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2.1.3 参数方程和普通方程的互化 课件 (人教版选修4-4)


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自学导引
1.参数方程转化为普通方程 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般 消去参数 而从参数方程得到普通方程. 地,可以通过_________ 2.普通方程转化为参数方程 x=f(t) , 如果知道变数 x,y 中的一个与参数 t 的关系,例如_______ y= f ( t ) , 把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系_______
? ?x= f( t) 那么? 就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方 ? ?y= g( t)

取值范围 保持一致. 程的互化中,必须使 x,y 的_________ 返回

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[例 1] 方程.

根据所给条件,把曲线的普通方程化为参数

?x-1?2 ?y-2?2 (1) + =1,x= 3cos θ+1.(θ 为参数) 3 5 (2)x2-y+x-1=0,x=t+1.(t 为参数)

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[解]

?x-1?2 ?y-2?2 (1)将 x= 3cos θ+1 代入 + =1 得:y 3 5 3cos θ+1, 5sin θ+2.

=2+ 5sin θ.
? ?x= ∴? ? ?y=

(θ 为参数)

这就是所求的参数方程. (2)将 x=t+1 代入 x2-y+x-1=0 得: y=x2+x-1=(t+1)2+t+1-1 =t2+3t+1
? ?x=t+1, ∴? 2 ? ?y=t +3t+1.

(t 为参数)

这就是所求的参数方程.

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普通方程化为参数方程时,①选取参数后,要特 别注意参数的取值范围,它将决定参数方程是否与普 通方程等价.②参数的选取不同,得到的参数方程是 不同的.如本例(2),若令 x=tan θ(θ 为参数),则参数
? ?x=tan θ, 方程为? 2 ? y = tan θ+tan ?

θ-1

(θ 为参数).

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1.求 xy=1 满足下列条件的参数方程: kπ (1)x=t(t≠0);(2)x=tan θ(θ≠ ,k∈Z). 2 解:(1)将 x=t 代入 xy=1 得:t· y=1, 1 ∵t≠0,∴y= t , ? ?x=t, ∴? 1 (t 为参数,t≠0). y= t ? ? 1 (2)将 x=tan θ 代入 xy=1 得:y= . tan θ

x=tan θ, ? ? kπ ∴? (θ 为参数,θ≠ ,k∈Z). 1 2 y= ? ? tan θ

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[例 2]

将下列参数方程化为普通方程:
? ?x=5cos θ ;(2)? ? ?y=4sin θ-1

? ?x=t+1 t- 1 ? (1)? 2t ? y= 3 ? ? t -1 [思路点拨] y 表达式.

(θ 为参数).

t+ 1 (1)可采用代入法,由 x= 解出 t 代入 t- 1

(2)采用三角恒等变换求解.

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[解]

t+ 1 x+1 (1)由 x= ,得 t= . t- 1 x-1
2

?x+1??x-1? 2t 代入 y= 3 化简得 y= (x≠1). t -1 3x2+1 x ? ? ?cos θ=5 ?x=5cos θ (2)由? 得? ? ?y=4sin θ-1 ?sin θ=y+1 4 ?
2 ? y + 1 ? x 2 2 ① +② 得 + =1. 25 16 2

① , ②

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消去参数的方法一般有三种: (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式,然后代入

消去参数;
(2)利用三角恒等式消去参数; (3)根据参数方程本身的结构特征,选用一些灵活的 方法从整体上消去参数. 将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取

值范围的扩大或缩小,必须根据参数的取值范围,确定函
数f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范围.

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1 ? ?x=t+ , t 2.方程? 表示的曲线是( ? ?y=2 A.一条直线 C.一条线段 B.两条射线

)

解析:t>0 时

D.抛物线的一部分 1 x=t+ t ≥2

1 1 当 t<0,x=t+ t =-(-t+ )≤-2. -t 即曲线方程为 y=2(|x|≥2),表示两条射线.

答案:B

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? ?x=sin θ-cos 3. 把参数方程? ? ?y=sin 2θ

θ,

(θ 为参数)化成普通方程

是________.
解析:将 x=sin θ-cos θ 两边平方得 x2=1-sin 2θ, 即 sin 2θ=1-x2,代入 y=sin 2θ,得 y=-x2+1. π 又 x=sin θ-cos θ= 2sin(θ- ),∴- 2≤x≤ 2, 4 故普通方程为 y=-x2+1(- 2≤x≤ 2).

答案:y=-x2+1(- 2≤x≤ 2)

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