kl800.com省心范文网

高中数学选修2-3第一章计数原理复习与小结 课件(含23张ppt)(北师大版选修2-3)


第十课时第一章 计数原理复习与小结

【教学目标】 1. 理解两个原理,并会应用解题; 2. 掌握排列组合的概念并且会灵活运用; 3. 掌握二项式定理的内容和熟练运用解题。 【导入新课】 复习回顾:1.加法原理与乘法原理; 2.排列和排列数的概念、组合与组合数的概 念,以及灵活运用解题; 3.二项式定理的内容。

新授课阶段 主干知识梳

理 1.分类计数原理和分步计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成, 则要用分 类加法计数原理将方法种数相加; 如果需要通过若干 步才能将规定的事件完成, 则要用分步乘法计数原理 将各步的方法种数相乘. 2.排列与组合 (1)排列: 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素, 按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个排列.从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数公式是 Am n =n(n-1)(n-2)…(n-m n! m +1)或写成 An = . ( n -m ) !

(2)组合:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元 素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个组合.从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的组合数公式是 n(n-1)(n-2)…(n-m+ 1) m Cn = , m! n! m 或写成 Cn = . m !( n -m ) ! (3)组合数的性质 n -m ①C m = C ; n n m m-1 ②C m = C + C . + n 1 n n 3.二项式定理 n 0 1 n-1 2 n -2 2 (1)定理:(a+b)n=C0 a b + C a b + C b n n na n -r r 0 n +…+ C r a b + …+ C n n na b (r= 0,1,2, …,n).

(2)二项展开式的通项 n -r r Tr+1=Cr a b , r= 0,1,2,… ,n,其中 Cr n n叫 做二项式系数. (3)二项式系数的性质 ①对称性: 与首末两端 “等距离”两项的二项式 系数相等, n 1 n -1 k n -k 即 C0 = C , C = C , … , C = C n n n n n n ,…. ②最大值:当 n 为偶数时,中间的一项的二项式 系数 取得最大值;当 n 为奇数时,中间 的两项的二项式系数相等,且同时取得最大 值. ③各二项式系数的和 1 2 k n n a. C0 n+C n+C n+…+C n+…+ C n=2 ; 2 2r 1 3 2r+ 1 b. C0 + C + … + C + … = C + C + … + C n n n n n n 1 n - +…= · 2 = 2n 1. 2

典例分析 题型一两个计数原理 例 1、如图所示,花坛内有五个花池,有五种 不同颜色的花卉可供栽种,每个花池内只能种

同种颜色的花卉,相邻两池的花色不同,则 最多的栽种方案有( ) A.180 种 B.240 种 C. 360 种 C. 420 种 解 题 导 引 题意 → 按花色分类 → 每一类再分步 → 结果

(1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计 数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们 可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加 直观、清晰. (2)当两个原理混合使用时,一般是先分类, 在每类方法里再分步. D [由题意知,最少用三种颜色的花卉,按 照花卉选种的颜色可分为三类方案,即用三种颜 色,四种颜色,五种颜色. ①当用三种颜色时,花池 2、4 同色和花池 3、 5 同色,此时共有 A3 5种方案. ②当用四种颜色时,花池 2、4 同色或花池 3、 5 同色,故共有 2A4 5种方案. 5 ③当用五种颜色时有 A5 种方案. 3 5 因此所有栽种方案为 A5 +2A4 + A ] 5 5=420(种).

题型二 排列与组合 例 2 4 个不同的球, 4 个不同的盒子, 把球全部放入盒内. (1)恰有 1 个盒不放球,共有几种放法? (2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共有几种放法? (3)恰有 2 个盒不放球,共有几种放法? 分析: (1)确定一个空盒→ 将四个球放 入 3 个盒内→ 选 2 个球放入一个盒内. (2)与(1)的含义相同. (3)4 个球放入 2 个盒子,可以平均放也 可以不平均放.

解:(1)为保证 “恰有 1 个盒不放球”,先从 4 个 盒子中任意取出去一个,问题转化为 “4 个球, 3 个 盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把 4 个球分成 2,1,1 的三组,然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球,其余 2 个球放在另外 2 个盒子内,由 2 1 2 分步计数原理,共有 C1 4C 4C3×A 2=144(种) . (2)“恰有 1 个盒内有 2 个球”,即另外 3 个盒子 放 2 个球,每个盒子至多放 1 个球,也即另外 3 个 盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有 1 个盒内有 2 个 球”与 “恰有 1 个盒不放球”是同一件事,所以共有 144 种放法.

(3)确定 2 个空盒有 C2 4种方法. 4 个球放进 2 个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类, 1 2 第一类有序不均匀分组有 C3 4C1A 2种方法; 2 C2 4C 2 2 第二类有序均匀分组有 2 · A 种方法. A2 2 2 2 C4 C2 2 2 3 1 2 故共有 C 4(C4C 1A 2+ 2 · A )=84( 种). A2 2 探究提高 对于排列、 组合的综合题目, 一般是 将符合要求的元素取出或进行分组,再对取出的元 素或分好的组进行排列,即一般策略为先组合后排 列.分组时,要注意 “平均分组”与 “不平均分组”的 差异及分类的标准.

题型三 求二项展开式的通项、指定项 例 3 设 f(x)=(1+x)m+(1+x)n 展开式中 x 的 系数是 19(m,n∈N *). (1)求 f(x)展开式中 x 2 的系数的最小值; (2)当 f(x)展开式中 x 2 的系数取最小值时,求 f(x)展开式中 x 7 的系数. 解:f(x)=(1+x)m+(1+x)n 展开式中的 x 的系 数是 19. 1 即 C1 m+C n=19,∴m+n= 19. (1)f(x)展开式中 x2 的系数为: (19-n)(18-n) 2 2 2 2 Cm+Cn=C 19-n+Cn= + 2 ? n(n-1) 19?2 323 2 =n - 19n+ 171= ?n- ? + . 2 2? 4 ?

2 又∵n∈N*, ∴当 n=9 或 n=10 时, C2 m+Cn的 ?1?2 323 324 最小值为?2? + 4 = 4 =81.∴x2 的系数的最小 ? ? 值为 81. (2)由(1)知当 n=9, m=10 或 n=10, m=9 时, 7 3 x2 的系数最小.此时 x7 的系数为 C7 10+C9=C10+ 2 C9 =156. 探究提高 二项式定理是一个恒等式,求二项 展开式中某指定项的系数、 二项式系数或指定项问 题, 是二项式定理的常考问题, 通常用通项公式来 解决.在应用通项公式时,要注意以下几点:

(1)它表示二项展开式的任意项,只要 n 与 r 确定,该项就随之确定; (2)Tr+1 是展开式中的第 r+1 项,而不是第 r 项; (3)公式中 a,b 的指数和为 n 且 a,b 不能随 便颠倒位置; (4)要将通项中的系数和字母分离开,以便于 解决问题; (5)对二项式(a-b)n 展开式的通项公式要特别 注意符号问题.

题型四 二项式定理中的 “赋值”问题 例 4 若(1- 2x)2 011=a 0+a 1x+… a1 a2 a2 011 2 011 +a2 011x (x∈ R),则 + 2+…+ 2 011的值 2 2 2 为________. 解析:∵(1- 2x)2 011=a0+a 1x+… +a2 011x2 011(x∈R) , 1 ∴令 x= 0,则 a0=1,令 x= , 2 ? 1?2 011 a1 a2 a2 011 则?1- 2× ? =a 0+ + 2 +…+ 2 011=0, 2? 2 2 2 ? a1 a2 a2 011 其中 a0=1,所以 + 2+…+ 2 011=-1. 2 2 2

探究提高 在二项式定理的应用中,“赋值思 想”是一种重要方法,是处理组合数问题、系数问 题的经典方法. 例 5 把 3 盆不同的兰花和 4 盆不同的玫瑰花 摆放在右图图案中的 1,2,3,4,5,6,7 所示的位置上, 其中三盆兰花不能放在一条直线上,则不同的摆 放方法为________种.(用数字回答) 解析:排列与组合是解决概率问题的工具, 在高考试卷中一般含有一道专门考查排列与组合 的小题,也可在概率和随机变量分布中考查.单 独考查,难度不大. 1 3 4 解析:A7 A4=4 320. 7-C5A3·

3 n 例 6 已知( x+ ) 的展开式中, 各项系数的 3 x 和与各项二项式系数的和之比为 64,则(1-x)n 的 展开式中系数最小的项是第________项. 解析:二项展开式的通项公式的运用及二项 式系数性质的运用等是高考的热点内容.二项式 定理在高考中可单独命题,主要以填空题的形式 出现,属于中低档难度的题目.原式的展开式中, 各项系数的和为 4n,各项二项式系数的和为 2n.由 4n 已知,得2n=64,所以 n=6. (1-x)6 的展开式中,第 4 项的系数最小,为 -C3 6=-20. 答案为 4.

课堂小结 1.排列、组合应用题的解题策略 (1)在解决具体问题时, 首先必须弄清楚是“分 类”还是“分步”,接着还要搞清楚“分类”或者“分 步”的具体标准是什么. (2)区分某一问题是排列还是组合问题,关键 看选出的元素与顺序是否有关.若交换某两个元 素的位置对结果产生影响,则是排列问题;若交 换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组 合问题.也就是说排列问题与选取元素的顺序有 关,组合问题与选取元素的顺序无关.

(3)排列、组合综合应用问题的常见解法:① 特殊元素( 特殊位置)优先安排法; ②合理分类与准 确分步;③排列、组合混合问题先选后排法;④ 相邻问题捆绑法;⑤不相邻问题插空法;⑥定序 问题倍缩法;⑦多排问题一排法;⑧ “小集团”问 题先整体后局部法;⑨构造模型法;⑩正难则反、 等价转化法. 2.二项式定理是一个恒等式,对待恒等式通 常有两种思路: 一是利用恒等定理(两个多项式恒等,则对应 项系数相等);二是赋值.这两种思路相结合可以 使得二项展开式的系数问题迎刃而解.

另外,通项公式主要用于求二项式的指数, 求满足条件的项或系数,求展开式的某一项或系 数,在运用公式时要注意以下几点: n-r r (1)Cr a b 是第 r+1 项,而不是第 r 项; n n-r r (2)运用通项公式 Tr+1=Cr a b 解题,一般都 n 需先转化为方程(组)求出 n、 r, 然后代入通项公式 求解. (3)求展开式的特殊项,通常都是由题意列方 程求出 r,再求出所需的某项;有时需先求 n,计 算时要注意 n 和 r 的取值范围及它们之间的大小 关系.

课堂练习 1、如图所示为一电路图,从 A 到 B 共有 ________条不同的线路可通电.

解析 按上、中、下三条线路可分为三类: 上线路中有 3 条,中线路中有 1 条,下线路中有 2× 2= 4(条 ),根据分类加法计数原理,共有 3+ 1 + 4= 8(条 ). 2、 (1)一条长椅上有 9 个座位, 3 个人坐, 若相邻 2 人之间至少有 2 个空椅子,共有几种不 同的坐法?

(2)一条长椅上有 7 个座位,4 个人坐,要求 3 个空位中,恰有 2 个空位相邻,共有多少种不同 的坐法? 解:(1)先将 3 人(用× 表示)与 4 张空椅子(用□ 表示)排列如图(×□□×□□×),这时共占据了 7 张椅 子,还有 2 张空椅子,一是分开插入,如图中箭 头所示(↓×□↓□×□↓□×↓), 从 4 个空当中选 2 个插入, 2 有 C4 种插法;二是 2 张同时插入,有 C1 4种插法, 3 2 再考虑 3 人可交换有 A3 种方法. 所以, 共有 A3 3(C4 +C1 4)=60(种); 4 (2)可先让 4 人坐在 4 个位置上, 有 A4 种排法, 再让 2 个“元素”(一个是两个作为一个整体的空 位,另一个是单独的空位)插入 4 个人形成的 5 个 “空当”之间,有 A2 5种插法,所以所求的坐法数为 4 2 A4 · A5=480.

16 3、 (1+ x+ x )(x- ) 的展开式中的常数项为 x ________. 1 解析:(1+x+x 2)(x- )6 x 10 11 2 0 6 1 5 =(1+x +x )[C6x (- ) + C6x (- ) + x x 12 13 14 2 4 3 3 4 2 C6x (- ) + C 6x (- ) +C6x (- ) + x x x 15 16 5 6 0 C6x(- ) +C6x (- ) ]=(1+x +x2)(x 6- x x 15 6 1 6x4+15x 2- 20+ 2 - 4+ 6), x x x 15 所以常数项为 1× (-20)+x 2· 2 =- 5. x
2

a 1 4、(x+x)(2x-x)5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展 开式中常数项为______. 解析:令 x=1 得(1+a)(2-1)5=1+a=2,所以 a=1. 1 1 1 因此(x+x)(2x-x)5 展开式中的常数项即为(2x-x)5 展开 1 1 式中x的系数与 x 的系数的和.(2x-x)5 展开式的通项为 Tr+1 - 5-r 5-r 5-2r =Cr · (-1)r· x r=Cr x · (-1)r. 5(2x) 52 1 令 5-2r=1,得 2r=4,即 r=2,因此(2x-x)5 展开式中 5-2 x 的系数为 C2 (-1)2=80.令 5-2r=-1,得 2r=6,即 r 52 15 1 5-3 =3,因此(2x-x) 展开式中x的系数为 C3 · (-1)3=-40. 52 1 1 所以(x+x)(2x-x)5 展开式中的常数项为 80-40=40.


高中选修2-3第一章计数原理知识点总结与训练

高中选修2-3第一章计数原理知识点总结与训练_高二数学_数学_高中教育_教育专区。很好很好的资料,不信自己看看吧,你肯定会满意的啊第...

高中数学选修2-3知识点及章节练习

搜 试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...数学选修 2-3 第一章计数原理知识点什么是分类加法...选修 2—3 第一章复习题 1.设东、西、南、北...

人教A版教材选修2-3第一章计数原理习题解答

搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学 ...人教A版教材选修2-3第一章计数原理习题解答人教A版教材选修2-3第一章计数原理...

高二数学 选修2-3 第一章 计数原理

搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高二数学 选修2-3 第一章 计数原理高二数学 选修2...(2)令 x=y=1,各项系数(2-3) =(-1) =...

(数学选修2--3) 第一章 计数原理

搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高中数学选修2-3所有试卷含... 27页 免费 高中排列...选择题 第一章 计数原理 1.将 3 个不同的小球...

选修2-3第一章

高中数学课件 数系的扩充与... 18页 免费 A4正式...高三数学复习课模式的探讨 23页 免费如要投诉违规内容...选修2-3第一章 计数原理计数原理隐藏>> 第一章 ...

高二数学选修2-3第一章 计数原理

(2)通过对两个原理的应用,提高学生对数学知识的应用能力; 3.情感态度与价值观: (1)了解学习本章的意义,激发学生的学习兴趣 ;(2)引导学生形成 “自主学习”与...

高中数学选修2-3 复习小结

高中数学选修2-3 复习小结_高二数学_数学_高中教育...2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成 n 个...高中数学北师大版选修2-... 40页 1下载券 北师大...

数学:第一章《计数原理》测试(2)(新人教A版选修2-3)

数学:第一章计数原理》测试(2)(新人教A版选修2-3)_数学_高中教育_教育专区...16. 从班委会 5 名成员中选出 3 名, 分别担任班级学习委员、 文娱委员与...