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2015年上海市高三学业水平考试暨春季高考数学试卷(含答案,有附加题)


2015 年上海市春季高考数学试卷(学业水平考试)
一. 填空题(本大题共 12 题,每题 3 分,共 36 分) 1. 设全集为 U ? {1, 2,3} , A ? {1, 2},若集合则 CU A ? 2. 计算: ;

1? i ? i

; (其中 i 为虚数单位)

3. 函数 y ? sin(2 x ? 4. 计算: lim

?
4

) 的最小正周期为




n2 ? 3 ? n ?? 2n 2 ? n

5. 以 (2, 6) 为圆心, 1 为半径的圆的标准方程为 6. 已知向量 a ? (1,3) , b ? (m, ?1) ,若 a ? b ,则 m ? 7. 函数 y ? x ? 2x ? 4 , x ? [0, 2] 的值域为
2

; ;

?

?

?

?

; ;

8. 若线性方程组的增广矩阵为 ?

? a 0 2? ?x ? 2 ,则 a ? b ? ? ,解为 ? ?0 1 b? ? y ?1
; ;

9. 方程 lg(2 x ?1) ? lg x ?1 的解集为 10. 在 ( x ?

1 9 ) 的二项展开式中,常数项的值为 x2

11. 用数字组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为

; (结果用数值表示)

12. 已知点 A(1, 0) , 直线 l : x ? ?1 , 两个动圆均过点 A 且与 l 相切, 其圆心分别为 C1 、C2 , 若动点 M 满足 2C2 M ? C2C1 ? C2 A ,则 M 的轨迹方程为 二. 选择题(本大题共 12 题,每题 3 分,共 36 分) 13. 若 a ? 0 ? b ,则下列不等式恒成立的是( A. )
2 2 C. a ? b 3 3 D. a ? b ;

????? ? ????? ???? ?



1 1 ? a b

B. ? a ? b )

14. 函数 y ? x2 (x ? 1) 的反函数为( A. y ? C. y ? 15. 不等式

x ( x ? 1)

B. y ? D. y ? )

? x ( x ? ?1)

x ( x ? 0)
2 ? 3x ? 0 的解集为( x ?1 3 4
B. (??, )

? x ( x ? 0)

A. (??, )

2 3

C. (??, ) ? (1, ??) )

2 3

D. ( ,1)

2 3

16. 下列函数中,是奇函数且在 (0, ??) 上单调递增的为(
1

A. y ? x

2

B. y ? x

1 3

C. y ? x )

?1

D. y ? x

?

1 2

17. 直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 的倾斜角为( A. arctan

3 4

B. ? ? arctan

3 4

C. arctan )

4 3

D. ? ? arctan

4 3

18. 底面半径为 1,母线长为 2 的圆锥的体积为( A. 2? B.

3?

C.

2? 3

D. )

3? 3

19. 以 (?3, 0) 和 (3, 0) 为焦点,长轴长为 8 的椭圆方程为( A.

x2 y 2 ? ?1 16 25

B.

x2 y 2 ? ?1 16 7

C.

x2 y 2 ? ?1 25 16

D.

x2 y 2 ? ?1 7 16


20. 在复平面上, 满足 | z ?1| ? | z ? i |( i 为虚数单位) 的复数 z 对应的点的轨迹为 ( A. 椭圆 B. 圆 C. 线段 D. 直线

21. 若无穷等差数列 {an } 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 , {an } 的前 n 项和为 Sn ,则( A. Sn 单调递减 C. Sn 有最大值 B. Sn 单调递增 D. Sn 有最小值 )



22. 已知 a ? 0 , b ? 0 ,若 a ? b ? 4 ,则( A. a 2 ? b 2 有最小值 C. B. D.

ab 有最小值
1 有最大值 a? b

m?1 D. Cn ?1

1 1 ? 有最大值 a b

m m?1 m?2 23. 组合数 Cn (n ? m ? 2, m, n ? N * ) 恒等于( ? 2Cn ? Cn m A. Cn ?2 m?1 B. Cn ?2 m C. Cn ?1

2 2 2 24. 设集合 P 1 ? {x | x ? ax ? 1 ? 0} , P 2 ? {x | x ? ax ? 2 ? 0} , Q 1 ? {x | x ? x ? b ? 0} ,

Q2 ? {x | x2 ? 2x ? b ? 0},其中 a, b ? R ,下列说法正确的是(
b A.对任意 a , P 1是 P 2 的子集;对任意的 , Q 1 不是 Q2 的子集 b B. 对任意 a , P 1是 P 2 的子集;存在 ,使得 Q 1 是 Q2 的子集 b C. 存在 a ,使得 P 1 不是 P 2 的子集;对任意的 , Q 1 不是 Q2 的子集 b D. 存在 a ,使得 P 1 不是 P 2 的子集;存在 ,使得 Q 1 是 Q2 的子集
三. 解答题(本大题共 5 题,共 8+8+8+12+12=48 分)



AB ? 1 , D1B 和平面 ABCD 所成的角的大 25. 如图,在正四棱柱中 ABCD ? A 1B 1C1D 1,
小为 arctan

3 2 ,求该四棱柱的表面积; 4
2

x 2 ? ax ? 4 26. 已知 a 为实数,函数 f ( x) ? 是奇函数,求 f ( x ) 在 (0, ??) 上的最小值及取 x
到最小值时所对应的 x 的值;

27. 某船在海平面 A 处测得灯塔 B 在北偏东 30? 方向,与 A 相距 6.0 海里,船由 A 向正北方 向航行 8.1 海里到达 C 处,这时灯塔 B 与船相距多少海里(精确到 0.1 海里)? B 在船的什 么方向(精确到 1 )?
?

28. 已知点 F1 、 F2 依次为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a, b ? 0) 的左右焦点, F 1F 2 ?6, a 2 b2

B1 (0, ?b) , B2 (0, b) ; ? ? (1)若 a ? 5 ,以 d ? (3, ?4) 为方向向量的直线 l 经过 B1 ,求 F2 到 l 的距离; ???? ???? ? (2)若双曲线 C 上存在点 P ,使得 PB1 ? PB2 ? ?2 ,求实数 b 的取值范围;

29. 已知函数 f ( x) ? | 2x?2 ? 2 | ( x ? R) ; (1)解不等式 f ( x) ? 2 ; (2)数列 {an } 满足 an ? f (n) (n ? N ) , Sn 为 {an } 的前 n 项和,对任意的 n ? 4 ,不等式
*

Sn ?

1 ? kan 恒成立,求实数 k 的取值范围; 2

3

附加题
一. 选择题(本大题共 3 题,每题 3 分,共 9 分) 1. 对于集合 A 、 B , “ A ? B ”是“ A ? B ? ? A ? B ”的( A. 充分非必要条件 C. 充要条件 B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 ) )

2. 对于任意实数 a 、 b , (a ? b)2 ? kab 均成立,则实数 k 的取值范围是( A. {?4, 0} B. [?4, 0] C. (??, 0]

D. (??, ?4] ? [0, ??) )

3. 已知数列 {an } 满足 an ? an?4 ? an?1 ? an?3 (n ? N ? ) ,那么( A. {an } 是等差数列 C. {a2 n } 是等差数列 B. {a2 n?1} 是等差数列 D. {a3n } 是等差数列

二. 填空题(本大题共 3 题,每题 3 分,共 9 分) 4. 关于 x 的实系数一元二次方程 x2 ? px ? 2 ? 0 的两个虚数根为 z1 、 z2 ,若 z1 、 z2 在复平 面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点,则该椭圆的长轴长为 ;

5. 已知圆心为 O ,半径为 1 的圆上有三点 A 、 B 、 C ,若 7OA ? 5OB ? 8 OC ? 0 ,则

??? ?

??? ?

????

?

??? ? | BC | ?



6. 函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图像拼成如图所示的“Z”字形 折线段 ABOCD ,不含 A(0,1) , B(1,1) , O (0, 0) ,

C (?1, ?1) , D(0, ?1) 五个点,若 f ( x) 的图像关于
原点对称的图形即为 g ( x) 的图像,则其中一个函数 的解析式可以为 三. 解答题(本大题 12 分) 7. 对于函数 f ( x ) 、 g ( x) ,若存在函数 h( x) ,使得 f ( x) ? g ( x) ? h( x) ,则称 f ( x ) 是 g ( x) 的“ h( x) 关联函数” (1)已知 f ( x) ? sin x , g ( x) ? cos x ,是否存在定义域为 R 的函数 h( x) ,使得 f ( x ) 是 ;

g ( x) 的“ h( x) 关联函数”?若存在,写出 h( x) 的解析式;若不存在,说明理由;
(2)已知函数 f ( x ) 、 g ( x) 的定义域为 [1, ??) ,当 x ? [n, n ? 1) (n ? N ) 时, f ( x) ?
?

x ?1, 若存在函数 h1 ( x) 及 h2 ( x) , 使得 f ( x ) 是 g ( x) 的 “ h1 ( x) 关联函数” , 且 g ( x) n 是 f ( x ) 的“ h2 ( x) 关联函数” ,求方程 g ( x) ? 0 的解; 2 n ?1 sin

4

参考答案
一. 填空题: 2. 1 ? i ;

1. {3} ;

3.

?;

4. 0.5 ; 7. [3, 4] ; 8. 2 ;

5. ( x ? 2)2 ? ( y ? 6)2 ? 1 ; 9. {2} ; 10. 84 ;

6. 3 ; 11. 320 ;

12. y 2 ? 2 x ? 1;

二. 选择题:

13. D; 19. B;

14. A; 20. D;

15. D; 21. C;

16. B; 22. A;

17. A; 23. A;

18. D;

24. B(若 b ? 2, Q1 ? Q2 ? R, 此时Q1 ? Q2 );

三. 解答题: 25. 8 ; 26. a ? 0 , x ? 2 , f min ( x) ? 4 ;
? 27. BC ? 4.2 海里,南偏东 46 ;

28.(1) d ? 3.6 ; (2) b ? 29.(1) x ? 4 ; (2) k ?

22 ; 2

25 ; 14

n?2 (2)解: an ? 2 ? 2 ;

n ? 4时,Sn ? a1 ? a2 ? ?? an ?
?1 0 1 2 n?2 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2

?

? ?

? ?

? ?

?

?

?

=

5 2(2n ?2 ? 1) 9 ? ? 2(n ? 2) = ? 2 n ?1 ? 2n 2 2 2 ?1

2n?1 ? 5 ? 2n 1 1 n ?1 Sn ? ? 5 ? 2 ? 2 n ; S n ? ? kan 可化为 k ? 2 2 2n ? 2 ? 2
5

令yn ? f (n) ?
=2?

2n?1 ? 5 ? 2n 2(2n?2 ? 2) ? 9 ? 2n ? 2n ? 2 ? 2 2n ? 2 ? 2

9 ? 2n 2n ? 2 ? 2 9 ? 2(n ? 1) 9 ? 2n ? n?2 2n ?1 ? 2 2 ?2

f (n ? 1) ? f (n) ?
=

(7 ? 2n)(2n?2 ? 2) ? (9 ? 2n)(2n?1 ? 2) (2n?1 ? 2)(2n?2 ? 2)
(2n ? 11) ? 2n?2 ? 4 (2n?1 ? 2)(2n?2 ? 2)

=

当 n ? 6, f (n ? 1) ? f (n) ? 0 ,即 f (6) ? f (7) ? f (8) ? ? ? f (n),(n ? 6) 又: f (4) ?

5 11 25 25 25 ? f (5) ? ? f (6) ? , 所以 f (n) min ? f (6) ? , 故:k ? 2 6 14 14 14

附加题 1. C; 4. 2 2 ; 2. B; 5. 3. D;

3;

6. f ( x ) ? ?

? x , ?1 ? x ? 0 ; ?1, 0 ? x ? 1

7.(1)不存在,定义域不为 R ; (2) x ?

?
2



6


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