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河北省定州中学2017届高三数学上学期周练试题(一)


河北定州中学 2017 届新高三数学周练(一)

一、选择题:共 12 题 每题 5 分 共 60 分 1.向量 、 的夹角为 60°,且 A.1 B. C. D.2 , ,则 等于( )

2. 已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x (ω >0)的图象与直线 y=-2 的两个相邻公共点之间的距离等 于π ,则 f ( x) 的单调递减区间是( )

k? ? ? , k? ? 2? ? , k ? Z A、 ? ? 6 3 ? 2k? ? ? , 2k? ? 4? ? , k ? Z C、 ? ? 3 3 ?

k? ? ? , k? ? ? ? , k ? Z B、 ? ? 3 6? 2k? ? ? , 2k? ? 5? ? , k ? Z D、 ? ? 12 12 ?


3. a、 b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则 a 与 a ? b 的夹角为( A.30
0

B.45

0

C.60

0

D.90

0

4. a、 b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则 a 与 a ? b 的夹角为( A.300 5. 设函数 f ( x) ? B.450 C.600 D.900



3 sin(2 x ? ? ) ? cos(2 x ? ? )( ? ?

?
2

) , 且其图象关于直线 x=0 对称,则 (



A. y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, B. y ? f ( x) 的最小正周期为

? ?
4 2

) 上为增函数 ) 上为增函数 ) 上为减函数 ) 上为减函数


?
2

,且在 (0,

C. y ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 (0, D. y ? f ( x) 的最小正周期为 6.已知 sin x ? A.

?

?
2

,且在 (0,

?
4

2

1 7

7.式子 cos

?

4 ? ? , x ? ( , ? ) ,则 tan( x ? ) ? ( 5 2 4 1 B. 7 C. ? D. ?7 7

12

cos

?

6

? sin

?

12

sin

?

6

的 值为(



A.

1 2
?

B.

2 2
?

C.

3 2

D.1

8.已知 a ? ( x,3) , b ? (3,1) , 且 a / / b , 则 x 等于 (

?

?

)

1

A.-1

B.-9

C.9

D.1

9.已知点 A(1,1) , B (4, 2) 和向量 a=(2, ?) ,若 a / / AB ,则实数 ? 的 值为( A. ?

?

?

??? ?



2 3

B.

2 3

C.

3 2 1 2

D. ?

3 2


10.已知角 ? 的终边与单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 交于 P( , y 0 ) ,则 cos 2? 等于( A. -

1 2

B.

1 2

C. -

3 2

D. 1 )

11.在单位圆中,面积为 1 的扇形所对的圆心角的弧度数为( A.1 B.2 C.3 D.4

12.[2013·福建高考]将函数 f(x)=sin(2x+θ )(-

? ? <θ < )的图象向右平移φ (φ >0)个单位长 2 2
3 ),则φ 的值可以是( 2
)

度后得到函数 g(x)的图象,若 f(x),g(x)的图象都经过点 P(0,

A.

5? 3

B.

5? 6

C.

? 2

D.

? 6
cos2x 的图象向右平移至少 m 个单位(其

二、填空题:共 4 题 每题 5 分 共 20 分 13.要得到函数 y=2sin2x 的图象,需将函数 y=sin2x+ 中 m>0),则 m= .

tan ? 是方程 x 2 ? 6 x ? 7 ? 0 的两根,则 tan(? ? ? ) =_____ __. 14.已知 tan ?、
4 15.已知 ? ? (0, ? ) , cos ? ? ,则 sin(? ? ? ) ? _____________. 5 2

16.有下列命题:① y ? cos( x ?

?
4

) cos( x ?

?
4

) 的图象中相邻两个对称中心的距离为 ? ,②

x?3 的图象关于点 (?1,1) 对称,③关于 x 的方程 ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 有且仅有一个实根,则 x ?1 a ? ?1 ,④命题 p : 对任意 x ? R ,都有 sin x ? 1 ;则 ?p : 存在 x ? R ,使得 sin x ? 1 .其中真命题 y?
的序号是_________________________ .

三、解答题:共 8 题 共 70 分 17.已知如图为函数 f(x)=2sin(ω x+φ )(ω >0,0<φ < (1)求 f(x)的解析式及其单调递增区间; )的部分图象.

2

(2)求函数 g(x)=

的值域.

? 2 18.已知函数 f ( x) ? 2sin x cos( x ? ) ? . 4 2
(1)求 f ( x) 的最小正周期;

? ? ? 3 ? (2)设 ? ? (0, ) ,且 f ( ? ) ? ,求 tan(? ? ) . 2 2 8 5 4
19.已知向量 a ? (1 , 2) , b ? (?3 , 4) . (1)求 a ? b 与 a ? b 的夹角; (2)若 a ? ( a ?? b ) ,求实数 ? 的值. 20.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )+1(ω >0,A>0,0<φ < 且 f(x)的最大值为 3. (1)写出 f(x)的表达式; (2)写出函数 f(x)的对称中心,对称轴方程. 21.已知向量 a=(cos

? ? )的周期为π ,f( )= 3 +1, 2 4

3x 3x x x ? ,sin ),b=(-sin ,-cos ),其中 x∈[ ,π ]. 2 2 2 2 2

(1)若|a+b|= 3 ,求 x 的值; (2)函数 f(x)=a·b+|a+b|2,若 c>f(x)恒成立,求实数 c 的取值范围. 22.已知函数 f(x)= 2 cos ? x ?

? ?

? ,x∈R. 12 ?

? ?

(1)求 f ? ?

? ?? ? 的值; ? 6?

(2)若 cos θ =

?? 3 ? 3? ? ? , 2? ? ,求 f ? 2? ? ? . ,θ ∈ ? 3? 5 ? 2 ? ?
?
8 x cos

23.已知函 数 f ( x) ? 2 2 sin

?
8

x ? 2 2 cos 2

?
8

x? 2 ,x?R.
3

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)若函数 f ( x) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 , O 为坐标原点,求 ?OPQ 的外接圆 的面积. 24.在△ ABC 中,已知 C ? (1)求 A 的值;

π ,向量 m ? (sin A,1) , n ? (1,cos B) ,且 m ? n . 6

??? ? ??? ? (2)若点 D 在边 BC 上,且 3BD ? BC , AD ? 13 ,求△ ABC 的面积.

4

参考答案 1.D 【解析】 试题分析:欲求 ,只需自身平方再开方即可,这样就可出现两向量的模与数量积,最后

根据数量积公式解之即可.. 解:∵向量 、 的夹角为 60°,且 ∴ ? =1×2×cos60°=1 ∴|2 ﹣ |= 故选 D. 点评:本题主要 考查了向量的数量积的概念,以及向量的模的求法,属于向量的综合运算,同时考 查了计算能力,属于基础题. 2.A 【解析】 = =2 , ,

? 试题分析: 因为 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? 2 sin(? x ? ) 最小值为-2, 可知 y=-2 与 f(x)两个相邻 6
公共点之间的距离就是一个周期,于是 T ? 令 2x ?

2? ? ? ? ,即ω =2,即 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 6 6 3

? ? ? 2k? ? ? , 2k? ? 3? ? ? k? ? ? , k? ? 2? ? , k ? Z ,选 A ? ? ,k∈Z,解得 x∈ ? ?
6 2 2

考点:三角函数恒等变形 ,三角函数的图象及周期、最值、单调性. 3.A
0 【解析】因为 a ? b ? a ? b ,所以,向量 a , b, a ? b 围成一等边三角形, ? a, b ? =60 ,

0 a ? b 平分 ? a, b ? ,故 a 与 a ? b 的夹角为 30 ,选 A.

考点: 平面向量的线性运算,平面向量的夹角. 4.A
0 【解析】因为 a ? b ? a ? b ,所以,向量 a , b, a ? b 围成一等边三角形, ? a, b ? =60 ,

0 a ? b 平分 ? a, b ? ,故 a 与 a ? b 的夹角为 30 ,选 A.

考点: 平面向量的线性运算,平面向量的夹角. 5.C 【解析】
5











?? ? f ? x ? ? 3 sin ? 2 x ? ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? ? 6? ?
?
2 ?

.



2x ? ? ?

?
6

?

?
2

? k? , ? k ? Z ? , 得此函数图像的对称轴为 x ? ?
. 因 为

?
6

?


??

?
3

? k? , ? k ? Z ?

? ?

?
2

k? , k ? Z ,当 x ? 0 时, 2

,



??

?

3

.



? ?? 2? ? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? ? 2cos 2 x .T ? ? ? .当 0 ? x ? 时, 0 ? 2 x ? ? .由余弦函数图像 2 3 6? 2 ?
可知函数 f ? x ? 在在 (0,

?
2

) 上单调递减.综上可得 C 正确.

考点:三角函数的周期性、单调性. 6.B 【解析】 试 题 分 析 : ∵ sin x ?

4 ? , , , x?( ? 5 2

) , ∴ c o xs? ?

3 4 n? ? , ∴ t ax , ∴ 5 3

t a x n ?(

?
4

t a xn? t a n 4 ?) ?. ? 1? t a xn t a n 4

?

7

考点:平方关系、商数关系、两角差的正切. 7.B 【解析】 试题分析:由两角和与差的余弦公式得 cos 考点:三角恒等变换 8.C 【解析】

?
12

cos

?
6

? sin

?
12

sin

?

? 2 ?? ?? ? cos? ? ? ? cos ? 6 4 2 ? 12 6 ?

? ? 试题分析:由 a / / b 得, x ?1 ? 3 ? 3 ? 0 , 得 x ? 9 。
考点:平面向量的坐标运算、平面向量平行的充要条件 9.B 【解析】 试题分析:由题可得 AB ? ? 3,1? ,又 a / / AB ,所以 3? ? 2 ? 0 ,即 ? ?

??? ?

?

??? ?

2 . 3

6

考点:向量坐标与端点坐标的关系,两向量共线的坐标运算. 10.A 【解析】 试题 分析: x ? ?2 ? 0 ,则 y ? ?2 ? (?2) ? 1 ? 5 . 考点:程序框图. 11. B 【解析】 试题分析:根据扇形面积公式 S ? 考点:扇形面积公式. 12.B 【解析】依题意 g(x)=sin[2(x-φ )+θ ]=sin(2x+θ -2φ ),

1 2 ?r ,可得 ? ? 2 . 2

? 3 ?sin ? ? ? 2 3 因为 f(x),g(x)的图象都经过点 P(0, ),所以 ? , 2 ?sin ? ? 2? ? 3 ? ? ? ? 2

? ? ? ? 2? <θ < ,所以θ = ,θ -2φ =2kπ + 或θ -2φ =2kπ + (k∈Z), 3 2 2 3 3 ? 即φ =-kπ 或φ =-kπ - (k∈Z). 6 ? 5? 在φ =-kπ - (k∈Z)中,取 k=-1,即得φ = ,故选 B. 6 6
因为- 13. 【解析】 试题分析:由三角函数公式化简可得 y=sin2x+ 得. 解:∵y=sin2x+ =2(sin2xcos =2sin(2x+ cos2x=2( sin2x+ +cos2xsin )=2sin2(x+ ) ), ,k∈Z 个单位即可, cos2x) cos2x=2sin2(x+ ),由三角函数图象的变换可

∴要得到函数 y=2sin2x 的图象只需将上面函数的图象向右平移 2kπ +

7

∴只需当 k=0 时图象向右平移 故答案为:

个单位即可,即 m=

点评:本题考查两角和与差的正弦函数,涉及三角函数图象的变换,属中档题. 14.1 【解析】 试 题 分 析 : 本 题 考 查 两 角 和 的 正 切 公 式 , tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? ? 与 , 而 t an? ? t an 1 ? tan ? tan ?

tan ? tan ? 可由韦达定理得.
考点:韦达定理与两角和的正切公式. 15.
3 5

【解析 】 试题分析:因为α 是锐角 所以 sin(π -α )=sinα = 1? cos 2 ? ? 1? 4 5 考点:同角三角函数关系,诱导公式. 16.③④ 【解析】因为 y ? cos( x ?

? ?

2

?3 5

?

1 ? 1 ? ? ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x ,周期为 ? ,所以,其图象中相邻两个对称中心的距离为 ,①是假 2 2 2 2
命题; 由于 y ?

) cos( x ? ) ? cos( x ? ) cos( x ? ? ) ? ? sin( x ? ) cos( x ? ) 4 4 4 2 4 4 4

?

?

?

?

?

?

x?3 4 ? 1? ,其图象关于点(1,1)对 称,故②不正确; x ?1 x ?1

2 由于关于 x 的方程 ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 有且仅有一个实根,故有 解得 a=-1 或 a ? 0 (? 2a) ? 4a ? 0,

(舍去),故③正确; 由于命题 p : 对任意 x ? R ,都有 sin x ? 1 ;则 ?p : 存在 x ? R ,使得 sin x ? 1 ,故④正确. 故答案为③④. 考点:三角函数的图象和性质,三角函数的诱导公式,存在性量词与全称量词. 17.(1)f(x)=2sin(2x+ (2)[0,+∞) );f(x)的单调递增区间为[kπ ﹣ ,kπ + ],k∈Z

8

【解析】 试题分析:(1)由函数图象过点(0,1)可得 φ = 解析式,整体法可得单调区间; ,又 ω +φ = ,可得 ω =2,可得函数

(2)由(1)知 g(x)=y=

,变形可得 sin(2x+

+φ )=

,由三角函数

的有界性可得 y 的不等式,解不等式可得. 解:(1)∵函数图象过点(0,1), ∴2sinφ =1,即 sinφ = , 又∵0<φ < 又ω +φ = ,∴φ = ,∴ω =2, ), ≤2kπ + 可得 kπ ﹣ ,kπ + ≤x≤kπ + ],k∈Z; ,

∴f(x)=2sin(2x+ 由 2kπ ﹣ ≤2x+

∴f(x)的单调递增区间为[kπ ﹣

(2)由(1)知 g(x)=

=

=



令 y=



可得 sin(2x+ ∴得 sin(2x+

)+1=ycos(2x+ )﹣ycos(2x+

)+y, )= sin(2x+ +φ )=y﹣1,

∴sin(2x+

+φ )=

,∴|

|≤1,

解得 y≥0,即函数的值域为[0,+∞) 点评:本题考查三角函数解析式的确定,涉及三角函数的单调性和有界性,属中档题. 18.(1) ? ;(2) tan(? ? ) ? 7 . 4

?

9

【解析】 试题分析:(1)利用两角差的余弦公式,二倍角公式的降幂变形以及辅助角公式,可对 f ( x) 恒等 变
f( ?




4 2 x

?
4

?

?
2 2

?

2

x)

? 2 ?

x

2

?

x (

x?

1 2

s

x

? 2 2 2 (sin 2 x ? cos 2 x ? 1) ? ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? sin(2 x ? ) , 从而可知 f ( x) 的最小正周期为 ? ; 4 2 2 2

(2) 由(1)中变形的结果可知 f (

?

? ? ? ? ? 3 , )可 得 ? ) ? sin[2( ? ) ? ] ? sin ? ? , 再 由 ? ? ( 0 2 2 8 2 8 4 5

? 3 tan ? ? tan ?1 ? 4 3 4 4 ? ?7. cos? ? , tan ? ? ,再根据两角和的正切公式可知 tan(? ? ) ? 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? 3 5 4 4 4
试题解析:(1) f ( x) ? 2sin x(cos x cos
? 2(sin x cos x ? sin 2 x) ? ?

?
4

? 2 ? sin x sin ) ? 4 2

2分 4分 6分

2 1 1 ? cos 2 x 2 ? 2( sin 2 x ? )? , 2 2 2 2

? 2 2 2 (sin 2 x ? cos 2 x ? 1) ? ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? sin(2 x ? ) , 4 2 2 2
7分 8分 10 分

∴ f ( x) 的最小正周期为 ? ; (2) f (

?
2

? ? ? ? 3 ? ) ? sin[2( ? ) ? ] ? sin ? ? , 8 2 8 4 5

? 4 3 由 ? ? (0, ) 可知, cos ? ? , tan ? ? , 2 5 4
3 ?1 4 ?4 ?7. ∴ tan(? ? ) ? 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? 3 4 4

?

tan ? ? tan

?

12 分

考点:三角恒等变形. 19.(1) a ? b 与 a ? b 的夹角为 【解析】 试题分析:(1)由条件中 a ? (1, 2) , b ? (?3, 4) 可求得 a ? b ? (?2, 6) 与 a ? b ? (4, ?2) ,从而可 求得 (a ? b)(a ? b) ? ?2 ? 4 ? 6 ? (?2) ? ?20 , | a ? b |? 40 , | a ? b |? 20 ,再由平面向量数量积 的定义 (a ? b)(a ? b) ?| a ? b | ? | a ? b | ? cos ? a ? b, a ? b ? 可求得 cos ? a ? b, a ? b ?? ?

3? ;(2) ? ? ?1 . 4

?

?

? ?

? ?

? ? ? ?

? ?

? ?

? ? ? ?

? ?

? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

2 , 从而 2
10

? ? ? ? ? ? ? ? 3? ;(2)由 a ? (a ? ? b) 可知 a ? (a ? ? b) ? 0 ,再由已知条件 a ? (1, 2) , b ? (?3, 4) 4 ? ? 可求得 a ? ?b ? (1 ? 3?, 2 ? 4?) ,从而可以得到关于 ? 的方程 1 ? 3? ? 4 ? 8? ? 0 即可解得 ? ? ?1 .
可知夹角为 试题解析:(1)∵ a ? (1 , 2) , b ? (?3 , 4) , ∴ a ? b ? (?2 , 6) , a ? b ? (4 , ?2) , ∴ cos ? a ? b,a ? b ??
(?2, 6) ? (4, ? 2) 40 ? 20 ? ?20 40 ? 20

2分
?? 2 ; 2

5分

又∵ ? a ? b,a ? b ?? (0, ? ) ,∴ ? a ? b,a ? b ?? (2)当 a ? (a ? ? b) 时, a ? (a ? ?b) ? 0 ,

3? ; 4

6分

8分 12 分

2) ? (1 ? 3?, 2 ? 4? ) ? 0 ,则 1 ? 3? ? 4 ? 8? ? 0 ,∴ ? ? ?1 . ∴ (1,

考点:平面向量的数量积. 20.(1)f(x)=2sin(2x+ (2)x=

k? ? + (k∈Z) 2 6

? )+1 6

【解析】解:(1)因 T=π ,∴ω =2,最大值为 3, ∴A=2. ∴f(x)=2sin(2x+φ )+1,

? )= 3 +1, 4 ? ∴2sin( +φ )+1= 3 +1, 2
∵f( ∴cosφ =

3 . 2

? ? ,∴φ = . 2 6 ? ∴f(x)=2sin(2x+ )+1. 6 ? (2)由 f(x)=2sin(2x+ )+1, 6 ? k? ? 令 2x+ =kπ ,得 x= - (k∈Z), 2 12 6 k? ? ∴对称中心为( - ,1)(k∈Z), 2 12 ? ? k? ? 由 2x+ =kπ + ,得 x= + (k∈Z), 2 6 2 6
∵0<φ <
11

k? ? + (k∈Z). 2 6 7? 11? 21.(1)x= 或 x= (2)(5,+ ∞) 12 12 3x x 3x x 【解析】(1)∵a+b=(cos -sin ,sin -cos ), 2 2 2 2
∴对称轴方程为 x= ∴|a+b|= ? cos

? ?

3x x? ? 3x x? ? sin ? ? ? sin ? cos ? = 2 ? 2sin 2x , 2 2? ? 2 2?
1 . 2

2

2

由|a+b|= 3 ,得 2 ? 2sin 2 x = 3 ,即 sin 2x=- ∵x∈[

? ,π ],∴π ≤2x≤2π . 2 ? ? 7? 11? 因此 2x=π + 或 2x=2π - ,即 x= 或 x= . 12 12 6 6 3x x 3x x (2)∵a·b=-cos sin -sin cos =-sin 2x, 2 2 2 2
∴f(x)=a·b+|c+b| =2-3sin 2x, ∵π ≤2x≤2π ,∴-1≤sin 2x≤0, ∴2≤f(x)=2-3sin 2x≤5,∴[f(x)]max=5. 又 c>f(x)恒成立, 因此 c>[f(x)]max,则 c>5. ∴实数 c 的取值范围为(5,+∞). 22.(1)1 (2)
2

17 25

【解析】(1)因为 f(x)= 2 cos ? x ?

? ?

?, 12 ?

? ?

所以 f ? ?

? ?? ? ? ? ? ? = 2 cos ? ? ? ? ? 6? ? 6 12 ?

= 2 cos ? ?

? ? ?? 2 = 2× =1. ? = 2 cos 4 ? 4? 2
3 ? 3? ? , 2? ? ,cos θ = , 5 ? 2 ?

(2)因为θ ∈ ?

所以 sin θ =- 1 ? cos 2 ? =- 1 ? ? ? =- , 5 ?5?

?3?

2

4

12

cos 2θ =2cos2θ -1=2× ? ? 2-1=-

?3? ?5?

7 , 25

sin 2θ =2sin θ cos θ =2×

3 ? 4? 24 ×?? ? = ? . 5 ? 5? 25

所以 f ? 2? ?

? ?

??

? ? ? ? ? = 2 cos ? 2? ? ? ? 3 12 ? 3? ?
??
? 2 ? 2 cos 2? ? sin 2? ? ? = 2 ×? ? ? 2 4? ? 2 ?
7 ? 24 ? 17 -?? ?= . 25 ? 25 ? 25
9 ?. 2

= 2 cos ? 2? ?

? ?

=cos 2θ -sin 2θ =-

23.(1)最小正周期为 T ? 8 ,单调递增区间是 ?8k ? 3 , 8k ?1? ( k ? Z );(2) S ? 【解析】 试题分析:(1)首先应用三角函数公式,化简 f ( x) ? 2 2 sin 到

?
8

x cos

?
8

x ? 2 2 cos 2

?
8

x? 2 得

f ( x) ? 2 sin(

?
4

x?

?
4

) , 其 最 小 正 周 期 为 T ?8 , 由 复 合 函 数 的 单 调 性 , 根 据

2 k? ?

?
2

?

?
4

x?

?
4

? 2k? ?

?
2

解得函数 f ( x) 的单调递增区间是 ?8k ? 3 , 8k ?1? ( k ? Z );

(2)由已知求得, P(2, 2), Q(4, ? 2) . | OP |? 6, | PQ |? 2 3, | OQ |? 3 2

??? ? ???? OP ? OQ 3 6 ? ???? ? 从而 cos ?POQ ? ??? , sin ?POQ ? 1 ? cos 2 ?POQ ? , | OP | ? | OQ | 3 3


| PQ | ? 2 R ,求得 ?OPQ 的外接圆的半径为 R ,进一步计算. sin ?POQ

试题解析:(1) f ( x) ? 2 2 sin

?
8

x cos

?
?
8

x ? 2(2 cos 2

?
8

x ? 1)
2分

? 2 sin

?
4

x ? 2 cos

?
4

x ? 2sin(

所以,函数 f ( x) 的最小正周期为 由 2 k? ?

x? ), 4 4 2? T? ?8

?

?



3分

?
2

?

?
4

x?

?
4

? 2k? ?

?
2

4
( k ? Z )得 8k ? 3 ? x ? 8k ? 1( k ? Z ), 5分
13

? 函数 f ( x) 的单调递增区间是 ?8k ? 3 , 8k ?1? ( k ? Z )

(2)? f (2) ? 2sin(

?
2

?

?
4

) ? 2 cos

?
4

? 2,

f (4) ? 2sin(? ? ) ? ?2sin ? ? 2 , 4 4

?

?

? P(2, 2), Q(4, ? 2) ? | OP |? 6, | PQ |? 2 3, | OQ |? 3 2

7分

??? ? ???? OP ? OQ 2 ? 4 ? 2 ? (? 2) 3 ? ???? ? ? 从而 cos ?POQ ? ??? 3 | OP | ? | OQ | 6 ?3 2
?sin ?POQ ? 1 ? cos 2 ?POQ ?
设 ?OPQ 的外接圆的半径为 R ,

6 , 3

10 分



| PQ | 2 3 3 2 | PQ | ?R? ? ? ? 2R 2sin ?POQ 2 6 sin ?POQ 2? 3
12 分

9 ? ?OPQ 的外接圆的面积 S ? ? R 2 ? ? 2
考点:三角函数式的化简,三角函数的性质,正弦定理的应用,圆面积公式. 24.(1) A ? 【解析】

π 9 3 ,(2) SΔ ABC ? . 4 6 π , 6

试题分析: (1) 由条件 m ? n 可得 m ? n ? sin A ? cos B ? 0 , 此时有两个解题思路: 一是消元, 由C ?
A? B ?C ? π , 所以 sin A ? cos(

5π 5π π π 2π π ? A) ? 0 , 又0? A? , 所以 ( A ? ) ? (? , ) , 所以 A ? ? 0 , 6 6 6 6 3 6

π ? , 二是利用诱导公式转化条件, 因为 sin A ? cos B ? 0 , 所以 sin A ? ? cos B,sin A ? sin( B ? ), 6 2 5π ? π 5π 因为 0 ? A, B ? ,所以 A ? B ? , 而 A ? B ? ,因此 A ? ,(2)由(1)知三角形的三个内 6 2 6 6
即 A?

??? ? ??? ? 角,所以求面积的关键在于求边,由角关系可知三边关系为 1:1: 3. 设 BD ? x ,得 BC ? 3x ,所以
??? ? 2π BA ? 3 x ,在△ ABD 中,由余弦定理,得 ( 13)2 =(3x)2 ? x2 ? 2 ? 3x ? x cos ,解得 x ? 1 ,所以

3

AB ? BC ? 3 ,所以 SΔ ABC ?

1 1 2π 9 3 . BA ? BC ? sin B ? ? 3 ? 3 ? sin ? 2 2 3 4
2分 4分

试题解析:(1)由题意知 m ? n ? sin A ? cos B ? 0 , 又C ?

π 5π , A ? B ? C ? π ,所以 sin A ? cos( ? A) ? 0 , 6 6

14

π 3 1 cos A ? sin A ? 0 ,即 sin( A ? ) ? 0 , 2 2 6 5π π π 2π π π 又0? A? ,所以 ( A ? ) ? (? , ) ,所以 A ? ? 0 ,即 A ? . 6 6 6 3 6 6 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)设 BD ? x ,由 3BD ? BC ,得 BC ? 3 x ,
即 sin A ? 由(1)知 A ? C ?

6分 7分

??? ? π 2π ,所以 BA ? 3 x , B ? , 6 3

在△ ABD 中,由余弦定理,得 ( 13)2 =(3x)2 ? x2 ? 2 ? 3x ? x cos 解得 x ? 1 ,所以 AB ? BC ? 3 , 所以 SΔ ABC ?

2π , 3

10 分 12 分

1 1 2π 9 3 . 14 分 BA ? BC ? sin B ? ? 3 ? 3 ? sin ? 2 2 3 4 1 1 2π 9 3 考点:三角函数 SΔ ABC ? BA ? BC ? sin B ? ? 3 ? 3 ? sin 化简,余弦定理 ? 2 2 3 4

15


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