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徐汇新王牌 秋季同步提高补习班 高中数学杨X老师 高三数学 数列第6讲 递推数列和通项的求法二


新王牌杨 X 老师高三课程

满分=真题精编,学生哪里不会,教好哪里!

高三数学 (秋季班)数列第 1 讲
【考点清单】 考点一:取倒法和取对法 考点和方法分析:

递推数列和通项的求法

考点二:累加法和累乘法 考点和方法分析:

考点三:隔项累加法和隔项累乘法 考点

和方法分析:

考点四:迭代法和换元法 考点和方法分析:

1 杨老师的神奇之处,是可以把数学成绩控制在 135 以上!

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【题型归类 ? 真题精编 ? 典型示例】 1、取倒法和取对法 ※基础题※ 例 1、 (普陀区 2009 年高三第二次模拟题)已知 a1=2,点 (an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中=1,2,3,? 若 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),则 Tn=____________

【边解边注,方法总结】

例 2、 (上海市 2011 年高考) 已知首项为 x1 的数列 {xn } 满足

xn ?1 ?

axn ( a 为常数) 。 xn ? 1

( 1 ) 若 对 于 任 意 的 x1 ? ?1 , 有 xn?2 ? xn 对 于 任 意 的

n ? N * 都成立,求 a 的值;
(2)当 a ? 1 时,若 x1 ? 0 ,数列 {xn } 是递增数列还是递 减数列?请说明理由; (3)当 a 确定后,数列 {xn } 由其首项 x1 确定,当 a ? 2 时, 通过对数列 {xn } 的探究,写出“ {xn } 是有穷数列”的一个 真命题

2 杨老师的神奇之处,是可以把数学成绩控制在 135 以上!

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※提高题※ 例 3、 (上海市浦东区 2013 年高考二模数学试题 ) 数列 {a n } 满 足 a n ?1 ?

4a n ? 2 ? ( n ? N ). an ? 1

(1)若数列 {a n } 是常数数列,求 a1 的值 (2)求数列 {a n } 为有穷数列”的充要条件 (3)若 {an } 为单调递增数列,求 a1 的取值范围

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2、累加法、累乘法、隔项累加法和隔项累乘法 ※基础题※ 例 1、 (上海市虹口区 2013 届高三(二模 )数学试卷) 设

an ? logn?1 (n ? 2) (n ? N ? ) , 称 a1a2 a3 ?ak 为 整 数
的 k 为“希望数”,则在 (1, 的个数为_____________.

2013 ) 内所有“希望数”

例 2、(上海市奉贤区 2011 年 4 月高三调研测试)已知数列

?an ?





a1 ? 2,



n







? pa ? n ? 1(n为奇数) . Sn , an ?1 ? ? n ??an ? 2n(n为偶数) ( 1 )若数列 ?bn ? 满足 bn ? a2n ? a2n?1 (n ? 1) , 试求数列
(4 分) ?bn ? 前 3 项的和 T3 ; (2)若数列 ?cn ? 满足 cn ? a2n ,试判断 ?cn ? 是否为等比数 列,并说明理由; (6 分) ( 3 ) 当 p?

1 * 时 , 问 是 否 存 在 n? N , 使 得 2 (S2n?1 ?10)c2n ? 1,若存在,求出所有的 n 的值;
若不存在,请说明理由.(8 分)

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※提高题※ 例 3、 (上海市闵行区 2013 届高三 4 月质量调研考试数学试题) 本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 8 分. 过 坐 标 原 点 O 作 倾 斜 角 为 60 的 直 线 交 抛 物 线

? : y 2 ? x 于 P1 点,过 P1 点作倾斜角为 120 的直线交 x
轴于 Q1 点,交 ? 于 P 2 点;过 P 2 点作倾斜角为 60 的直线 交 x 轴于 Q2 点 , 交 ? 于 P 3 点;过 P 3 点作倾斜角为 120 的直线,交 x 轴于 Q3 点,交 ? 于 P 4 点;如此下去.又设线 段 OQ1 , Q1Q2,Q2Q3 , L ,Qn?1Qn, L 的长分别为

a1 , a2 , a3 ,L , an ,L ,数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn .
(1)求 a1 , a2 ; (2)求 an , Sn ; (3) 设 bn ? aan (a ? 0且a ? 1) , 数列 {bn } 的前 n 项和为

Tn ,若正整数 p, q, r , s 成等差数列,且 p ? q ? r ? s ,试
比较 Tp ? Ts 与 Tq ? Tr 的大小. y P1 O Q1 P2 P4 Q2 Q3 P3 x

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3、迭代法和换元法 ※基础题※ 例 1、 (上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学试题)(本题 满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题 6 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且对于任意 n ? N * , 总有 S n ? 2(a n ? 1) . (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2) 在 a n 与 a n ?1 之间插入 n 个数 , 使这 n ? 2 个数组成 等差数列,当公差 d 满足 3 ? d ? 4 时,求 n 的值并求这 个等差数列所有项的和 T ; (3) 记

a n ? f ( n)
2

,





c n ? n ? f (n ? log

m) ( n ? N * ), 问是否存在正实数

m ,使得数列 {c n } 是单调递减数列 ?若存在,求出 m 的
取值范围;若不存在, 请说明理由.

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例 2、 (上海市徐汇区 2012 届高三一模 ) 设等比数列 {an } 的 前 n 项和为 Sn ,已知 an?1 ? 2Sn ? 2(n ? N *) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数, 使这 n ? 2 个数组成公差为 在 a1 与 a2 之间插入 1 个数构成第一个等 d n 的等差数列(如: 差数列,其公差为 d1 ;在 a2 与 a3 之间插入 2 个数构成第二 个等差数列,其公差为 d2 ,?以此类推),设第 n 个等差数 列的和是 An . 是否存在一个关于 n 的多项式 g (n) ,使得 求出这个多项 An ? g (n)dn 对任意 n ? N * 恒成立?若存在, 式;若不存在,请说明理由; (3)对于(2)中的数列 d1,d2,d3, ,dn, ,这个数列中是 否存在不同的三项 dm,dk,d p (其中正整数 m,k,p 成等 差数列)成等比数列,若存在,求出这样的三项;若不存在, 说明理由.

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※提高题※ 例 3、 (浦东新区 2014 年高考预测试题)已知定义在小水 R 上 的 函 数

f ( x) , 对 任 意 实 数 x1 , x2 都 有

f ( x1 ? x2 ) ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且 f (1) ? 1 .
(1)若对任意正整数 n ,有 an ? f ? 值,并证明 {an } 为等比数列; (2)设对任意正整数 n ,有 bn ?

? 1 ? ? 1 ,求 a1 、 a2 的 n ? ?2 ?

1 .若不等式 f ( n)

bn ?1 ? bn ? 2 ?

? b2 n ?

6 log 2 ( x ? 1) 对任意不小于 2 35

的正整数 n 都成立,求实数 x 的取值范围.

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【课堂能力形成测试】 1、 (2011 届闵行区高三 4 月模拟 22 题) 对于给定数列 {cn } ,
* 如果存在实常数 p , q 使得 cn?1 ? pcn ? q 对于任意 n ? N

都成立,我们称数列 {cn } 是 “M 类数列”. (1)若 an ? 2n ,bn ? 3 ? 2n ,n ? N ,数列 {an } 、{bn } 是
*

否为“M 类数列”?若是,指出它对应的实常数 p , q ,若不 是,请说明理由; (2) 证明: 若数列 {an } 是“M 类数列”, 则数列 {an ? an?1}也 是“M 类数列”; (3)若数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ? an?1 ? 3 ? 2 n (n ? N * ) , 试证明 {an } 为“M 类数列”,并求数列 {an } 前 n 项的和 S n .

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2、(2011 年黄埔区二模 23 题)已知各项都为正数的数列

?an ? 满足a1 ? 1,Sn ?

1 an an ?1 (n ? N * ) 2







Sn是数列?an ? 的前 n 项的和.
(1) 求数列?an ?的通项公式an ; (2) 已 知 p( ? 2) 是 给 定 的 某 个 正 整 数 , 数 列

?bk ? 满足b1 ? 1,k ?1 ?

b bk

k?p ak ?1

2, 3, ,p ?1 ),求 bk ; ( k ? 1,

(3)化简 b1 ? b2 ? b3 ?

? bp .

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【课后提高】 1. (上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研) (本题满分 18
分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分)









{an}







a1 ? 6



a n?1 ?

n?2 a n ? (n ? 1)( n ? 2) 。 n

(1)若 d n ?

an ,求数列 {dn } 的通项公式; n(n ? 1)

m (2) 若 an ? kC3n?2 , (其中 C n 表示组合数) ,求数列 {an}

的前 n 项和 Sn ; (3) 若 bn ? 求 lim Tn ;
n ???

1 n?1 , 记数列 { } 的前 n 项和为 Tn , ? 2 bn (n ? 2) 2

an

11 杨老师的神奇之处,是可以把数学成绩控制在 135 以上!

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2、 (上海市金山区 2011 年高三第一次模拟 22)由下面四个 图形中的点数分别给出了四个数列的前四项 ,将每个图形的 层数增加可得到这四个数列的后继项 .按图中多边形的边数 依次称这些数列为“三角形数列” 、 “四边形数列” ,将

构图边数增加到 n 可得到“ n 边形数列” ,记它的第 r 项为

P(n, r ) ,

1,3,6,10

1,4,9,16

1,5,12,22

1,6,15,28

(1) 求使得 P(3, r ) ? 36 的最小 r 的取值; (2) 试推导 P(n, r ) 关于 n 、 r 的解析式; ( 3) 是否存在这样的“ n 边形数列”,它的任意连续两项的 和均为完全平方数,若存在,指出所有满足条件的数列并证明 你的结论;若不存在,请说明理由.

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