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安徽省2013届高三高中名校第二次联考(华普教育最后一卷)数学理科试题 扫描版


2013 安徽省省级示范高中名校高三联考终审评估表(数学理科)
分 类 难 度 原创 改编

容易 题 号 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 第 10 题 第 11 题 第 12 题 第 13 题 第 14 题 第 15 题 第 16 题 第 17 题 第 18 题 第 19 题 第 20 题 第 21

题 考点分布 评价 难易度 评价 新颖性 评价 亮点试题 总 评 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √

中等

较难



题 √ √ √ √ √ √

考点(填写考查知识点) 复数及其运算 集合运算、充要条件 等差数列 极坐标 三视图 向量运算 二项式定理 线性规划 圆锥曲线 古典概型、空间线线关系 程序框图 绝对值不等式 平均值、方差计算 三角函数图像应用 导数

√ √ √ √ √

√ √ √ √ √

√ √ √ √ √



√ √ √ √ √ √ √ √ √ √

三角函数、基本不等式 概率及其应用 立体几何 椭圆、双曲线性质、余弦定理 数列及其运算 导数

考点分布合理,突出主干、重要内容重点考查的命题思路,符合考试大纲及考试 说明的要求 难度系数估计在 0.65 左右

试题较新颖,改编力度大,有较强的灵活性和区分度 18、19 试题考查内容基础、平稳、全面,难度中等偏易,区分度较好,无偏题、怪题, 突出数学思想方法的考查,同时注重能力的考查

2013 安徽省省级示范高中名校高三联考 数学(理科)试题参考答案
1.D 解析:因为 z ?

?1 ? 3i ? 3 ? 6 ? i ,所以 z = 6 ? i . i

2.B 解析:集合 A= {x | 0 ? x ? 2}, B ? {x | 0 ? x ? 2} ,所以“x∈A”是“x∈B”的必要 不充分条件. 3.B 解析:设首项为 a1 ,公差为 d ,由题得

?5a1 ? 10d ? 10 ?a ? 4 9 ?8 (?1) ? 0 . ?? 1 , S9 ? 9 ? 4 ? ? 2 ?5a1 ? 60d ? ?40 ?d ? ?1
4.A 解析: ? ? 2(cos? ? sin ? ) 化为普通方程为: x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0, 圆心为

(

? 2 2 , ), 半径 r ? 1, 化为极坐标为 (1, ) . 4 2 2

5.C 解析:由三视图知原几何体为四个面均为直角三角形的三棱锥,
所以最大面的面积为 S?ABD ? 2 . 6.C 解析: | a | ? cos

3? ? ?2 2 . 4

7.D

3 6 解析:根据已知条件可得 Cn ? Cn ? n ? 3 ? 6 ? 9 ,所以 ( x ?

1 2 x

)n 的展开式的通项

为 Tr ?1 ? C9 x
r

9? r

(

3r 9? 1 3r ?6 ? r )r ? ( )r C9r x 2 , 令 9 ? 2 2 2 x

1

?2, 所 以 x6 的 系 数 为

1 ( ) 2 C92 ? 9 . 2
8.D

( 解析:作出可行域如图所示,由图知 z ? x ? y 在点 A

m ? 1 2m ? 1 , ) 处取最小值-2,所 3 3



m ? 1 2m ? 1 ? = ? 2,解得m ? 8 . 3 3

2 9.B 解析:设双曲线的左焦点为 F ? ,连接 AF ? .∵ F 是抛物线 y ? 4 px 的焦点,且 AF ? x

轴, ∴不妨设 A( p, y0 )( y 0 ? 0 ) 得 y02 ? 4 p ? p, 得 y0 ? 2 p, A( p, 2 p) , , 因此,Rt ?AFF ? 中, | AF |?| FF ? |? 2 p ,得 | AF ? | = 2 2 p ,∴双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦距 2c ?| FF ? |? 2 p ,实 a 2 b2
c 2c 2p ? ? ? 2 ?1 . a 2a 2 p( 2 ? 1)

轴 2a ?| AF ? | ? | AF |? 2 p( 2 ?1) ,由此可得离心 e ?

2 10.B 解析: 随机连接正方体 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 的任意两个顶点的直线共有 C8 ? 28 条, 其

中与 AC1 成异面直线且所成角为 90°的直线有 6 条(每个面各有 1 条) ,所以所求概率为

6 3 = . 28 14
11.4 解析:第一次循环 n ?

6 ? 3, i ? 2 ,第二次循环 n ? 3 ? 3 ? 5 ? 4, i ? 3 ,第三次循环 2

n?

4 ? 2 , i ? 4, 满足条件输出 4 . 2
解析 因为 | x ? 2 | ? | x ? 3|? 2 ? x ? x ? 3 ? (2 ? x) ? ( x ? 3) ? 5 ,所以由题意

12. ?5, ?? ? 知 a ? 5. 13.72

=8 x 解析:因为 xA = (7+7+7 ? 5+9+9 ? 5) ,B = (6+x ? 8 ? 5 ? 8 ? 5 ? y) ,


1 5

1 5

由 xA = xB ,得 x ? y ? 17 .
2 1+1+0.25+1+2.25) , 2 = =1.1 sB 因为 sA = (

1 5

1 2 2 ? 4+(x ? 8)+0.25+0.25+(y ? 8)? , ? ? 5
② 由①②解得 xy ? 72 .

由 s2 =s2 ,得 x ? 8)+(y ? 8)=1 . ( A B
2 2

14.32 解析:由 f ( x) ? 0 ,解得 x ? 4 ,即 A(4,0) ,过点 A 的直线 l 与 f(x)的图像交于 B、C

? 两 点 , 根 据 对 称 性 可 知 , A 是 B, C 的 中 点 , 所 以 O B? O C 2

??? ??? ? ?

??? ? O, 所 以 A

? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? 2 ? ? ?? 2 ? ? ?? (O B? O C? O ? 2 O A O2 ) A ? ?A O?A ?4 .?3 2 2

15.①③⑤

解析:对于①,因为 f ? ? x ? ? ? x ? 1? e ,易知 f ? ? ?1? ? 0 ,所以函数 f ? x ? 存
x x

在平行于 x 轴的切线, 故①正确; 对于②,因为 f ? ? x ? ? ? x ? 1? e , 所以 x ? ? ??, ?1? 时,f ? x ? 单 调 递 减 , x ? ? ?1, ?? ? 时 , f ? x ? 单 调 递 增 , 故 ② 错 误 ; 对 于 ③ ,

f1 ? x ? ? f 0? ? x ? ? xe x ? 2e x



?



f n ( x) ? f n'?1 ( x) ? xex ? (n ?1)e x



f 2012? ? x ? ? f 2013 ? x ? ? xe x ? 2014e x ,故③正确;对于④, f ? x1 ? ? x2 ? f ? x2 ? ? x1 等价于
x 构建函数 h ? x ? ? f ? x ? ? x , h? ? x ? ? ? x ? 1? e ?1, 则 所以 h ? x ? 不 f ? x1 ? ? x1 ? f ? x2 ? ? x2 ,

单 调 , 故 ④ 错 误 ; 对 于 ⑤ , x2 f ? x? ? x ? 1 1 f

x等价于 ? 2

f ? x1 ? f ? x2 ? ,构建函数 ? x1 x2

u ? x? ?

f ? x? ? e x ,易知函数在 R 上为增函数,又因为 x2 ? x1 ,所以⑤正确. x

16.解析: (Ⅰ)由题设可知: sin B sin C ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin( A ? C ) ? sin B, ∵ sin B ? 0, ∴ sin C ? 1, C ?

?
2

; .................................6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: c 2 ? a 2 ? b2 , ∴ a ? b ? a 2 ? b 2 ? 12, ∵ a ? b ? 2 ab , a2 ? b2 ? 2ab, ∴ 2 ab ? 2ab ? 12, 即 ab ? 36(2 ? 2)2 ,

1 ab ? 18(2 ? 2) 2 ? 36(3 ? 2 2) ,即 S 的最大值为 36(3 ? 2 2) ......................12 分 2 17.解析: (Ⅰ)设“从第一小组选出的 2 人选读《中国青年》”为事件 A , “从第二小组选出的 2 人选读《中国青年》”为事件 B .由于事 件 A 、 B 相互独立,
∴S ? 且 P ( A) ?
2 C5 2 , ? 2 C6 3

P( B) ?

2 C 4 2 .????????????4 分 ? 2 C6 5

所以选出的 4 人均选读《中国青年》的概率为

2 2 4 P( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? ? ? ??????????? 6 分 3 5 15
(Ⅱ)设 X 可能的取值为 0,1,2,3.则 P ( X ? 0) ?

4 , 15

P( X ? 1) ?

2 1 1 1 2 1 1 C 5 C 2C 4 C 5 C 4 22 , C 1 , ? 2 ? 2? 2 ? P( X ? 3) ? 5 ? 2 ? 2 2 C6 C6 C 6 C 6 45 C 6 C 6 45

P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 3) ?

2 ???????? 9 分 9
3

X 的分布列为
X

0

1

2
2 9

P

4 15

22 45

1 45
????12 分

∴数学期望 EX ? 0 ?

4 22 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 15 45 9 45

18.解析: (Ⅰ)∵AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴ DE // AB,

在 ?CDE 中, DE / /GF , DE ? 2GF , ∴ AB / /GF , AB ? GF , 又 AB ? 平面 ABC, GF ? 平面 ABC, ∴ FG // 平面 ABC; ......................4 分 (Ⅱ)连接 AG,∵ AC ? AD, G 为 CD 的中点,∴ AG ? CD, 又 DE⊥平面 ACD,∴平面 ACD ? 平面 CDE, ∵平面 ACD ? 平面 CDE ? CD, AG ? 平面 ACD, ∴ AG ? 平面 CDE, H 又由(Ⅰ)可知: AG // BF , ∴ BF ? 平面 CDE. .....................................8 分 (Ⅲ)延长 EB 与 DA 交于 H , 连接 CH , 则 CH 为所求二面角的棱; 又由已知可得 BF // CH , ∴ CH ? 平面 CDE, 即 ?ECD 为平面 ACD 与平面 BCE 所成二面角的平面角, 且 ?ECD ? C G F D E A B

?
4

. ?????13 分 (此大题建系解答亦可)

19.解析: (Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2
2 2 2

由已知得: a ? c ? 5, a ? c ? 1, .∴ a ? 3, c ? 2, ∴ b ? a ? c ? 5,

∴椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1; .........................................4 分 9 5

PN = (Ⅱ)∵ PM ·

2 , 1 ? cos ?MPN

∴ | PM | ? | PN | ? cos ?MPN ?| PM | ? | PN | ?2, ??????① 在 ?PMN 中, MN ? 4, 由余弦定理得:

| MN |2 ?| PM |2 ? | PN |2 ?2 | PM | ? | PN | ? cos ?MPN , ?????②
联立①②得: 4 ?| PM | ? | PN | ?2(| PM | ? | PN | ?2),即(| PM | ? | PN |) =12,
2 2 2 2

x2 ? y 2 ? 1 右支上, ....................10 分 ∴点 P 在以 M , N 为焦点,实轴长为 2 3 的双曲线 3
又由(Ⅰ)可知:点 P 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,且在第一象限, 9 5

? x2 y 2 ? 9 ? 5 ? 1, ? 所以由方程组 ? 2 ? x ? y 2 ? 1. ?3 ?
∴点 P 的坐标为 (

? 3 3 , ?x ? ? 2 解得 ? ?y ? 5 , ? ? 2

3 3 5 , ). ...............................................................................................12 分 2 2
a a a bn ?1 ? 2, ∴ n ?1 n ? 2 ? n ? 2 ? 2, ∴ an?2 ? 4an ; ....................4 分 bn an an ?1 an

20.解析: (Ⅰ)由题意:

(Ⅱ)∵ an ? 4an?2 , ∴ a2n?1 ? a2n?3 ? 22 ? ? ? a1 ? 22n?2 , a2n ? a2n?2 ? 22 ? ? ? a2 ? 22n?2 , ∴ cn ? a2n?1 ? 2a2n ? a1 ? 22n?2 ? 2a2 ? 22n?2 ? (a1 ? 2a2 ) ? 22n?2 ? 5 ? 22n?2 ? 5 ? 4n?1,

?

cn =4 ? 2), ?cn ? 是首项为 5,以 4 为公比的等比数列;....................8 分 (n ? cn?1 1 a2 n?1 ? 1 1 1 , ? , 于是 2 n ?2 a1 ? 2 a2 n a2 ? 22 n?2

(Ⅲ)由(Ⅱ)得

1 1 1 ?1 1 1 ? ?1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? a1 a2 a2 n ? a1 a3 a2 n ?1 ? ? a2 a4 a2 n ?
? 1? 1 1 1 ? 1? 1 1 1 ? ?1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ? a1 ? 2 2 2 2 ? a2 ? 2 2 ?

3? 1 1 1 ? 3 ? 1 ? 2?2 n ? 22 n ? 1 ? ?1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ? ? ? ? 2 n?1 . ....................13 分 ?2 ? 2? 2 2 2 ? 2 ? 1? 2 ? 2
x?a ? ln x)( x ? 1) ? ( x ? a ) ln x x ?( x) ? 21.解析: (Ⅰ) f -----------------------2 分 ( x ? 1) 2 (
1 (1 ? a ) 2 1 ? , ?1 ? a ? 1 ,? a ? 0 . -------------3 分 ,? 2 4 2 1 x ln x (Ⅱ) f ( x) ? , ?x ? [1, ??) , f ( x) ? m( x ? 1) ,即 ln x ? m( x ? ) x ?1 x 1 设 g ( x) ? ln x ? m( x ? ) ,即 ?x ? [1, ??), g ( x) ? 0 . x
由题意知 f ?(1) ?

g ?( x) ?

1 1 ?mx 2 ? x ? m ? m(1 ? 2 ) ? -------------------------------------5 分 x x x2

①若 m ? 0, g ?( x) ? 0 , g ( x) ? g (1) ? 0 ,这与题设 g ( x) ? 0 矛盾.-----------------6 分

②若 m ? 0 ,方程 ?mx 2 ? x ? m ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 4m 当 ? ? 0 ,即 m ? 不等式成立. 当0 ? m ?

2

1 时, g ?( x) ? 0 ,? g (x) 在 [1, ? ?) 上单调递减,? g ( x) ? g (1) ? 0 ,即 2

1 ? 1 ? 4m 2 1 ? 1 ? 4m 2 1 2 时,方程 ?mx ? x ? m ? 0 ,其根 x1 ? 当 ? 0 , x2 ? ?1, 2 2m 2m
? , g (x) 单调递增, g ( x) ? g (1) ? 0 ,与题设矛盾.

x ?,[ ,) () x ? 1 x 2g 0
综上所述, m ?

1 .------------------------------------------------------------------------9 分 2 1 1? 1? (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 x ? 1 时, m ? 时, ln x ? ? x ? ? 成立. 2 2? x? 2k ? 1 2k ? 1 1 ? 2k ? 1 2k ? 1 ? 4k , k ? N * ,所以 ln 不妨令 x ? , ? ? ? ?? 2 2k ? 1 2k ? 1 2 ? 2 k ? 1 2 k ? 1 ? 4 k ? 1 1 k [ln ? 2k ? 1? ? ln ? 2k ? 1?] ? 2 , k ? N * ----------------------11 分 4 4k ? 1

1 1 ? ? ln 3 ? ln1? ? 2 ? 4 4 ?1 ? 1 ? 1 2 ? ? ln 5 ? ln 3? ? ? 4 4 ? 22 ? 1 ? ? ??????? ? n ? 1 ln 2n ? 1 ? ln 2n ? 1 ? , ? ? ?? ?4 ? ? 4 ? n2 ? 1 ?
累加可得
n n 1 i i ln(2n ? 1) ? ? 2 (n ? N * ). 即 ln 4 2n ? 1 ? ? 2 (n ? N * ). -------13 分 , 4 i ?1 4i ? 1 i ?1 4i ? 1


安徽省省级示范高中名校2013届高三第二次联考(华普教育最后一卷)试题(扫描版,word版解析)

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