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椭圆 双曲线抛物线必背的经典结论


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学员编号(卡号) : 学员姓名: 课 题 月 日 备课时间: 月 日 年 级: 辅导科目: 第 课时 教师:

授课时间: 教学目标

重点、难点

考点及

考试要求

教学内容
椭圆 双曲线抛物线必背的经典结论 椭 1. 2. 3. 4. 5. 圆 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

6.

7.

8.

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. 若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,则过 P 0 的椭圆的切线方程是 a2 b a b 2 2 x0 x y0 y x y 若P 则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P 、 P, 则切点弦 P P 的直线方程是 2 ? 2 ? 1 . 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 , a b a b 2 2 x y 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F ,F ,点 P 为椭圆上任意一点 ?F 1PF2 ? ? ,则椭圆的焦点角形的面积为 a b ? S?F1PF2 ? b 2 tan . 2 2 2 x y 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦半径公式: a b | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).
1 2 1 2 1 2

9.

设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、 N 两点,则 MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥ 新梦想教育 用心开始 新梦想教育教导处

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新梦想教育------专业中小学辅导机构 NF. 11. AB 是椭圆 即 K AB

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x2 y 2 b2 ? ? 1 k ? k ? ? 的不平行于对称轴的弦, M 为 AB 的中点,则 ( x , y ) OM AB 0 0 a 2 b2 a2 b2 x ?? 2 0 。 a y0



12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a 2 b2 a2 b a b x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 1 ? ? 2 ? 2 . 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b2 a 2 b2 a b

.

13. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 双曲线 1. 2. 3. 4. 5.

点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)

6.

7.

8.

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上,则过 P 0 的双曲线的切线方程是 2 a2 b a b 2 2 x y 若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P 、P ,则切点弦 P P 的直 a b x0 x y0 y 线方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F ,F ,点 P 为双曲线上任意一点 ?F 1PF2 ? ? ,则双曲线的焦点 a b ? 2 角形的面积为 S ?F PF ? b co t . 1 2 2 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F 1 (?c,0) , F 2 (c,0) a b 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF 1 |? ex0 ? a , | MF 2 |? ex0 ? a .
若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线
1 2 1 2 1 2

当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF 1 |? ?ex0 9.

? a , | MF2 |? ?ex0 ? a

设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双 曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是双曲线

b 2 x0 x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 )的不平行于对称轴的弦, M 为 AB 的中点,则 ( x , y ) K ? K ? 0 0 OM AB a 2 b2 a 2 y0




即 K AB

?

b 2 x0 a 2 y0

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新梦想教育------专业中小学辅导机构 12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 13.

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.

x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ( a > 0,b > 0 )内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a 2 b2 a2 b a b 2 2 2 2 x0 x y0 y x y x y ? 2 . 若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 ? 2 ? a b a b a2 b

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 椭 圆 1.

2.

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P P 时 A P 与 A P 交点 a 2 b2 x2 y 2 的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 x y2 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定 a b b2 x 向且 kBC ? 2 0 (常数). a y0
椭圆
1、 2 1 1 2 2

3.

若 P

x2 y 2 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a >b >0 )上异于长轴端点的任一点,F , a b
1

F 2 是焦点,

?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则

a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2
4. 设椭圆

x2 y 2 ? ?1 (a>b>0) 的两个焦点为 F 、 F ,P (异于长轴端点) 为椭圆上任意一点, 在△PF F 中, 记 ?F 1 PF2 ? ? , a 2 b2
1 2 1 2

?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? ,则有

sin ? c ? ? e. sin ? ? sin ? a

5.

x2 y 2 若椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F 、F ,左准线为 L,则当 0<e≤ 2 ? 1 时,可在椭圆上求一点 P, a b
1 2

使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.

6.

P

为 椭 圆

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

( a > b > 0 ) 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 , A

为 椭 圆 内 一 定 点 , 则

2a? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
7. 椭

( x ? x0 )2 ( y ? y0 )2 ? ?1 与 a2 b2 A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 .




线

Ax ? By ? C ? 0

有 公



点 的

充 要 条





8.

已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 ), O 为 坐 标 原 点 , P 、 Q 为 椭 圆 上 两 动 点 , 且 OP ? OQ a 2 b2 4a 2 b 2 a 2b 2 1 1 1 1 ? ? ? ; ( 2 ) |OP| +|OQ| 的最大值为 ; ( 3 ) 的最小值是 . S ?OPQ a 2 ? b2 a 2 ? b2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b2
2 2

.(1)

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新梦想教育------专业中小学辅导机构 9. 过椭圆

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x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的右焦点 a 2 b2 | PF | e ? . | MN | 2

F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则

10. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0) a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? ? x0 ? . a a x2 y 2 ? ?1 ( a 2 b2 2b2 1 ? cos ?
.(2)

,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则

11. 设 P 点 是 椭 圆

a > b > 0 ) 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 一 点 ,F1 、 F2 为 其 焦 点 记

?F1PF2 ? ?

,则

(1) | PF 1 || PF2

|?

S?PF1F2 ? b 2 tan

?
2

.

12. 设 A、 B 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a 2 b2

a>b>0) 的长轴两端点, P 是椭圆上的一点,?PAB

??

,

?PBA ? ? , ?BPA ? ?



c 、 e 分 别 是 椭 圆 的 半 焦 距 离 心 率 , 则 有 (1)

2ab2 | cos ? | | PA |? 2 2 2 a ? c co s ?

.(2)

tan ? tan ? ? 1 ? e2

.(3)

S?PAB ?
13. 已知椭圆

2a 2 b 2 cot ? b2 ? a 2 x2 y 2 ? ? 1( a 2 b2

.

a>b>0) 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、 B 两点,点 C

在右准线 l 上,且 BC

? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF

的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 双曲线 1.

x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的两个顶点为 A 1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交双曲线于 P a b
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1、

P 2 时 A 1 P1

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新梦想教育------专业中小学辅导机构 与 A2P2 交点的轨迹方程是

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x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2

2.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点,则直 a 2 b2 b2 x 线 BC 有定向且 kBC ? ? 2 0 (常数). a y0
过双曲线 若 P 为双曲线

3.

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 )右(或左)支上除顶点外的任一点 ,F , a 2 b2
1

F 2 是焦点 ,

?PF1F2 ? ? ,

?PF2 F1 ? ? ,则
4.

c?a ? ? c?a ? ? ? tan co t (或 ? tan co t ). c?a 2 2 c?a 2 2
1 2 1 2

x2 y 2 设双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F 、F ,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF F 中, a b
记 ?F 1 PF2

? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? ,则有

sin ? c ? ?e. ?(sin ? ? sin ? ) a

5.

若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F 、F ,左准线为 L,则当 1<e≤ 2 ? 1 时,可在双曲线 a 2 b2
1 2

上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.

6.

P 为双曲线

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

( a > 0,b > 0 ) 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 , A 为 双 曲 线 内 一 定 点 , 则

| AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.
x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 A2 a 2 ? B 2b2 ? C 2 . 2 a b x2 y 2 8. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (b>a >0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 OP ? OQ . a b 4a 2b 2 a 2b 2 1 1 1 1 ? ? ? (1) ; ( 2 ) |OP| +|OQ| 的最小值为 ; ( 3 ) 的最小值是 . S ?OPQ b2 ? a2 b2 ? a2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2
7. 双曲线
2 2

9.

x2 y 2 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴 a b | PF | e ? . 于 P,则 | MN | 2 x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 则 x0 ? 或 x0 ? ? . a a
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10. 已知双曲线

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新梦想教育------专业中小学辅导机构 11. 设 P 点是双曲线

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12.

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 )上异于实轴端点的任一点 ,F 、 F 为其焦点记 ?F1PF2 ? ? ,则 a 2 b2 ? 2b2 2 || PF | ? (1) | PF .(2) S ?PF F ? b cot . 1 2 1 2 2 1 ? cos ? 2 2 x y 设 A 、 B 是 双 曲 线 2 ? 2 ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 的 长 轴 两 端 点 , P 是 双 曲 线 上 的 一 点 , ?PAB ? ? , a b 2ab2 | cos ? | . ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1) | PA |? 2 2 | a ? c co s2 ? | 2a 2 b 2 2 cot ? . (2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S?PAB ? 2 b ? a2 x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过双曲线右焦点 F a 2 b2
? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF
的中点. 的直线与双曲线相交于 A、

13. 已知双曲线

B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 抛物线

p2 2 结论一:若 AB 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦(过焦点的弦) ,且 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则: x1 x2 ? , y1 y2 ? ? p 。 4
2

结论二: (1)若 AB 是抛物线 y

2

? 2 px( p ? 0) 的焦点弦,且直线 AB 的倾斜角为α ,则

AB ?

2 P (α ≠0) 。 (2)焦点弦中通径 sin 2 ?

(过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦)最短。 结论三:两个相切: (1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 (2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 结论四:若抛物线方程为 y
2

? 2 px( p ? 0) ,过( 2 p ,0)的直线与之交于 A、B 两点,则 OA⊥OB。反之也成立。
? x ? 2 pt,
设抛物线 x ? 2 py 上动点 P 坐标为 (2 pt, 2 pt ) , O 为抛物线的
2 2

结论五:对于抛物线 x ? 2 py( p ? 0) ,其参数方程为 ?
2

2 ? y ? 2 pt ,

顶点,显然 kOP ?

2 pt 2 ? t ,即 t 的几何意义为过抛物线顶点 O 的动弦 OP 的斜率. 2 pt
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A'

A(X1,Y1)

C'

C(X3,Y3)

a O B' F

B(X2,Y2)

基础回顾 1. 以 AB 为直径的圆与准线 L 相切; 2. 3. 4. 5. 6. 7.

p2 ; 4 y1 y 2 ? ? p2 ; ?AC ' B ? 90 ; ?A ' FB ' ? 90 ; x1 x 2 ?
AB ? x1 ? x2 ? p ? 2( x3 ? p 2p )? 2 sin 2 ?
;

1 1 2 ? ? ; AF BF P
' '

8. A、O、 B 三点共线; 9. B、O、 A 三点共线; 10.

11.

P2 S AOB ? ; 2sin ? S 2 AOB P ? ( )3 (定值) ; AB 2
P P ; BF ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? ' ' BC 垂直平分 B F ; AC ' 垂直平分 A ' F ; C ' F ? AB ; AB ? 2P ; AF ?
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12. 13. 14. 15. 16.

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CC ' ?

1 1 AB ? ( AA ' ? BB ' ) ; 2 2


KAB=

P y3

19. 20. 21.

tan ? =
2

y2 ; x2 - p 2
;

A'B' ? 4 AF ? BF

C'F ?

1 A'B' 2

.

22. 切线方程 性质深究

y0 y ? m?x0 ? x?

一)焦点弦与切线 1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,两切线交点位置有何特殊之处? 结论 1:交点在准线上 先猜后证:当弦

? p ? AB ? x 轴时,则点 P 的坐标为 ? ? ,0 ? 在准线上. ? 2 ?

结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论 3 弦 AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴. 2、上述命题的逆命题是否成立? 结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点 先猜后证:过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线,则过两切点 AB 的弦必过焦点. 结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径.

3、AB 是抛物线

y 2 ? 2 px (p>0)焦点弦,Q 是 AB 的中点,l 是抛物线的准线, AA1 ? l , BB1 ? l ,过 A,B 的切线相交

于 P,PQ 与抛物线交于点 M.则有 结论 6PA⊥PB. 结论 7PF⊥AB. 结论 8 M 平分 PQ. 结论 9 PA 平分∠A1AB,PB 平分∠B1BA. 结论 10
2

FA ? FB ? PF
min

结论 11 S ?PAB

? p2

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二)非焦点弦与切线 思考:当弦 AB 不过焦点,切线交于 P 点时, 也有与上述结论类似结果: 结论 12 ① xp

?

y1 y2 2p



yp ?

y1 ? y2 2

结论 13 结论 14 结论 15 结论 16

PA 平分∠A1AB,同理 PB 平分∠B1BA.

?PFA ? ?PFB
点 M 平分 PQ

FA ? FB ? PF

2

学生对于本次课的评价: ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字: 教师评定: 1、 学生上次作业评价: ○ 好 ○ 较好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 一般 教师签字: ○ 差 ○ 差

2、 学生本次上课情况评价: ○ 好

教学主管意见: 家长签字: ___________

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