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【把握高考】2013高三数学 经典例题精解分析 2-2-1 椭圆及其标准方程


2.2 2.2.1





椭圆及其标准方程

双基达标 ?

限时 20 分钟? ( ).

1. P 是椭圆 + =1 上的点, F1, 2 是椭圆的两个焦点, PF1|+|PF2|等于 设 若 F 则| 25 16 A.4 C.8
2

/>
x2

y2

B.5 D.10

解析 由椭圆的标准方程得 a =25,a=5.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=10. 答案 D 2. 已知 F1, 2 是定点, F1F2|=8, F | 动点 M 满足|MF1|+|MF2|=8, 则动点 M 的轨迹是 A.椭圆 C.圆 解析 ∵|MF1|+|MF2|=8=|F1F2|, ∴点 M 的轨迹是线段 F1F2,故选 D. 答案 D 3. 如果方程 2+ A.a>3 B.a<-2 C.a>3 或 a<-2 D.a>3 或-6<a<-2 解析 由于椭圆焦点在 x 轴上, ∴?
?a >a+6, ? ?(a+2)(a-3)>0, ? 即? ?a+6>0, ?a>-6. ? ?
2

(

).

B.直线 D.线段

x2 y2 =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 则实数 a 的取值范围是 a a+6

(

).

?a>3 或-6<a<-2.故选 D. 答案 D 4.已知椭圆的焦点在 y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为 8,焦距为 2 15,则此 椭圆的标准方程为________.
[来源:Zxxk.Com]

解析 由已知 2a=8,2c=2 15, ∴a=4 ,c= 15, ∴b =a -c =16-15=1, ∴椭圆标准方程为 +x =1. 16 答案 +x =1 16
2 2 2

y2

2

y2

2

y2 5.已知椭圆 + =1 的焦距为 6,则 k 的值为________. 20 k
解析 由已知 2c=6, ∴c=3,而 c =9, ∴20-k=9 或 k-20=9, ∴k=11 或 k=29. 答案 11 或 29 6.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在 y 轴上,焦距是 4,且经过点 M(3,2); (2)焦距是 10,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为 26. 解
[来源:Z|xx|k.Com]

x2

2

(1)由焦距是 4 可得 c=2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2).
2 2 2 2

由椭圆的定义知 2a= 3 +(2+2) + 3 +(2-2) =8, 所以 a=4,所以 b =a -c =16-4=12. 又焦点在 y 轴上,所以椭圆的标准方程为 + =1. 16 12 (2)由题意知 2c=10,2a=26,所以 c=5,a=13,所以 b =a -c =13 -5 =144,因为 焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 169 144 169 144 综合提高(限时 25 分钟) 7.已知椭圆的焦点是 F1,F2,P 是椭圆上的一动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|,那 么动点 Q 的轨迹是 A.圆 C.双曲线的一支
[来源:学科网 ZXXK]

2

2

2

y2

x2

2

2

2

2

2

x2

y2

y2

x2

( B.椭圆 D.抛物线
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

).

解析 如图,依题意:

|PF1|+|PF2|=2a(a>0 是常数) . 又∵|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PQ|= 2a,即|QF1|=2a. ∴动点 Q 的轨迹是以 F1 为圆心,2a 为半径的圆,故选 A. 答案 A 8.设 F1,F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2 9 4 的面积等于 A.5 C.3 解析 由椭圆方程,得 a=3,b=2,c= 5, ∴|PF1|+|PF2|=2a=6, 又|PF1|∶|PF2|=2∶1, ∴|PF1|=4,|PF2|=2, 1 1 2 2 2 由 2 +4 =(2 5) 可知△F1PF2 是直角三角形,故△F1PF2 的面积为 |PF1|·|PF2|= ×2 2 2 ×4=4,故选 B. 答案 B π 2 2 9.若 α ∈(0, ),方程 x sin α +y cos α =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 α 的取值范 2 围是________. 解析 方程 x sin α +y cos α =1 可化为
2 2

x2 y2

( B.4 D.1

).

x2

1 sin α



y2

1 cos α

=1.

∵椭圆的焦点在 y 轴上, ∴ 1 1 > >0. cos α sin α

π 又∵α ∈(0, ), 2 ∴sin α >cos α >0, ∴ π π <α < . 4 2

π π 答案 ( , ) 4 2 10. 椭圆 + =1 的两个焦点为 F1 和 F2, P 在椭圆上, 点 线段 PF1 的中点在 y 轴上, 那么|PF1| 12 3

x2

y2

是|PF2|的________倍. 解析 依题意,不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为 F1(-3,0),F2(3,0),设 P 点的坐 标为(x1,y1),由线段 PF1 的中点的横坐标为 0,知
2 2

x1-3
2

=0,∴x1=3.把 x1=3 代入椭圆

x y 3 3 方程 + =1,得 y1=± ,即 P 点的坐标为(3,± ), 12 3 2 2
∴|PF2|=|y1|= 3 . 2

由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=4 3, ∴|PF1|=4 3-|PF2|=4 3- 即 |PF1|=7|PF2|. 答案 7 11.已知椭圆的中心在原点,两焦点 F1,F2 在 x 轴上,且过点 A(-4,3).若 F1A⊥F2A,求椭 圆的标准方程. 3 7 3 = , 2 2

x2 y2 解 设所求椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b
设焦点 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0). ∵F1A⊥F2A,

→ → ∴F1A·F2A=0, → 而F1A=(-4+c,3), → F2A=(-4-c,3),
∴(-4+c)·(-4-c)+3 =0, ∴c =25,即 c=5. ∴F1(-5,0),F2(5,0). ∴2a=|AF1|+|AF2| = (-4+5) +3 + (-4-5) +3 = 10+ 90=4 10. ∴a=2 10, ∴b =a -c =(2 10) -5 =15. ∴所求椭圆的标准方程为 + =1. 40 15 12.(创新拓展)如图,在圆 C:(x+1) +y =25 内有一点 A(1,0),Q 为圆 C 上一点,AQ 的垂
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
[来源:学科网 ZXXK]

2

2

x2

y2

直平分线与 C,Q 的连线交于点 M,求点 M 的轨迹方程.



由题意 知点 M 在线段 CQ 上,

从而有|CQ|=|MQ|+|MC|. 又点 M 在 AQ 的垂直平分线上,则|MA|=|MQ|, ∴|MA|+|MC|=|CQ|=5. ∵A(1,0),C(-1,0), 5 2 2 ∴点 M 的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,且 2a=5,故 a= ,c=1,b =a - 2

c2= -1= .
故点 M 的轨迹方程为 + =1. 25 21 4 4

25 4

21 4

x2

y2


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