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18-1.7定积分的简单应用(1)


1.7.1 定积分简单应用(1) 一、 【教学目标】
重点: 应用定积分解决平面曲边图形的面积,使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值. 难点:求解不规则的平面图形的面积时,在不同的积分区间选择恰当的函数边界,表示曲边图形的面积. 知识点:应用定积分解决曲边图形的面积. 能力点:通过本节课的探究,学生能够应用定积分解决不规则的平面图形的面积,初步利用定积分解决实 际问

题的基本思想和方法. 教育点:在解决问题的过程中初步感受定积分在解决数学问题与实际问题中的作用,体会导数与定积分之 间的内在联系. 自主探究点:探究过程中通过数形结合的思想,加深对知识的理解,体会到数学研究的基本思路和方法. 考试点:应用定积分解决曲边图形的面积. 易错易混点:根据曲边图形的构造,在定积分区间选择正确的被积函数. 拓展点:如何恰当选择积分变量和确定被积函数.

二、 【引入新课】
前面我们学习了定积分的概念、几何意义和微积分基本定理,那么大家一起回顾一下: 问题 1、求曲边梯形的思想方法及步骤是什么? 思想方法:以直代曲,无限逼近. 步骤:分割,近似代替,求和,取极限.

S ? lim ? f ??i ?
n ?? i ?1

n

b?a . n

问题 2、定积分的几何意义是什么? 如果在区间 ? a, b? 上函数 f ( x ) 连续且恒有 f ( x ) ? 0 ,那么定积分 y
y ? f ( x)

?

b

a

f ( x) d x 表示由直线 x ? a, x ? b, y ? 0 和曲线 y ? f ( x) 所围成的曲
b

边图形的面积. 即: S ?

?

a

f ( x)d x .

o

a

b

x

问题 3、微积分基本定理是什么? 如果 f ( x ) 是区间 ? a, b? 上的连续函数,并且 F ?( x) ? f ( x) ,那么

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) |b a ? F (b) ? F (a) .

思考: 用定积分可以表示曲边梯形的面积, 而微积分基本定理为定积分的计算提供了一种有效快捷的方法, 二者强强联合,可以解决平面几何中曲边图形的面积问题.那么在用定积分求曲边图形的面积时,我们将碰 到什么问题呢?具体应该怎样解决?下面这节课,我们就来探究用定积分来解决平面几何中曲边图形的面 积的计算问题. 【设计意图】开篇点题让学生明确本节课的教学内容,同时学生带着老师的问题去学习目标性更强,回顾 前面所学知识,做到温故而知新,进而加深理解.

三、 【探究新知】
探究一:不必分割的图形面积求解:

教师引导师生依据图像分析: 问题 1:已知函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b? 上的图象如图所示,试用定积分表示下面各平面图形的面积值:

y

y

y ? f ( x)

a
O

b

x

O

a
:

b

x

y ? f ( x)

S ? ? f ( x) d x
a

b

S?

?

b

a

f ( x) d x ? ? ? f ( x) d x
a

b

问题 2:已知函数 y ? f ( x) , y ? g ( x) 在区间 ? a, b? 上的图象如图所示,试用定积分表示下面各平面图形 的面积值:

y

y
y ? f ( x)
y ? f ( x)

y ? g ( x)
O a
b

o
x

a
y ? g ( x)

b

x

S ? ? f ( x) d x ? ? g ( x) d x
a a

b

b

S ? ? f ( x) d x ?
a b a

b

?

b

a b

g ( x) d x

??

b

a

? f ( x) ? g ( x) ? d x

? ? f ( x) d x ? ? g ( x) d x
a

??
问题 3:用定积分表示曲边梯形的面积时,如何确定被积函数? 确定积分区间后,被积函数为曲边梯形的上边界函数减去下边界函数.

b

a

? f ( x) ? g ( x) ? d x

例 1.计算由两条抛物线 y ? x 和 y ? x 所围成的图形的面积.
2 2

教师引导学生分析解题思路及实施步骤过程:

思考 1:曲线 y 2 ? x 与 y ? x2 所围成的图形是什么? 图象效果如右图所示; 思考 2:怎样用定积分求其面积?被积函数分别是什么?积分区 间是什么? 被积函数的构造是上边界函数减去下边界函数,积分区间由公共 交点位置确定. 阴影区域其上边界为 y 2 ? x ;下边界为 y ? x2 ; 初次解决这类问题中,我们一般选择 x 为积分变量,这时在区间

y ? x2

y

?1,1?
O

y2 ? x

x

?0,1? 我们对函数 y 2 ? x 的应用是将其看成 y ?
思考 3:解题过程怎样表述? 教师板书例题的求解过程: 解:由 ?

x,

? ?y ? x ? ?y ? x
2

? x ? 0及x ? 1 ,得两曲线的交点为 (0, 0)、 (1,1) ,
1

? 2 3 x3 ? 1 所以面积 S ? ? ( x ? x )dx ? ? x 2 ? ? ? . 0 3 ?0 3 ?3
1 2

思考总结:在平面直角坐标系中求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤: 1.根据函数画出图象; 2.确定图象范围,通过解方程组求出交点的坐标,定出积分上下限; 3.确定被积函数,特别要注意分清被积函数的图象上下边界位置; 4.写出平面图形面积的定积分表达式; 5.运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积. 变式练习 1:计算由曲线 y ? x2 ? 2x ? 3 和直线 y ? x ? 3 所围成的图形的面积. 解:图象效果如右图所示:

y

y ? x?3

? y ? x2 ? 2 x ? 3 由? ,解得x ? 0或x ? 3, y ? x ? 3 ?
因此所求图形的面积为

y ? x2 ? 2 x ? 3

S?? ? x ? 3 ? ( x 2 ? 2 x ? 3) ? ?d x 0 ? ? ? ? ? x 2 ? 3x ? d x
3 0

3

O

x

3 ? 9 ? 1 ? ? ? x3 ? x 2 ? ? 2 ?0 2 ? 3
探究二:需分割的图形面积求解: 问题:已知函数 y ? f ( x) , y ? g ( x) 在区间 ? a, b? 上的图 象如图所示,试用定积分表示阴影图形的面积: 教师引导学生共同分析:

3

S ? S1 ? S2 ? ? ? g ( x) ? f ( x)? d x ? ?
c a

b

c

? f ( x) ? g ( x) ? d x .

思考总结:在需分割的图形面积求解问题中,首先要对图形 进行合适的分割, 并在分割后的各部分图形中选择正确的积

分区间和被积函数. 例 2.计算由直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 思考 1:直线 y ? x ? 4 与曲线 y ?

2 x 以及 x 轴所围图形的面积 S .

2 x 及 x 轴所围成的图形是什么?

学生自主画出图形效果. 思考 2:所围成的图形有什么特点?怎样求出它的面积? 所围成的图形无法一次性用定积分表达出来,需要分割图形后,在不同的区间上再选择合适的定积分进行 表示. 思考 3:你有几种分割方案?又怎样各自进行表示? 教师将学生分组共同分析不同的分割方案,并找同学分析自己的分割方案及定积分表示. 选择以下的一种方法进行板书即可. 解法一:作出直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 阴影部分的面积. 解方程组 ? 坐标为 (8, 4) . 直线 y ? x ? 4 与 x 轴的交点为 (4, 0) . 因此,所求图形的面积为 S ? S1 ? S2 ?

2 x 的草图,所求面积为图中

? ? y ? 2x , 得直线 y ? x ? 4 与曲线 y ? 2 x 的交点的 ? ?y ? x ? 4

?

4

0

2 xdx ? [?

8

4

2 xdx ? ? ( x ? 4)dx]
4

8

?

2 2 3 2 2 3 1 40 4 . x 2 |0 ? x 2 |8 ( x ? 4)2 |8 4 ? 4? 3 3 2 3
4 2

y

y ? x?4

解法二: 交点求解过程同上;

1 S ? S1 ? S2 ? ? 2 xdx ? ? 4 ? 4 0 2 3 2 2 28 64 40 ? x ?8 ? ?8 ? 0 3 3 3
8

y ? 2x
S1

S2
8

O

2

4

x

解法三:交点求解过程同上;
8 1 S ? S1 ? S 2 ? ? ? 2 x ? ? x ? 4?? ? d x ? 2 ?4?4 0 ?

y
4 2

y ? x?4

?2 2 3 ? 1 2 2 ?? x ? x ? 4 x ? ? 3 ? ?8 2 ? ?0 40 ? 3

8

y ? 2x

O

S1 S2

4

8

x

解法四: (转换积分变量,此种方法教师根据学生情况酌情讲解)
4

S ? ? [( y ? 4) ?
0

1 2 y ]dy 2
4

y
4 2

x ? y?4
1 y 2

1 ? ?1 ? ? y 2 ? 4 y ? y3 ? 6 ?0 ?2 40 ? 3

x2 ?

O

2

4

8

x

【设计意图】通过对于例 2 的求解,强调和规范好用定积分 解决曲边梯形面积的步骤方法,同时,在此类需分割求解面积的类型上,提供不同的方法,发散学生思维, 不拘一格.对于解法四,建议教师根据学生的学习情况,酌情讲解即可. 变式练习 2:计算由曲线 y 2 ? 2 x 和直线 y ? x ? 4 所围成的图形的面积. 思考 1:曲线 y 2 ? 2 x 和直线 y ? x ? 4 所围成的图形是什么? 学生自主画出图形效果. 思考 2:所围成的图形与例 2 有什么不同?怎样求出它的面积? 所围成的图形比例 2 多出一块,并且无法一次性用定积分表达出来,需要分割图形后,在不同的区间上再 选择合适的定积分进行表示. 思考 3:你有几种分割方案?又怎样各自进行表示? 教师将学生分组共同分析不同的分割方案,并找同学分析自己的分割方案及定积分表示. 教师可以根据分割方案的不同让学生用实物投影仪展示其求解过程,并分析和检查学生的解题步骤及格 式.
2 解法一:曲线 y ? 2 x 和直线 y ? x ? 4 图象效果如右图所示

? y2 ? 2x , 解得 x ? 2或x ? 8. 联立 ? ?y ? x ? 4
即交点为 (2, ?2), ? 4,8? .

y2 ? 2x

S1 的求解可直接利用例 2 的结论.
S ? S1 ? S2 ? S3 ? S1 ? ? ? 2 x d x ? ? ? x ? 4 ? d x
0 2 2

S1

y ? x?4

?

?

4

S2

S3

? S1 ? ?

2

0

2x d x ? ? ? 4 ? x ? d x
2 2 4

4

40 2 2 3 1 ? ? ? ? x 2 ? ? 4x ? x2 ? 3 3 2 ?2 ? 0 ? 18

解法二:交点求解过程同上;

y2 ? 2x
S ? S1 ? S2 ? ? 2 2 xdx ? ? ( 2 x ? x ? 4)dx
0 2 2 8

4 2 2 2 1 ? x | ?( x ? x 2 ? 4 x) |8 2 3 3 2 ? 18

3 2 2 0

3 2

y ? x?4

S1

S2

解法三: (转换积分变量法)

1 2 ? ?x ? y 联立 ? 2 , 解得 y ? ?2或y ? 4. ? ?x ? y ? 4

x?

1 2 y 2

1 ? ? S ? ? ? y ? 4 ? y2 ? d y ?2 2 ? ?
4

x ? y?4

1 ? ?1 ? ? y 2 ? 4 y ? y3 ? 6 ? ?2 ?2 ? 18

4

【设计意图】根据山东省高考数学大纲的要求,高中阶段只需要掌握简单的函数的定积分计算及几何意义 的应用即可,对于被积分变量为 y 的情况,我们建议教师根据学生的实际情况酌情讲解,在一些问题尤其 是需分割计算面积的问题中,改变定积分的变量为 y 确实能够简化计算.

四、 【理解新知】
1、定积分的几何意义: 定积分

?

b

a

f ( x) d x 表示 在区间[a, b]上的曲线y ? f ( x)与直线x ? a 、x ? b以及x 轴所围成的图形的面

积的代数和,即

?

b

a

f ( x)dx ? S x

上方

-S x

下方 ,因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义

结合微积分基本定理简化运算. 2、在平面直角坐标系中求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤: 1.根据函数画出图象; 2.确定图象范围,通过解方程组求出交点的坐标,定出积分上下限; 3.确定被积函数,特别要注意分清被积函数的图象上下边界位置; 4.写出平面图形面积的定积分表达式; 5.运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.

3、常见的曲边梯形面积的计算方法: 类型一:不必分割的图形面积求解:在公共的区间上,用曲边梯形的上边界函数减去下边界函数构造被积 函数,求其定积分即可. 类型二:需分割的图形面积求解:当曲边梯形无法一次性用定积分表达出来,需要分割图形后,在不同的 区间上选择合适上下边界确定被积函数,进而计算其定积分即可. 【设计意图】通过归纳总结,进一步加深学生对曲边梯形面积求解步骤的理解,及不同类型的曲边梯形面 积的求解方法选择,以便能够正确、灵活的运用.

五、 【运用新知】
题型一:运用定积分的几何意义求函数的定积分. 例 3.由定积分的性质及几何意义,说明下列各式的值: 、 (1)

?

a

-a

1 2 (2) ? ? 1 ? ? x ? 1? ? x ? d x a2 ? x2 d x ; 0? ? ? ?

分析:根据题目要求,给学生强调从定积分的几何意义出发,通过平面图形的面积同定积分的联系求 解定积分的值.教师注意引导学生分析被积函数的格式特点,并通过计算,透过函数的格式看透本质. 解: (1)被积函数为 y ? a 2 ? x 2 ,即 x ? y ? a ( y ? 0)
2 2 2

y

根据定积分的几何意义,

?

a

-a

a ?x dx 表示由直线
2 2

, x 轴及半圆 x2 ? y 2 ? a2 ( y ? 0) 所围成的图形面 x? a , x? ? a 积,即 x2 ? y 2 ? a2 ( y ? 0) 这个半圆的面积. 故

?a
a2 ? x2 d x =
1

O

a

x

?

a

-a

? 2 a . 2

(2)

? 1 ? ? x ? 1?2 ? x ? d x ? 1 1 ? ? x ? 1?2 d x ? 1 x d x ?0 ? ?0 ?0 ? ? ?
1 0

其中

?

1 ? ? x ? 1? d x 中的被积函数 y ? 1 ? ? x ? 1? ,
2
2
2

y

2 即 ? x ? 1? ? y ? 1? y ? 0 ?

是一个以(1,0)为圆心以 1 为半径的半圆,故

?

1

0
2

1 ? ? x ? 1? d x
2
2







x?0

? ,x

1 轴x , 及
O
1

? x ? 1?

?y

?

1 ? ? 所围成的图形面积,是个 y 0?

1 圆. 4

x

所以

? 1 ? ? x ? 1?2 ? x ? d x ? 1 1 ? ? x ? 1?2 d x ? 1 x d x ?0 ?0 0? ? ? ? ?2 1 ?2 ?2 ? ? ? 4 2 4

?

1

y B A

?2

?1

O

1

2

x

变式练习 3:用定积分的几何意义求 解:被积函数 y ?

?

1

?1

4 ? x2 d x .

4 ? x 2 ,即 x2 ? y2 ? 4 ? y ? 0?

是一个以(0,0)为圆心以 2 为半径的半圆,故

?

1

?1

4 ? x 2 d x 表示由 x ? 1, x ? ?1, x 轴及 x2 ? y2 ? 4 ? y ? 0? 所围成的图形面积.

根据几何相关知识可知,该图形是由圆心角为 故

?

1

?1

? 的扇形 AOB 及两个全等的直角三角形组成, 3 1 1 2? 4 ? x 2 d x ? ? ? ? 4 ? 2 ? ? 1? 3 ? ? 3 6 2 3

【设计意图】通过这几个题目让学生更好的理解利用定积分的几何意义求解的重要性,此类被积函数 的格式特点往往比较复杂,无法用常规的定积分公式求解,但是仔细研究被积函数可发现其对应的函数往 往为有特殊性质的几何曲线,利用几何意义求解为定积分的运算打开了一个便捷的通道. 题型二:含有参数的定积分的计算: 例 4.如图,直线 y ? kx 将抛物线 y ? x ? x2 与 x 轴所围成的平面图形 分成面积相等的两部分,求实数 k 的值. 分析:本题的已知条件明确,应用简单,唯一的参数 k 有求解的对应条 件,但选择对象的不同决定了其计算量的不同 解:联立 ?

y

? y ? x ? x2 ? y ? kx
1

, 解得 x ? 0或x ? 1 ? k
1

y ? x ? x2 S1
O
1? k

y ? kx

1 ?1 2 1 3? 2 如图所示, S ? ? ? x ? x ? d x ? ? x ? x ? ? 0 3 ?0 6 ?2


S

1? k

x
1

S1 ? ?

1? k

0

1 2 1 3 1 ? 1 3 2 ? x ? x ? kx ? d x ? ? ? x ? x ? kx ? ? ?1 ? k ? 3 2 6 ?2 ?0
2

由题意可知 S1 ?

1 1 1 3 S 即 ?1 ? k ? ? 2 6 12

3 1 4 故 k ? 1? . ? 1? 2 2 3

【设计意图】本题要求学生灵活的应用“分成面积相等的两部分” ,同时,要正确对待若积分问题中含有 参数的处理方法,可带参数参与计算. 变式练习 4. 在曲线 y ? x ( x ? 0) 上的某点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积为
2

1 .试求: 12

切点 A 的坐标以及切线方程. 解:如图由题可设切点坐标为 (a, a 2 ) ,则对应的切线斜率 k ? 2a 于是切线方程为 y ? a ? 2a ? x ? a ? ,即 y ? 2ax ? a ,
2
2

令 y ? 0 得切线与 x 轴的交点坐标为 ( , 0) , 根据图形及题意可知

a 2

S ? ? 2 x 2 dx ? ?a ( x 2 ? 2ax ? a 2 )dx ?
0 2

a

a

a3 1 ? . 12 12

? a ? 1,
所以切点坐标与切线方程分别为 A(1,1), y ? 2 x ? 1 . 【设计意图】通过具体的例子,让学生体会定积分的几何意义同导数的几何意义结合考查,然学生注意此 部分知识之间的联系与区别,同时区分应用,加强课堂效果.

六、 【课堂小结】
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法?学生作答教师适时补充: 1、在平面直角坐标系中求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤: 1.根据函数画出图象; 2.确定图象范围,通过解方程组求出交点的坐标,定出积分上下限; 3.确定被积函数,特别要注意分清被积函数的图象上下边界位置; 4.写出平面图形面积的定积分表达式; 5.运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积. 2、常见的曲边梯形面积的计算方法: 类型一:不必分割的图形面积求解; 类型二:需分割的图形面积求解.

七、 【布置作业】
一、必做题: P 60 习题 二、选做题: 1、计算由曲线 y ? x3 ? 6x 和 y ? x2 所围成的图形的面积.

2、如图, 一桥拱的形状为抛物线, 已知该抛物线拱的高为 常数 h , 宽为常数 b .求抛物线拱的面积.

h
3、求由抛物线 y ? ? x 2 ? 4 x ? 3 及其在点 M (0, ?3) 和 N (3, 0) 处的两条切线所 围成的图形的面积. 解:

b

y? ? ?2 x ? 4 ,切线方程分别为 y ? 4 x ? 3 、 y ? ?2 x ? 6 ,

则所求图形的面积为

S= 2 [(4 x ? 3) ? (? x 2 ? 4 x ? 3)]dx ?
0

?

3

? [(?2 x ? 6) ? ( ? x
3 2

3

2

9 ? 4 x ? 3)]dx= . 4

八、 【教后反思】
1.本节课的亮点以学生为主,从学生思考问题角度的设置情境,且具有层次感和梯度性,细节化学生 思维的过程,展示方法和步骤形成的过程,在教学的过程中加强了对学生观察能力,独立思考能力,理解 归纳能力的训练,在整节课的教学过程中,方法的产生水到渠成,没有一点强加附带的感觉,学生接受效 果好.并且注重师生,生生之间的合作交流,及时对学生所取得的成绩进行肯定,从而使学生获得成就感. 增强其自信心,激发学生对数学的求知欲望. 2.本节课的不足之处是想让学生了解的内容过多,有关定积分的计算量也较大,而对学生的估计不足, 希望教师选择合适的内容酌情讲解.

九、【板书设计】
1.7.1 定积分在几何中的应用 一.新课讲授 问题 例1 、 变式练习: 变式练习 三、课堂小结 二、例题讲解 例2 例3


新人教A版选修2-2《1.7 定积分的简单应用》知能检测及答案

新人教A版选修2-2《1.7 定积分的简单应用》知能...?-1 1 1 1 4 =(1-3)-(-1+3)=3. 【...3 ?0 ? 0 3 =18. 50 = . 3 2 3 ? 2 ...

选修2-2第一章《定积分的简单应用》

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