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2012高三数学一轮复习单元练习题:排列、组合与二项式定理


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高三数学单元练习题:排列、组合与二项式定理
一、 选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目. 如果将这 两个新节目插入原节目单中, 那么不同插法的种数为 ( ) A.42 B.48 C. 96 D. 124 2.从正方体的 6 个面中选取 3 个面,其中有 2 个面不相邻的选法共有( ) A.20 种 B.16 种 C.12 种 D.8 种 3. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会, 若这 4 人中必须既有男生又有女生, 则不同的选法共有 ( ) A.34 种 B.35 种 C.120 种 D.140 种 4.设集合 A={-1、0、1} ,B={2、3、4、5、6} ,映射 f :A→B,使得对任意 x ? A ,都有
x ? f ? x ? ? xf ? x ? 是奇数,这样的映射 f 的个数是(

)

A.12 B.50 C.15 D.55 5.某校高三年级共有六个班,现从外校转入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安 排 2 名,则不同的安排方案种数为( ) A.
A6 C 4
2 2

B. A 6 A 4
6

2

2

C. 2 A 6
3

2

D.

1 2

A6 C 4

2

2

6. 在 (1 ? x ) ? (1 ? x ) 的展开式中,含 x 的项的系数是
5

( D. 10



A. -5

B. 5

C. -10

7. 设直线的方程是 Ax ? By ? 0 ,从 1,2,3,4,5 这五个数中每次取两个不同的数作为 A、B 的值,则所得不同直线的条数是 A.20 B.19 ( C.18 ) D.16

8.2006 年世界杯参赛球队共 32 支,现分成 8 个小组进行单循环赛,决出 16 强(各组的前 2 名 小组出线),这 16 个队按照确定的程序进行淘汰赛,决出 8 强,再决出 4 强,直到决出冠、 亚军 和第三名、第四名,则比赛进行的总场数为( ) A.64 B.72 C.60 D.56 9 如果 2 x ?

?

3

?

21

? a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? ? ? a 21 x
2

21

那么

?a 1

? a 3 ? a 5 ? ? ? a 21 ?

2

? ? a 0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a 20

?2 (



A.1 B.-1 C.2 D.-2 10. 从数字 1,2,3,4,5 中,随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数 字之和等于 9 的概率为 ( ) A.
13 125

B.

16 125

C.

18 125

D.

19 125

11.四棱锥的 8 条棱代表 8 种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓
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库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的 4 个仓库存放这 8 种化工产品,那么安全存放 的不同方法各种数为( ) A.96 B.48 C.24 D.0 12. 从不同号码的五双靴中任取 4 只,其中恰好有一双的取法种数为 ( ) A.120 B.240 C.360 D.72 题号 答案 二、填空题:本大题共 4 小题;每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上。 13.若 C n ? C n ?1 ? C n ?1 , 则 n 的值为
3 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

.

14. 一台 X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0.8000,有四台这中型号的自 动机床各自独立工作,则在一小时内至多 2 台机床需要工人照看的概率是 。 15 计算: 10.01 =
6

。 (精确到 1) 。

16.过正方体的每三个顶点都可确定一个平面,其中能与这个正方体的 12 条棱所成的角都 相等的不同平面的个数为 个。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.如图,电路中共有 7 个电阻与一个电灯 A,若灯 A 不亮,分析因电阻断路的可能性共 有多少种情况。
R R R R R R R

A ○ 18.从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问: ①能组成多少个没有重复数字的七位数? ②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个? ③在①中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个? ④在①中任意两偶然都不相邻的七位数有几个? 19.把 1、2、3、4、5 这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排 列成一个数列。 (1) 43251 是这个数列的第几项? (2) 这个数列的第 96 项是多少? (3) 求这个数列的各项和。 20.袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球,从 A 中摸出一个红球的概率是 中摸出一个红球的概率为 p. (Ⅰ) 从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,共摸 5 次. (i)恰好有 3 次摸到红球的概率;
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1 3

,从 B

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(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率. (Ⅱ) 若 A、B 两个袋子中的球数之比为 12,将 A、B 中的球装在一起后,从中摸出一个红 球的概率是 21.已知 ( x
2 5
lg x

,求 p 的值.

? 1) 的展开式中,末三项的二项式系数的和为 22,二项式系数最大的项为
n

20000,求 x 的值。
3m 1 22.设数列 ?a n ? 是等比数列, a 1 ? C 2 m ? 3 ? A m ? 2 ,公比 q 是( x ?

1 4x
2

) 的展开式中的第二

4

项(按 x 的降幂排列) (1) 用 n , x 表示通项 a n 与前 n 项和 S n ; (2) 若 A n ? C n S 1 ? C n S 2 ? ? ? C n S n ,用 n , x 表示 A n 。
1 2 n

参考答案 一、选择题: 1.B 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C 7.C 8.A 9.A 10.D 11.B 12.A 二、填空题: 13、7 14.、0.9728 15、1006015 16、8 三、解答题: 17.解:每个电阻都有断路与通路两种状态,图中从上到下的三条支线路,分别记为支线 a、 2 b、c,支线 a,b 中至少有一个电阻断路情况都有 2 ―1=3 种;支线 c 中至少有一个电阻断 2 路的情况有 2 ―1=7 种,每条支线至少有一个电阻断路,灯 A 就不亮, 因此灯 A 不亮的情况共有 3×3×7=63 种情况。 18. 解:①分步完成:第一步在 4 个偶数中取 3 个,可有 第二步在 5 个奇数中取 4 个,可有 种情况; 种情况;
7

第三步 3 个偶数,4 个奇数进行排列,可有 A 7 种情况, 所以符合题意的七位数有 C 4 C 5 A7 ? 1 0 0 8 0 0 个.
3 4 7

②上述七位数中,三个偶数排在一起的有个. C 4 C 5 A5 A3 ? 1 4 4 0 0
3 4 5 3

③上述七位数中,3 个偶数排在一起,4 个奇数也排在一起的有
C 4 C 5 A3 A4 A2 ? 5 7 6 0 个.
3 5 3 4 2

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④上述七位数中,偶数都不相邻,可先把 4 个奇数排好,再将 3 个偶数分别插入 5 个空档,共有 A5 C 4 A5 ? 2 8 8 0 0 个。
4 3 3

19.解:⑴先考虑大于 43251 的数,分为以下三类 第一类:以 5 打头的有: A 4 =24 第二类:以 45 打头的有: A 3 =6 第三类:以 435 打头的有: A 2 =2 故不大于 43251 的五位数有: A5 ? ( A4 ? A3 ? A2 ) =88(个)
5 4 3 2 2 3 4

即 43251 是第 88 项。 ⑵数列共有 A=120 项,96 项以后还有 120-96=24 项,即比 96 项所表示的五位数大的五位数 有 24 个,所以小于以 5 打头的五位数中最大的一个就是该数列的第 96 项。即为 45321。 ⑶因为 1,2,3,4,5 各在万位上时都有 A 个五位数,所以万位上数字的和为: (1+2+3+4+5) ·A·10000 同理它们在千位、十位、个位上也都有 A 个五位数,所以这个数列各项和为: (1+2+3+4+5) (1+10+100+1000+10000) ·A· =15×24×11111=3999960 20 解:(Ⅰ)(ⅰ) C 5 ? ?
3

40 ?1? ?2? . ? ?? ? ? 243 ?3? ?3?

3

2

(ⅱ) ?

1 ?1? . ? ? 27 ?3?

3

(Ⅱ)设袋子 A 中有 m 个球,袋子 B 中有 2 m 个球,
1 m ? 2mp ? 3m
3 lg x 3



3

2 5

,得 p ?
lg x

13 30

21.解:? T n ? 2 ? T 4 ? C 6 ( x ) ? 20000 ,即 x
2

? 10 ,两边取 10 为底的对数,
1 10

得 (lg x ) ? 1,? lg x ? ? 1,? x ? 10 或 x ?
2

1 10

,经检验 x ? 10 或 x ?

满足条件。

22.解:⑴∵a1= C 2 m ? Am ? 2
3m 1

∴ ?

? 2 m ? 3 ? 3m ?m ? 2 ? 1
2

∴m=3
1 4x
2

由(x ?

1 4x
2

) 的展开式中的同项公式知 T2= T 2 ? C 4 x
4

4 ?1

(

)? x

∴ an ? x

n ?1

?n ? ∴ S n ? ?1 ? x n ? ? 1? x
1

? x = 1? ?x
2

? 1?
3 n

⑵当 x=1 时, S n ? n ,
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An ? C n ? 2 C n ? 3 C n ? ? ? n C n
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又∵ An ? nC n ? ( n ? 1) C n
n 0 1 2 n ?1

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n?2

? ( n ? 2) C n
n

? ? ? C n ? 0C n
1 n

0

∴ 2 An ? n ( C n ? C n ? C n ? ? ? C n ) ? n ? 2 ∴ An ? n ? 2
n ?1

An=n·2n-1
1? x
n

当 x≠1 时, S n ?
1? x 1? x 1 1? x 1 1? x

1? x
2



An ? ? ?

Cn ?
1 1

1? x

1? x
2

Cn ? ? ?
2 n

1? x

n

1? x

Cn
1

n

[ ? C n ? C n ? ? ? C n ? ? ? xC n ? x C n ? ? ? x C n ? ]
2 2 n n

[ 2 ? ?1 ? x ? ]
n n

? n ? 2 n ?1 ? ∴ A n ? ? 2 n ? (1 ? x ) n ? 1? x ?

? x = 1? ?x
? 1?

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