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第一轮总复习课件(理数):第18讲 导数的综合应用新课标高中数学


新课标高中一轮总复习

理数

? 第三单元 ? 导数及其应用

第18讲
导数的综合应用

1.掌握利用导数解决实际生活 中的优化问题的方法和步骤,如用 料最少、费用最低、消耗最省、利 润最大、效率最高等. 2.掌握导数与不等式、几何等 综合问题的解题方法.

1. 对任意实数 x, 若 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x) , 且 x>0 时, f ′(x)>0,g′(x)>0 ,则 x<0 时, 有( ) B A.f ′(x)>0,g′(x)>0 B.f ′(x)>0,g′(x)<0

C.f ′(x)<0,g′(x)>0
D.f ′(x)<0,g′(x)<0

由已知,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 又 x>0 , f ′(x)>0 ,所以 f(x) 在 (0,+∞) 上单调 递增, 所以 f(x) 在 (-∞,0) 上也是单调递增 , 即 x<0 时, f ′(x)>0. 同理,g(x)在(-∞,0)上单调递减, 所以x<0时,g′(x)<0,故选B.

2.已知函数y=f ′(x)的图象如右图 所示(其中f ′(x)是函数f(x)的导 函数).下面四个图象中,y=f(x)的 A 大致图象是( )

y=f ′(x),由题图知, 当x<-1时,y<0,所以f ′(x)<0,所以f(x)递减; 当-1<x<0时,y>0,所以f ′(x)>0,所以f(x)递增; 当0<x<1时,y<0,所以f ′(x)<0,所以f(x)递减; 当x>1时,y>0,所以f ′(x)>0,所以f(x)递增. 故选A.

3.内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形 5 R和 4 5R 的边长分别是 .
5 5

如图,设矩形的一边

长为2x,则另一边长为 R 2 ? x 2 (0<x<R), 所以矩形的周长y=2(2x+ R 2 ? x 2 ), 所以y′=2(2令y′=0,得x=
x
5 2 = R, R ?x 5 2 5 易得x= R是y=2(2x+ R 2 ? x 2 )的极大值点, 5 即同时也是定义域上的最大值点. 2 R 5 ,此时 5
2

R2 ? x2

) (0<x<R).

4.设点P是曲线y=x3-3x+

处切线的倾斜角为 α ,则角 α 的取值范围 2 ? ? [ 0, ) ∪ [ ,π) . 是
2 3

2 上任意一点,P点 3

因为y′=3x2-3≥-3,所以tanα≥-3,
2? ? 所以α∈[0, )∪[ ,π). 3 2

1.利用导数解决生活中的优化问题可归结 为求函数的最值问题 其解题的程序 :读题 (文字语言 )?建模 (数 学语言)?求解(数学应用)?反馈(检验作答) 注意事项: (1) 函数建模,要设出两个变量,根据题 意分析它们的关系,把变量间的关系转化成 函数关系式,并确定自变量的取值范围;

(2) 问题求解中所得出的数学结果要检 验它是否符合问题的实际意义;

(3) 在函数定义域内只有一个极值,则 该极值就是所求的最大(小)值. 2.近几年高考中和导数有关的综合题主 要有以下几类
(1)求参数的取值范围 .多数给出单调性 , 利用导数研究函数单调性的逆向思维问题 , 灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合 等思想方法,建立关于字母参数的不等关系.

(2)用导数方法证明不等式. 其步骤一般是:构造可导函数 —— 研 究单调性或最值 —— 得出不等关系 —— 整 理得出结论. (3)与几何图形相关的最值问题 .根据几 何知识建立函数关系,然后用导数方法求 最值.

典例精讲
题型一 导数与三次函数的问题
3-ax2-3x. 已知函数 f ( x )= x 例1

(1)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数 a的 取值范围; ( 2 )若 x=3 是 f(x) 的极值点,当 x∈[1,a] 时, 求f(x)的最大值和最小值.

立来确定含参不等式,利用等价转化求得a的 取值范围. (1)f ′(x)=3x2-2ax-3>0,在x∈[1,+∞)上 恒成立,所以a< (3 x- ).1 当x≥1时,y= a≤0.
3 (x2 2 1 )是增函数,其最小值为 x x

(1)可由 y=f′(x)在[1,+∞)上f′(x)>0恒成 分析

3 ×(1-1)=0. 所以 a<0 ,又 a=0 也合题意,所以 2

(2)依题意f ′(3)=0,即27-6a-3=0,所以a=4. 所以f(x)=x3-4x2-3x, 则f ′(x)=3x2-8x-3=(3x+1)(x-3),
1 故f(x)有极大值点x=- ,极小值点x=3. 3 1

此时,f(x)在[- ,3]上是减函数,在[3,+∞)上 3 是增函数. 所以 f(x) 在 x∈[1,a] 上的最小值是 f(3)=-18, 最 大值是f(1)=-6(这里f(a)=f(4)=-12<f(1)=-6).

点评三次函数是导数内容中最简单的高
次函数,其导函数是二次函数,这类问题 的难点是研究其中的参数的取值范围.破解 难点的方法是对三次函数求导后,化归成 二次函数,通过二次函数根的分布求解, 或利用数形结合思想画出函数的极大值、 极小值后进行对比分析,求出参数的取值 范围.解三次函数的问题,可借助导数工具 进行研究,推进了二次函数性质的深化与 二次函数方法的研究.

题型二 利用导数证明不等式 例2 已 知 定 义 在 正 实 数 集 上 的 函 数
f(x)= x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b, 其中 a>0. 设 两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点 处的切线相同. (1)用a表示b,并求b的最大值;
1 2

(2)求证:f(x)≥g(x)(x>0).

分析 第( 1 )问由函数 f(x) 与 g(x) 在公
共点(x0,y0)处的切线相同,建立关于b的函 数关系式,然后求出b的最大值;第(2) 问 求 证 f(x)≥g(x)(x>0) , 先 构 造 函 数 F(x)=f(x)-g(x)(x>0) , 再 证 明 在 x>0 时 , F(x)≥0成立即可.

(1)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点 (x0,y0)处的切线相同.
又f ′(x)=x+2a,g′(x)= 由题意知 f(x0)=g(x0) 即
1 2 x0 +2ax0=3a2lnx0+b 2 3a 2
3a 2 , x

f ′(x0)=g′(x0),

x0+2a= x , 2 0 3a 由x0+2a= 得x0=a,或x0=-3a(舍去),
5 1 2 即有b= a +2a2-3a2lna= 2 a2-3a2lna. 2
x0

5 2 2 令h(t)= t -3t lnt(t>0),则h′(t)=2t(1-3lnt). 1 2

3 t=0(舍去),列表如下: 由h′(t)=0,得t=e 或

t h′(t) h(t)

(0,e ) +

1 3

e 0

1 3

(e ,+∞) -

1 3

极大值

于是h(t)在(0,+∞)上的最大值为

h(e

1 3

3 )= 2

e ,即b的最大值为

2 3

3 e 2

2 3

.

(2)证明:设F(x)=f(x)-g(x) 则F′(x)=x+2a1 2 = 2 x +2ax-3a2lnx-b(x>0), 3a 2 = ( x ? a)( x ? 3a) (x>0). x x

故F(x)在(0,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数, 由F′(x)=0,得x=a或=-3a(舍去).列表如下:
x F′(x) F(x) (0,a) a (0,+∞) +

0
极小值

于是函数F(x)在(0,+∞)上的最小值是 F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.
故当x>0时,有f(x)-g(x)≥0, 即当x>0时,f(x)≥g(x).

点评利用导数证明不等式,就是把不等式恒
成立的问题,通过构造函数,转化为利用导 数求函数最值的问题.应用这种方法的难点 是如何根据不等式的结构特点或者根据题目 证明目标的要求,构造出相应的函数关系 式.破解的基本思路是从函数的角度分析和 理解要证明的不等式的结构特点去构造函数 式,或者从不等式证明的放缩方向上去构造 函数式,使所构造出的函数是不等式证明所 需要的最佳函数.

题型三 导数在实际问题中的应用
例3 受金融危机的影响,三峡某旅游公司经
济效益出现了一定程度的滑坡 .现需要对某一 景点进行改造升级,提高旅游增加值.经过市 场调查,旅游增加值y万元与投入x万元之间满 x x 51 2 足:y= 50 x-ax -ln 10 , 2 x ? 12 ∈[t,+∞),其中t为大 于 1 的常数.当x=10时,y=9.2. (1)求y=f(x)的解析式和投入x的取值范围;
2

(2)求旅游增加值y取得最大值时对应的x的值.

分析 第 (1) 问把 x=10,y=9.2 代入函数式 , 即
可求出 a 的值 , 得到 y=f(x); 第 (2) 问求 f(x) 在区 间上的最大值,需要先讨论y=f(x)的单调性,确 定取得最大值的区间和对应的x的值. (1)因为当x=10时,y=9.2,
1 51 2 即 50 ×10-a×10 -ln1=9.2,解得a= 100 x 51 x2 所以f(x)= x-ln . 10 50 100 x 1 12t 因为 2 x ? 12 ≥t且t> ,所以6<x≤ . 2 2t ? 1 12t 即投入x的取值范围是(6, ]. 2t ? 1

,

(2)对f(x)求导,
得f′(x)=
51 50 x 50 1 =x
x 2 ? 51x ? 50 =50 x

( x ? 1)( x ? 50) . 50 x

令f′(x)=0,得x=50或x=1(舍去).
当 x∈(6,50) 时, f′(x)>0 ,且 f(x) 在 (6,50] 上 连续, 因此,f(x)在(6,50]上是增函数; 当 x∈(50,+∞)时, f′(x)<0 且 f(x)在 [50,+∞)上 连续.

因此,f(x)在[50,+∞)上是减函数.

所以x=50为极大值点.
当 改造时取得最大增加值;
12t 25 当6< <50,即t∈( ,+∞)时,投入 2t ? 1 44 1 12t ≥50,即t∈( 2 2t ? 1

,

25 44

]时,投入50万元
12t 万元 2t ? 1

改造时取得最大增加值.

点评本题的难点是求旅游增加值 y 取得
最大值时对应的x的值.由第(1)问可知x的
12t 取值范围是(6, ],因此需要从研究f(x) 2t ? 1

在这个区间上的单调性入手,找到变量 t 所在区间上y取得最大值时x的值.利用导数 知识作为解题工具研究函数的最值等,体 现了导数知识在求解实际问题中的应用价 值,需要考生多揣摩.

方法提炼
1.应用导数证明不等式,关键在于 构造适当的函数. 2.利用导数解决优化问题,关键在 于建立目标函数,并且还要根据实际 问题,写出函数的定义域. 3.在求实际问题的最值时,如果只 有一个极值点,则此点就是最值点.

走进高考
湖南卷 ) 某地建一座桥,两端的桥 学例1 (2009· 墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需建 两端桥墩之间的桥面和桥墩 .经测算,一个桥墩 的工程费用为 256万元;距离为 x米的相邻两墩 之间的桥面工程费用为(2+ x )x万元.假设桥墩 等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其 他因素.记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式; (2) 当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

(1)设需新建n个桥墩,则(n+1)x=m,

即n=

m x

-1,

所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x
m m =256( -1)+ (2+ x )x x x 256m = +m x +2m-256. x 256m 1 (2)由(1)知,f′(x)=m 2 + x 2 m . = 256 x2

x

?

1 2

令f′(x)=0,得 x=512,所以x=64.

3 2

当 0<x<64 时, f′(x)<0 , f(x) 在区间 (0,64) 内
为减函数;

当 64<x<640 时 , f′(x)>0 , f(x) 在 区 间
(64,640)内为增函数.

所以f(x)在x=64处取得最小值. m 640 此时n= -1= -1=9. x 64 故需新建9个桥墩才能使y最小.

本节完,谢谢聆听
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