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【创新设计】2015高考数学(理)(江西)二轮复习专题训练:1-3-1数列的通项与求和问题


专题三 第1讲
一、选择题

数列

数列的通项与求和问题

1.在等差数列{an}中,若 a2+a3=4,a4+a5=6,则 a9+a10 等于 A.9 C.11 解析 B.10 D.12

(

).

1 设等差数列{an}的公差为 d,则有(a4+a5)-(a2+a3)=4d=2,所以 d=2.

又(a9+a10)-(a4+a5)=10d=5,所以 a9+a10=(a4+a5)+5=11. 答案 C

2.(2014· 嘉兴教学测试)在各项均为正数的等比数列{an}中,a3= 2-1,a5= 2+ 1,则 a2 3+2a2a6+a3a7= A.4 C.8 解析 B.6 D.8-4 2
2 在等比数列{an}中, a3a7=a2 a2a6=a3a5, 所以 a3 +2a2a6+a3a7=a2 5, 3+2a3a5

(

).

2 2 2 +a2 5=(a3+a5) =( 2-1+ 2+1) =(2 2) =8.

答案

C ( ).

1 1 1 1 3.已知数列 12,34,58,716,…,则其前 n 项和 Sn 为 1 A.n2+1-2n 1 C.n2+1- n-1 2 解析 1 因为 an=2n-1+2n, 1 B.n2+2-2n D.n2+2- 1 2n-1

1? 1 ? ?1-2n?· n?1+2n-1? ? ?2 1 2 则 Sn= + = n + 1 - 2 1 2n. 1-2 答案 A
-1-

S2 012 4.(2014· 烟台一模)在等差数列{an}中,a1=-2 012,其前 n 项和为 Sn,若2 012- S10 10 =2 002,则 S2 014 的值等于 A.2 011 C.2 014 解析 B.-2 012 D.-2 013
? ?

(

).

?Sn? n?n-1? Sn d 等差数列中,Sn=na1+ 2 d, n =a1+(n-1)2,即数列? n ?是首项为

d S2 012 S10 d a1=-2 012,公差为2的等差数列;因为2 012- 10 =2 002,所以,(2 012-10)2 d =2 002,2=1,所以,S2 014=2 014[(-2 012)+(2 014-1)×1]=2 014,选 C. 答案 C

an+1-1 5.(2014· 合肥质量检测)数列{an}满足 a1=2,an= ,其前 n 项积为 Tn,则 an+1+1 T2 014= 1 A.6 C.6 解析 1 B.-6 D.-6 an+1-1 1+an 由 an= ,得 an+1= . an+1+1 1-an ( ).

1 1 ∵a1=2,∴a2=-3,a3=-2,a4=3,a5=2,a6=-3. 故数列{an}具有周期性,周期为 4,∵a1a2a3a4=1, ∴T2 014=T2=a1a2=2×(-3)=-6. 答案 D

二、填空题 an-1an 1 6.(2014· 衡水中学调研)已知数列{an}满足 a1=2,an-1-an= (n≥2),则该 n?n-1? 数列的通项公式 an=________. 解析 ∴ an-1an ∵an-1-an= (n≥2), n?n-1?

an-1-an 1 1 1 1 1 = ,∴a - = -n, an-1an n?n-1? n an-1 n-1

-2-

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴a -a =1-2,a -a =2-3,…,a - = -n, 2 1 3 2 n an-1 n-1 1 1 1 1 1 1 ∴a -a =1-n,又∵a1=2,∴a =3-n,
n 1 n

n ∴an= . 3n-1 答案 n 3n-1

7. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, Sm-1=-2, Sm=0, Sm+1=3, 则 m 等于________. 解析 由 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得 am=2,am+1=3,所以 d=1, m?m-1? m-1 d = 0 ,故 a 1=- 2 2 ,

因为 Sm=0,故 ma1+ 因为 am+am+1=5,

故 am+am+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5,即 m=5. 答案 5

8.(2014· 广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5,则 ln a1 +ln a2+…+ln a20=________. 解析 ∵a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10· a11=e5,

ln a1+ln a2+…+ln a20=10ln(a10· a11)=10· ln e5=50. 答案 50

三、解答题 9.(2014· 北京卷)已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4, b4=20,且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和. 解 d= (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 a4-a1 12-3 3 = 3 =3.

所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…). 设等比数列{bn-an}的公比为 q,由题意得 b4-a4 20-12 q3= = =8,解得 q=2. b1-a1 4-3

-3-

所以 bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1. 从而 bn=3n+2n-1(n=1,2,…). (2)由(1)知 bn=3n+2n-1(n=1,2,…). 1-2 3 数列{3n}的前 n 项和为2n(n+1),数列{2n-1}的前 n 项和为 =2n-1. 1-2 3 所以,数列{bn}的前 n 项和为2n(n+1)+2n-1. 10.(2014· 江西卷)已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足 anbn+
1-an+1bn+2bn+1bn=0. n

an (1)令 cn=b ,求数列{cn}的通项公式;
n

(2)若 bn=3n-1,求数列{an}的前 n 项和 Sn. 解 所以 (1)因为 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*), an+1 an - =2,即 cn+1-cn=2. bn+1 bn

所以数列{cn}是以首项 c1=1,公差 d=2 的等差数列,故 cn=2n-1. (2)由 bn=3n-1 知 an=cnbn=(2n-1)3n-1, 于是数列{an}前 n 项和 Sn=1· 30+3· 31+5· 32+…+(2n-1)· 3n 1 ,


3Sn=1· 31+3· 32+…+(2n-3)· 3n-1+(2n-1)· 3n, 相减得-2Sn=1+2· (31+32+…+3n-1)-(2n-1)· 3n=-2-(2n-2)3n, 所以 Sn=(n-1)3n+1. 1 11.(2014· 烟台一模)已知数列{an}前 n 项和为 Sn,首项为 a1,且2,an,Sn 成等差 数列. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)数列{bn}满足 bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3),求数列?b ?的前 n 项和. ? n?



1 1 (1)∵2,an,Sn 成等差数列,∴2an=Sn+2,

1 1 当 n=1 时,2a1=S1+2,∴a1=2, 1 1 当 n≥2 时,Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,

-4-

an 两式相减得:an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,∴ =2, an-1 1 所以数列{an}是首项为2,公比为 2 的等比数列, 1 即 an=2×2n-1=2n-2. (2)∵bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3)=(log222n+1-2)×(log222n+3-2)=(2n-1)(2n+1), 1 ∴b =
n

1 ? 1 1 1? 1 × =2?2n-1-2n+1?, 2n-1 2n+1 ? ?

?1? 1 1 1 1 ∴数列?b ?的前 n 项和 Tn= + + +…+ = b b b b ? n? 1 2 3 n

1 ?? 1? ?1 1? 1?? ? 1 ??1-3?+?3-5?+…+?2n-1-2n+1?? 2?? ? ? ? ? ?? 1 ? 1? n =2?1-2n+1?= . ? ? 2n+1

-5-


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