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高中数学概率与统计知识点


高中数学之概率与统计
求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率
解此类题目常应用以下知识:
card( A) m (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P(A)= card( I ) = n ;

等可能事件概率的计算步骤: 计算一次试验的基本事件总数 n ; 设所求事件 A,并计算事件 A 包含的基本事件的个数 m ; 依公


P( A) ? m n 求值;

答,即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率:P(A+B)=P(A)+P(B); 特例:对立事件的概率:P(A)+P( A )=P(A+ A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P(A·B)=P(A)·P(B);
k k n?k 特例:独立重复试验的概率:Pn(k)= C n p (1 ? p) .其中 P 为事件 A 在一次试验中发生的

概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第 k+1 项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合” :

求概率的步骤是:
? 等可能事件 ? ?互斥事件 ? ?独立事件 ? n次独立重复试验 ?

第一步,确定事件性质 即所给的问题归结为四类事件中的某一种.
?和事件 ? 第二步,判断事件的运算 ?积事件

即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.
m ? 等可能事件: P ( A) ? ? n ? ?互斥事件:P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? ? 独立事件:P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? k k n?k ? 第三步,运用公式 ? n次独立重复试验:Pn (k ) ? Cn p (1 ? p)

求解

第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复.
2345 例 1.在五个数字 1,,,, 中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是

(结果用数值表示) .
P? C1 3 3 3 ? ? . C3 5 ? 4 10 5 2

[解答过程]0.3 提示:

例 2. 一个总体含有 100 个个体, 以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 5 的样本,

则指定的某个个体被抽到的概率为 5 1 1 P? ? . . 100 20 [解答过程] 20 提示:



例 3.接种某疫苗后,出现发热反应的概率为 0.80.现有 5 人接种该疫苗,至少有 3 人出现发 热反应的概率为__________.(精确到 0.01) [考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力,以 及推理和运算能力. [解答提示]至少有 3 人出现发热反应的概率为
3 5 C5 ? 0.803 ? 0.202 ? C54 ? 0.804 ? 0.20 ? C5 ? 0.805 ? 0.94

.

故填 0.94.

离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ 、η 等表示. ②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质

x x ? 一般地, 设离散型随机变量 ? 可能取的值为 x1 ,x 2 , ??, i , ??, 取每一个值 i( i ? 1,
2,??)的概率 P( ? ? xi )= Pi ,则称下表.
?

x1
P1

x2
P2

? ?

xi
Pi

? ? 为随机变量 ? 的概率分布,简称 ? 的分布列.

P

由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质: (1) Pi ? 0 , i ? 1,2,?;(2) P1 ? P2 ? ?=1. ②常见的离散型随机变量的分布列: (1)二项分布

n 次独立重复试验中, 事件 A 发生的次数 ? 是一个随机变量, 其所有可能的取值为 0, 2, 1, ?
k k n?k n,并且 Pk ? P(? ? k ) ? C n p q ,其中 0 ? k ? n , q ? 1 ? p ,随机变量 ? 的分布列如下:

?

0
C p q
0 n 0 n

1
C pq
1 n 1 n ?1

? ?

k
C p q
k n k n?k

?

n
n Cn p n q 0

P

称 这 样 随 机 变 量 ? 服 从 二 项 分 布 , 记 作 ? ~ B(n , p) , 其 中 n 、 p 为 参 数 , 并 记 :
k C n p k q n ? k ? b( k ; n , p )

.

(2) 几何分布

在独立重复试验中, 某事件第一次发生时所作的试验的次数 ? 是一个取值为正整数的离散型 随机变量, ? ? k ”表示在第 k 次独立重复试验时事件第一次发生. “ 随机变量 ? 的概率分布为:
?

1 p

2 qp

3
q p
2

? ?

k
q
k ?1

?
p

P

?

例 1. 厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机 抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品. (Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8,从中任意取出 4 件进行检验,求至少有 1 件是合格的概率; (Ⅱ)若厂家发给商家 20 件产品中,其中有 3 件不合格,按合同规定该商家从中任取 2 件.都 进行检验,只有 2 件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数 ? 的 分布列及期望 E? ,并求出该商家拒收这批产品的概率. [解答过程](Ⅰ)记“厂家任取 4 件产品检验,其中至少有 1 件是合格品”为事件 A 用对立事件 A 来算,有
P ? A ? ? 1 ? P A ? 1 ? 0.2 4 ? 0.9984

? ?

(Ⅱ) ? 可能的取值为 0,1, 2 .
P ?? ? 0 ? ?
2 C17 136 ? 2 C20 190 ,

P ?? ? 1? ?

1 1 C3C17 51 ? 2 C20 190 ,

P ?? ? 2 ? ?

C32 3 ? 2 C20 190

?
P
E? ? 0 ?

0
136 190

1
51 190

2
3 190

136 51 3 3 ? 1? ? 2? ? 190 190 190 10 .

记“商家任取 2 件产品检验,都合格”为事件 B,则商家拒收这批产品的概率
P ? 1? P ? B? ? 1? 136 27 ? 190 95 .

27 所以商家拒收这批产品的概率为 95 .

例 12. 某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被

4 2 3 淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 5 、 5 、 5 ,且各轮问题能

否正确回答互不影响. (Ⅰ)求该选手被淘汰的概率; (Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望. (注:本小题结果可用分数表示)
2, [解答过程]解法一: (Ⅰ)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i ? 1, 3) ,则

P( A1 ) ?

4 3 2 P ( A2 ) ? P ( A3 ) ? 5, 5, 5,

?该选手被淘汰的概率
P ? P( A1 ? A1 A2 ? A2 A2 A3 ) ? P( A1 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )

1 4 2 4 3 3 101 ? ? ? ? ? ? ? 5 5 5 5 5 5 125 .

P(? ? 1) ? P( A1 ) ? 2, 5, (Ⅱ) ? 的可能值为1, 3 ,
4 2 8 P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? ? ? 5 5 25 ,
4 3 12 P(? ? 3) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? ? ? 5 5 25 .

1

?? 的分布列为

?
P

1
1 5

2
8 25

3
12 25

1 8 12 57 ? E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 5 25 25 25 .

2, 解法二: (Ⅰ)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i ? 1, 3) ,则
P ( A2 ) ? 3 2 P ( A3 ) ? 5, 5. 4 3 2 101 P ? 1 ? P( A1 A2 A3 ) ? 1 ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? 5 ? 5 ? 5 ? 125

P( A1 ) ?

4 5,

?该选手被淘汰的概率



(Ⅱ)同解法一. 离散型随机变量的期望与方差 随机变量的数学期望和方差 (1)离散型随机变量的数学期望: E? ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?;期望反映随机变量取值的平均水 平.
2 2 2 ⑵离散型随机变量的方差: D? ? ( x1 ? E? ) p1 ? ( x2 ? E? ) p2 ? ? ? ( xn ? E? ) p n ? ?;

方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.
2 ⑶基本性质: E(a? ? b) ? aE? ? b ; D(a? ? b) ? a D? .

(4)若 ? ~B(n,p),则

E? ? np ;

D ? =npq(这里 q=1-p) ;
E? ?
q 1 2 p ,D ? = p 其中 q=1-p.

如果随机变量 ? 服从几何分布, P(? ? k ) ? g (k , p) ,则 例 1.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ε 、 η ,ε 和η 的分布列如下: 0 1 2 0 1 2 ε η P
6 10 1 10 3 10

P

5 10

3 10

2 10

则比较两名工人的技术水平的高低为 . 思路:一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值,即期望;二是要 看出次品数的波动情况,即方差值的大小. 解答过程:工人甲生产出次品数ε 的期望和方差分别为:
E? ? 0 ? 6 1 3 ? 1 ? ? 2 ? ? 0.7 10 10 10 ,

D? ? (0 ? 0.7) 2 ?

6 1 3 ? (1 ? 0.7) 2 ? ? (2 ? 0.7) 2 ? ? 0.891 10 10 10 ;

工人乙生产出次品数η 的期望和方差分别为:
E? ? 0 ?

5 3 2 5 3 2 D? ? (0 ? 0.7) 2 ? ? (1 ? 0.7) 2 ? ? (2 ? 0.7) 2 ? ? 0.664 ? 1 ? ? 2 ? ? 0.7 10 10 10 10 10 10 ,

由 Eε =Eη 知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但 Dε >Dη ,可见乙的技术比较 稳定. 小结:期望反映随机变量取值的平均水平;方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离 散的程度. 例 2. 某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 ? 的分布列为

?
P

1 0.4

2 0.2

3 0.2

4 0.1

5 0.1

商场经销一件该商品,采用 1 期付款,其利润为 200 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为 250 元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 300 元.? 表示经销一件该商品的利润. (Ⅰ)求事件 A : “购买该商品的 3 位顾客中,至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P( A) ; (Ⅱ)求? 的分布列及期望 E? . [解答过程](Ⅰ)由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款” . 知 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”

P( A) ? (1 ? 0.4) 2 ? 0.216 , P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.216 ? 0.784 .
(Ⅱ)? 的可能取值为 200 元, 250 元, 300 元.

P(? ? 200) ? P(? ? 1) ? 0.4 ,
P(? ? 250) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 , P(? ? 300) ? 1 ? P(? ? 200) ? P(? ? 250) ? 1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.2 .

? 的分布列为 ?
P

200 0.4

250 0.4

300 0.2

E? ? 200 ? 0.4 ? 250 ? 0.4 ? 300 ? 0.2 ? 240 (元) .

抽样方法与总体分布的估计 抽样方法
1.简单随机抽样:设一个总体的个数为 N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本, 且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和 随机数表法. 2.系统抽样:当总体中的个数较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出 的规则,从每一部分抽取 1 个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样(也称为机 械抽样). 3.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各 部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样. 总体分布的估计 由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布,一般地,样本 容量越大,这种估计就越精确. 总体分布:总体取值的概率分布规律通常称为总体分布. 当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表 示,几何表示就是相应的条形图. 当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布. 总体密度曲线:当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限 接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线. 典型例题 例 1.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2:3:5.现用分层抽 样方法抽出一个容量为 n 的样本, 样本中 A 种型号产品有 16 件.那么此样本的容量 n= .
2 10 16 ? ? 80 10 ,则样本容量 n= 2 解答过程:A 种型号的总体是 .

例 2.一个总体中有 100 个个体,随机编号 0,1,2,?,99,依编号顺序平均分成 10 个 小组,组号依次为 1,2,3,?,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本,规定如 果在第 1 组随机抽取的号码为 m ,那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m ? k 的个位数字

相同,若 m ? 6 ,则在第 7 组中抽取的号码是



解答过程:第 K 组的号码为 (k ? 1)10 , (k ? 1)10 ? 1 ,?, (k ? 1)10 ? 9 ,当 m=6 时,第 k 组抽 取的号的个位数字为 m+k 的个位数字,所以第 7 组中抽取的号码的个位数字为 3 ,所以抽 取号码为 63.

正态分布与线性回归 1.正态分布的概念及主要性质
(1)正态分布的概念 如果连续型随机变量 ? 的概率密度函数为
f ( x) ? 1 2??
? ( x?? )2 2? 2

e

, ?R x

其中 ? 、? 为常

2 数,并且 ? >0,则称 ? 服从正态分布,记为 ? ~ N ( ? , ? ).

2 (2)期望 E ? =μ ,方差 D? ? ? .

(3)正态分布的性质 正态曲线具有下列性质: ①曲线在 x 轴上方,并且关于直线 x=μ 对称. ②曲线在 x=μ 时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低. ③曲线的对称轴位置由μ 确定; 曲线的形状由 ? 确定,? 越大, 曲线越 “矮胖” 反之越 ; “高 瘦”. 三 σ 原则即为 数值分布在(μ—σ,μ+σ)中的概率为 0.6526 数值分布在(μ—2σ,μ+2σ)中的概率为 0.9544 数值分布在(μ—3σ,μ+3σ)中的概率为 0.9974 (4)标准正态分布 当 ? =0, ? =1 时 ? 服从标准的正态分布,记作 ? ~ N (0,1) (5)两个重要的公式 ① ? (? x) ? 1 ? ? ( x) ,② P(a ? ? ? b) ? ? (b) ? ? (a) .
2 (6) N (? , ? ) 与 N (0,1) 二者联系.

2 若 ? ~ N ( ? , ? ) ,则

??

? ?? ~ N (0,1) ?

;
b??

2 ②若 ? ~ N ( ? , ? ) ,则

P ( a ? ? ? b) ? ? (

?

) ??(

a??

?

)

.

2.线性回归 简单的说,线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法. 变量和变量之间的关系大致可分为两种类型:确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确 定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量 统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式. 具体说来,对 n 个样本数据( x1 , y1 )( x2 , y2 ) , ,?, xn , yn ) ( ,其回归直线方程,或经验公式

b?

?x y ?x
i ?1 i ?1 n i 2 i

n

i

? n xy , a ? y ? b ? x,

? 为: y ? bx ? a .其中

? n( x ) 2

,其中 x, y 分别为| x i |、| y i |的平均数.

例 1.如果随机变量ξ ~N(μ ,σ 2) ,且 Eξ =3,Dξ =1,则 P(-1<ξ ≤1=等于( ) A.2Φ (1)-1 B.Φ (4)-Φ (2) C.Φ (2)-Φ (4) D.Φ (-4)-Φ (-2) 解答过程:对正态分布,μ =Eξ =3,σ 2=Dξ =1,故 P(-1<ξ ≤1)=Φ (1-3)-Φ (- 1-3)=Φ (-2)-Φ (-4)=Φ (4)-Φ (2). 答案:B 例 2. 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内, 调节器设定在 d ℃, 液体的温度ξ (单 位:℃)是一个随机变量,且ξ ~N(d,0.52). (1)若 d=90°,则ξ <89 的概率为 ; (2) 若要保持液体的温度至少为 80 ℃的概率不低于 0.99, d 至少是 则 ? (其中若η ~ N(0,1) ,则Φ (2)=P(η <2)=0.9772,Φ (-2.327)=P(η <-2.327)=0.01). 解答过程: (1)P(ξ <89)=F(89)=Φ(
89 ? 90 0.5 )=Φ(-2)=1-Φ(2)=1-0.9772=0.0228.

(2)由已知 d 满足 0.99≤P(ξ ≥80) , 即 1-P(ξ <80)≥1-0.01,∴P(ξ <80)≤0.01.
80 ? d ∴Φ ( 0.5 80 ? d ∴ 0.5

)≤0.01=Φ (-2.327).

≤-2.327.

∴d≤81.1635. 故 d 至少为 81.1635.
? ??

小结: (1)若ξ ~N(0,1) ,则η = ? ~N(0,1).(2)标准正态分布的密度函数 f(x) 是偶函数,x<0 时,f(x)为增函数,x>0 时,f(x)为减函数.

1、分类加法计数原理 发现新知:完成一件事情,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法, 在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法,?,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法. 那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn 种不同的方法.(也称加法原理) 分类加法计数原理特点: 分类加法计数原理针对的是 “分类” 问题, 完成一件事的办法要分为若干类, 各类的办法法相互独立, 各类办法中的各种方法也相对独立,用任何一类办法中 的任何一种方法都可以单独完成这件事. 分步乘法计数原理:完成一件事情,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同 的方法,做第 2 步有 m2 种不同的方法??做第 n 步有 mn 种不同的方法.那么完 成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn 种不同的方法.(也称乘法原理)

分步乘法计数原理的特点: 分步计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤 相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后, 才算完成这件事. 思考: 分类加法计数原理与分步乘法计数原理有什么异同点?要注意什么问题? 相同点:它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法; 不同点:分类加法计数原理分类完成一件事,任何一类办法中的任何一个方 法都能完成这件事;分步乘法计数原理分步完成一件事,这些方法需要分步,各 个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。 (1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是什么?不同点什么? 相同点:它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法; 不同点:分类加法计数原理分类完成一件事,任何一类办法中的任何一个方 法都能完成这件事;分步乘法计数原理分步完成一件事,这些方法需要分步,各 个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。 (2)分类加法原理、分布乘法原理的特点是什么? 加法原理:完成一件事情有 n 类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能 将这件事情从头至尾完成. 乘法原理:完成一件事情有 n 个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这 件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这 n 步后,才能完成这件事.


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