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11级数分3期末试卷1


首都师范大学 2012-2013 学年第一学期 期末考试试卷 A
一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.设函数 z ? sin(x 2 y) 在(0,2)处 ( ) (D) 连续

(A) 无定义 (B) 无极限 (C) 有极限但不连续 2.在下列级数中,条件收敛的是( )
n (A) ? ( - 1) n ?1 ? ?

1 n 1 n2

n (B) ? ( - 1) n ?1

?

2n n?3

n (C) ? ( - 1) n ?1

n (D) ? (- 1 ) n ?1

?

1 2n 3
?

3.在下列级数中,发散的是( (A) ?
1 n n ?1 3
?


?

(B) ?

1 n ?1 n ? 1

?

(C) ?
n ?1

1 n ?1
3

n (D) ? ( - 1) n ?1

1 n

4.设 z ? ln(1 ? x ? y 2 ) ,则

?z =( ?y (1, 2)
(C)



(A)

1 6

(B)

1 3

2 3

(D)

1 2
)

5.若 D 为 x 2 ? y 2 ? 1 ,则二重积分 ?? x 2 ? y 2 dxdy 的值为(
D

(A)

5 ? 3

(B)

2 ? 3

(C)

1 ? 3

(D) ?
1 且 x ? 0, y ? 0 围 2

6.比较 I1 ? ?? ( x ? y) 2 ds 与 I 2 ? ?? ( x ? y) 3 ds 的大小, 其中 D 由直线 x ? y ? 1 , x ? y ?
D D

成,则 (A) I 1 ? I 2

( (B)

)
I1 ? I 2

(C) I 1 ? I 2

(D) 无法判别

二、填空题(每空 2 分,共 22 分) 1.对级数 ? u n , lim u n ? 0 是它收敛的
n ?1
n??

?

条件。

nx n 2.级数 ? n 的收敛域是 n ?1 3

?



3. lim

x ?0 y ?0

xy ? 4 ? 2 = xy



2 2 4.设 z ? x ? y ? 1 ,则 dz (1,1) =



? x2 ? 3y 2 ? 5.设 f ( x, y) ? ? 2 x ? y ? 0 ?
则 f x (0,0) = 6.设 x 2 ? y 2 ? z ? e z ,则

( x, y) ? (0,0) ( x, y ) ? (0,0)




?z = ?x



7.设 f ( x, y) ? 3x 2 ? ( y 2 ? 1) arcsin

x , 则 f x ( x,1) = y
D

。 。

8.若 D 为 x 2 ? y 2 ? 4 ,则二重积分 ?? dxdy的值为 9.函数 z ? x 3 ? y 3 ? 3x 2 ? 3 y 2 的极小值为 10.改变积分顺序 ? dy? 三、解答题(共 48 分)
1 2 0 1? y y

,极大值为 。



f ( x, y )dx =

y ?2z 1.(6 分)求函数 z ? f ( x, ) 的二阶混合偏导数 ,其中 f 具有二阶连续偏导数。 x ?x?y

?x 2 ? y 2 ? z 2 ? 6 2. (6 分)求曲线 ? 在点 (1,?2,1) 处的切线与法平面方程。 ? x? y?z ?0

3.(6 分)求曲面 z ? e z ? 2 xy ? 3 在点(1,2,0)处的切平面方程和法线方程。

4.(6 分)求内接于半径为 a 的球,且有最大体积的长方体的体积。

5. (6 分)计算 ?? xyds,其中 D 是由抛物线 y 2 ? x 及直线 y ? x ? 2 围成的区域。
D

6.(6 分)求 ?? e x
D

2

? y2

ds ,其中 D 是由 x 2 ? y 2 ? 4 围成的闭区域。

(?1) (?1) n n?1 7.(12 分)求幂级数 x 的收敛域,和函数 s( x) 并求 n ?1 n ? 1 n?1 n ? 1

?

?

?

?

n

xy ? ? 2 四、 (12 分)证明 f ( x, y) ? ? x ? y 2 ? 0 ?

x2 ? y2 ? 0 x ?y ?0
2 2

在 (0,0) 连续且可偏导,但它在 (0,0) 不可微。

首都师范大学 2012-2013 学年第一学期 期末考试试卷 B
一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.设 u ? ln(1 ? x ? y 2 ? z 3 ) ,则 (

?u ?u ?u = ? ? ) ?x ?y ?z (1,1,1)
(C)





(A) 3

(B)

3 2

1 2

(D)

2 3

2.设 z ? f (u, v, w) ,而 f 具有一阶连续的偏导数, u ? ? ( x, y ) 的偏导数存在, v ? ? ( x), w ? F ( y) 均为 可导函数,则 (A)
?z = ?x



) (B) f u? x ? f v? ?( x) ? f w F ?( y)

f u? x ? f v? ?( x)

(C) f u? x ? f v

(D) f u? x ? f u? y ? v ? ?( x) ? f w F ?( y) )
1 n ?1

3.在下列级数中,条件收敛的是( (A)
( - 1) ? n
n n ?1 ? n ( - 1) ? n ?1 ? 2

1 ? 2n

n (B) ? ( - 1) n ?1

?

(C)

2n n?3

n (D) ? ( - 1) n ?1

?

1 n3
1 n ?1 n ? 1
?

4.在下列级数中,发散的是( (A) ?
1 n n ?1 4
?


n ? ( - 1) (C) ? n ?1 n ? 1

(B)

?
n ?1

?

1 n ?1
3

(D) ?

5.若 D 为 x 2 ? y 2 ? 1 ,则二重积分 ?? x 2 ? y 2 dxdy 的值为(
D

)

1 (A) ? 3

(B)

2 ? 3

(C) ?

(D)

5 ? 3
1 且 x ? 0, y ? 0 围 2

6.比较 I1 ? ?? ( x ? y) 2 ds 与 I 2 ? ?? ( x ? y) 3 ds 的大小, 其中 D 由直线 x ? y ? 1 , x ? y ?
D D

成,则 (A) I1 ? I 2

(

) (C) I 1 ? I 2 (D) 无法判别

(B) I1 ? I 2

二、填空题(每空 2 分,共 22 分) 1.若级数 ? u n 绝对收敛,则级数 ? u n 必定
n ?1 n ?1 ? ?

;若级数 ? u n 条件收敛,则级数 ? u n 必
n ?1 n ?1

?

?

定 2.级数 ?
?


1 ,当 p ? p n ?1 n

时,级数收敛;当 p ?

时,级数发散。

3. lim
x ?0 y ?0

x2 ? y2 1? x2 ? y2 ?1

?

。 。

4.设 z ? x 2 ? y 2 ? 4 x 2 y ,则 dz (1,1) =

? x2 ? 3y 2 ? 5.设 f ( x, y) ? ? 2 x ? y ? 0 ?
6.设 e xy ? 3z - e z ? 1 ,则

( x, y) ? (0,0) ( x, y ) ? (0,0)

,则 f y (0,0) =



?z = ?x 7.若 D 为 x 2 ? y 2 ? 1 ,则二重积分 ?? dxdy的值为
D

。 。 。

8.函数 z ? x 2 ? xy ? y 2 ? 2 x ? y 的极小值为 9.改变积分顺序 ? dx?
0 1 2x 0

f ( x, y)dy ?

?

3

1

dx?

3? x

0

f ( x, y)dy =

三、计算题(共 48 分) 1.(6 分)求函数 z ? f (2 x,
y2 ?2z ) 的二阶混合偏导数 ,其中 f 具有二阶连续偏导数。 x ?x?y

? z ? x2 ? y2 dy dz 2. (6 分)求由方程组 ? 2 所确定的隐函数导数 , 2 2 dx dx ? x ? 2 y ? 3z ? 0

3. (6 分)求曲面 z ? x 2 ? y 2 与平面 2 x ? 4 y ? z ? 0 平行的切平面方程。

4. (6 分)求 ?? x y ds ,其中 D 由两条抛物线 y ? x 2 与 y 2 ? x 所围成的区域。
D

5. (6 分)求 ?? e x
D

2

? y2

dxdy ,其中 D 为圆域: x 2 ? y 2 ? R 2

6.(6 分)求表面积为 36 平方厘米而体积为最大的长方体的体积。

7. (12 分)求幂级数

?

(?1) (?1) n n?1 x 的收敛域,和函数 s( x) 并求 n ?1 n ? 1 n?1 n ? 1
?

?

?

n

四、证明题(12 分)
1 ? 2 2 , ( x, y ) ? (0,0) ?( x ? y ) sin 2 设 f ( x, y ) ? ? , 证明 (1)f ( x, y ) 在 (0,0) 连续, 且偏导数存在。 (2)f ( x, y ) x ? y2 ? 0 , ( x , y ) ? ( 0 , 0 ) ?

在 (0,0) 可微。


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