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北京市昌平区2016届高三第二次(5月)统一练习数学文试题


昌平区 2016 年高三年级第二次统一练习 数学试卷(文科)
(满分 150 分,考试时间 120 分钟)2016.5

考生须知:
1. 2. 3. 本试卷共 6 页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。 答题卡上第 I 卷(选择题)必须用 2B 铅笔作答,

第 II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔 作答,作图时可以使用 2B 铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答,未在对应的答 题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。 修改时,选择题部分用塑料橡皮擦涂干净,不得使用涂改液。保持答题卡整洁,不要折叠、 折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。 考试结束后,考生务必将答题卡交监考老师收回,试卷自己妥善保存。

4. 5.

第Ⅰ卷(选择题
一、

共 40 分)

选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合

题目要求的一项.) (1)若集合 Α ? ??2, ?1, 0,1, 2? , Β ? ? x || x |? 1? ,则 Α ? Β = A.

??1, 0,1?

B.

?0,1?

C. {x | ?1 ? x ? 1}

D. {x | 0 ? x ? 1}

(2)下列函数中,在 (0, ??) 上为减函数的是 A. y ?

x

B. y ?

1 x ?1

C. y ? log0.5 x

D. y ? e x

(3)过圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 4 的圆心,且与直线 l : 3x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直的直线方程是 A. 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 B. 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 3 ? 0

(4)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A. 3 B. 4 C.5 D.6

(5)如图,在正方形 ABCD 中, AD ? 4, E 为 DC 上一点,且 DE ? 3EC ,则 AB ? AE ? A.20 C. 15 B. 16 D. 12

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

D

E

C

(6) 设 ? ? R, “ cos 2? ? 0 ” 是 “ sin ? ? cos ? ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A

B

1 (7)已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ( ) x ?1 . 则不等式 f ( x) ? x 2 ? 0 的解集 2
是 A. [0,1] B. [?1,1] C. [1, ??) D.

(??, ?1] ? [1, ??)

(8)小王的手机使用的是每月 300M 流量套餐,下图记录了小王在 4 月 1 日至 4 月 10 日这十天 的流量使用情况, 下列叙述中正确的是 A. 1 日-10 日这 10 天的平均流量小于 9.0M/日 B. 11 日-30 日这 20 天,如果每天的平均流量不超过 11 M,这个月总流量就不会超过套餐流量 C.从 1 日-10 日这 10 天的流量中任选连续 3 天的流量,则 3 日,4 日,5 日这三天的流量的方差最 大

D.从日 1-10 日这 10 天中的流量中任选连续 3 天的流量,则 8 日,9 日,10 日这三天的流量的方差 最小

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)复数

1? i 的虚部是_______. 1? i

(10)在 ?ABC 中,已知 AB ? 2, BC ? 5 3,cos B ?

4 ,则 ?ABC 的面积是_______. 5

? x ? 2, ? (11) 若 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为____________. ? x ? y ? 2 ? 0, ?
(12) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线方程为 x ? ?2 , 则抛物线 C 的方程为_____________; 若 某双曲线的一个焦点与抛物线 C 的焦点重合,且渐近线方程为 y ? ? 3x ,则此双曲线的方程为 _______________.
2

(13)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积是_________.
3 正(主)视图

2 侧(左)视图

俯视图

(14)为了促进公民通过“走步”健身,中国平安公司推出的“平安好医生”软件,最近开展了 “步 步夺金”活动.活动规则:①使用平安好医生 APP 计步器,每天走路前 1000 步奖励 0.3 元红包,之 后每 2000 步奖励 0.1 元红包,每天最高奖励不超过 3 元红包. ②活动期间,连续 3 天领钱成功,从 第 4 天起走路奖金翻 1 倍(乘以 2),每天最高奖励不超过 6 元红包. 某人连续使用此软件五天,并

且每天领钱成功.这五天他走的步数统计如下: 时间 步数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天

13980 15456 17890 19012 21009 则他第二天获得的奖励红包为________元,这五天累计获得的奖励红包为________元. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) (15)(本小题满分 13 分) 已知函数

? f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? ) 的部分图象如 2
图所示.

?的 (Ⅰ) 写出函数 f ( x ) 的最小正周期 T 及 ? 、
值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [? ,

π 4

π ] 上的最大值与最小值. 4

(16)(本小题满分 13 分) 在等比数列 {an } 中, a1 = 1, a4 = 8. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II) 若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 6 项和第 8 项, 求 | b1 | + | b2 | + | b3 | + 鬃 ? | bn | (n ? N*) .

(17) (本小题满分 13 分) 2015 年秋季开始,本市初一学生开始进行开放性科学实践活动,学生可以在全市范围内进行 自主选课类型活动,选课数目、选课课程不限.为了了解学生的选课情况,某区有关部门随机抽取本 区 600 名初一学生,统计了他们对于五类课程的选课情况,用“+”表示选,“—”表示不选. 结果 如下表所示:
人数 课程

课程一 + + + — + —

课程二 + + — + — —

课程三 — — + + — +

课程四 + — — + + +

课程五 — — + — + —

50 80 125 150 94 76

— — + — + 25 (I) 估计学生既选了课程三,又选了课程四的概率; (II) 估计学生在五项课程中,选了三项课程的概率; (III) 如果这个区的某学生已经选了课程二,那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大?

(18) (本小题满分 14 分) 如图, P 是菱形 ABCD 所在平面外一点, ?BAD ? 60? , ?PCD 是等边三角形, AB ? 2 ,

PA ? 2 2 , M 是 PC 的中点,点 G 为线段 DM 上一点(端点除外),平面 APG 与

BD 交于点 H .
(I)求证: PA / / GH ; (II)求证:平面 PAC ? 平面 BDM ; (III)求几何体 M ? BDC 的体积.

P

M G D A
(19)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? 1 (a ? 0) , g ( x) ? ln x
3 2

H O B

C

(I)求函数 f ( x) 的极值; (II)用 max ?m, n? 表示 m, n 中的最大值.设函数 h( x) ? max ? f ( x), g ( x)}( x ? 0) ,讨论 h( x) 零 点的个数. (20)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的焦距为 2 ,点 D 0, a 2 b2

?

3 在椭圆 M 上,过原点 O 作直线交

?

椭圆 M 于 A 、 B 两点,且点 A 不是椭圆 M 的顶点,过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 H ,点 C 是线段

AH 的中点,直线 BC 交椭圆 M 于点 P ,连接 AP .
(Ⅰ)求椭圆 M 的方程及离心率; (Ⅱ)求证: AB ? AP ; (III)设 ? ABC 的面积与 ? APC 的面积之比为 q ,求 q 的取值范围.

昌平区 2016 年高三年级第二次统一练习 数学试卷参考答案及评分标准 (文科) 2016.5

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项.) 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7 B 8 C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)1 (10) 3 3 (11)7 (13) 16 ? 6 2 (14)1 ;8

(12) y 2 ? 8 x; x 2 ?

y2 ?1 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
(15)(本小题满分 13 分) 解:(I) T ? ?? ? ? 2,? ? . (II) f ( x) ? sin(2 x ? )

? 3

………………..6 分

? 3

π π π π 5π ],2x ? ?[? , ], 4 4 3 6 6 π ? ? ? 1 当 2 x ? ? ? 时,即 x ? ? , f ( x)min ? f (? ) ? ? ; 4 3 6 4 2 ? ? ? ? 当 2 x ? ? 时,即 x ? , f ( x)max ? f ( ) ? 1. 12 3 2 12
由 x ?[? , (16)(本小题满分 13 分) 解:(I)设等比数列 {an } 的公比为 q . 由 a1 = 1, a4 = 8, 所以 a4 = a1q3 = q3 = 8. 所以 q = 2. 所以等比数列 {an } 的通项公式 an = a1qn- 1 = 2n- 1 (n ? N* ). (II) 因为 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 6 项和第 8 项, 所以 b6 = a3 = 4, b8 = a5 = 16. 设等差数列 {bn } 的公差为 d ,

………………..9 分

………………13 分

………………..4 分

ì ì b8 = b1 + 7d = 16, b1 = ?26, ? ? ? ? í í ? ? ? ? d = 6. ? b6 = b1 + 5d = 4. 解得, ?
所以等差数列 {bn } 的通项公式 bn = b1 + (n - 1)d = - 26 + 6(n - 1) = 6n - 32.

因为当 bn ? 0 时, n ? 5 . (1)当 n ? 5 时, | b1 | + | b2 | + | b3 | + 鬃 ? | bn |= - (b1 + b2 + b3 + + 鬃 ? bn )

=-

n(b1 + bn ) = - 3n 2 + 29n . 2

(2)当 n ? 6 时, | b1 | + | b2 | + | b3 | + 鬃 ? | bn |= - (b1 + b2 + b3 + b4 + b5 ) + b6 + 鬃 ? bn ,

=-

5(b1 + b5 ) (n - 5)(b6 + bn ) + 2 2

= 70 + (3n2 - 29n + 70) = 3n2 - 29n + 140.
综上所述: | b1 | + | b2 | + | b3 | + 鬃 ? | bn |= ? í

ì ? - 3n 2 + 29n, n ? 5, n ? N*, ………………..13 分 2 ? 3 n 29 n + 140, n ? 6, n ? N *. ? ?

(17) (本小题满分 13 分) 解:(I)学生既选了课程三,又选了课程四的概率为

150 ? 76 113 . ? 600 300
(II)学生在五项课程中,选了三项课程的概率为

……………….4 分

50 ? 125 ? 150 ? 94 419 . ? 600 600
(III)某学生已经选了课程二,再选课程一的概率为

………………..9 分

50 ? 80 13 ; ? 50 ? 80 ? 150 28 150 15 再选课程三的概率为 ; ? 50 ? 80 ? 150 28 50 ? 150 5 再选课程四的概率为 ? ; 50 ? 80 ? 150 7

所以,某学生已经选了课程二,那么该学生选择课程四的可能性最大. ……………….13 分 (18) (本小题满分 14 分) (I) 证明:连接 MO . 在菱形 ABCD 中, O 为 AC 中点, 且点 M 为 PC 中点,

P

1 PA ? 2 . 2 又 MO ? 平面BDM , PA ? 平面BDM , 所以 PA / / 平面BDM .……………….2 分 由已知,平面 APG 与 BD 交于点 H ,
所以 MO / / PA ,且 MO ? 所以 H ? 平面APG, 从而 HG ? 平面APGH , 又 HG ? 平面BDM , 所以 平面BDM ? 平面APGH ? GH , 所以 PA / / GH .……………….4 分

M G D A H O B C

(II) 证明:在等边三角形 ?PCD 中,

DC ? AB ? 2 , M 是 PC 的中点.
所以 DM ? 3 . 在菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60? , AB ? 2 ,所以 DO ? 又 MO ?

1 BD ? 1. 2

2 ,所以 DO2 ? MO2 ? DM 2 ,所以 BD ? MO. ……….6 分

在菱形 ABCD 中, BD ? AC , 又 AC ? MO ? O , 所以 BD ? 平面PAC . 又 BD ? 平面BDM , 所以 平面PAC ? 平面BDM .

………….8 分 ………………9 分

(III) 在 ?PAC 中, PA ? 2 2, PC ? 2, AC ? 2 3, 所以 PA2 ? PC 2 ? AC 2 , 所以 PA ? PC ,即 PC ? MO . 又 平面PAC ? 平面BDM . 平面PAC ? 平面BDM ? MO , 所以 PC ? 平面BDM . 所以 VM ? BDC ? VC ? BDM ? (19)(本小题满分 13 分) 解:(I)因为函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? 1 ,
3 2

………….12 分

1 2 . S?BDM ? CM ? 3 3

……………….14 分

所以 f '( x) ? 3ax ? 6 x ? 3 x( ax ? 2) .
2

令 f '( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 ,或 x2 ? 因为 a ? 0 ,所以 x1 ? x2 ,

2 . a

所以 f '( x) 及 f ( x) 符号变化如下,

x
f '( x) f ( x)

(??, 0)
? ↗

0 0
极大值

2 (0, ) a
? ↘

2 a 0
极小值

2 ( , ??) a
? ↗

2 8 12 4 所以 f ( x) 的极大值为 f (0) ? 1 ,极小值为 f ( ) ? 2 ? 2 ? 1 ? ? 2 ? 1 .……….6 分 a a a a
(II)令 g ( x) ? ln x ? 0 ,则 x ? 1 . 当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ; x ? 1 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 .

(1)当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, ??) 上无零点. 所以 h( x) ? max ? f ( x), g ( x)} 在 (1, ??) 上无零点. (2)当 x ? 1 时, g (1) ? 0 , 所以 1 为 g ( x) 的一个零点. f (1) ? a ? 2 , ①当 a ? 2 时,1 是 f ( x) 的一个零点. 所以当 a ? 2 时, h( x) ? max ? f ( x), g ( x)} 有一个零点. ②当 0 ? a ? 2 时, h( x) ? max ? f ( x), g ( x)} 有一个零点. ③当 a ? 2 时, h( x) ? max ? f ( x), g ( x)} 无零点. (3)当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 在 (0,1) 上无零点. 所以 h( x) ? max ? f ( x), g ( x)} 在 (0,1) 上的零点个数就是 f ( x) 在 (0,1) 上的零点个数. 当 a ? 0 时,由(I)可知 f ( x) 在 (0, ) 上为减函数,在 ( , ??) 上为增函数, 且 f (0) ? 1 , f (1) ? a ? 2 , f ( ) ? ? ① 当

2 a

2 a

2 a

4 a2 ? 4 ? 1 ? . a2 a2

2 ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 (0,1) 上为减函数,且 f (1) ? a ? 2 ? 0, f (0) ? 1 ? 0. a 所以 f ( x) 在 (0,1) 上有 1 个零点,即 h( x) 有 1 个零点. 2 ② 当 ? 1 ,即 a ? 2 时, f ( x) 在 (0,1) 上为减函数,且 f (1) ? a ? 2 ? 0. a 所以 f ( x) 在 (0,1) 上无零点,即 h( x) 无零点. 2 2 2 ③ 当 ? 1 ,即 a ? 2 时, f ( x) 在 (0, ) 上为减函数,在 ( ,1) 上为增函数, a a a
2 4 a2 ? 4 f ( ) ? ? 2 ?1 ? ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0,1) 上无零点.即 h( x) 无零点. a a a2
综上,当 0 ? a ? 2 时, h( x) 有 2 个零点,当 a ? 2 时, h( x) 有 1 个零点,当 a ? 2 时, h( x) 无零 点. (20)(本小题满分 14 分) 解: (I)由题意知 c ? 1, b ? 3 ,则 a ? b ? c ? 4 ,
2 2 2

………….13 分

所以椭圆 M 的方程为

x2 y 2 1 ? ? 1 ,椭圆 M 的离心率为 . ………….5 分 2 4 3
y0 ). 2

(II)设 A( x0 , y0 ), P( x1 , y1 ) ,则 B ( ? x0 , ? y0 ), C ( x0 , 由点 A, P 在椭圆上,所以

x0 2 y0 2 ? ?1① 4 3

x12 y12 ? ?1 ② 4 3

点 A 不是椭圆 M 的顶点,②-①得,

y12 ? y02 3 ?? . 2 2 x1 ? x0 4

法一:又 k PB

3 y0 y1 ? y0 3y ? , k BC ? 2 ? 0 , 且点 B, C , P 三点共线, x1 ? x0 2 x0 4 x0

所以

y 4( y1 ? y0 ) y1 ? y0 3 y0 , 即 0 ? . ? x0 3( x1 ? x0 ) x1 ? x0 4 x0
y0 y1 ? y0 4( y1 ? y0 ) y1 ? y0 4( y12 ? y0 2 ) 4 3 ? ? ? ? ? ? (? ) ? ?1, x0 x1 ? x0 3( x1 ? x0 ) x1 ? x0 3( x12 ? x0 2 ) 3 4

所以, k AB ?kPA ? 即 AB ? AP . 法二:

……………9 分

由已知 AB 与 AP 的斜率都存在, kPA ? kPB 又 k PB ? k BC ? 则 k AB ?k PA ?
3 y0 x , 得 k PA ? ? 0 , 4 x0 y0

y ?y y ?y y2?y 2 ? 1 0 ? 1 0 ? 12 02 ? x1 ? x0 x1 ? x0 x1 ? x0

3 ? ( x12 ? x0 2 ) 3 4 ?? . 2 2 x1 ? x0 4

y0 ? x0 ?( ) ? ?1 , x0 y0

即 AB ? AP . (III)法一:

……………9 分

1 3k 设 k AB ? k ,由(II)知 k AP ? ? , kBP ? ,联立直线 AP 与 BP 方程: k 4
1 ? 3k 1 y ? y0 ? ? ( x ? x0 ), 2 y0 ? ( ? ) x0 ? y ? k 4 k 得 x1 ? ,将 k ? 0 代入得 ? 3 k 1 x0 ? y ? y ? 3k ( x ? x ), ? 0 0 ? 4 k ? 4
2 y0 ? ( x1 ? 3 y0 x0 ? ) x0 4 x0 y0 x (4 x 2 ? 5 y0 2 ) ? 0 20 . 3 y0 x0 4 x0 ? 3 y0 2 ? 4 x0 y0

q?

2 x0 2 x0 S? ABC 4 x0 2 ? 3 y0 2 16 3 ? 3 ? ( 2 ? 1) , ? ? ? 2 2 2 3 y0 y0 S? APC x1 ? x0 x0 (4 x0 ? 5 y0 ) ? x0 2 2 4 x0 ? 3 y0

因为 y02 ? (0,3) ,所以 q ? (3, ??) . 法二:

1 3k 设 k AB ? k ,由(II)知 k AP ? ? , kBP ? ,联立直线 AP 与 BP 方程: k 4
1 ? 3k 1 5k 1 k y ? y0 ? ? ( x ? x0 ) 2 y0 ? ( ? ) x0 x0 ( ? ) ? ? k 4 k 4 k ? x (1 ? 2 ) , ? 得 x1 ? ? 0 3 k 1 3 k 1 3k 1 3 k ? y ? y ? (x ? x ) ? ? ? 0 0 ? 4 k 4 k 4 k ? 4
q? 2 x0 S? ABC ? ? S? APC x1 ? x0

2 x0 4 ? 3? 2 , k k x0 (1 ? 2 ) ? x0 3k 1 ? 4 k
……………14 分

因为 k 2 ? (0, ??) ,所以 q ? (3, ??) .


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