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平面向量数量积的物理背景及其含义教案


教 案

平面向量数量积的物理背景及其含义

王 瑞 琪

项城市第一高级中学 2012-6-17

课 题:§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及含义 教学目标
(一)知识目标
1、了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的含义及其物理意义;

2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系,掌握数量积的性质,并能运用性质进行相关 的运算和判断; 3、体会类比的数学思想和方法,进一步培养学生抽象概括的能力。

(二)能力目标 通过对平面向量数量积性质的探究,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能 力,使学生的思维能力得到训练.继续培养学生的探究能力和创新的精神。 (三)情感目标 通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会 学习的快乐.体会各学科之间是密不可分的.培养学生思考问题认真严谨的学习态。

教学重点:平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质。 教学难点:平面向量数量积的概念。 教学方法:启发探究式,讲练结合法。 教学准备:多媒体、彩色粉笔。 课型:新授课. 教学过程
(一)复习引入 教师引言:前面我们学习了向量的相线性运算,向量的加法、减法和数乘运算。我 们知道这些运算有个共同的特点,就是他们运算的结果仍然是一个向量。既然平面向 量能进行加减运算,那自然会想到两个向量能否进行乘法运算?如果能,结果应该是 什么呢?我们很清楚,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,我们来看物理学中 这样的一个例子: 物理学家很早就知道,如果一个物体在力 F 作用下产生位移 S, 那么 F 所做的功为: F
?

F (图 1)

S (图 2 )
-1-

S

(图 1)中力所做的功 W= F S , 2)中力所做的功 W ? F S cos ? , (图 在物理中功是一个 标量, 是由 F 和 S 这两个向量来确定的, 如果我们把功看成是由 F 和 S 这两个向量的 一种运算结果,就可以引出新课的内容“平面向量数量积的物理背景及其含义”. (二)合作探究 结合物理学中功大小的定义 W ? F S cos ? 和前面我们说的把功看成是 F 和 S 两 个向量的运算结果,两者是等价的.如果把 F 和 S 这两个向量推广到一般的向量,就 引出数量积的定义. 1、数量积的定义: 已知两个非零向量 a 和 b , 把数量 a b cos ? 叫做 a 与 b 数量积 (或内积) 记作 a ? b ,
? ? ? ? a ? b ? a b cos ?
?

? ?

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?

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?

? ?

?

?

? ?

(注意:两个向量的运算符号是用“ ? ”表示的,且不能省略) ,用数学符号表示即 ,( 0 ? ? ? ? 180 ?) .
? ? ?

规定:零向量与任意向量的数量积都为零,即 0 ? a ? 0 ?a 为任意向量 ? 2、接下来,请同学们思考一个问题: 根据定义我们知道数量积是一个数量,那么它什么时候为正,什么时候为负?
180 我们前面已经提到两个向量的夹角在 ?0 ?, ? ? ,根据余弦函数的知识我们可以知

道: 当 ? ? ?0 ? ,90 ? ? 时, cos ? ? 0 , a ? b ? 0 ; 当 ? ? ?90 ? ,180 ? ? 时, cos ? ? 0 , a ? b ? 0 . 当 ? ? 90 ? , a ? b , a ? b ? 0 ; 3、投影的定义
? ? ? ? a ? b ? a b cos ?
? ? F1 ? F cos ? ? ? ? ?
? ? ? ?

? ?

? ?

是由 W ? F S cos ? 的引出来的,而 W ? F S cos ? 是 F1 所做的功,
?

是 F 在 S 方向上的分力, 那么在数量积中 a cos ? 叫做什么呢?这是我们
?
?

?

?

今天要学的第二个新概念“投影” :
? a

cosθ( b cosθ)叫做向量 a 在 b 方向上( b 在 a 方向上)的投影.
? ? ? ?

?

?

?

4、根据投影的定义,引导学生说出数量积的结构,也就是数量积的几何意义: 数量积 a ? b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方向上的投影 b cos ? 的乘积 5、功的数学本质是什么?功的数学本质是力与位移的数量积。 6、探究数量积的性质 我们讨论了数量积的正负,那么我们这里就具体的讨论一些特殊的夹角:
-2-

?

?

?

? ? 90 ? , a ? b , a ? b ? 0 ;
? ? 0 ?, a 与 b 同向, a ? b ? a b ;
? ? ? ? ? ?

?

? ? ?

? ? 180 ?, a 与 b 反向, a ? b ? - a b .

?

?

? ?

? ?

我们这里都是由两个向量的夹角来讨论数量积的,那如果我们已知两个向量的数 量积及模长,怎样得出它们的夹角呢?
? ? ? ? ? ? a ?b 根据定义 a ? b ? a b cos ? ? cos ? ? ? ? a b

.由此我们就可以得出 ? 的值.当 a ? b ? 0

? ?

时, cos ? ? 0 ? ? ? 90 ? . 总结 a ? b ? a ? b ? 0 . 特别地, a ? a ? a 或 a ? 请判断 a ? b 与 a b 的大小关系
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
2

?

?

? ?

?

? ? ? ? ?2 a ? a , 这里 a ? a 常记为 a

.



解:因为 a ? b ? a b cos ? , cos ? ? 1 , 所以 a ? b ? a b cos ? ? a b . 这些就是数量积的性质。在课堂上以上性质以探究形式出现,让同学们积极思 考,踊跃回答并总结其各自的应用。 (三)例题讲解,巩固知识 例 1 已知 a ? 5 , b ? 4 , a 与 b 的夹角 ? =120 度,求 a ? b . 解:根据数量积的定义:
? ? ? ? a ? b ? a b cos ?
? ?

? ?

? ?

? ?

?

?

? ?

= 5 ? 4 ? cos 120 ? =5 ? 4 ? ? ?
? ? 1? ? 2?

=-10. 练习:在△ABC 中 BC=8,CA=7, ? C ? 60 0 求 BC ? CA 。
, 例 2 已知 a ? b ? ? 8? a ? ? 解: a ? b ? ? ? ? a ?b cos ? ? ? ? a b ? ? ? ? ? 2, b ? 8, 求 a

(-28)

? ? a b cos ? ?
o

与 b 的夹角 ? 。

?

?8 2?8

? ?

1 2

? ? ? 0 ,180
o

?

?
-3-

? ? ? 120

o

变式:已知

? ? ? ? ? ? o a ? b ? 6 3 , a ? 2 , a 与 b 的夹角 ? ? 30 , 求 b .

(四) 课堂练习
1、判断下列各命题是否 正确,并说明理由

①、若 a ≠0,则对任一非零向量 b ,有 a · b ≠0. ②、若 a ≠0, a · b = a · c ,则 b = c . 2、已知△ABC 中, AB = a , AC = b ,当 a · b <0 或 a · b =0 时,试判断△ ABC 的形状。 (五)课堂小结 本节课你有什么收获?让学生各抒己见从不同方面加以总结。 ( 知识收获,学习方法,数学思想等.) (六) 布置作业: 1、课本 P121 习题 2.4A 组 1、2、6。 2、拓展与提高: 已知 a 与 b 都是非零向量,且 a +3 b 与 7 a -5 b 垂直, a -4 b 与 7 a -2 b 垂直,求
a

与 b 的夹角。 (本题供学有余力的同学选做)

-4-


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