 5

12.B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 2 13.|x| -2|x|-15>0 的解集是________. 2 13.解析:∵|x| -2|x|-15>0,∴|x|>5 或|x|<-3(舍去).∴x<-5 或 x>5. 答案:{x|x<-5 或 x>5}

x-y≥0 ? ? 14.(2014·大纲全国卷)设 x,y 满足约束条件?x+2y≤3,则 z=x+4y 的最大值为 ? ?x-2y≤1
________. 14.解析:画出二元一次不等式组表示的平面区域(如图阴影部分),z=x+4y? y=- z 1 x+ ,把 y=- x 平移可知当直线过点 C(1,1)时,z 取最大值,zmax=1+4=5. 4 4 1 4

答案:5 1 1 15.设 a,b 为正数,且 a+b=1,则 + 的最小值是________. 2a b 15. 2+ 3 2

16.已知不等式 1 16. 2

ax <1 的解集为{x|x<1 或 x>2},则 a=________. x-1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式:x(x+a-1)≥a. 17.解析:原不等式化为(x-1)(x+a)≥0,

(1)若-a<1,即 a>-1,则 x≤-a 或 x≥1; (2)若-a>1,即 a<-1,则 x≤1 或 x≥-a; (3)若-a=1,即 a=-1,则 x∈R. 综上,当 a>-1 时,原不等式解集为{x|x≤-a 或 x≥1}; 当 a<-1 时,原不等式解集为{x|x≤1 或 x≥-a}; 当 a=-1 时,原不等式解集为 R. 18.(本小题满分 12 分)已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为 200 万吨和 300 万吨,需 经过东西两个车站运往外地, 东车站每年最多能运 280 万吨, 西车站每年最多能运 360 万吨, 甲煤矿运往东西两个车站的单价分别为 1 元/吨和 1.5 元/吨, 乙煤矿运往东西两个车站的单 价分别为 0.8 元/吨和 1.6 元/吨,甲、乙两煤矿应怎样编制调配方案,才能使总运费最少? 18.解析:设甲煤矿运往东车站为 x 吨,则运往西车站为 200-x 吨,乙煤矿运往东车 站为 y 吨, 则运往西车站为 300-y 吨, 总运费为 z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(300-y)元 即 z=-0.5x-0.8y+780,

x≥0,y≥0, ? ? 由已知得约束条件为?x+y≤280, ? ?500-(x+y)≤360. x≥0,y≥0, ? ? 即 ?x+y≤280, ? ?x+y≥140.
画出约束条件的可行域,可知 x=0,y=280 时,总运费为 z 有最小值为 556.

所以甲煤矿生产的煤全部运往西车站, 乙煤矿生产的煤往东车站运 280 万吨, 往西车站 运 20 万吨时,总运费最少.

1 19.(本小题满分 12 分)(1)已知函数 f(x)=log2 2,求函数 f(x)的定义域; 3+2x-x (2)已知函数 f(x)=x -4ax+a (a∈R),关于 x 的不等式 f(x)≥x 的解集为 R,求实数 a 的取值范围. 1 19.解析:(1)由 2>0 得-1<x<3, 3+2x-x ∴函数 f(x)的定义域是{x|-1<x<3}. (2)∵f(x)≥x 的解集为 R, 2 2 ∴x∈R 时,x -(4a+1)x+a ≥0 恒成立. 2 2 2 ∴Δ =(4a+1) -4a ≤0,即 12a +8a+1≤0, 1 1 即(2a+1)(6a+1)≤0,∴- ≤a≤- , 2 6 1? ? 1 ∴a 的取值范围为?- ,- ?. 6? ? 2 20.(本小题满分 12 分)某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,求 x 的值. 400 20.解析:某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,则需要购买 次,运
2 2

x

400 费为 4 万元/次,一年的总存储费用为 4x 万元,一年的总运费与总存储费用之和为 ×4

x

+4x 万元, ∵ 400 1 600 ×4+4x≥160,当且仅当 =4x 即 x=20 吨时,等号成立.

x

x

故当 x=20 吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小. 21.(本小题满分 12 分)徐州、苏州两地相距 500 千米,一辆货车从徐州行驶到苏州,规 定速度不得超过 100 千米/时.已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定 部分组成:可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比,比例系数为 0.01;固定部分为 a 元 (a>0). (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 500 21.解析:(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ,则全程运输成本为

v

y=a·

500 500 500a 2 +0.01v · = +5v,

v

v

v

500a 所以 y= +5v,v∈(0,100].

v

(2)依题意知 a,v 都为正数, 则 500a +5v≥2

v

500a ×5v=100 a,

v

500a 当且仅当 =5v,即 v=10 a时取等号.

v

若 10 a≤100,即 0<a≤100 时,当 v=10 a时,全程运输成本 y 最小.

500a 若 10 a>100,即 a>100 时,则当 v∈(0,100]时,函数 y= +5v 是减函数,即

v

此时当 v=100 时,全程运输成本 y 最小. 综上所得,当 0<a≤100 时,行驶速度应为 v=10 a千米/时,全程运输成本最小; 当 a>100 时,行驶速度应为 v=100 千米/时,全程运输成本最小. 22.(本小题满分 10 分)制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可 能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利 率分别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%.投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万 元,才能使可能的盈利最大?(这是边文,请据需要手工删加) 22 . 解 析 : 设 投 资 人 分 别 用 x 万 元 、 y 万 元 投 资 甲 、 乙 两 个 项 目 . 由 题 意 知

x+y≤10, ? ?0.3x+0.1y≤1.8, 目标函数 z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如下图所示,阴 ?x≥0, ? ?y≥0,
影部分(含边界)即可行域.

作直线 l:x+0.5y=z,并作平行移动.当直线与可行域相交,且经过可行域上的 M 点, 此时与直线 x+0.5y=0 的距离最大, 这里 M 点是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点.
?x+y=10, ?x=4, ? ? 解方程组? 得? ?0.3x+0.1y=1.8, ? ?y=6. ?

此时 z=1×4+0.5×6=7(万元). ∴当 x=4,y=6 时,z 取得最大值. 故投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过 1.8 万元的 前提下,使可能的盈利最大.


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