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浙江专版2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程课件


抓 基 础 · 自 主 学 习

第八章
第一节

平面解析几何

明 考 向 · 题 型 突 破

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

课 时 分 层 训 练

1.直线的倾斜角 (1)定义: 当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向 _________

平行或重合 时,规定它 之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴_____________
的倾斜角为 0.

[0,π) . (2)范围:直线 l 倾斜角的取值范围是_______
2.斜率公式
tan α (1)直线 l 的倾斜角为 α≠90° ,则斜率 k=_______.

y2-y1 x2-x1 (2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线 l 上,且 x1≠x2,则 l 的斜率 k=________.

3.直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 方程 适用范围 不含直线 x=x0 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x1(x1≠x2)和直线 y= y1(y1≠y2)

y-y0=k(x-x0) _________________
y=kx+b ____________

y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 ____________

x y 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 + = 1 a b ________ 2 一般式 ______________ _________ 平面内所有直线都适用 Ax+By+C=0 , A +B2≠0

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( ) ) )

(3)过定点 P0(x0,y0)的直线都可用方程 y-y0=k(x-x0)表示.(

(4)经过任意两个不同的点 P1(x1, y1 ) , P2(x2, y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2 -x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(
[ 答案]

)

(1)√ (2)× (3)× (4)√

2.(教材改编)若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,且线段 PQ 的 中点坐标为(1,-1),则直线 l 的斜率为( 1 A.3 3 C.-2 )

1 B.-3

2 D.3 x+7 y+1 B [设 P(x,1),Q(7,y),则 2 =1, 2 =-1,

∴x=-5,y=-3,即 P(-5,1),Q(7,-3), -3-1 1 故直线 l 的斜率 k= =-3.] 7+5

3.已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直,则 直线 l 的方程是( A.x+y-2=0 C.x+y-3=0 ) B.x-y+2=0 D.x-y+3=0

D [ 圆 x2+(y-3)2=4 的圆心为点(0,3),又因为直线 l 与直线 x+y+1=0 垂直,所以直线 l 的斜率 k=1.由点斜式得直线 l :y-3=x-0,化简得 x-y+3 =0.]

4. 直线 l: ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等, 则实数 a=________. 【导学号:51062257】 1 或-2 [令 x=0,则 l 在 y 轴上的截距为 2+a;令 y=0,得直线 l 在 x 轴
2 上的截距为 1+a. 2 依题意 2+a=1+a,解得 a=1 或 a=-2.]

5.(2017· 湖州模拟)过点 P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直 线 l 的方程为________.
3x-2y=0 或 x-y+1=0 3 [当直线过原点时,方程为 y=2x,即 3x-2y=0.

x y 当直线 l 不过原点时,设直线方程为a-a=1. 将 P(2,3)代入方程,得 a=-1, 所以直线 l 的方程为 x-y+1=0. 综上,所求直线 l 的方程为 3x-2y=0 或 x-y+1=0.]

直线的倾斜角和斜率
(1)直线 x-ycos θ+1=0(θ∈R)的倾斜角 α 的取值范围是 ________. (2)(2017· 舟山模拟)若直线 l 过点 P(-3,2),且与以 A(-2,-3), B(3,0)为端点的线段相交,则直线 l 的斜率的取值范围是________. ?π 3π? ? 1? π ? ? ? ? (1) 4, 4 (2) -5,-3 [(1)当 θ=kπ+2(k∈Z)时,cos θ=0,直线为 x+1 ? ? ? ? π =0,其倾斜角为2. π 当 θ≠kπ+2(k∈Z)时,直线 l 的斜率为

1 tan α=cos θ∈(-∞,-1]∪[1,+∞), 所以直线 l 综上,α
?π π? ?π 3π? 的倾斜角的取值范围是?4,2?∪?2, 4 ?. ? ? ? ?

-3-2 (2)因为 P(-3,2),A(-2,-3),B(3,0),则 kPA= =-5, -2-?-3? 0-2 1 kPB= =-3. 3-?-3? 如图所示,当直线 l 与线段 AB 相交时,直线 l
? 1? 的斜率的取值范围为?-5,-3?.] ? ?

?π 3π? 的取值范围是?4, 4 ?. ? ?

[ 规律方法]

1.(1)任一直线都有倾斜角,但斜率不一定都存在;直线倾斜角

的范围是[0,π),斜率的取值范围是 R. (2)正切函数在[0,π)上不单调,借助图象或单位圆数形结合,确定倾斜角 α 的取值范围. 2.第(2)问求解要注意两点: (1)斜率公式的正确计算; 1 (2)数形结合写出斜率的范围,切莫误认为 k≤-5 或 k≥-3.

[ 变式训练 1]

(1)直线 l 经过点 A(1,2), 在 x 轴上的截距的取值范围是(-3,3), ) 1 B.k>1 或 k<2 1 D.k>2或 k<-1

则其斜率 k 的取值范围是( 1 A.-1<k<5 1 C.k>5或 k<1

(2)直线 l 经过点 A(3,1),B(2,-m2)(m∈R)两点,则直线 l 的倾斜角 α 的取 值范围是________. 【导学号:51062258】

( 1) D

?π π? (2)?4,2? ? ?

[(1)设直线的斜率为 k,则直线方程为 y-2=k(x-1),直

2 线在 x 轴上的截距为 1-k . 2 1 令-3<1-k <3,解不等式得 k<-1 或 k>2. 1+m2 (2)直线 l 的斜率 k= =1+m2≥1,所以 k=tan α≥1. 3-2 又 y=tan α
? π? π π ? ? 在 0,2 上是增函数,因此4≤α<2.] ? ?

求直线的方程
1 (1)过点 A(1,3),斜率是直线 y=-4x 的斜率的3的直线 方程为________. (2)若 A(1,-2),B(5,6),直线 l 经过 AB 的中点 M 且在两坐标轴上的截距 相等,求直线 l 的方程. (1)4x+3y-13=0 [设所求直线的斜率为 k,依题意

1 4 k=-4×3=-3. 又直线经过点 A(1,3),因此所求直线方程为 4 y-3=-3(x-1),即 4x+3y-13=0.]

(2)法一:设直线 l 在 x 轴,y 轴上的截距均为 a. 由题意得 M(3,2).2 分 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2), 2 所以直线 l 的方程为 y=3x,即 2x-3y=0.6 分 x y 若 a≠0,设直线 l 的方程为a+a=1, 3 2 因为直线 l 过点 M(3,2),所以a+a=1,10 分 x y 所以 a=5,此时直线 l 的方程为5+5=1,即 x+y-5=0. 综上,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0.14 分

法二:易知 M(3,2),由题意知所求直线 l 的斜率 k 存在且 k≠0,则直线 l 的 方程为 y-2=k(x-3).2 分 2 令 y=0,得 x=3- k;令 x=0,得 y=2-3k.6 分 2 2 所以 3-k =2-3k,解得 k=-1 或 k=3.10 分 2 所以直线 l 的方程为 y-2=-(x-3)或 y-2=3(x-3), 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0.14 分

[ 规律方法]

1.截距可正、可负、可为 0,因此在解与截距有关的问题时,

一定要注意“截距为 0”的情况,以防漏解. 2.求直线方程的方法主要有两种:直接法与待定系数法.运用待定系数法 要先设出直线方程,再根据条件求出待定系数.利用此方法,注意各种形式的 适用条件,选择适当的直线方程的形式至关重要.

[ 变式训练 2]

求过点 A(-1, -3)且倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角的 2 倍

的直线方程. [ 解] 由已知设直线 y=3x 的倾斜角为 α,2 分
则所求直线的倾斜角为 2α.6 分 ∵tan α=3, 2tan α 3 ∴tan 2α= =-4.10 分 1-tan2α 又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=-4(x+1),即 3x+4y+15=0.14 分

直线方程的综合应用
已知直线 l 过点 M(1,1),且与 x 轴,y 轴的正半轴分别相交于 A,B 两点,O 为坐标原点.求: (1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线 l 的方程; (2)当|MA|2+|MB|2 取得最小值时,直线 l 的方程. [ 解] (1)设 A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).
1 1 x y 设直线 l 的方程为a+b=1,则a+b=1,
?1 1? b a 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)?a+b?=2+a+b≥2+2 ? ?

ba a· b=4,3 分

当且仅当 a=b=2 时取等号,此时直线 l 的方程为 x+y-2=0.5 分

(2)设直线 l 的斜率为 k,则 k<0,直线 l 的方程为 y-1=k(x-1), 则
? ? 1 A?1-k ,0?,B(0,1-k),8 ? ?
2 2



所 以 |MA| + |MB| 2 1 k· k2=4.11 分
2

? 1? 2 1 2 2 2 2 ? ? = 1-1+k + 1 + 1 + (1 - 1 + k) = 2 + k + k2 ≥2 + ? ?

1 当且仅当 k =k2,即 k=-1 时,上式等号成立.
2

所以当|MA|2+|MB|2 取得最小值时,直线 l 的方程为 x+y-2=0.14 分

[ 规律方法]

1.求解本题的关键是找出|OA|+|OB|与|MA|2+|MB|2 取得最小值

的求法,恰当设出方程的形式,利用均值不等式求解,但一定要注意等号成立 的条件. 2.利用直线方程解决问题,为简化运算可灵活选用直线方程的形式.一般 地,已知一点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式;已知截距选择 截距式.

[ 变式训练 3]

已知直线 l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当 0<a

<2 时,直线 l1,l2 与两坐标轴正半轴围成一个四边形,则当 a 为何值时,四边 形的面积最小? ? ?ax-2y=2a-4, [ 解] 由? 得 x=y=2,2 分 2 2 ? ?2x+a y=2a +4,

∴直线 l1 与 l2 交于点 A(2,2)(如图). 易知|OB|=a2+2,|OC|=2-a,6 分
? 1?2 1 1 2 2 则 S 四边形 OBAC=S△AOB+S△AOC=2×2(a +2)+2×2(2-a)=a -a+4=?a-2? ? ?

15 + 4 ,a∈(0,2),12 分 1 ∴当 a=2时,四边形 OBAC 的面积最小.14 分

[ 思想与方法] 1.求直线方程的两种常见方法: (1)直接法:根据已知条件选择恰当的直线 方程形式,直接求出直线方程. (2)待定系数法:先根据已知条件设出直线 方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方 程(组),求出待定系数,从而求出直线方程. 2. 5 种形式的直线方程都有不同的适用条 件,当条件不具备时,要注意分类讨论思想的 应用.

[ 易错与防范] 1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否 存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直 线都存在斜率. 2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角 的范围;二是要考虑正切函数的单调性. 3.应用截距式方程时要注意讨论直线是否 过原点,截距是否为 0. 4. 由一般式 Ax+By+C=0 确定斜率 k 时, 易忽视判定 B 是否为 0.当 B=0 时,k 不存在; A 当 B≠0 时,k=-B.


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