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2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质课件


第2章 2.4 抛物线

2.4.2 抛物线的几何性质

学习 目标

1.掌握抛物线的简单几何性质.

2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题.

栏目 索引

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自主学习
重点突破

自查自纠

知识梳理

自主学习

知识点一

抛物线的几何性质

标准方程

y2=2px
(p>0)

y2=-2px
(p>0)

x2=2py
(p>0)

x2=-2py
(p>0)

图形

范围 性质 对称轴
顶点 离心率

x≥0 , y∈R

x≤0 , y∈R

x∈R, y≥0

x∈R, y≤0

x轴

x轴
(0,0) e=1

y轴

y轴

答案

知识点二

焦点弦

直线过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F,与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2) p p 两点,由抛物线的定义知,AF=x1+ ,BF=x2+ ,故AB= x1+x2+p . 2 2 知识点三 直线与抛物线的位置关系 直线 y = kx + b 与抛物线 y2 = 2px(p>0) 的交点个数决定于关于 x 的方程 k2x2+2(kb-p)x+b2=0 的解的个数.当k≠0时,若Δ>0,则直线与抛物 ______________________ 线有两个不同的公共点;当Δ=0时,直线与抛物线有 一个公共点;当 Δ<0时,直线与抛物线没有 公共点.当k=0时,直线与抛物线的对称轴平 行或重合 ,此时直线与抛物线有 一 个公共点.
答案

思考 答案

(1)抛物线x2=2py(p>0)有几条对称轴?是不是中心对称图形? 有一条对称轴即y轴,不是中心对称图形.

(2)影响抛物线开口大小的量是什么?是如何影响的?

答案

影响抛物线开口大小的量是参数 p.p值越大,抛物线的开口越大,

反之,开口越小.

答案

返回

题型探究

重点突破

题型一

抛物线的几何性质

例1

x2 y2 已知双曲线方程是 8 - 9 =1,求以双曲线的右顶点为焦点的抛物

线的标准方程及抛物线的准线方程. x2 y2 解 因为双曲线 8 - 9 =1 的右顶点坐标为(2 2,0), p 所以2=2 2,且抛物线的焦点在 x 轴正半轴上,
所以,所求抛物线的标准方程为 y2=8 2x,其准线方程为 x=-2 2.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练1

已知抛物线的对称轴在坐标轴上,以原点为顶点,且经过

点M(1,-2).求抛物线的标准方程和准线方程.

解析答案

题型二

抛物线的焦点弦问题

已知抛物线方程为 y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点的直线与抛 5 物线交于A,B两点,且AB= p,求AB所在的直线方程. 2 例2

反思与感悟

解析答案

跟踪训练2 A、B两点.

已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于

(1)若直线l的倾斜角为60°,求AB的值;

解析答案

(2)若AB=9,求线段AB的中点M到准线的距离.
解 设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知

p p AB=AF+BF=x1+2+x2+2 =x1+x2+p=x1+x2+3,

所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3,
3 又准线方程是 x=-2,

3 9 所以 M 到准线的距离等于 3+2=2.

解析答案

题型三

直线与抛物线的位置关系

例3

已知直线 l :y=kx +1 ,抛物线 C:y2=4x,当k为何值时,直线l

与抛物线C有:

(1)一个公共点?
(2)两个公共点?

(3)没有公共点?

反思与感悟

解析答案

跟踪训练3

如图,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线

AB,AC交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.

解析答案

返回

当堂检测

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5

1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,
2=8x或y2=-8x y 若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为__________________.

解析 设抛物线y2=2px或y2=-2px(p>0),
p 依题意得 x=2,代入 y2=2px 或 y2=-2px 得|y|=p, ∴2|y|=2p=8,p=4.

解析答案

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2.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的
1 2 (8,± 4 ) 坐标为_____________.

由题意知,点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离, 1 因此点P在线段OF的垂直平分线上, 而 F(4,0), 1 2 所以的 P 的横坐标为8,代入抛物线方程得 y=± 4 , 1 2 故点 P 的坐标为(8,± 4 ). 解析

解析答案

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1 ( ,1) 3.抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点坐标为 2 .

解析

因为y=4x2与y=4x-5不相交,设与y=4x-5平行的直线方程为

y=4x+m.
2 ? y = 4 x , ? 则? ?4x2-4x-m=0. ? ?y=4x+m,



设此直线与抛物线相切,此时有Δ=0,

即Δ=16+16m=0,∴m=-1. 1 将 m=-1 代入①式,x=2,y=1, 1 故所求点的坐标为(2,1).
解析答案

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4.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线l的方程是 6x-4y-3=0 ________________.
解析 1 设直线 l 的方程为 3x-2y+c=0, 抛物线 y =2x 的焦点 F(2, 0),
2

1 所以 3×2-2×0+c=0, 3 所以 c=-2,故直线 l 的方程是 6x-4y-3=0.

解析答案

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1 -4 2 5.已知直线x-y+1=0与抛物线y=ax 相切,则a=________.
解析
? ?x-y+1=0, 2 由? 消去 y 得 ax -x-1=0, 2 ? ?y=ax ,

∵直线与抛物线相切,∴a≠0且Δ=1+4a=0.

1 ∴a=-4.

解析答案

课堂小结 1.讨论抛物线的几何性质,一定要利用抛物线的标准方程;利用几何性

质,也可以根据待定系数法求抛物线的方程.
2.直线与抛物线的相交弦问题共有两类,一类是过焦点的弦,一类是不 过焦点的弦.解决弦的问题,大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的 斜率.常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立,转化为关于x或y的一 元二次方程,然后利用根与系数的关系,这样避免求交点.尤其是弦的中 点问题,还应注意“点差法”的运用. 3.判断直线与抛物线位置关系的两种方法 (1)几何法:利用图象,数形结合,判断直线与抛物线的位置关系,但有 误差影响判断的结果.

(2)代数法:设直线l的方程为y=kx+m,抛物线的方程为y2=2px(p>0), 将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式: Ax2+Bx+C=0(或Ay2+By+C=0).
? ?A≠0, 相交:①有两个交点:? ② ? ?Δ>0;

有一个交点:A=0(直线与抛物线

的对称轴平行或重合,即相交);
? ?A≠0, ?A≠0, 相离:没有公共点,即? 相切:有一个公共点,即? ? ?Δ<0. ?Δ=0;

直线与抛物线有一个交点,是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

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