kl800.com省心范文网

【数学】2014版《6年高考4年模拟》:第二章 函数与基本初等函数 第三节 函数、方程及其应用


【数学】2014 版《6 年高考 4 年模拟》 第三节 函数、方程及其应用 六年高考荟萃

第一部分

2013 年高考题
1 . (2013 年高考陕西卷 (理) ) 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于 300m
2

的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 x(单位 m)的取值范围



x

40m

40m

(A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30] (D) [20,30] 答案:C 【解析】设矩形高为 y, 由三角形相似得:

x 40 ? y ? , 且x ? 0, y ? 0, x ? 40, y ? 40,xy ? 300 , 利用线性规划知识解得 40 40

x ? [10,30] ,选 C
2 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 重 庆 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 含 答 案 ) )

y?

? 3 ? a ?? a ? 6 ? ? ?6 ? a ? 3? 的最大值为(
B.

)

A.9

9 2

C. 3

D.

3 2 2

答案:B 本题考查函数的最值以及基本不等式的应用。当 ?6 ? a ? 3 时, 3 ? a ? 0,a ? 6 ? 0 ,当

a ? ?6, 3 时,

? 3 ? a ?? a ? 6? ? 0 。所以 ? 3 ? a ?? a ? 6 ? ?

3? a ? a ? 6 9 ? ,当且仅当 2 2

3 3 ? a ? a ? 6 ,即 a ? ? 时去等号。选 B. 2
3.(2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))已知函数

f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 , g ? x ? ? ?x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 ? 8. 设 H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ??, H2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ??, ? max ? p, q?? 表示 p, q 中的较
大值, min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值,记 H1 ? x ? 得最小值为 A, H 2 ? x ? 得最小值为 B ,则

A? B ?
(A) a ? 2a ? 16
2

(B) a ? 2a ? 16
2

(C) ?16

(D) 16

答案:C 并且 f ( x ) 与 g ( x) 的 f ( x) 顶点坐标为 (a ? 2, ?4a ? 4) ,g ( x) 顶点坐标 (a ? 2, ?4a ? 12) , 顶点都在对方的图象上,图象如图, A、B 分别为两个二次函数顶点的纵坐标,所以

A-B= (?4a ? 4) ? (?4a ? 12) ? ?16 ,选 C.
4.(2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版))定义域为 R 的四

个函数 y ? x3 , y ? 2x , y ? x2 ? 1 , y ? 2sin x 中,奇函数的个数是( A . 4 B. 3 C. 2

) D.1

答案:C C;考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为 y ? x3 与 y ? 2sin x ,故选 C.

5.(2013 年高考湖南卷(理))设函数

f ( x) ? a x ? bx ? c x , 其中c ? a ? 0, c ? b ? 0.

(1)记集合 M ? ?(a, b, c) a, b, c不能构成一个三角形的三条边长, 且a=b? ,则

(a, b, c) ? M 所对应的 f ( x) 的零点的取值集合为____.
(2)若 a, b, c是?ABC的三条边长,则下列结论正确的是 ______.(写出所有正确结论的 序号) ① ?x ? ? ??,1? , f ? x ? ? 0; ② ?x ? R, 使xa x , b x , c x不能构成一个三角形的三条边长; ③若 ?ABC为钝角三角形,则?x ? ?1,2? , 使f ? x ? ? 0.

1] 答案:(1) (0,

(2)①②③

c ,所以方程 2 c c c a x ? b x ? c x ?0 可化为 2a x ? c x ? 0 , 即 ( ) x ? 2 又 ? 2 , 所以当 x ? 0 时 2 x ? ( ) x ? 2. a a a c x 此时 0 ? x ? 1 ;当 x ? 0 时 ( ) ? 1 ? 2 ,无解.所以 f ( x ) 的零点的取值集合为 {x 0 ? x ? 1}. a
本 题 考 查 函 数 与 方 程 以 及 命 题 的 真 假 判 断 。 (1) 由 题 意 知 a ? b ?

(2)①令 F ( x) ?

f ( x) a x ? b x ? c x a b ? ? ( ) x ? ( ) x ?1, x x c c c c
x

则 F ' ( x) ? ( ) ln( ) ? ( ) ln( ) ,因为 c ? a ? 0, c ? b ? 0. 所以 ln( ) ? 0, ln( ) ? 0 ,
x

a c

a c

b c

b c

a c

b c

即 F ' ( x) ? ( ) ln( ) ? ( ) ln( ) ? 0 , 所以 F ( x) ?
x x

a c

a c

b c

b c

ax ? bx ? cx a b ? ( ) x ? ( ) x ? 1 是单调 x c c c

递减函数,所以在 (??,1) 上 F ( x) ? F (1) ?

a?b ?1 , c

又 a, b, c是?ABC的三条边长, ? a ? b ? c F ( x) ? F (1) ? 所以 ?x ? ? ??,1? , f ? x ? ? 0;

a?b ?1 ? 0 , c

x x x ② 又 因 为 F ( x) 是 单 调 递 减 函 数 , 所 以 在 R 一 定 存 在 零 点 x0 , 即 a 0 ? b 0 ? c 0 , 此 时

a x0 , b x0 , c x0 不能构成三角形的三边.
③ ?ABC为钝角三角形,则 由余弦定理易知 a ? b ? c ? 0 ,即 f (2) ? 0 ,又 f (1) ? 0 ,
2 2 2

且 f ( x) 连续,所以 ?x ? ?1,2? , 使f ? x ? ? 0. 故①②③都正确。

2012 年高考题
1.[2012· 北京卷] 某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图 1-6 所示. 从目前记录的 结果看,前 m 年的年平均产量最高,m 值为( )

图 1-6 A.5 B.7 C.9 D.11 答案:C [解析] 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势,也就是函数增减速度的快 慢. Sn 法一:因为随着 n 的增大,Sn 在增大,要使 取得最大值,只要让随着 n 的增大 Sn+1-Sn 的 n 值超过 Sn+1-S1 Sn+1-S1 (平均变化)的加入即可,Sn+1-Sn 的值不超过 (平均变化)的舍去,由 n n

图像可知,6,7,8,9 这几年的改变量较大,所以应该加入,到第 10,11 年的时候,改变量明显 变小,所以不应该加入,故答案为 C.

Sm-0 Sm+1-0 Sm Sn Sm Sm +1 法二:假设 是 取的最大值,所以只要 > 即可,也就是 > ,即可以看 m n m m+1 m-0 m+ -0 作点 Qm(m,Sm)与 O(0,0)连线的斜率大于点 Qm+1(m+1,Sm+1)与 O(0,0)连线的斜率,所以观 察可知到第 Q9(9,S9)与 O(0,0)连线的斜率开始大于点 Q10(10,S10)与 O(0,0)连线的斜率.答 案为 C. 2.[2012· 上海卷] 海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为 原点,以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度), 则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处,如图 1-4.现假设:①失事船 12 的移动路径可视为抛物线 y= x2; ②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援; 49 ③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t. (1)当 t=0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的 大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船? 7 12 解:(1)t=0.5 时,P 的横坐标 xP=7t= ,代入抛物线方程 y= x2,得 P 的纵坐标 yP=3. 2 49 由|AP|= 949 ,得救援船速度的大小为 949海里/时. 2

7 7 7 由 tan∠OAP= ,得∠OAP=arctan ,故救援船速度的方向为北偏东 arctan 弧度. 30 30 30 (2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为(7t,12t2). 由 vt= t2+ t2+
2



1? 2 整理得 v2=144? ?t +t2?+337. 1 因为 t2+ 2≥2,当且仅当 t=1 时等号成立. t 所以 v2≥144×2+337=252,即 v≥25. 因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船. 3.[2012· 北京卷] 已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a2=4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值. 解:(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b. 因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以 f(1)=g(1),且 f′(1)=g′(1). 即 a+1=1+b,且 2a=3+b,解得 a=3,b=3. 1 1 1 (2)记 h(x)=f(x)+g(x).当 b= a2 时,h(x)=x3+ax2+ a2x+1,h′(x)=3x2+2ax+ a2. 4 4 4 a a 令 h′(x)=0,得 x1=- ,x2=- . 2 6 a>0 时,h(x)与 h′(x)的情况如下: x h′(x) h(x)

?-∞,-a? 2? ?


a - 2 0

?-a,-a? 6? ? 2


- 0

a 6

?-a,+∞? ? 6 ?


a? ? a a? ? ? a 所以函数 h(x)的单调递增区间为? ?-∞,-2?和?-6,+∞?;单调递减区间为?-2,-6?. a 当- ≥-1,即 0<a≤2 时, 2 1 函数 h(x)在区间(-∞, -1]上单调递增, h(x)在区间(-∞, -1]上的最大值为 h(-1)=a- a2. 4 a a 当- <-1,且- ≥-1,即 2<a≤6 时, 2 6 a? ? a ? 函数 h(x)在区间? ?-∞,-2?内单调递增,在区间?-2,-1?上单调递减,h(x)在区间(-∞, a? -1]上的最大值为 h? ?-2?=1. a a a a -∞,- ?内单调递增,在区间?- ,- ?内单调 当- <-1,即 a>6 时,函数 h(x)在区间? 2? 6? ? ? 2 6 a ? 递减,在区间? ?-6,-1?上单调递增, a? 1 2 1 2 又因 h? ?-2?-h(-1)=1-a+4a =4(a-2) >0, a? 所以 h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h? ?-2?=1. 4.[2012· 浙江卷] 已知 a>0,b∈R,函数 f(x)=4ax3-2bx-a+b.(1)证明:当 0≤x≤1 时, (i)函数 f(x)的最大值为|2a-b|+a; (ii)f(x)+|2a-b|+a≥0; (2)若-1≤f(x)≤1 对 x∈[0,1]恒成立, 求 a+b 的取值范围. b x2- ?. 解:(1)(i)f′(x)=12ax2-2b=12a? 6a? ? 当 b≤0 时,有 f′(x)≥0,此时 f(x)在[0,+∞)上单调递增. 当 b>0 时,f′(x)=12a?x+ b ?? x- 6a?? b? . 6a? b ? ,+∞ 上单调递增. 6a ?

?

此时 f(x)在?0,

?

b? 上单调递减,在? 6a? ?

?3a-b,b≤2a, ? 所以当 0≤x≤1 时,f(x)max=max{f(0),f(1)}=max{-a+b,3a-b}=? =|2a- ? ?-a+b,b>2a

b|+a. (ii)由于 0≤x≤1,故当 b≤2a 时, f(x)+|2a-b|+a=f(x)+3a-b=4ax3-2bx+2a≥4ax3-4ax+2a=2a(2x3-2x+1). 当 b>2a 时, f(x)+|2a-b|+a=f(x)-a+b=4ax3+2b(1-x)-2a>4ax3+4a(1-x)-2a=2a(2x3-2x+1). 设 g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1,则 g′(x)=6x2-2=6?x-

?

3?? 3? , x+ 3 ?? 3?

于是 x g′(x) 0

?0, 3? 3? ?


3 3 0

? 3,1? ?3 ?


1

g(x)

1



极小值



1

所以,g(x)min=g?

4 3 3? =1- >0.所以当 0≤x≤1 时,2x3-2x+1>0. 9 ?3?

故 f(x)+|2a-b|+a≥2a(2x3-2x+1)≥0. (2)由(i)知,当 0≤x≤1 时,f(x)max=|2a-b|+a,所以|2a-b|+a≤1. 若|2a-b|+a≤1,则由②知 f(x)≥-(|2a-b|+a)≥-1.
?|2a-b|+a≤1, ? 所以-1≤f(x)≤1 对任意 0≤x≤1 恒成立的充要条件是? ?a>0, ?

2a-b≥0, ? ? 即?3a-b≤1, ? ?a>0

2a-b<0, ? ? 或?b-a≤1, ? ?a>0.



在直角坐标系 aOb 中,③所表示的平面区域为如图所示的阴影部分,其中不包括线段 BC. 做一组平行线 a+b=t(t∈R),得-1<a+b≤3. 所以 a+b 的取值范围是(-1,3]. 5.[2012· 课标全国卷] 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, 求当天的利润 y(单位: 元)关于当天需求量 n(单位: 枝, n∈N) 的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列、数学期望 及方差; ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由. 解:(1)当日需求量 n≥16 时,利润 y=80. 当日需求量 n<16 时,利润 y=10n-80. 所以 y 关于 n 的函数解析式为
? ?10n-80,n<16, y=? (n∈N). ?80,n≥16 ?

(2)①X 可能的取值为 60,70,80,并且 P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X 的分布列为 X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7

X 的数学期望为 EX=60× 0.1+70× 0.2+80× 0.7=76. 2 2 X 的方差为 DX=(60-76) × 0.1+(70-76) × 0.2+(80-76)2× 0.7=44. ②答案一: 花店一天应购进 16 枝玫瑰花.理由如下:

若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

Y 的数学期望为 EY=55× 0.1+65× 0.2+75× 0.16+85× 0.54=76.4. 2 Y 的方差为 DY=(55-76.4) × 0.1+(65-76.4)2× 0.2+(75-76.4)2× 0.16+(85-76.4)2× 0.54 =112.04. 由以上的计算结果可以看出,DX<DY,即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小. 另外,虽然 EX<EY,但两者相差不大.故花店一天应购进 16 枝玫瑰花. 答案二: 花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

Y 的数学期望为 EY=55× 0.1+65× 0.2+75× 0.16+85× 0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出, EX<EY, 即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的 平均利润.故花店一天应购进 17 枝玫瑰花.

2011 年高考题
(?? x) 在区间〔0,1〕上的图像如图所示,则 m,n 的值可 1.(安徽理 10) 函数 f ( x) ? ax g
m n

能是(

) (B) m ? 1, n ? 2 (D) m ? 3, n ? 1

(A) m ? 1, n ? 1 (C) m ? 2, n ? 1

【答案】B【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用,考查函数图像,考查思 维的综合能力.难度大.

(?? x)? ? n( x? ? ?x? ? x) , 则 【 解 析 】 代 入 验 证 , 当 m ? 1, n ? 2 , f ( x) ? axg
1 x1 ? , x2 ? 1 f ?( x)? a( ? x ? ? x? )? f ?(x) ? a( ?x ??x ??)? ? 可知, 3 ,由 ,结合图像可
?

?

? 1? ?1 ? 1 x? ? 0, ? ? ,1? 3 3 ? 递增,在 ? ? 递减,即在 3 取得最大值,由 知 函 数 应 在 ?
? ? ? ? f ( ) ? a ? g(?? ) ? ? ? ? ? ? ,知 a 存在.故选 B.
2.(湖南理 8)设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M , N ,则当
2

| MN | 达到最小时 t 的值为(
1 B. 2



A.1 【答案】D

5 C. 2

2 D. 2
1 x ,令

【解析】由题 | MN |? x ? ln x , ( x ? 0) 不妨令 h( x) ? x ? ln x ,则
2 2

h'( x ) ? 2 x ?

h'(x ) ? 0解得

x?

2 2 2 x ? (0, ) x?( , ??) 2 ,因 2 时, h'( x ) ? 0 ,当 2 时, h'( x ) ? 0 ,

x?
所以当

2 2 t? 2 。 2 时, | MN | 达到最小。即
1 f ( x) ? ( ) x ? 1 2 ,则 f ( x) 的反函数的

3.(四川理 7)若 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, 图象大致是( )

【答案】A 【解析】当 x ? 0 时,函数 f ( x) 单调递减,值域为 (1, 2) ,此时,其反函数单调递减且图象在
x ? 1 与 x ? 2 之间,故选 A.

1 y ? ( )x ? 1 2 4.(四川文 4)函数 的图象关于直线 y=x 对称的图象像大致是(



【答案】A

1 y ? ( )x ? 1 2 【解析】 图象过点 (0, 2) ,且单调递减,故它关于直线 y=x 对称的图象过点 (2, 0) 且单调递减,选 A.

5. (重庆文 7)若函数



处取最小值,则





(A) 【答案】C

(B)

(C)3

(D)4

6. (重庆文 15)若实数 , , 满足 . 【答案】

,

,则 的最大值是

2 ? log2 3

7. ( 天 津 理

16 ) 设 函 数

f? ? x?

2

?3 ? x ? ? , ?? ? ? x1 ?2 ? , . 对 任 意

?x? f ? ? ? 4m2 f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ?m? 恒成立,则实数 m 的取值范围是
? ? 3? ? 3 ?? , ? U , ?? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?. 【答案】 ?



?x? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ? f ? ? ? 4m2 f ? x ? ? 0 ?m? 【解析】解法1.不等式化为 ,即

? x ? 1?

2

? 1 ? 4m 2 ? 4 ?

x2 ? 1 ? 4m 2 x 2 ? 4m 2 ? 0 m2 ,

1 ? 2? 2 ? 1 ? 2 ? 4m ? x ? 2 x ? 3 ? 0 m ? 整理得 ? ,
1? 1 2x ? 3 2 x ? 3 x ? ? 3 , ?? ? ? 4m 2 ? g ? x? ? ? ? 2 2 ?2 ?. m x ,设 x2 ,

因为 x ? 0 ,所以
2

1?
于是题目化为

?3 ? 1 x ? ? , ?? ? ? 4m 2 ? g ? x ? 2 ?2 ? 恒成立的问题. m ,对任意
2 x ? 3 x ? ? 3 , ?? ? 1 2 u? 0?u? ? ? 2 ?2 ? 的最大值.设 x , x ,则 3.
2

为此需求

g ? x? ?

? 2? 2 u? ? 0, ? g ? x ? ? h ?u ? ? 3u ? 2u 3 ? 上是增函数,因而在 3 处取得最大值. 函数 在区间 ? 4 2? 2 8 ?2? 1 8 h ? ? ? 3? ? ? 1 ? 2 ? 4m2 ? umax ? x ? ? 9 3 3 ,所以 m ?3? 3,
4 2 4m 2 ? 3?? 3m 2 ? 1? ? 0 ? 12 m ? 5 m ? 3 ? 0 整理得 ,即 ,

所以 4m ? 3 ? 0 ,解得
2

m??

3 3 m? 2 或 2 ,

? ? 3? ? 3 m?? ?? , ? U , ?? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? m 因此实数 的取值范围是 .
1?
解法 2.同解法 1,题目化为

?3 ? 1 2 x ? , ?? ? 4 m ? g x ? ? ? ? ?2 ? 恒成立的问题. m2 ,对任意

为此需求

g ? x? ?

2 x ? 3 x ? ? 3 , ?? ? ? ? ?2 ? 的最大值. x2 ,

t ??6, ??? 设 t ? 2 x ? 3 ,则 .
t?
因为函数

g ? x ? ? h ?t ? ?

4t 4 ? t ? 6t ? 9 t ? 9 ? 6 t .
2

9 9 3 t ? 6 ? t 在 ?3, ??? 上是增函数,所以当 t ? 6 时, t 取得最小值 2.

4 8 ? 1 8 3 1 ? 2 ? 4m 2 ? g m a ? 6? ?6 3 xx? ? h ?t ? m 3 ,整理得 2 从而 有最大值 .所以
12m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 ,

? 4m 即

2

? 3?? 3m 2 ? 1? ? 0

,所以 4m ? 3 ? 0 ,解得
2

m??

3 3 m? 2 或 2 ,

? ? 3? ? 3 m?? ? ??, ? 2 ? U ? 2 , ?? ? ? ? ? ? ?. 因此实数 m 的取值范围是

?x? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ? f ? ? ? 4m2 f ? x ? ? 0 ?m? 解法 3.不等式化为 ,即
x2 ? x ? 1? ? 1 ? 4m ? 4 ? 2 ? 1 ? 4m2 x 2 ? 4m2 ? 0 m ,
2 2

1 ? 2? 2 ? 1 ? 2 ? 4m ? x ? 2 x ? 3 ? 0 m ? 整理得 ? , 1 ? ? F ( x ) ? ? 1 ? 2 ? 4m 2 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? m ? 令 .

由于 到,

F ? 0? ? ?3 ? 0

F ? x? ,则其判别式 ? ? 0 ,因此 的最小值不可能在函数图象的顶点得

?3 ? ?3? x ? ? , ?? ? F? ? ?2 ? 恒成立,必须使 ? 2 ? 为最小值, 所以为使 F ( x) ? 0 对任意
即实数 m 应满足

? ? 1 ?1 ? 2 ? 4 m2 ? 0 ; ? m ? ? ?3? ? F ? ? ? 0; ? ?2? ? 2 3 ? ? 1 2 2? ?2? ?1 ? 2 ? 4m ? ? ? ? ? m
m2 ?
解得

? ? 3? ? 3 3 m?? ?? , ? U , ?? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?. 4 ,因此实数 m 的取值范围是

?3 ? x ? ? , ?? ? ?2 ?, 解法 4.(针对填空题或选择题)由题设,因为对任意 ?x? 3 f ? ? ? 4m2 f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? x? ?m? 2 , 不 等 式 恒 成 立 , 则 对 ?x? 3 f ? ? ? 4m2 f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? x? ?m? 2 代 入 上 式 得 也 成 立 , 把 ? 3 ? 2 f? ? ? 4m f 2 m ? ?
2

?3? ?1? 9 9 1 ? 1 ? 4m 2 ? ? 4m 2 ? ? 1 ? 4 m 2 ? 4 ? ? ? f ? ? ? 4 f ? m? 2 4 4 ?2? ? 2? ,即 4m ,
2
4 2

因 为 4m ? 0 , 上 式 两 边 同 乘 以 4m , 并 整 理 得 12m ? 5m ? 3 ? 0 , 即

? 4m

2

? 3?? 3m 2 ? 1? ? 0

,所以 4m ? 3 ? 0 ,解得
2

m??

3 3 m? 2 或 2 ,因此实数 m 的取

? ? 3? ? 3 m?? ?? , ? U , ?? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?. 值范围是

a b (a, b, c, d ?{?1,1, 2} c d 8(上海文 12)行列式 所有可能的值中,最大的是
15 【答案】 2

9.(上海理 20) 已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中常数 a , b 满足 a ? b ? 0
x x

(1)若 a ? b ? 0 ,判断函数 f ( x ) 的单调性; 解:⑴ 当 a ? 0, b ? 0 时,任意 则

x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a(2x1 ? 2x2 ) ? b(3x1 ? 3x2 )
x x x x x x x x

1 2 1 2 1 2 1 2 ∵ 2 ? 2 , a ? 0 ? a(2 ? 2 ) ? 0 , 3 ? 3 , b ? 0 ? b(3 ? 3 ) ? 0 ,



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 函数 f ( x ) 在 R 上是增函数。 当 a ? 0, b ? 0 时, 同理函数 f ( x ) 在 R
?

上是减函数。 10.(安徽理 3) 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? ? 时, f ( x) ? ? x ? x ,则 f (?) ? (A) ?? (B) ?? (C)1 (D)3

【答案】A 【命题意图】本题考查函数的奇偶性,考查函数值的求法.属容易题. 【解析】 f (1) ? ? f (?1) ? ?[2(?1) ? (?1)] ? ?3 .故选 A.
2

11.(广东理 4)设函数 f ( x ) 和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A. f ( x ) +|g(x)|是偶函数 C.| f ( x ) | +g(x)是偶函数 【答案】A 【解析】因为 g(x)是 R 上的奇函数,所以|g(x)|是 R 上的偶函数,从而 f ( x ) +|g(x)|是偶函数,故 选 A. 12. ( 湖 北 理 6 ) 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ?x ? 和 偶 函 数 g ?x ? 满 足 B. f ( x ) -|g(x)|是奇函数 D.| f ( x ) |- g(x)是奇函数

f ?x ? ? g ?x ? ? a x ? a ? x ? 2

?a ? 0, 且a ? 1? ,若 g ?2? ? a ,则 f ?2? ?
A.

2

15 B. 4

17 C. 4
2

D. a

2

【答案】B 【解析】由条件 f ?2? ? g ?2? ? a ? a
?2

? 2 , f ?? 2? ? g ?? 2? ? a ?2 ? a 2 ? 2 ,即

? f ?2? ? g ?2? ? a ?2 ? a 2 ? 2 ,由此解得 g ?2? ? 2 , f ?2? ? a 2 ? a ?2 ,

所以 a ? 2 ,

f ?2 ? ? 2 2 ? 2 ? 2 ?

15 4 ,所以选 B.

f ( x) ?
13.(辽宁文 6)若函数

x (2 x ? 1)( x ? a)

为奇函数,则 a=

1 A. 2
【答案】A

2 B. 3

3 C. 4

D.1

(0, +?) 14.(全国Ⅰ理 2)下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是
(A) y ? x 【答案】B 15. (全国Ⅰ文 9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4 ( x ? 0),则 (A) (C)
3

(B)

y ? x ?1

(C) y ? ? x ? 1
2

(D) y ? 2

?x

?x f ? x ? 2? ? 0? =

?x x ? ?2或x ? 4?

(B) (D)

? x x ? 0或x ? 4?

? x x ? 0或x ? 6?

? x x ? ?2或x ? 2?

【答案】B 16.(全国Ⅱ理 9)设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x(1 ? x ) ,则

5 f (? ) ? 2
1 (A) 2 ? 1 (B) 4 ? 1 (C) 4 1 (D) 2

【答案】A 【命题意图】:本小题主要考查了函数的奇偶性、周期性的概念。

5 5 1 1 1 1 1 f (? ) ? f (? ? 2) ? f (? ) ? ? f ( ) ? ?2 (1 ? ) ? ? 2 2 2 2 2 2 2。 【解析】
17. ( 山 东 理 10 ) 已 知 f ( x ) 是 R 上 最 小 正 周 期 为 2 的 周 期 函 数 , 且 当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x ? x ,则函数 y ? f ( x) 的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为
3

(A)6 (B)7 【答案】A

(C)8

(D)9
[来源:中国学考频道 www.xk100.com]

【解析】因为当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x ? x ,又因为 f ( x ) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函
3

) 数 , 且 f( 0?

) f ,0所 以 f ( 6 ?

(? 4 )f

? ( 2f)

? ,( 又 0 )因 为 0 f ( 1? )

,0所 以

f (3) ? 0 , f (5) ? 0 ,故函数 y ? f ( x) 的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为 6 个,选 A.
18. (陕西理 3) 设函数 f ( x ) ( x ?R) 满足 f (? x) ? f ( x) ,f ( x ? 2) ? f ( x) , 则函数 y ? f ( x) 的图像是 ( )

【答案】B 【分析】根据题意,确定函数 y ? f ( x) 的性质,再判断哪一个图像具有这些性质.

y 【解析】选由 f (? x) ? f ( x) 得 y ? f ( x) 是偶函数,所以函数 y ? f ( x) 的图象关于 轴对
称,可知 B,D 符合;由 f ( x ? 2) ? f ( x) 得 y ? f ( x) 是周期为 2 的周期函数,选项 D 的图 像的最小正周期是 4,不符合,选项 B 的图像的最小正周期是 2,符合,故选 B. 19.(上海理 16)下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, ??) 上单调递减的函数是( )

y ? ln
(A) 【答案】A

1 | x| .

(B) y ? x .
3

(C) y ? 2 .
| x|

(D)

y ? cos x .

20.(上海文 15)下列函数中,既是偶函数,又在区间 (0, ??) 上单调递减的函数是(
?2 (A) y ? x ?1 (B) y ? x 2 (C) y ? x
3 (D) y ? x 1



【答案】A 21.(湖南文 12)已知 f ( x ) 为奇函数, g ( x) ? f ( x) ? 9, g (?2) ? 3, 则f (2) ? 【答案】6 【 解 析 】 g (?2) ? f (?2) ? 9 ? 3, 则f (?2) ? ?6 , 又 f ( x ) 为 奇 函 数 , 所 以 .

f (2) ? ? f (?2) ? 6 。

2010 年高考题
一、选择题 1.(2010 上海文)17.若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间 ( )

(A)(0,1). 答案 D

(B)(1,1.25).

(C)(1.25,1.75) (D)(1.75,2)

【解析】 构造函数 f ( x) ? lg x ? x ? 2,由f (1.75) ? f ( ) ? lg

7 4

7 1 ? ?0 4 4

f (2) ? lg 2 ? 0 知 x0 属于区间(1.75,2)
2.(2010 湖南文)3. 某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可 能是 A. y ? ?10 x ? 200 C. y ? ?10 x ? 200
^ ^

B. y ? 10 x ? 200 D. y ? 10 x ? 200
^

^

答案 A 3.(2010 陕西文)10.某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各 班人数除以 10 的余数大于 时再增选一名代表.那么, 各班可推选代表人数 y 与该班人数 x ..6 . 之间的函数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为

(A)y=[

x ] 10

(B)y=[

x?3 ] 10

(C)y=[

x?4 ] 10

(D)y=[

x?5 ] 10

答案 B 解析:法一:特殊取值法,若 x=56,y=5,排除 C、D,若 x=57,y=6,排除 A,所以选 B 法二:设 x ? 10m ? ? (0 ? ? ? 9) , 0 ? ? ? 6时, ?

? ? 3? ? x ? 3? ? ?x? ? ?m ? ? m ? ? ?, ? ? 10 ? ? 10 ? ? ?10?

? ? 3? ? x ? 3? ? ?x? 当6 ? ? ? 9时, ? ? ?m ? ? m ? 1 ? ? ? ? 1 ,所以选 B ? ? 10 ? ? 10 ? ? ?10?
3.(2010 浙江文)(9)已知 x 是函数 f(x)=2x+

1 的一个零点.若 x1 ∈(1, x 0 ), 1? x

x 2 ∈( x 0 ,+ ? ),则
(A)f( x1 )<0,f( x 2 )<0 (C)f( x1 )>0,f( x 2 )<0 (B)f( x1 )<0,f( x 2 )>0 (D)f( x1 )>0,f( x 2 )>0

解析:选 B,考察了数形结合的思想,以及函数零点的概念和零点的判断,属中档题 4.(2010 山东文)(11)函数 y ? 2 ? x 的图像大致是
x 2

答案 A 5.(2010 山东文)(8)已知某生产厂家的年利润 y (单位:万元)与年产量 x (单位:万 件)的函数关系式为 y ? ? (A)13 万件 (C) 9 万件 答案 C

1 3 x ? 81x ? 234 ,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 3
(B)11 万件 (D)7 万件

6. (2010 山东文) (5) 设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 2 x ? b( b 为常数),则 f (?1) ? (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 答案 A 7.(2010 四川理)(4)函数 f(x)=x2+mx+1 的图像关于直线 x=1 对称的充要条件是 (A) m ? ?2 (B) m ? 2 (C) m ? ?1 (D) m ? 1 解析:函数 f(x)=x2+mx+1 的对称轴为 x=- 于是- 答案 A 8.(2010 四川理)(2)下列四个图像所表示的函数,在点 x ? 0 处连续的是

m 2

m =1 ? m=-2 2

(A) (B) 解析:由图象及函数连续的性质知,D 正确. 答案 D
2

(C)

(D)

9.(2010 天津文)(10)设函数 g ( x) ? x ? 2( x ? R) ,

( x )? x?4, x? g ( x ), f ( x) ? {g g ( x )? x, x? g ( x ). 则

f ( x) 的值域是

(A) ? ?

9 ? 9 ? ? 9 ? , 0 ? ? (1, ??) (B) [0, ??) (C) [? , ??) (D) ?? ,0? ? (2, ??) 4 ? 4 ? ? 4 ?

【答案】D 【解析】 本题主要考查函数分类函数值域的基本求法, 属于难 题。 依 题 意 知
2 2 ? ? x ? 2 ? ( x ? 4), x ? x ? 2 f ( x) ? 2 2 ? ? x ? 2 ? x, x ? x ? 2



? x 2 ? 2, x ? ?1或x ? 2 ? f ( x) ? 2 ? ? x ? 2 ? x, ?1 ? x ? 2

10. ( 2010
x

天 津 文 ) ( 4 ) 函 数

f ( x )

= e ? x ? 2的零点所在的一个区间是 (A)(-2,-1) (B) (-1,0) (C) (0,1) (D) (1,2) 【答案】C 【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题。 因为 f(0)=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间(0,1)上,选 C 【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解。

?log 2 x, x ? 0, ? 11.(2010 天津理) (8)若函数 f(x)= ?log (? x), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范 1 ? ? 2
围是 (A)(-1,0)∪(0,1) (C)(-1,0)∪(1,+∞) 【答案】C 【解析】 本题主要考查函数的对数的单调性、 对数的基本运算及分类讨论思想, 属于中等题。 由分段函数的表达式知,需要对 a 的正负进行分类讨论。 (B)(-∞,-1)∪(1,+∞) (D)(-∞,-1)∪(0,1)

a?0 a<0 ? ? ? ? f (a) ? f (?a) ? ?log a ? log a 或 ?log (?a) ? log (?a) 2 1 1 2 ? ? ? 2 ? 2
?a ? 0 ?a ? 0 ? ? ?? ? a ? 1或-1 ? a ? 0 1 或?1 ? a a ? ? ?a ? 2 ?
【温馨提示】 分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解, 解对数不等式既要注意真数大

于 0,同事要注意底数在(0,1)上时,不等号的方向不要写错。 12.(2010 天津理)(2)函数 f(x)= 2 ? 3 x 的零点所在的一个区间是
x

(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2) 【答案】B 【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题。 由 f (?1) ?

1 ? 3 ? 0, f (0) ? 1 ? 0 及零点定理知 f(x)的零点在区间(-1,0)上。 2

【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解。 13.(2010 福建文)7.函数 ( f x)= ? A.3 【答案】B 【解析】当 x ? 0 时,令 x ? 2 x ? 3 ? 0 解得 x ? ?3 ;
2

? x 2 +2x-3,x ? 0 ?-2+ ln x,x>0
D.0

的零点个数为 (

)

B.2

C.1

当 x ? 0 时,令 ?2 ? ln x ? 0 解得 x ? 100 ,所以已知函数有两个零点,选 C。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法,考查了分类讨论的数学思想。 14.(2010 湖北文)3.已知函数 f ( x) ? ? A.4 【答案】B
1 1 1 1 【解析】根据分段函数可得 f ( ) ? log3 ? ?2 ,则 f ( f ( )) ? f (?2) ? 2?2 ? , 9 9 9 4

?log3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) ?

1 9

B.

1 4

C.-4

D-

1 4

所以 B 正确. 二、填空题 1. (2010 上海文) 14.将直线 l1 : x ? y ?1 ? 0 、 (n? N , l3 : x ? ny ? n ? 0 l2 : nx ? y ? n ? 0 、
*

n ? 2 )围成的三角形面积记为 Sn ,则 lim S n ?
n ??



【答案】

1 2

【解析】B (

n n , ) 所以 BO⊥AC, n ?1 n ?1

1 n 2 n ?1 Sn = ? 2 ? ( 2? )? 2 n ?1 2 2(n ? 1)

所以 lim S n ?
n ??

1 2

2.(2010 湖南文)10.已知一种材料的最佳加入量在 100g 到 200g 之间,若用 0.618 法安排 试验,则第一次试点的加入量可以是 g 【答案】171.8 或 148.2 【解析】根据 0.618 法,第一次试点加入量为 110+(210-110) ? 0.618=171.8 或 210-(210-110) ? 0.618=148.2

【命题意图】本题考察优选法的 0.618 法,属容易题。 3. (2010 陕西文) 13.已知函数 f (x) =?

, x1 ? , ?3x ?2
2 , ? x ? ax, x ?1

若f (f (0) ) =4a, 则实数 a=

.

答案 2 【解析】f(0)=2,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,所以 a=2 4. ( 2010 重 庆 理 ) ( 15 ) 已 知 函 数

f ? x ? 满 足 : f ?1? ?

1 , 4

4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? ,则 f ? 2010? =_____________.
解析:取 x=1 y=0 得 f (0) ?

1 2

法一:通过计算 f (2), f (3), f (4)........ ,寻得周期为 6 法二:取 x=n y=1,有 f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得 f(n+2)= —f(n-1) 所以 T=6 故 f ? 2010? =f(0)= 5. (2010 天津文) (16) 设函数 f(x)=x-

1 2

1 ,对任意 x ?[1, ??),f(mx)+mf(x)<0 恒成立, x

则实数 m 的取值范围是________ 【答案】m<-1 【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想,属于难题。 已知 f(x)为增函数且 m≠0 若 m>0,由复合函数的单调性可知 f(mx)和 mf(x)均为增函数,此时不符合题意。

1 m 1 1 1 ? mx ? ? 0 ? 2mx ? (m ? ) ? ? 0 ? 1 ? 2 ? 2 x 2 因为 y ? 2x2 mx x m x m 1 2 在 x ? [1, ??) 上的最小值为 2,所以 1+ 2 ? 2 即 m >1,解得 m<-1. m
M<0 ,时有 mx ? 【温馨提示】 本题是较为典型的恒成立问题, 解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为 最值的方法求解。 6.(2010 浙江文)(16) 某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元,预测六月份销 售额为 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十 月份销售总额与七、 八月份销售总额相等, 若一月至十月份销售总额至少至少达 7000 万元, 则,x 的最小值 。

答案 20 7. ( 2010 天 津 理 数 ) ( 16 ) 设 函 数 f ( x) ? x2 ?1 , 对 任 意 x ? ? , ?? ? ,

?2 ?3

? ?

?x? f ? ? ? 4m2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ?m?
【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法,属于难题。

.

3 x2 2 2 2 2 依据题意得 2 ? 1 ? 4m ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1 ? 4(m ? 1) 在 x ? [ , ??) 上恒定成立,即 2 m

1 3 2 3 ? 4m2 ? ? 2 ? ? 1 在 x ? [ , ??) 上恒成立。 2 m x x 2 3 3 2 5 1 5 2 当 x? 时 函 数 y ? ? 2 ? ? 1 取 得 最 小 值 ? , 所 以 2 ? 4m ? ? , 即 2 x x 3 m 3

(3m2 ? 1)(4m2 ? 3) ? 0 ,解得 m ? ?

3 3 或m ? 2 2

【温馨提示】 本题是较为典型的恒成立问题, 解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为 最值的方法求解 8.(2010 广东文数)

? 2 2 9.(2010 江苏卷)11、已知函数 f ( x) ? ? x ? 1, x ? 0 ,则满足不等式 f (1 ? x ) ? f (2 x) 的 x x?0 ?1,

的范围是_____。
?1 ? x 2 ? 2 x 【解析】 考查分段函数的单调性。 ? ? x ? (?1, 2 ? 1) ? 2 ?1 ? x ? 0 ?

三、解答题 1.(2010 福建文)21.(本小题满分 12 分) 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于 港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处, 并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东 方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 ? 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与 轮船相遇。(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (Ⅱ)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值; (Ⅲ)是否存在 ? ,使得小艇以 ? 海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与 轮船相遇?若存在,试确定 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由。

2.(2010 湖北文)19.(本小题满分 12 分) 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a(单位:m ),其中有部分旧住房需要拆 除。 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房, 同事也拆除面积为 b (单 位:m )的旧住房。 (Ⅰ)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式: (Ⅱ)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%,则每年拆 除的旧住房面积 b 是多少?(计算时取 1.1 =1.6)
5 2 2

2009 年高考题
1.(2009 福建卷文)若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过
x

0.25, 则 f ? x ? 可以是 A. f ? x ? ? 4x ?1 C. f ? x ? ? e ?1
x

B. f ? x ? ? ( x ?1)

2

D. f ? x ? ? In ? x ?

? ?

1? ? 2?

答案 A 解析

1 f ? x ? ? 4x ?1 的零点为 x= , f ? x ? ? ( x ?1)2 的零点为 x=1, f ? x ? ? ex ?1 的零 4

点为 x=0, f ? x ? ? In ? x ? 点 , 因 为 g(0)= -1,g(

? ?

3 1? x ? 的零点为 x= 2 .现在我们来估算 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零 2?

1 1 )=1, 所 以 g(x) 的 零 点 x ? (0, ), 又 函 数 f ? x ? 的 零 点 与 2 2

g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,只有 f ? x ? ? 4x ?1 的零点适合,
故选 A。 2.(2009 山东卷文 ) 若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1) 有两个零点,则实数 a 的取值范围
x



.

答案 解析

{a | a ? 1}
设函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)
x

有两个零点, 就是函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点,由图象可知当

0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a ? 1 时,因为函数 y ? ax ( a ? 1) 的图象过点
(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实 数 a 的取值范围是 {a | a ? 1} . 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答 3.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建

造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城 A 和城 B 的总 影响度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处 理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地 点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距 离的平方成反比, 比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 度为 0.065. (1)将 y 表示成 x 的函数; (11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理 的中点时, 对城 A 和城 B 的总影响

厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在, 求出该点到城 A 的距离;若不存在, 说明理由。 解法一:(1)如图,由题意知 AC⊥BC, BC ? 400 ? x , y ?
2 2

4 k ? (0 ? x ? 20) C 2 x 400 ? x 2
x A B

其中当 x ? 10 2 时,y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 y ? (2) y ?

4 9 ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2

4 9 8 9 ? (?2 x) 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 ? , , 令 y' ? 0 得 y ' ? ? ? ? x 2 400 ? x 2 x3 (400 ? x 2 )2 x3 (400 ? x 2 )2

18x4 ? 8(400 ? x2 )2 , 所 以 x 2 ? 160 , 即 x ? 4 10 , 当 0 ? x ? 4 10 时 ,

18x4 ? 8(400 ? x2 )2 , 即 y ' ? 0 所 以 函 数 为 单 调 减 函 数 , 当 4 6 ? x ? 20 时 , 18x4 ? 8(400 ? x2 )2 ,即 y ' ? 0 所以函数为单调增函数.所以当 x ? 4 10 时, 即当 C 点到
城 A 的距离为 4 10 时, 函数 y ? 解法二: (1)同上. (2)设 m ? x2 , n ? 400 ? x2 , 则 m ? n ? 400 , y ?

4 9 ? (0 ? x ? 20) 有最小值. 2 x 400 ? x 2

4 9 ? ,所以 m n 4 9 4 9 m?n 1 4n 9m 1 1 y? ? ?( ? ) ? [13 ? ( ? )] ? (13 ? 12) ? 当 且 仅 当 m n m n 400 400 m n 400 16

4 n 9 m ? n ? 240 ? 即? 时取”=”. m n ?m ? 160
下面证明函数 y ?

4 9 ? 在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. m 400 ? m

设 0<m1<m2<160,则 y1 ? y2 ?

4 9 4 9 ? ?( ? ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m2

?(

4( m2 ? m1 ) 9m (1 ? m2 ) 4 4 9 9 ? ) ?( ? ) ? ? m1 m2 400 ? m1 4 0 ?0 m2 m1 m2 (400 ? m1 ) ( 4?0 0 m2 4 9 ? ] m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

)

? (m2 ? m1 )[

? (m2 ? m1 )

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 , m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

因为 0<m1<m2<160,所以 4 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) >4×240×240 9 m1m2<9×160×160 所以

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ? 0, m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

所 以 (m2 ? m1 )

4 9 4(400 ? m1 )(400 ? m 2) ? 9m 1m 2 ? 0 即 y1 ? y2 函 数 y ? ? 在 m 400 ? m m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

(0,160)上为减函数. 同 理 , 函 数 y?

4 9 ? 在 (160,400) 上 为 增 函 数 , 设 160<m1<m2<400, 则 m 400 ? m

y1 ? y2 ?

4 9 4 9 ? ?( ? ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m2

? (m2 ? m1 )

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

因为 1600<m1<m2<400,所以 4 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) <4×240×240, 9 m1m2>9×160×160 所以

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ?0, m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )
4 9 4(400 ? m1 )(400 ? m 2) ? 9m 1m 2 在 ? 0 即 y1 ? y2 函 数 y ? ? m 400 ? m m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

所 以 (m2 ? m1 )

(160,400)上为增函数. 所以当 m=160 即 x ? 4 10 时取”=”,函数 y 有最小值, 所以弧 度最小. 【命题立意】 :本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 5. (2009 湖南卷理)(本小题满分 13 分) 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间 的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为 (2 ? x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其 他因素,记余下工程的费用为 y 万元。 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 解 (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, ( n ? 1) x ? m,即n= 所以 上存在一点,当 x ? 4 10 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响

m ?1 x m m y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256( -1)+ (2 ? x ) x x x

?

256 x ? m x ? 2m ? 256. x

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, f '( x) ? ?
3

256m x
2

1 3 m 3 2 ? mx ? 2 ( x 2 ? 512). 2 2x

令 f '( x) ? 0 ,得 x 2 ? 512 ,所以 x =64 当 0< x <64 时 f '( x) <0,

f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;

当 64 ? x ? 640 时, f '( x) >0. f ( x ) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x ) 在 x =64 处取得最小值,此时, n ? 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。

m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64

a ? 0.1 ? 15ln , ( x ? 6) ? ? a?x 6.(2009 年上海卷理)有时可用函数 f ( x) ? ? ? x ? 4.4 , ( x ? 6) ? x?4 ?
描述学习某学科知识的掌握程度, 其中 x 表示某学科知识的学习次数 ( x?N ) , f ( x)
*

表示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关。 (1)证明 当 x ? 7 时,掌握程度的增加量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为

(115,121] , (121,127] , (121,133] 。当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相
应的学科。 证明 (1)当 x ? 7时,f ( x ? 1) ? f ( x) ?

0.4 ( x ? 3)( x ? 4)

而当 x ? 7时 ,函数 y ? ( x ? 3)( x ? 4) 单调递增,且 ( x ? 3)( x ? 4) >0……..3 分 故 f ( x ? 1) ? f ( x) 单调递减

? 当 x ? 7时 ,掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降……………..6 分
(2)由题意可知 0.1+15ln 整理得

a =0.85……………….9 分 a?6

a ? e0.05 a?6

解得 a ?

e0.05 ? 6 ? 20.50 ? 6 ? 123.0,123.0 ? (121,127] …….13 分 e0.05 ? 1

由此可知,该学科是乙学科……………..14 分 7.(2009 上海卷文)(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满

a ? 0.1 ? 15ln ,  x ? 6, ? ? a?x 分 10 分 .有时可用函数 f ( x) ? ? ? x ? 4.4 ,       ?6 ? ? x?4

描述学习某学科知识的掌握程度.其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N * ), f ( x ) 表 示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x ? 7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)- f(x)总是下降; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121],(121,127], (127,133].当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科. 证明 (1)当 x ? 7 时, f ( x ? 1) ? f ( x) ?

0.4 ( x ? 3)( x ? 4)

而当 x ? 7 时,函数 y ? ( x ? 3)( x ? 4) 单调递增,且 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0 故函数 f ( x ? 1) ? f ( x) 单调递减 当 x ? 7 时,掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降 (2)有题意可知 0.1 ? 15ln 整理得

a ? 0.85 a?6

a ? e0.05 a?6

解得 a ?

e0.05 ? 6 ? 20.50 ? 6 ? 123.0,123.0 ? (121,127] …….13 分 e0.05 ? 1

由此可知,该学科是乙学科……………..14 分

2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 年全国一 2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一 过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是 s s s s ( )

O A.

t

O B.

t

O C.

t O D.

t

答案

A

2. (2008 年福建卷 12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图, 那么 y=f(x),y=g(x)

的图象可能是





答案 D 3. (07 广东) 客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地, 在乙地停留了半小时, 然后以 80km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达丙地, 下列描述客车从甲地出发.经过乙地, 最 后到达丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间关系的图象中,正确的是 ( )

A 答案 C

B

C

D

4.某地一年内的气温 Q(t ) (单位:℃)与时刻 t (月份)之间的关系如图所示,已知该年的 平均气温为 10℃ .令 C(t)表示的时间段[0,t]的平均气温, C(t)与 t 之间的函数关系用下列图象表示,则正确的应该是 ( )

答案 A 解析 由图可以发现当 t=6 时,C(t)=0,排除 C;t=12 时,C(t)=10,排除 D;t 在大于 6 的某一段气温超于 10,所以排除 B,故选 A。 二、填空题
x x 6.(2007 年上海 4)方程 9 ? 6 ? 3 ? 7 ? 0 的解是



答案

log3 7

三、解答题

8.(2008 年江苏卷 17)某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的 顶 点 A,B 及 CD 的 中 点 P 处 , 已 知

D O

P

C

AB=20km,CB=10km , 为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域 上 (含边界),且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个 污水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP,设排污管道的总长 为 y km. (Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO= ? (rad),将 y 表示成 ? 的函数关系式; ②设 OP ? x (km) ,将 y 表示成 x 的函数关系式. (Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总 长度最短. 解 本小题主要考查函数最值的应用.

A

B

(Ⅰ)①设 AB 中点为 Q,由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= ? (rad) ,则

AQ 10 10 ? , 故 OB ? ,又 OP= 10 ? 10 tan ? , cos ? cos ? cos ? 10 10 ? ? 10 ? 10 tan ? , 所以 y ? OA ? OB ? OP ? cos ? cos ? OA ?
所求函数关系式为 y ?

20 ? 10sin ? ?? ? ? 10 ? 0 ? ? ? ? cos ? 4? ?

②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA=OB=
2

?10 ? x ?

2

? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200

所求函数关系式为 y ? x ? 2 x ? 20 x ? 200 ? 0 ? x ? 10 ? (Ⅱ)选择函数模型①, y? ? 令 y? ? 0 得 sin ? ?
?10 cos? cos? ? (20 ? 10 sin ? ) 10(2 sin ? ? 1) ? cos2 ? cos2 ?

? ? 1 ? ?? ,因为 0 ? ? ? ,所以 ? = .当 ? ? ? 0, ? 时, y? ? 0 , y 是 ? 的减 4 6 2 ? 6?
? (10 ? 10 3 ) (km)。

函数;当 ? ? ?

? ?? ? ? , ? 时, y? ? 0 ,y 是 ? 的增函数.所以当 ? = 时, yiin 6 ?6 4?

这时点 0 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边

10 3 km 处。 3

9.(2008 年湖北卷 20).(本小题满分 12 分)水库的蓄水量随时间而变化.现用 t 表示时间, 以月为单位,年初为起点.根据历年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近 似函数关系式为
t ? 5 ? 2 V (t ) ? ?(?t ? 14t ? 40)e ? 50,0 ? t ? 10, ? ?4(t ? 10)(3t ? 41) ? 50,.10 ? t ? 12. 1

( Ⅰ ) 该 水 库 的 蓄 求 量 小 于 50 的 时 期 称 为 枯 水 期 . 以 i ? 1 ? t ? i 表 示 第 i 月 份 ( i ? 1, 2,

,12 ),问一年内哪几个月份是枯水期?

(Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e ? 2.7 计算).
1

解 (1)①当 0<t ? 10 时,V(t)=(-t2+14t-40) e 4 ? 50 ? 50, 化简得 t2-14t+40>0, 解得 t<4,或 t>10,又 0<t ? 10,故 0<t<4. ②当 10<t ? 12 时,V(t)=4(t-10)(3t-41)+50<50, 化简得(t-10)(3t-41)<0, 解得 10<t<

t

41 ,又 10<t ? 12,故 10<t ? 12. 3

综上得 0<t<4,或 10<t≤12, 故知枯水期为 1 月,2 月,,3 月,4 月,11 月,12 月共 6 个月. (2)由(1)知:V(t)的最大值只能在(4,10)内达到.

1 2 3 1 t 由 V′ (t) = e (? t ? t ? 4) ? ? e 4 (t ? 2)(t ? 8), 令 V′(t)=0,解得 t=8(t=-2 舍去). 4 2 4
当 t 变化时,V′(t) 与 V (t)的变化情况如下表: t V′(t) V(t) (4,8) + 8 0 极大值 (8,10) -

1 t 4

1

由上表,知 V(t)在 t=8 时取得最大值 V(8)=8e2+50=108.32(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米

第二部分

四年联考汇编

2013-2014 年联考题 一.基础题组 1.
【黑龙江省佳木斯市第一中学 2013—2014 年度高三第三次调研试卷数学试卷(理)】

?1 ? a n ( n为偶数) ? 2 1 ? 数列{ an }定义如下: a1 =1,当 n ? 2 时, an ? ? ,若 an ? ,则 n 1 4 (n为奇数) ? ? ? an ?1
的值等于( A. 7 ) B. 8 C. 9 D. 10

2.

【黑龙江省佳木斯市第一中学 2013—2014 年度高三第三次调研试卷数学试卷(理)】

已知函数 f ( x ) 的图象向右平移 a ? a ? 0? 个单位后关于 x ? a ? 1 对称,当 x2 ? x1 ? 1时,

? f (x2 ) ? f ( x1)? ( x2 ? x1) <0 恒成立,设 a ? f (? 2 ) , b ? f (2) , c ? f (e) ,则 a, b, c 的
大小关系为( A.c>a>b ) B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c

1

?5? f ?e? ? f ? ? ? f ?2? ,即 c ? a ? b ,选 D. ? 2?

考点:函数对称性、函数单调性、利用函数单调性解不等式. 3. 【黑龙江省哈尔滨市第九中学 2013-2014 学年高一上学期期中考试数学试题理科数学】 已 知 a ? 0 且 a ? 1 ,下列四组函数中表示相等函数的是 A. y ? loga x与y ? (log x a)?1 C. y ? 2x与y ? loga a2 x B. y ? a
loga x





与y ? x

D. y ? loga x2与y ? 2loga x

4. 【黑龙江省哈尔滨市第九中学 2013-2014 学年高一上学期期中考试数学试题理科数学】 设

?1? ?1? a ? log 1 3 , b ? ? ? , c ? ? ? ,则 ? 3? ? 3? 2
A. a ? b ? c D. b ? a ? c B. c ? b ? a

0.2

?1

( C. c ? a ? b



5. 【黑龙江省哈尔滨市第九中学 2013-2014 学年高一上学期期中考试数学试题理科数学】 已 知函数 f (log4 x) ? x ,则 f ( ) 等于 A.

1 2

( C. 1

) D. 2

1 4

B.

1 2

6. 【黑龙江省哈尔滨市第九中学 2013-2014 学年高一上学期期中考试数学试题理科数学】 已 知函数 y ? f ? x ? 是 R 上的偶函数,且在 ? ??,0? 上是增函数,若 f ? a ? ? f ? 2? ,则实数

a 的取值范围是
A.

( C. ?2 ? a ? 2

) D. a ? ?2 或 a ? 2

a?2

B. a ? ?2

7. 【黑龙江省哈尔滨市第九中学 2013-2014 学年高一上学期期中考试数学试题理科数学】 已 知函数 f ( 2 ) 的定义域为 [?1,1] ,则函数 f (log2 x ) 的定义域为
x





A. [?1,1]

B. [ ,2]

1 2

C. [ 2 ,2]

D. [ 2 ,4]

8. 【黑龙江省哈尔滨市第九中学 2013-2014 学年高一上学期期中考试数学试题理科数学】 下

? ?? 的是 列函数中值域为 ?0 ,
A. y ? 5
1 2? x




1? x

1 B. y ? x ? ? x ? 0 ? x

?1? C. y ? ? ? ? 3?

D. y ? x ?

1 ? x ? 1? x

9.【吉林大学附属中学 2013-2014 学年上学期高三年级第一次摸底考试理科数学】函数

f ( x) ? lg( x ? 2) ? 2 ? 2x 的定义域为(
0) (A) (?2 , 1] (C) (?2 , (0 ,? ?)

) (B) (?2 ,? ?) (D) (1,? ?)

10.【吉林大学附属中学 2013-2014 学年上学期高三年级第一次摸底考试理科数学】方程

1? | x | ? 1 ? y 表示(
(A)两条直线 (C)两条线段 【答案】C 【解析】 试题分析:依题意,得 ?

) (B)两条射线 (D)一条射线和一条线段

? ??1 ? x ? 1, ?1 ? x ? 0, 解得 ? 将 1? | x | ? 1 ? y 两边同时平方,得 ? ? y ? 1. ?1 ? y ? 0,

11.【吉林大学附属中学 2013-2014 学年上学期高三年级第一次摸底考试理科数学】函数
f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 1) ? ( x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? 2)( x ? 1) 的两个零点分别位于区间

1) 和 (1, 2) 内 (A) (?1 ,

1) 内 (B) (?? ,? 1) 和 (?1 ,

(C) (1,2) 和 (2 ,? ?) 内

(D) (?? ,? 1) 和 (2 ,? ?) 内

12.【吉林大学附属中学 2013-2014 学年上学期高三年级第一次摸底考试理科数学】已知函 数 f ( x) 的图象如图所示,则函数 y ? f (1 ? x) 的大致图象是

【答案】D 【解析】

13.【吉林大学附属中学 2013-2014 学年上学期高三年级第一次摸底考试理科数学】已知幂
?1 1? 函数 f ( x) ? x a 的图象过点 ? , ? ,则 log a 8 ? ?2 4?

.

14.【包头一中 2013-2014 学年度第一学期期中考试高一年级数学试题】

?(3a ? 1) x ? 4a, ( x ? 1) 在 (??,??) 上是减函数,则 a 的取值范围是( f ( x) ? ? , ( x ? 1) ?? ax
A.[ , )



1 1 8 3

B.[ 0, ]

1 3

C.( 0, )

1 3

D.( ??,

1 ] 3

15.【内蒙古巴彦淖尔市一中 2014 届高三上学期期中考试理科数学】函数 y ? 义域是( ) A. {x | 0 ? x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | 0 ? x ? 1 或 1 ? x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 1 或 1 ? x ? 2}

2? x 的定 lg x

16. 【银川九中 2014 届高三年级第 4 次月考试卷 (理科试卷) 】 若函数 f ? x ? ? ka x ? a? x ( a ?0

?? ? , 且 a ? 1) 在 (?

) 上既是奇函数又是增函数, 则 g ( x) ? log a ( x ? k ) 的图象是 (



二.能力题组 1.【黑龙江省佳木斯市第一中学 2013—2014 年度高三第三次调研试卷数学试卷(理)】设
? x 2 ? 6 x ? 6, x ? 0 函数 f ( x) ? ? ,若互不相等的实数 x1 , x2 , x3 满足 ?3x ? 4, x ? 0
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,则 x1 ? x2 ? x3 的取值范围是(
A. ( )

20 26 , ] 3 3

B. (

20 26 , ) 3 3

C. (

11 , 6] 3

D. (

11 , 6) 3

【答案】D 【解析】

考点:分段函数图象、二次函数性质. 2. 【黑龙江省哈尔滨市第九中学 2013-2014 学年高一上学期期中考试数学试题理科数学】 函 数 y ? log1 ( x ? 2 x ) 的单调递增区间是
2 2

( C. ( 2,? ?)

) D. (1,? ?)

A. ( ? ?,0)

B. ( ? ?,1)

3. 【黑龙江省哈尔滨市第九中学 2013-2014 学年高一上学期期中考试数学试题理科数学】 若 函数 y ? loga ( x 2 ? ax ? 2) 在区间 ( ? ?,1] 上为减函数,则 a 的取值范围为 A. (0,1) 【答案】C 【解析】 B. [1,? ?) C. [2,3) D. (1,3) ( )

4. 【黑龙江省哈尔滨市第九中学 2013-2014 学年高一上学期期中考试数学试题理科数学】 (本 题满分 12 分,每小题 6 分) 已知 f ( x) 是定义在 (??,0)

?0, ??? 上的奇函数,且当 x ? 0时, f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 ,

(1)求 x ? 0 时, f ( x) 的解析式; (2)解关于 x 的不等式 f ? x ? ? 1 .

考点:1.函数的奇偶性;2.二次函数;3.分段函数;4.不等式. 5.【黑龙江省双鸭山一中 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题】 (本题满分 10 分)
2 设集合 A 为函数 y ? ln(? x ? 2 x ? 8) 的定义域,集合 B 为函数 y ? x ?

1 的值域,集合 x ?1

1 C 为不等式 (ax ? )( x ? 4) ? 0 的解集. a
(1)求 A

B;

(2)若 C ? CR A ,求 a 的取值范围.

综上所述,所求 a 的取值范围是 ?

? 2 ? ,0? ?. ? 2 ?

考点:函数的定义域、值域,集合的运算,一元二次不等式解法. 6.【银川九中 2014 届高三年级第 4 次月考试卷(理科试卷)】某工厂某种产品的年固定成 本为 250 万元,每生产 x 千件 ,需另投入成本为 C ( x ) ,当 年产量不足 80 千件时, ..

C ( x) ?

1 2 10000 x ? 10 x (万元).当年产量不小于 80 千件时, C ( x) ? 51x ? ? 1450 (万 3 x

元).每件 商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. ..

(Ⅰ )写出年利润 L( x) (万元)关于年产量 x (千件 )的函数解析式; .. (Ⅱ )年产量为多少千件 时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? ..

此时,当 x ?

10000 时,即 x ? 100 时 L( x) 取得最大值 1000 万元,而 950 ? 1000 ,所以, x

当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元.

三.拔高题组 1.
【黑龙江省哈尔滨市第九中学 2013-2014 学年高一上学期期中考试数学试题理科数学】

(本题满分 12 分) 已知 f ( x) 是定义在 ? 0, ??? 上的函数,且对任意正数 x , y 都有

f (xy) = f (x)+ f ( y) , 且当 x ? 1 时, f ? x ? ? 0 .
(1) 证明 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上为增函数; (2) 若 f (3) = 1 ,集合

? A= x f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 2 , B ? ? x | ?

?

?

? ? (a ? 1) x ? 1 ? f? ? ? 0, a ? R ? , ? x ?1 ? ?

A

B ? ? , 求实数 a 的取值范围.

(2)

?x ? 9x ? 9 , f ? 3? ? 1? f ?9? ? 2 ? f ? x ? ? f ? x ?1? ? 2 ? f ? x ? ? f ?9x ? 9? ,? ? ? x ?1 ? 0
? ? 9? 8?
????6 分

从而 A ? ? x |1 ? x ? ? ,

2.【包头一中 2013-2014 学年度第一学期期中考试高一年级数学试题】(本题满分 12 分) 函数

f ( x) 对任意 a,b? R 都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ?1, 当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 . f ( x) 在 R 上是增函数.
(2)若 f (4) ? 5 ,解不等式 f (3m ? 4) ? 3 .

(1)求证:

(2)由

f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ?1, f (4) ? 5 令 a ? b ? 2 ,? f (4) ? 2 f (2) ?1 ,

所以 f(3m-4)<3 可化为 f(3m-4)<f(2),又因为 f(x)在 R 上递增, 所以 3m-4<2,解得: ? f (2) ? 3 , m<2,即 m ? (??,2) . 考点:1.隐函数的问题.2.函数的单调性.3.利用函数的单调性解不等式.

3.【云南省玉溪一中2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题】(本题满分12分)已知 函数 f (x ) ? 1 ?

1 , (x ? 0) x

(1)当 0 ? a ? b ,且 f (a ) ? f (b ) 时,求证: a ? b ? 2ab (2)是否存在实数 a, b (a ? b ) ,使得函数 y ? f (x ) 的定义域、值域都是 [a , b ] ?若存在, 则求出 a , b 的值,若不存在,请说明理由. 【答案】(1)证明见解析;(2)不存在,理由见解析. 【解析】

(2)不存在满足条件的实数 a , b .

? 1 1 ? (x ? 1) ? ? x ? f (x ) ? ? ? 1 ? 1(0 ? x ? 1) ? ?x

2012-2013 年联考题
1【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】 已知函数 f M ? x ? 的定义域为实数集 R , 满足 f M ? x ? ? ?

?1, x ? M ( M 是 R 的非空真子集 ),在 R 上有两个非空真子集 A, B ,且 ?0, x ? M

A

B ? ? ,则 F ? x ? ?

f A B ? x? ?1 的值域为 f A ? x? ? fB ? x? ?1
C. ? , ,1?

A. ? 0, ? 3 【答案】B

? ?

2? ?

B. ?1?

?1 2 ? ?2 3 ?

D. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

【 解 析 】 若 x ? A , 则 f A ( x) ? 1, f B ( x) ? 0, f A?B ( x) ? 1 , F ( x) ? 1 ; 若 x ? B , 则

f A ( x) ? 0, f B ( x) ? 1, f A?B ( x) ? 1, F ( x) ? 1 ; 若 x ? A,x ? B , 则 f A ( x) ? 0 ,f B ( x) ? 0 ,
f A?B ( x) ? 0, F ( x) ? 1. 故选 B.
? x3 1 , ? x ?1 ? ? x ?1 2 f ( x) ? ? 2【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试 理】函数 ?? 1 x ? 1 ,0 ? x ? 1 ? 6 12 2 ?

和函数 g ( x) ? a sin 数 a 的取值范围是

?
6

x ? a ? 1(a ? 0) ,若存在 x1, x2 ?[0,1] 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 则实

( ,] A.
【答案】C

1 3 2 2

B. [1,2)

( , 2] C.

1 2

(1, ] D.

3 2

1 x3 ? x ?1 f ( x )? , x2 ( 2 x? 3 ) x ?1 f ' ( 【解析】当 2 时, x )= ? ( x ? 12)

函 0 数递增,此时

1 0? x? 1 1 1 2 时,函数 f ( ) ? f ( x) ? f (1) ,即 ? f ( x ) ? ,当 1 1 ,单调 2 12 2 f ( x) ? ? x ? 6 12
递 减 , 此 时 0 ? f ( x) ?

1 1 ? ? , 综 上 函 数 0 ? f ( x) ? 。 当 0 ? x ? 1 时 , 0 ? x ? , 12 2 6 6 ? 1 1 1 0 ? sin x ? , ?a ? 1 ? g ( x) ? a ? a ? 1 , 即 ?a ?1 ?g ( x) ? ? a ? 1 ,若存在 6 2 2 2

x1, x2 ?[0,1] 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,让 g ( x) 的最大值大于等于 f ( x) 的最小值,让 g ( x)

? 1 ? a ?1 ? 0 ?a ? 2 ? 1 ? 2 ? 的最小值小于 f ( x ) 的最大值,即 ? ,解得 ? 1 ,即 ? a ? 2 ,选 D. 2 a? ??a ? 1 ? 1 ? ? 2 ? ? 2
3【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理)】已知函数 f ( x) 在 [0,??) 上是 增函数, g ( x) ? ? f ( x ) ,若 g (lg x) ? g (1) ,则 x 的取值范围是 A. (10,??) 【答案】B 【解析】 因为 g ( x) ? ? f ( x ) , 所以函数 g ( x) ? ? f ( x ) 为偶函数, 因为函数 f ( x) 在 [0,??) 上是增函数, 所以当 x ? 0 时,g ( x) ? ? f ( x ) ? ? f ( x) , 此时为减函数, 所以当 x ? 0 , 函 数 g ( x) ? ? f ( x )单 调 递 增 。 因 为 g (lg x) ? g (1) , 所 以 有 ?1 ? lgx ? 1, 解 得 B. (

1 ,10) 10

C. (0,10)

D. (0,

1 ) ? (10,?? ) 10

1 1 ? x ? 10 ,即 ( ,10) ,选 B. 10 10
4【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)】 函数 的定义

域为( A.

) B. C. D.

【答案】D

?? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ? x 2 +3 x ?4 ?0 【解析】要使函数有意义,则有 ? ,即 ? ,解得 ?4 ? x ? 1 且 ?x ? 0 ?x ? 0
x ? 0 ,选 D.
【 北 京 四 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 测 验 数 学 ( 理 ) 】 已 知 函 数 的图象如图所示则函数 的图象是( )

【答案】A 【解析】由函数的两个根为 x ? a.x ? b ,图象可知 0 ? a ? 1, b ? ?1 。所以根据指数函数的 图象可知选 A. 5 【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)】定义在 R 上的函数 ,当 时, ,则( ) 满足

A.

B.

C. 【答案】D 【解析】由题意可知,函数

D.

的图象关于 y 轴对称,且周期为 2,故可画出它的大致图象,

如图所示:∵ 数, ∴ ,选 D.



,而函数



是减函

6.【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)】设函数 ______. 【答案】

5 2 1 ? 1。 2


【解析】令 x ? ?1 得 f (1) ? f (?1) ? f (2) ,即 f (2) ? f (1) ? f (?1) ? 2 f (1) ? 2 ? 令

x ?1



f (3) ? f (1 ? 2) ? f (1) ? f (2) ? 3 5 ? 1= 。 2 2

1 3 ?1 ? 2 2





x?3

f (5) ? f (3 ? 2) ? f (3) ? f (2) ?

7.【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试理】若 f ( x) ? ( x ? a)( x ? 4) 为偶函数,则 实数 a= 【答案】4
2 【解析】 f ( x) ? ( x ? a)( x? 4)? x ? (a ? 4)x ? 4a , 因为函数 f ( x ) 是偶函数 , 所以必有

.

a ? 4 ? 0 ,即 a ? 4 .
8.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ,若存在 常数 m ? 0 ,对任意 x ? R ,有 f ( x) ? m x ,则称函数 f ( x ) 为 F ? 函数.给出下列函数:
2 ① f ( x) ? x ;② f ( x) ?

x x ;③ f ( x) ? 2 ;④ f ( x) ? sin 2 x . x ?1
2

其中是 F ? 函数的

序号为 【答案】②④

.

f ( x) x 2 f ( x) ? ? x ,所以 【解析】因为 ? x ,没有最大值,所以①不是 F ? 函 x x x

数.

f ( x) 1 ? 2 ? 1 ,所以存在 m ? 1 ,有 f ( x) ? m x 成立,所以②是 F ? 函数.③不 x x ?1

是 F ? 函数.因为 f ( x) ? sin 2 x ? 2 x ? 2 x , 所以此时存在 m ? 2 , 所以④是 F ? 函数, 所以是 F ? 函数的有②④. 9.【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】 具有性质: f ( ) ? ? f ( x ) 的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数: ① y ? x?

1 x

1 1 ;② y ? x? ; x x

? ? x, (0 ? x ? 1) ? ③ y ? ?0, ( x ? 1) 中满足“倒负”变换的函数是 ? 1 ?? ( x ? 1) ? x
【答案】①③ 【解析】当 y ? x ?

.

1 1 1 时, f ( ) ? ? x ? ? f ( x) ,所以①满足“倒负”变换的函数。当 x x x 1 1 1 y ? x ? 时 , f ( ) ? ? x ? f ( x) , 所 以 ② 不 满 足 “ 倒 负 ” 变 换 的 函 数 。 当 x x x

? ? x, (0 ? x ? 1) ? 1 1 1 y ? ?0, ( x ? 1) 时, 当 x ? 1 时,0 ? ? 1 , f ( ) ? ? ? f ( x) , 当 0 ? x ? 1 时,x ? 1 , x x x ? 1 ?? ( x ? 1) ? x
1 f ( ) ? ? x ? ? f ( x) ,所以③满足“倒负”变换的函数,所以满足条件的函数是①③。 x ? 1 x ?( ) , x ? 4 10.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则 ? ? f ( x ? 1), x ? 4

f (1 ? log 2 5) 的值为
【答案】



1 20

【解析】 3 ? 1 ? log 2 5 ? 4 ,所以 f (1 ? log2 5) ? f (2 ? log2 5) ? f (log2 20)

1 1 ? ( )log2 20 ? 2? log2 20 ? . 2 20
11.【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】若直线 y ? 2a 与函数 y ?| a x ? 1 |

( a ? 0且a ? 1) 的图像有两个公共点,则 a 的取值范围是 【答案】 (0, )

.

1 2

x x 【解析】因为 y ? a ? 1 的图象是由 y ? a 向下平移一个单位得到,当 a ? 1 时,作出函数

y ? a x ? 1 的图象如图,此时 y ? 2a ? 2 ,如图象只有一个交点,不成立。
当 0 ? a ? 1 时, 0 ? 2a ? 2 ,要使两个函数的图象有两个公共点,则有 0 ? 2a ? 1 ,即

0?a?

1 1 2 ,所以 a 的取值范围是 (0, ) 。 2

12. 【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的偶函 数且在 ?0, ??? 上递增,不等式 f ? 【答案】 ( ? ,1) 【 解 析 】 因 为 y ? f? x ? 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 且 在 ?0, ??? 上 递 增 , 所 以

? x ? ? 1? ? ? f ? ? ? 的解集为 ? x ?1 ? ? 2?

1 3

x 1 1 x 1 ? x ? ? 1? f? )? f(? )? f( ) , 所 以 ? , 即 ? ? f ?? ? 等 价 为 f ( x ?1 2 2 x ?1 2 ? x ?1 ? ? 2?
1 2 x ? x ?1 ,平方得 4 x2 ? x2 ? 2 x ? 1 ,所以 3x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 ? ? x ? 1 ,即不等 3 1 式的解集为 ( ? ,1) 。 3
13.【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学理】函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函 数,且 f ? x ? 2 ? ? ?

1 ,当 2 ? x ? 3 时, f ? x ? ? x, 则f ? 2013? ? ______________. f ? x?

【答案】 ?

1 3

【解析】因为 f ? x ? 2 ? ? ?

1 ,所以 f ? x ? 4? ? f ( x) ,即函数 f ( x ) 的周期是 4 , f ? x?

f (2013) ? f (1) ? ?

1 1 ?? . f (3) 3

14. 【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试理】函数 f ( x ) ? 2|x?1| 的递增区间 为 【答案】 [1, ??) 【解析】令 t ? x ? 1 ,则 y ? 2t 在定义域上单调递增,而 t ? x ? 1 ? ? 上单调递增,所以函数 f ( x) ? 2|x?1| 的递增区间为 [1, ??) 。 15.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】已知实数 a,b 满足等式 2 ? 3 ,
a b



? x ? 1, x ? 1 ,在 x ? 1 ?1 ? x, x ? 1

给出下列五个关系式中:① 0 ? b ? a; ② a ? b ? 0; ③ 0 ? a ? b; ④ b ? a ? 0; ⑤ a ? b. 则所 有可能 成立的关系式的序号为___.___. .. 【答案】①②⑤ 【 解 析 】 在 同 一 坐 标 系 下 做 出 函 数 f ( x ) ? 2 ,g ( x ) ? 3的 图 象 如 图 , 由 图 象 可 知 ,
x x

①,②,⑤正确. 16. 【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理)】已知奇函数 f ( x) 满足

7 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 x ,则 f ( ) 的值为 2
【答案】 ? 2

【 解 析 】 由 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 得 f ( x ? 4) ? f ( x) , 所 以 f ( x) 周 期 是 4 , 所 以

7 7 1 1 f ( ) ? f ( ? 4) ? f (? ) ? ? f ( ) , 又 当 x ? (0,1) 时 , f ( x) ? 2 x , 所 以 2 2 2 2
f( 1 ) ? 2
1 2

2 ?

f ( ) ? ? 2. ,所以 2

7 2

17. 【 山 东 省 师 大 附 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 理 】 设 函 数
x ? ?2 f ? x? ? ? ? ?log 2 x

? x ? 0? ,函数 y ? ? x ? 0?

f? ? f ? x ?? ? ? 1 的零点个数为__________.

【答案】2
x x 【解析】当 x ? 0 时,0 ? 2 ? 1 ,所以 f ? ? f ? x ?? ? ? 1 ? log 2 2 ? 1 ? x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1(舍

去 ) ; 当 x ? 1 时 , f ( x)? l o ? 2g x

, 0 所以 f ? ? f ? x ?? ? ? 1 ? log 2 (log 2 x) ? 1 ? 0 得 时 ,

log2 x=2,x ? 4





0 ? x ?1

f(

? x)

2

l? ox , g



以 0

log 2 x f? ?1 ? x ?1 ? 0 , 所以 x ? 1 , 所以函数 y ? f ? ? f ? x ?? ? ?1 ? 2 ? f ? x ?? ? ? 1 的零点是 4,1,

共有 2 个. 18.【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】函数 f ( x) ? ?

?2 x ? 2,
2

x ?1

? x ? 4 x ? 3,x ? 1

的图

象和函数 g ( x) ? ln ? x ?1? 的图象的交点个数是 ____________. 【答案】2 【解析】画出图象知交点个数为 2. 【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】函数 f ( x) 的定义域为 A,若 x1 , x2 ? A 且
f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x2 ,则称 f ( x) 为单函数.例如:函数 f ( x) ? 2 x ? 1( x ? R) 是单函

数.给出下列命题: ①函数 f ( x) ? x ( x ? R) 是单函数;
2

②指数函数 f ( x) ? 2 ( x ? R) 是单函数;
x

③若 f ( x) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数, 其中的真命题是 【答案】②③④ .(写出所有真命题的序号)

【解析】当 x1 ? 2, x2 ? ?2 时, f ( x1 ) ? 4 ? f ( x2 ), 故①错; f ( x) ? 2 x 为单调增函数,故② 正确;而③④显然正确. 19.【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理)】(本小题满分 12 分) 某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件 ,需另投入成本为 C ( x ) ,当 .. 年 产量 不足 80 千件 时, C ( x ) ?

1 2 x ? 10 x ( 万 元) . 当年 产量 不小 于 80 千 件时 , 3

C ( x) ? 51x ?

10000 ? 1450 (万元).每件 商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产 .. x

的商品能全部售完. (Ⅰ)写出年利润 L( x) (万元)关于年产量 x (千件 )的函数解析式; .. (Ⅱ)年产量为多少千件 时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? .. 【答案】解:(Ⅰ)因为每件 商品售价为 0.05 万元,则 x 千件 商品销售额为 0.05×1000 x .. .. 万元,依题意得: 当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ?

1 2 x ? 10 x ? 250 3

1 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 .????????????2 分 3 10000 ? 1450 ? 250 当 x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ? 51x ? x
= 1200? ? x ?

? ?

10000? ? .??????????????????4 分 x ?

? 1 2 ? x ? 40x ? 250(0 ? x ? 80), ? ? 3 所以 L( x) ? ? ????6 分 10000 ? ? ?1200? ? x ? ?( x ? 80). ? x ? ? ?
2 (Ⅱ)当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? ? ( x ? 60 ) ? 950 .

1 3

此时,当 x ? 60 时, L( x) 取得最大值 L(60) ? 950万元. ??????8 分

当 x ? 80 时,

? 10000? L( x) ? 1200? ? x ? ? x ? ? ? 1200? 2 x ? 10000 ? 1200? 200 ? 1000 x

此时,当 x ?

10000 时,即 x ? 100 时 L( x) 取得最大值 1000 万元.??????11 分 x

? 950 ? 1000
所以,当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元. ????????????????????????????????????12 分 20.【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】 (本小题满分 13 分) 已知函数 g ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 ? b(a ? 0) 在区间 ?2,3? 上的最大值为 4 ,最小值为1 , 记 f ( x) ? g ( x ) . (1) 求实数 a、 b 的值; (2) 若不等式 f(log2 k) 成立,求实数 k 的取值范围; ? f(2) (3) 定 义 在

? p, q ?













m( x )









T : p ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? q 将区间 ? p, q ? 任意划分成 n 个小区间,如果
存在一个常数 M ? 0 ,使得和式

? m( x ) ? m( x
i ?1 i n

n

i ?1

) ? M 恒成立,则称函数 m( x) 为在

? p, q?上的有界变差函数.

试判断函数 f ( x) 是否为在 ? 1,3? 上的有界变差函数?若是,求 M

的最小值;若不是,请说明理由.(参考公式:

? f (x ) ? ? ? f (x ? f (x ) ? f (x )
i ?1 i 1 2

n

))

【答案】(1) g ( x) ? a(x ? 1) 2 ? 1 ? b ? a ,因为 a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 ?2,3? 上是增 函数,故 ?

?a ? 1 ? g (2) ? 1 ,解得 ? . ?b ? 0 ? g (3) ? 4

??4 分
2

(2) 由 已 知 可 得 f ( x) ? g ( x ) ? x ? 2 x ? 1 为 偶 函 数 , 所 以 不 等 式

f(log2 k) ? f( 2 ) 可化为 log2 k ? 2 ,
解得 k ? 4 或 0 ? k ?

1 , 4

?????7 分 ????9 分

1,3? 上的有界变差函数. (3)函数 f ( x) 为 ?

1,3? 上 的 单 调 递 增 函 数 , 且 对 任 意 划 分 因 为 函 数 f ( x) 为 ?
T : 1 ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? 3 ,有

f (1) ? f ( x0 ) ? f ( x1 ) ? ? ? f ( xn?1 ) ? f ( xn ) ? f (3) ,所以

? f (x ) ? f (x
i ?1 i

n

i ?1

) ? f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ? f ( xn ) ? f ( xn?1 )

? f ( xn ) ? f ( x0 ) ? f (3) ? f (1) ? 4 ,
所以存在常数 M ? 4 ,使得 所以 M 的最小值为 4 .

? m( x ) ? m( x
i ?1 i

n

i ?1

) ? M 恒成立,

????13 分

21. 【山 东 省实 验中学 2013 届高 三第 三 次诊 断性测 试 理】 (本 小题 满分 12 分) 记

f ( x) ? ax2 ? bx ? c , 若 不 等 式 f ( x) ? 0 的 解 集 为 ( 1 , 3 ) , 试 解 关 于 t 的 不 等 式 f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) .
【答案】由题意知 f ( x) ? a( x ? x1 )(? x2 ) ? a( x ?1)(x ? 3) . 且 a ? 0 故二次函数在区间 [2,??) 上是增函数.??????????4 分 又因为 8? | t |? 8,2 ? t 2 ? 2 ,??????????????6 分 故由二次函数的单调性知不等式 f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) 等价于 8? | t |? 2 ? t 2 即 | t |2 ? | t | ?6 ? 0 ????????10 分

故 | t |? 3 即不等的解为: ? 3 ? t ? 3 .????????12 分 22.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

( x ? 1)( x ? a ) 为偶函数. x2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)记集合 E ? {y y ? f ( x), x ?{?1,1,2}},? ? lg 2 ? lg 2 lg 5 ? lg 5 ?
2

1 ,判断 ? 与 E 4

的关系; (Ⅲ)当 x ? [ 值. 【 答 案 】 解 : ( Ⅰ ) ? f ( x) 为 偶 函 数

1 1 , ] ?m ? 0, n ? 0? 时,若函数 f ( x) 的值域为 [2 ? 3m,2 ? 3n] ,求 m, n 的 m n

? f ( x) ?

f (? x)

?

( x ? 1)( x ? a) (? x ? 1)( ? x ? a) ? x2 x2
???????????????4 分

? 2(a ? 1) x ? 0,? x ?R 且 x ? 0 ,? a ? ?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: f ( x) ?

x2 ?1 x2

当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x) ?

3 4

? 3? ? E ? ?0, ? , ?????????????????????????????6 分 ? 4?

23.【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理)】(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 对任意实数 x , y 恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 且当 x>0 时, f ( x) ? 0 又 f (1) ? ?2 . (1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)求证: f ( x) 是 R 上的减函数; (3)求 f ( x) 在区间[-3,3]上的值域; (4)若 ?x ? R ,不等式 f (ax ) ? 2 f ( x) ? f ( x) ? 4 恒成立,求 a 的取值范围.
2

【答案】(1)解:取 x ? y ? 0, 则 f (0 ? 0) ? 2 f (0) 取 y ? ? x, 则f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x)

? f (0) ? 0

? f (? x) ? ? f ( x) 对任意 x ? R 恒成立 ∴ f ( x) 为奇函数.

24.【天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考数学(理) 】 (本小题满分 12 分) 对于函数 f (x) 若存在 x0 ? R , f (x0 )=x0 成立,则称 x0 为 f (x) 的不动点.已知

f (x)=ax2 ? (b ? 1) x ? b -1(a ? 0)
(1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f (x) 的不动点; (2)若对任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y =f (x) 图象上 A 、 B 两点的横坐标是函数 f (x) 的不动点, 且 A 、 B 两点关于直线 y ? kx ? 对称,求 b 的最小值. 2a 2 ? 1 【答案】解:(1)? a ? 1, b ? ?2 时, f ( x) ? x2 ? x ? 3 ,

1

f ( x) ? x ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ? x ? ?1, x ? 3
? 函数 f ( x) 的不动点为-1 和 3;
2 (2)即 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1 ? x 有两个不等实根, 转化为 ax ? bx ? b ? 1 ? 0

有两个不等实根,需有判别式大于 0 恒成立 即 b2 ? 4a(b ? 1) ? 0 ? ? ? (?4a)2 ? 4 ? 4a ? 0 ? 0 ? a ? 1 , ? a 的 取 值 范 围 为

0 ? a ? 1;

(3)设 A( x1, x1 ), B( x2 , x2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? A,B 的中点 M 的坐标为 (

b , a

x1 ? x2 x1 ? x2 b b , ) ,即 M ( ,? ) 2 2 2a 2a 1 ? A、B 两点关于直线 y ? kx ? 2 对称, 2a ? 1
又因为 A,B 在直线 y ? x 上,

? k ? ?1 ,A,B 的中点 M 在直线 y ? kx ?

1
2

2a ? 1 b b 1 a 1 , ? ? ? 2 ?? ? 2 ?? 1 2a 2a 2a ? 1 2a ? 1 2a ? a
利用基本不等式可得当且仅当 a ?

上.

1 2 时,b 的最小值为 . 2 2 2

2011-2012 年联考题
ì log 2 x x > 0 ? ? ? f ( x) = í log (- x) x < 0 1 ? ? 2 ? ? 【2012 海南嘉积中学期末理 15】若函数 ,若 f (a) > f (- a) ,
则实数 a 的取值范围是 【答案】 (?1,0) ? (1,??) .

? ? ? a ?0 ? a ?0 ? log(1? a ) ?log(2? a ) ; a ? log a 2 ? log 1 ? ? a ? (?1, 0) (1, ??) 2 【解析】由题意得 ? 或? 2
【2012 ? 黑龙江绥化市一模理 11】设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有

?1? f ( x) ? ? ? ? 1 f ( x) ? f ( x ? 4) ,且当 x ?[?2, 0] 时, ?2? ,若在区间 (?2, 6] 内关于 x 的方程

x

f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有三个不同的实数根,则 a 的取值范围为( )
A.

(1, 2)

3 B. (2, ??) C. (1, 4)

3 D. ( 4, 2)

【答案】D 【 解 析 】 令
x ? 2) g ( x) ? log( a , 由 题 意 若 在 区 间 (?2, 6] 内 关 于 x 的 方 程

f ( x) ? l ao g x ?(

?2 ) a ? 0 ( 1) 恰有三个不同的实数根,所以

?

g ( 2)?3 g ( 6)?3

3 ,解得 4 ? a ? 2

【2012 ? 浙江瑞安期末质检理 10】 定义函数

f(x) ? ?x ? ?x?? ,其中 ?x? 表示不超过 x 的最大整

数,当

x ??0,n? (n ? N*) 时,设函数 f(x) 的值域为集合 A ,记 A 中的元素个数为 an ,则使

an ? 49 n 为最小时的 n 是(
A.7 【答案】C B.9

) C.10 D.13

f ( x)? 【 解 析 】 0 ? x ?1 时 ,

01 a ,?

1? ;1 x ?时 , 2 f ( x) ? ? x? , a2 ? 2 ;

2 ? x ? 3, f ( x) ? ?2x?

a3 ? 4,

3 ? x ? 4, f ( x) ? ?3x?

, a4 ? 7,4 ? x ? 5, f ( x) ? ?4x?, a5 ? 11,5 ? x ? 6, f ( x) ? ?5x?, a6 ? 16,

,9 ? x ? 10, f ( x) ? ?9 x?, a10 ? 46, a11 ? 57, a12 ? 69, a13 ? 79
an ?

6 ? x ? 7, f ( x) ? ?6 x?, a7 ? 22,7 ? x ? 8, f ( x) ? ?7 x?, a8 ? 29,8 ? x ? 9, f ( x) ? ?8x?, a9 ? 37

100 n 2 ? n ? 2 a n ? 49 1 ? (n ? ), n ? 10 n 2 n 2 , 取得最小值。

? a, b? ,当 x ??a ,b ? 时的 【2012 浙江瑞安期末质检理 17】对于函数 y ? f ( x) ,若存在区间
值域为

?ka, kb? (k ? 0) ,则称 y ? f ( x) 为 k 倍值函数.若 f ( x) ? ln x ? x 是 k 倍值函数,则
.

实数 k 的取值范围是

1 (1,1 ? ) e 【答案】
【解析】、因为 f ( x) ? ln x ? x 是 k 倍值函数, f ( x) 在 ?a, b? 上增,

?

ln a ?a ?ka ln b?b?kb

在 (0,??) 上

有 两 根 , 则 g ( x) ? ln x ? (1 ? k ) x, 有 两 个 零 点 , y ? ln x 与 y ? (k ? 1) x 相 交 两 点 ,

k ? 1 ? 0 ,当

k ? 1?

1 1 1 ? k ? 1? e 时相切,所以 e;

【2012 ? 延吉市质检理 8】函数 f ( x ) 的定义域为 R,且满足: f ( x ) 是偶函数, f ( x ? 1) 是 奇函数,若 f (0.5) =9,则 f (8.5) 等于 A . ? 9 B.9 【答案】B 【 解 析 】 因 为 C. ? 3 D.0 ( )

f ( x) 是 偶 函 数 ,

f (x ? 1 是 ) 奇 函 数 , 所 以

f (? x) ? f ( x), f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,函数是周期函数,周期 T=8,所以 f (8.5) =9

【2012 武昌区高三年级元月调研文】某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位: 万元)分别为

l1 ? 5.06x ? 0.15x2和L2 ? 2x ,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在

这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大利润为 万元. 【答案】 45.6 【解析】 本题主要考查函数的应用问题及二次函数的最值. 属于基础知识、 基本运算的考查. x x 设甲地销量为 辆,则乙地销量为 15- 辆,总利润为 y(单位:万元),则

y ? 5.06x ? 0.15x2 ? 2(15 ? x),(0 ? x ? 15, x ? N ) ,
即 y ? ?0.15x ? 3.06 x ? 30,(0 ? x ? 15, x ? N )
2

二次函数对称轴为 x ? 10.2

∵ x ? N ,故 x ? 10 辆时 y 最大,最大值为 45.6 万元。 【2012 黄冈市高三上学期期末考试文】某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40 元,若用 x 表示该厂生产这种产品的总件数,则电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元,又该厂职工 工资固定支出 12500 元。 (1)把每件产品的成本费 P(x)(元)表示成产品件数 x 的函数,并求每件产品的最 低成本费; (2)如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件,且产品能全部销售,根据市场 调查:每件产品的销售价 Q(x)与产品件数 x 有如下关系: Q( x) ? 170 ? 0.05 x ,试问生 产多少件产品,总利润最高?(总利润=总销售额-总的成本) 【解析】本题主要考查函数的应用问题、逻辑思维能力、推理论证能力.

P( x) ?
解:(Ⅰ)

12500 ? 40 ? 0.05 x x

???????????????3 分

由基本不等式得 P( x) ? 2 12500 ? 0.05 ? 40 ? 90

12500 ? 0.05 x 当且仅当 x ,即 x ? 500 时,等号成立 P( x) ?


????????5 分

12500 ? 40 ? 0.05 x x ,成本的最小值为 90 元. ????????6 分

(Ⅱ)设总利润为 y 元,则

y ? xQ( x) ? xP( x) ? ?0.1x 2 ? 130x ? 12500 ? ?0.1( x ? 650) 2 ? 29750
当 x ? 650 时,

ymax ? 29750 ????????????????????11 分

答:生产 650 件产品时,总利润最高,最高总利润为 29750 元.? ??12 分

【2012 ? 宁德质检理】(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ? k ? 2 , k ? R.
x ?x

(1)若函数 f ( x ) 为奇函数,求实数 k 的值; (2)若对任意的

x ??0, ???

都有 f ( x) ? 2 成立,求实数 k 的取值范围。

?x

【2012 ? 深圳中学期末理】(本小题满分 14 分) 已知集合 (I)设
D ? ?( x1 , x2 ) x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? k

? .其中 k

为正常数.

u ? x1 x2 ,求 u 的取值范围.
(

1 1 k 2 ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 x2 2 k 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒成立; (II)求证:当 k ? 1 时不等式 x1
1 1 k 2 ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 x2 2 k 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒成立的 k 的范围. (III)求使不等式 x1 (

【答案】(I)

x1 x2 ? (

x1 ? x2 2 k 2 k x1 ? x2 ? ) ? 2 时等号成立, 2 4 ,当且仅当

k2 (0, ] 4 .(3 分) 故 u 的取值范围为
x x 1 1 1 ? x1 )( ? x2 ) ? ? x1 x2 ? 1 ? 2 x x2 x1 x2 x2 x1 (II) 变形,得 1 (
2 x12 ? x2 1 k 2 ?1 k 2 ?1 ? x1 x2 ? ? ? x1 x2 ? ?2?u? ?2 x1 x2 x1 x2 x1x2 u . (5 分)

0?u?


k2 k2 2 (0, ] 4 ,又 k ? 1 , k 2 ? 1 ? 0 ,∴ f (u ) ? u ? k ? 1 ? 2 在 4 上是增函数, u
2

1 1 ? x1 )( ? x2 ) ? u ? k ? 1 ? 2 x x2 u 所以 1 ( (

?

k 2 k 2 ?1 k2 4 2 k ? 2 ?2? ? 2 ? 2 ? ( ? )2 k 4 4 k k 2 4 .

1 1 k 2 ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 x x2 2 k 成立. (9 分) 即当 k ? 1 时不等式 1
2 1 1 k 2 k2 ? x1 )( ? x2 ) ? u ? 1 ? k ? 2 ? f (u ) ( ? )2 ? f ( ) x x2 u 4 , (III)令 1 ,则 2 k

(

f (u ) ? f (
即求使

k2 k2 ) u ? (0, ] 4 对 4 恒成立的 k 的范围.(10 分)
(

1 1 k 2 ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 x x2 2 k 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒成立,必有 0 ? k ? 1 , 由(II)知,要使 1
因此 1 ? k ? 0 ,∴函数
2

f (u ) ? u ?

1? k 2 ?2 u 在 (0,

1 ? k 2 ] 上递减,在 [ 1 ? k 2 , ??) 上递增,

要使函数 f (u ) 在

(0,

k2 k2 k2 f (u ) ? f ( ) ] ? 1? k 2 4 ,必有 4 4 上恒有 ,
5 ? 2 .(14 分)

4 2 即 k ? 16k ? 16 ? 0 ,解得 0 ? k ? 2

【2012·泉州四校二次联考理】(本小题满分 13 分) 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后, 发现一天中环境综合放射

性污染指数

f ? x?

与时刻 x (时)的关系为

f ? x? ?

x 2 ? a ? 2a ? , x ? ?0, 24? x ?1 3 ,
2

? 1? a ? ?0, ? ? 2 ? ,若用每天 f ? x ? 的最大值为当天的综合放射性 其中 a 是与气象有关的参数,且
污染指数,并记作

M ?a?



t?
(1)令

x x ? 1 , x ??0, 24? ,求 t 的取值范围;
2

(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性 污染指数是否超标? (本小题满分 13 分) 【解】(1)当 x ? 0 时,t=0; ……………………1

分 当 0 ? x ? 24 时,

x?

1 ?2 x (当 x ? 1 时取等号),

t?


x 1 ? 1? ? ? ? 0, ? x ?1 x ? 1 ? 2 ? x ,
2

? 1? ?0, ? 即 t 的取值范围是 ? 2 ? .

……………………4 分

? 1? 2 a ? ?0, ? g ? t ? ? t ? a ? 2a ? ? 2 ? 时,记 3 (2)当

2 ? ? t ? 3 a ? ,0 ? t ? a ? ? 3 g ?t ? ? ? ? t ? a ? 2 ,a ? t ? 1 ? 3 2 ? 则
? 1? ? a, ? g ? t ? ?0, a ? ∵ 在 上单调递减,在 ? 2 ? 上单调递增,

……………………8 分

2 ?1? 7 1? ?1? ? g ? 0 ? ? 3a ? , g ? ? ? a ? , g ? 0 ? ? g ? ? ? 2 ? a ? ? 3 ?2? 6 4 ?. ?2? ? 且

? ?1? 1 ? 7 1 g ? ?,0 ? a ? a ? ,0 ? a ? ? ? ? 2 4 ? 6 4 M ?a? ? ? ? ? ?? 2 1 ? g ? 0 ? , 1 ? a ? 1 ?3a ? , ? a ? 1 ? 3 4 2 . ……………………10 分 ? ? 4 2 ? 故
a?
∴当且仅当

4 9 时, M ? a ? ? 2 .

0?a?
故当

4 4 1 ?a? 9 时不超标,当 9 2 时超标.

……………………13 分

2010 年联考题
题组二
一、填空题

y?
1.(安徽两地三校国庆联考)函数

lg | x | x 的图象大致是

(

)

答案 D 2.(池州市七校元旦调研)对于正实数 ? ,记 合:

M ? 为满足下述条件的函数 f ( x) 构成的集

?x1 , x2 ? R 且 x2 ? x1 ,有 ?? ( x2 ? x1 ) ? f (x 2) ?f (x 1) ? ? (x 2 x ?1) .下列结论中正确
)

的是 ( A.若

f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2

f ( x) ? M ?1 g ( x ) ? M f ( x ) ? M g ( x ) g ( x ) ? 0 ? 2 ? 1 ?2 B.若 , ,且 ,则
C.若 D.若

f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 ?1 ? ?2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2

答案 C

【解析】对于

?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) ,即有

?? ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?? x2 ? x1 ,

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?k f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 , 即 有 x ? x 2 1 令 , 有 ?? ? k ? ? , 不 妨 设

??1 ? k f ? ?1 , ??2 ? kg ? ?2
f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 .

, 因 此 有

??1 ? ?2 ? k f ? kg ? ?1 ? ?2

, 因 此 有

3.(安徽两地三校国庆联考)函数 f ( x) ? x cos x ? 1, x ? (?5,5) 的最大值为 M ,最小值 为 m ,则 M ? m 等于( )

A.0 答案 C

B.1

C.2

D.4

4. ( 岳 野 两 校 联 考 ) 若 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 对 任 意 的 实 数 x , 都 有
f ( x ? 4) ? f ( x) ? 4

1 ) ? 2 ,则 f(2009 ) 和 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2, 且 f( 的值是(
B.2009 C.2010 D.2011



A.2008 答案 C

5.(安徽两地三校国庆联考)设定义在 R 上的函数 f ( x) 的反函数为 f
?1 ?1 的 x ? R ,都有 f (? x) ? f ( x) ? 3 ,则 f ( x ?1) ? f (4 ? x) 等于(

?1

( x) ,且对于任意



A.0 答案 A

B.-2

C.2

D. 2 x ? 4

6. (昆明一中三次月考理)已知函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 的图象如右图示,函数

y ? g ( x) 的图象与 y ? f ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称,则函数 y ? g ( x) 的解析式为
A. g ( x) ? 2
x

C. g ( x) ? log 1 x
2

1 x 2 D. g ( x) ? log2 x
B. g ( x) ? ( )

答案:B 7.(昆明一中三次月考理)已知函数 y ? f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时,有 f ( x) ? x ?

4 ,且当 x

x ?[?3 , ? 1] , f ( x) 的值域是 [n , m] ,则 m ? n 的值是
A.

1 3

B.

2 3

C. 1

D.

4 3

答案:C

8. (昆明一中二次月考理)如图表示函数 图象,则 ( )

(其中

)的

A.

B.

C. 答案:B 9. (昆明一中二次月考理)偶函数

D.

满足

=

,且在

时,

,则关于 的方程 A.1 答案:D B.2

,在 C.3

上解的个数是 ( D.4



二、填空题 1.(安徽两地三校国庆联考)已知函数 f(x)= ? 答案 1 或 2
?log 2 x( x ? 0) 1 , 若 f(a)= .则 a 的值为 x 2 2 , ( x ? 0 ) ?

2.(安庆市四校元旦联考)已知关于 x 的方程 x ? ax ? 1 有一个负根,但没有正根,则实数

a 的取值范
围是 答案 a≥1 3.(安徽两地三校国庆联考)给出定义:若
m? 1 1 ? x ? m? 2 2 (其中 m 为整数),则 m 叫做离

实数 x 最近的整数,记作 { x } ,即 { x } ? m . 在此基础上给出下列关于函数 f ( x ) ?| x ? { x } | 的 四个命题:



y ? f ( x)

1 k x ? (k ? Z ) y ? f ( x ) 2 的定义域是 R,值域是[0, 2 ];② 的图像关于直线 对称;

? 1 1? ?? 2 , 2 ? ? 上是增函数; ③函数 y ? f ( x ) 是周期函数,最小正周期是 1;④ 函数 y ? f ( x ) 在 ?

则其中真命题是__ 答案 ①②③



4 .已知 f ( x) 是定 义在 R 上的不 恒为零的函数 ,且对于 任意实 数 a 、 b ? R 满 足:

f (2 n ) f (2 n ) bn ? a ? f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) , f (2) ? 2 , n n (n ? N *) , 2 n ( n ? N * ),

{b } {a } 考察下列结论,① f (0) ? f (1) ;② f ( x) 为偶函数;③数列 n 为等差数列;④数列 n
为等比数列,其中正确的是_______(填序号) 答案 ①③④ 5.(昆明一中二次月考理)函数 答案:0 6. (师大附中理) 已知函数 f ( x) ? 1 ? 3( x ?1) ? 3( x ?1)2 ? ( x ?1)3 , 则 f ?1 (8) ? __________。 答案:0
? 7 . ( 师 大 附 中 理 ) 假 设 x1 ? ?97 , 对 于 n ? 1(n? N )有 xn ?



____________.

n ,计算乘积: xn ?1

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 =______。
答案:384 8.(昆明一中二次月考理)直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数 f(x)的图象恰好通过 k(k∈N*)个格点,则称函数 f(x)为 k 阶格点函数。下列函数:

①f(x)=sinx; ②f(x)=π (x-1) +3; ③ 其中是一阶格点函数的有 答案:①②④ .

2





三、解答题 1.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ⑴求函数 f ( x) 的周期; ⑵函数 f ( x) 的图象可由函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换得到?

1 3 sin x cos x ? cos 2 x ? ( x ? R) 2

解:(1) f ( x) ?

? 3 1 3 1 sin 2 x ? (2cos 2 x ? 1) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 6 2 2 2 2

所以 函数 f ( x) 的周期是 ? (2) 将函数 y ? sin x 的图象向左平移 的

? 个单位, 再将所得图象上每一点的横坐标变为原来 6

1 倍(纵坐标不变式),得函数 f ( x) 的图象 2

2.(本小题满分 12 分)(安徽两地三校国庆联考)

机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保 养费用 12 万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万元,该机床使 用后,每年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数控机床的盈利额为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值); (3)使用若干年后,对机床的处理方案有两种: (Ⅰ)当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机床; (Ⅱ)当盈利额达到最大值时,以 12 万元价格处理该机床. 请你研究一下哪种方案处理较为合理?请说明理由.

x( x ? 1) ? ? y ? 50?12x ? ? 4? ? 98 ? ?2 x 2 ? 40x ? 98. 2 ? ? 解 (1)依题得: (x ? N*)

(2)解不等式 ?2x ? 40x ? 98 ? 0, 得 :10 ? 51 ? x ? 10 ? 51
2

∵x ? N*,∴3≤x≤17,故从第 3 年开始盈利。

(3)(Ⅰ)

y 98 98 ? ?2 x ? 40 ? ? 40 ? (2 x ? ) ? 40 ? 2 2 ? 98 ? 12 x x x 98 x 时,即 x=7 时等号成立.

2x ?
当且仅当

? 到 2008 年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利 12×7+30=114 万元.
(Ⅱ)y=-2x2+40x-98=-(x-10)2+102,当 x=10 时,ymax=102 故到 2011 年,盈利额达到最大值,工厂获利 102+12=114 万元 盈利额达到的最大值相同,而方案Ⅰ所用的时间较短,故方案Ⅰ比较合理. 3.(本小题满分 12 分)(安徽两地三校国庆联考) 已知 a 是实数, 函数 f ?x ? ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a , 如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上有零点,
2

求 a 的取值范围. 解:若 a ? 0 , f ( x) ? 2 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1?上没有零点, 所以 a ? 0 .



? ? 4 ? 8a ?3 ? a ? ? 8a ? 24a ? 4 ? 0
2

a?
, 解得

?3 ? 7 2

a?
①当

?3 ? 7 2 时,

y ? f ? x?

恰有一个零点在

??1,1? 上;

y ? f ? x? ??1,1? ②当 f ?? 1? ? f ?1? ? ?a ? 1??a ? 5? ? 0 ,即 1 ? a ? 5 时, 在 上也恰
有一个零点. ③当

y ? f ? x?



??1,1? 上有两个零点时,



a?0 ? ? ? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?
解得 a ? 5 或

a?0 ? ? ? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 或?

a?

?3 ? 5 2 a? ?3 ? 5 2 .

综上所求实数 a 的取值范围是

a ?1 或

4.(本小题满分 13 分)(安徽两地三校国庆联考) 定义在 R 上的函数 y=f(x) , f(0) ≠ 0 ,当 x>0 时, f(x)>1 ,且对任意的 a 、 b ∈ R ,有 f(a+b)=f(a)f(b), 求证:f(0)=1; 求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围。 解 (1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1
f ( ? x) ?

(2)令 a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴

1 f ( x)

由已知 x>0 时,f(x)>1>0,当 x<0 时,-x>0,f(-x)>0
f ( x) ?



1 ?0 f ( ? x)

又 x=0 时,f(0)=1>0

∴对任意 x∈R,f(x)>0 (3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴
f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 f ( x1 )

∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在 R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又 1=f(0), f(x)在 R 上递增 ∴由 f(3x-x2)>f(0)得:3x-x2>0 ∴ 0<x<3 5. (三明市三校联考)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 。 (I)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)证明:① ln(x ? 1) ? x ? 2在(2,??) 上恒成立



? ( (i ? 1) ) ?
i ?2

n

ln i

n(n ? 1) , (n ? N ? , n ? 1) 4
1 ?k x ?1

解:(I)函数 f ( x)的定义域为 (1,?? ), f ' ( x) ? 当 k ? 0 时 f ' ( x) ?

1 ? k ? 0 ,则 f ( x)在(1,??) 上是增函数 x ?1 1 1 ?k ?0 当 k ? 0 时,若 x ? (1,1 ? ) 时有 f ' ( x) ? k x ?1 1 1 1 ? k ? 0 则 f ( x)在(1,1 ? ) 上 是 增 函 数 , 在 若 x ? (1 ? ,?? ) 时 有 f ' ( x) ? k x ?1 k 1 (1 ? ,?? ) 上是减函数 ????????(4 分) k
(Ⅱ)由(I)知 k ? 0 ,时 f ( x)在(1,??) 递增,而 f (2) ? 1 ? k ? 0, f ( x) ? 0 不成立,故

k ?0
又由(I)知 y max ? f (1 ? 则 y max ? f (1 ?

1 ) ? ? ln k ,要使 f ( x) ? 0 恒成立, k
由 ? ln k ? 0得k ? 1 ???????(8 分)

1 ) ? ? ln k ? 0 即可。 k

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 k ? 1 时有 f ( x) ? 0在(1,??) 恒成立,且 f ( x)在[2,??) 上是减函 数, f (2) ? 0 ,? x ? (2,??), f ( x) ? 0 恒成立, 即 ln(x ? 1) ? x ? 2在(2,??) 上恒成立 。????????(11 分) 令 x ? 1 ? n ,则 ln n ? n ? 1 ,即 2 ln n ? (n ? 1)(n ? 1) ,从而
2 2 2

ln n n ? 1 ? , n ?1 2

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n ? 1 n(n ? 1) ? ? ??? ? ? ? ??? ? 成立??(14 分) 3 4 5 n ?1 2 2 2 2 4 ( x ? 1)[1 ? ln( x ? 1)] 6. (玉溪一中期中理)(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? . x
(Ⅰ) 设 g ( x) ? x2 ? f ' ( x),( x ? 0) .试证明 g ( x) 在区间 (0, ??) 内是增函数; (Ⅱ) 若存在唯一实数 a ? (m, m ? 1) 使得 g (a) ? 0 成立,求正整数 m 的值; (Ⅲ) 若 x ? 0 时, f ( x) ? n 恒成立,求正整数 n 的最大值.

证明: (1)

f ( x )?

(x ? 1 ? ) ? 1 x

lx n? (

) ?1 ,x (?

? 0f) ' (x )

x ? 1 ? l nx (? 1 ) 2 x

∴ g ( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1),( x ? 0) , 则 g '( x) ?

x ? 0 ∴ g ( x) 在 (0,??) 内单调递增 x ?1

解:(2) ∵ g (2) ? 1 ? ln 3 ? 0 , g (3) ? 2(1 ? ln 2) ? 0 ,∴由(1)可得 g ( x) 在 (0,??) 内单 调递增, 即 g ( x) ? 0 存在唯一根 a ? (2,3) 解: (3) 由 f ( x) ? n 得 n ? f ( x) 且 ∴ m?2
x ? (0,??) 恒成立,由 (2) 知存在唯一实数 a ? (2,3) ,

使 g (a) ? 0 且 当 0 ? x ? a 时 , g ( x ) ?
' g(x ) ? ,0 ∴ f ( x) ? 0 .

0 , ∴

f ' ( x) ? 0 , 当 x ? a 时 ,

∴ 当 x ? a 时, f ( x ) 取得最小值 f (a ) ?

(a ? 1)[1 ? ln(a ? 1)] a

∵ g (a) ? 0 , ∴ a ? 1 ? ln(a ? 1) ? 0 ? 1 ? ln(a ? 1) ? a . 于是, f (a) ? a ? 1. ∵ a ? (2,3) , ∴ f (a) ? (3, 4) ∴ n ? 3 ,故正整数 n 的最大值为 3.

题组一(1 月份更新)

1.(2009 宣威六中第一次月考)已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 在区间 [?1, 2] 上是减函
3 2

数,那么 b ? c ( A.有最大值 答案 B

B

) B.有最大值 ?

15 2

15 2

C.有最小值

15 2

D.有最小值 ?

15 2

2.(2009 枣庄一模)如果函数 f ( x) ? a x ? b ? 1(a ? 0且a ? 1) 的图象经过第一、二、四象 限,不经过第三象限,那么一定有 ( A. 0 ? a ? 1且b ? 0 C. a ? 1且b ? 0 答案 B 3.(2009 韶关一模)已知函数 f ? x ? ? ? ? ? log 2 x ,若实数 x0 是方程 f ? x ? ? 0 的解,且 ) B. 0 ? a ? 1且0 ? b ? 1 D. a ? 1且b ? 0

?1? ? 3?

x

0 ? x1 ? x0 ,则 f ? x1 ? 的值为
A.恒为正值 B.等于 0 C.恒为负值 D.不大于 0

答案 A

) 的反 4.(2009 玉溪一中期中)已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 的反函数为 f ?1 ( x) ,且 f ( x ?1
函数恰好为 f 答案 1991
?1

( x ? 1) 。若 f (1) ? 3999 ,则 f (2009) ?



R 上的函数,且 f (1) ? 1, 对任意的x ? R 都 5.(2009 上海十四校联考) 已知 f ( x)是定义在
有下列两式成立:

f ( x ? 5) ? f ( x) ? 5; f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1.若g ( x) ? f ( x) ? 1 ? x, 则g (6) 的值为
答案 1 6.(2009 上海八校联考)某同学在研究函数 f ( x) ? 结论: ①等式 f (? x) ? f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立; ②函数 f ( x ) 的值域为 (?1, 1) ; ③若 x1 ? x2 ,则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④函数 g ( x) ? f ( x) ? x 在 R 上有三个零点。 其中正确结论的序号有________________。(请将你认为正确的结论的序号都填上)

x ( x ? R) 时,分别给出下面几个 1? | x |

答案 ①②③

3 2 7.(2009 青岛一模)已知函数 f ? x ? ? ax ? 3 x ? 1 ?

3 (a ? R 且 a ? 0) ,求函数 f ( x) 的极 a

大值与极小值.

2 2 解:由题设知 a ? 0, f ?( x) ? 3ax ? 6 x ? 3ax( x ? ) a
令 f ?( x) ? 0得 x ? 0, 或x ?

2 a

当 a ? 0 时,随 x 的变化, f ' ? x ? 与 f ? x ? 的变化如下:

x
f ' ? x?

? ??,0?
+

0 0 极大

? 2? ? 0, ? ? a?
-

2 a
0 极小

?2 ? ? , ?? ? ?a ?
+

f ? x?
? f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?

3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 a a a ?a?

当 a ? 0 时,随 x 的变化, f ' ? x ? 与 f ? x ? 的变化如下:

x
f ' ? x? f ? x?
?

2? ? ? ??, ? a? ?
-

2 a
0 极小

?2 ? ? ,0? ?a ?
+

0
0 极大

?0, ???
-

f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?

3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 a a a ?a? 3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 ; a a a ?a?

?

总之,当 a ? 0 时, f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?

当 a ? 0 时, f ? x ?极大 ? f ? 0 ? ? 1 ?

3 4 3 ?2? , f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? 2 ? ? 1 a a a ?a?

1 8.(2009 宣威六中第一次月考)设函数 f ( x) =- x 3 ? 2ax2 ? 3a 2 x ? b, 0< a <1。 3

(1)求函数 f ( x) 的单调区间、极值。

(2)若当 x ? ?a ? 1, a ? 2? 时,恒有 f ?( x) ≤ a ,试确定 a 的取值范围。 解:(1) f ?( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 , 令 f ?( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 得 x=a 或 x=3a 由表

x
f ?( x )
f ( x)

( ??, a ) - 递减
?

α 0
4 3 a ?b 3

( a,3a ) + 递增

3α 0 b

( 3a, ?? ) - 递减

可知:当 x ? (??, a) 时,函数 f ( x )为减函数,当 x ? (3a,??) 时,函数 f( x )也为 减函数:当 x ? (a,3a) 时,函数 f( x )为增函数。 (2)由 f ?( x) ≤ a ,得- a ≤- x 2 ? 4ax ? 3a 2 ≤ a 。∵0< a <1, ∴ a +1>2 a ,

f ?( x ) =- x 2 ? 4ax ? 3a 2 在[ a +1, a +2]上为减函数。∴[ f ?( x) ]max = f ′( a +1)=2 a -1,
[ f ?( x) ]min= f ′( a +2)=4 a -4.于是,问题转化为求不等式组 ? 解不等式组,得

?2a ? 1 ? a 的解。 ?4a ? 4 ? ?a

4 4 ≤ a ≤1。又 0< a <1, ∴所求 a 的取值范围是 ≤ a ≤1。 5 5

9.(2009 上海闸北区)设 f ( x) ?

a ? 2x ,其中实常数 a ? ?1 . 1? 2x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域和值域; (Ⅱ)试研究函数 f ( x) 的基本性质,并证明你的结论. 解:(Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 R

?1? 2x ? 2 a ?1 f ( x) ? ? ?1 ? x , x 1? 2 2 ?1
x x 当 a ? ?1 时,因为 2 ? 0 ,所以 2 ? 1 ? 1 ,

0?

a ?1 ? a ? 1 ,从而 ? 1 ? f ( x) ? a , 2x ?1

所以函数 f ( x) 的值域为 (?1, a) .

(Ⅱ)假设函数 f ( x) 是奇函数,则,对于任意的 x ? R ,有 f (? x) ? ? f ( x) 成立,



a ? 2?x a ? 2x ? ? ? (a ? 1)(2 x ? 1) ? 0 ? a ? 1 ?x x 1? 2 1? 2

? 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 是奇函数.当 a ? ?1 ,且 a ? 1 时,函数 f ( x) 是非奇非偶函数. ? 对于任意的 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x 2 ,
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

(a ? 1)2 x1 (2 x2 ? x1 ? 1) ? 0 ? 当 a ? ?1 时,函数 f ( x) 是递减函数. (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )

10.(2009 重点九校联考)已知指数函数 y ? g( x ) 满足:g(2)=4, 定义域为 R 的函数 f ( x ) ?

? g( x ) ? n 是奇函数。 2 g( x ) ? m

(1)确定 y ? g( x ) 的解析式; (2)求 m,n 的值; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围。 解:(1)

y ? g( x ) ? 2 x
? 2x ? n 2 x ?1 ? m
n?1 ?0? n?1 2? m

(2)由(1)知: f ( x ) ?

因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0,即

∴ f ( x) ?

1 ? 2x , 又由 f(1)= -f(-1)知 2 x ?1 ? m

1 1? 2 2 ?m?2 f ( x) ? ?? 4? m m?1 1?
(3)由(2)知 f ( x) ?

1 ? 2x 1 1 ?? ? x , x ?1 2?2 2 2 ?1

易知 f ( x ) 在 (??, ??) 上为减函数。 又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式:

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) ,
因 f ( x ) 为减函数,由上式推得: t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 即对一切 t ? R 有: 3t ? 2t ? k ? 0 ,
2

从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 11.(2009 日照一模)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 。
3 2

1 3

(I)若函数 y ? f ( x) 在 x ? 2 处有极值-6,求 y ? f ( x) 的单调递减区间; 解: (I) f '( x) ? 3x ? 2ax ? b
2

? f '(2) ? 0 ? f (2) ? ?6 依题意有 ?
5 ? ?a ? ? , 12 ? 4 a ? b ? 0, ? 2 ? ? ? 8 ? 4a ? 2b ? ?6. 解得 ?b ? ?2 即?

? f '( x) ? 3x2 ? 5x ? 2
1 ? ?x?2 由 f '( x) ? 0 ,得 3 1 (? , 2) ? y ? f ( x) 的单调递减区间是 3

? f '(?1) ? 3 ? 2a ? b ? 2, ? f '(1) ? 3 ? 2a ? b ? 2, (Ⅱ)由 ?

?2a ? b ? 1 ? 0, ? 2a ? b ? 1 ? 0. 得?

不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示:

?2a ? b ? 1 ? 0, ? 2a ? b ? 1 ? 0, 由?

? 2a ? b ? 1 ? 0 ? 2a ? b ? 1 ? 0 得?

不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示:

?2a ? b ? 1 ? 0, ? 2a ? b ? 1 ? 0, 由?

?a ? 0, ? b ? ?1. 得?

?Q 点的坐标为(0,-1).

z?


b , a ? 1 则 z 表示平面区域内的点( a , b )与点

P(1, 0) 连线斜率。

KPQ ? 1,

由图可知 z ? 1 或 z ? ?2 ,

b ? (??, ?2] [1, ??) 即 a ?1

12. (2009 玉溪一中期末) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 5, 若x ?
3 2

2 时, y ? f ( x) 有极值, 3

且曲线 y ? f ( x)在点(1,f (1)) 处的切线斜率为 3。 (Ⅰ )求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ )求 y ? f ( x) 在[-4,1]上的最大值和最小值。 解: (1) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b. …………1 分

2 2 2 ? ? 2 ?a ? 2, ? f ( ) ? 3 ? ( ) ? 2a ? ? b ? 0, 由题意,得 ? 解得 ? 3 3 3 ?b ? ?4. ? f ?(1) ? 3 ?12 ? 2a ?1 ? b ? 3. ?
所以, f ( x) ? x ? 2x ? 4x ? 5.
3 2

…………4 分

…………5 分

3 (2)由(1)知 f ?( x) ? 3x ? 4x ? 4 ? ( x ? 2)(3x ? 2). ,

令f ?( x) ? 0, 得x1 ? ?2, x 2 ?

2 . 3

…………6 分

x
f ?( x) f ( x)
函数值

-4

(-4,-2) +

-2 0 极大值

2 ( ? 2, ) 3


2 3
0 极小值

2 ( ,1) 3
+

1

-11

13

95 27

4

? f ( x) 在[-4,1]上的最大值为 13,最小值为-11。 …………12 分

13.(2009 枣庄一模)设函数 f ( x) ? x 4 ? ax3 ? 2x 2 ? b( x ? R, )其中a, b ? R. (1)当 a ? ?

10 时, 讨论函数 f ( x) 的单调性; 3

(2)若函数 f ( x)仅有x ? 0处有极值 , 求a 的取值范围; (3)若对于任意的 a ? [?2,2],不等式f ( x) ? 1在[?1,0] 上恒成立,求 b 的取值范围。 解:(1) f ?( x) ? 4x 3 ? 3ax2 ? 4 x ? x(4 x 2 ? 3ax ? 4).

10 时, f ?( x) ? x(4 x 2 ? 10 x ? 4) ? 2 x(2 x ? 1)( x ? 2). 3 1 令 f ?( x) ? 0, 得x1 ? 0, x 2 ? , x3 ? 2. 2
当a ? ? 当 x变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

(??,0)
单调递减

0 0 极小值

1 (0, ) 2
+ 单调递增

1 2
0 极大值

1 ( ,2) 2
单调递减

2 0 极小值

(2,??)
+ 单调递增

所以 f ( x)在(0, )和(2,?? ) 上是增函数, 在区间 (?? ,0)和( ,2) 上是减函数 (2) f ?( x) ? x(4x ? 3ax ? 4),显然x ? 0不是方程 4x ? 3ax ? 4 ? 0 的根。
2 2

1 2

1 2

? f ( x)仅在x ? 0 处有极值。
则方程 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 有两个相等的实根或无实根,
2

? ? 9a 2 ? 4 ? 16 ? 0.
解此不等式,得 ?

8 8 ?a? , 3 3

这时, f (0) ? b 是唯一极值。 因此满足条件的 a的取值范围是 [? , ]
2 注:若未考虑 ? ? 9a ? 4 ? 0.进而得到 a的范围为 [? , ] ,扣 2 分。

8 8 3 3

8 8 3 3

(3)由(2)知,当 a ? [?2,2]时,4 x ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立。
2

当 x ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x)在区间 (??,0]上是减函数, 因此函数 f ( x)在[?1,0]上的最大值是 f (?1). 12 分

又? 对任意的 a ? [?2,2],不等式f ( x) ? 1在[?1,0] 上恒成立。

? f (?1) ? 1,即3 ? a ? b ? 1.
于是 b ? a ? 2在a ? [?2,2] 上恒成立。

? b ? ?2 ? 2,即b ? ?4.
因此满足条件的 b的取值范围是 (??,?4).


6年高考4年模拟分类汇编(更新至2010年)第2章 第2节 基本初等函数I

【数学】2010年版最新3年高... 35页 20财富值 ...第二节 基本初等函数 I 第一部分 六年高考荟萃 2010...( x) ,则方程 f ( x) = 8 的解 x= 答案 ...

2.2对数函数

7页 免费 2.2对数函数 15页 免费 【家教资料】高中数学必修... 20页 2财富值 6年高考4年模拟分类汇编(更... 26页 2财富值 基本初等函数 5页 免费如...

基本初等函数 | 基本初等函数测试题 | 6类基本初等函数 | 基本初等函数图像 | 基本初等函数总结 | 基本初等函数总结表格 | 基本初等函数知识点 | 六类基本初等函数 |

相关文档