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2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(一)


2016 年江苏省南通市高考数学模拟试卷(一)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. (5 分)设集合 A={1,m},B={2,3},若 A∩B={3},则 m= . 2. (5 分)设 a∈R,i 是虚数单位,若(a+i) (1﹣i)为纯虚数,则 a= . 3. (5 分)已知一组数据 4,6,5,8,7,6,那么这组数据的方差为 . 4. (5 分)某兴趣小组有男生 2 名,女生 1 名,现从中任选 2 名学生去参加问卷调查,则恰 有一名男生与一名女生的概率为 . 5. (5 分)等差数列{an}中,a1=﹣3,11a5=5a8,则其前 n 项和 Sn 的最小值为 . 6. (5 分)如图是一个算法的流程图,若输入 n 的值是 10,则输出 S 的值是 .

7. (5 分) 如图, 用半径为 2 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒, 那么这个圆锥筒的容积是



8. (5 分)不等式组

表示的平面区域的面积为 2,则实数 a 的值为



9. (5 分)已知函数 f(x)=2sin(ωx+

) (ω>0) ,函数 f(x)的图象与 x 轴两个相邻交

点的距离为 π,则 f(x)的单调递增区间是 . 10. (5 分)如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=3,AD= BC 中点,若 ? =3,则 ? = .

,E 为

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11. (5 分)已知 F1,F2 是椭圆 |PF1|?|PF2|=2

+

=1(m>2)的左,右焦点,点 P 在椭圆上,若 . , 若 2?3 +sinx﹣2=0, 9 +sinycosy
x y

m,则该椭圆离心率的取值范围为 ≤x≤ , ﹣ ≤y≤

12. (5 分) 已知实数 x, y 满足﹣

﹣1=0,则 cos(x﹣2y)的值为 . 13. (5 分)若存在实数 a、b 使得直线 ax+by=1 与线段 AB(其中 A(1,0) ,B(2,1) )只 有一个公共点,且不等式 + ≥20(a +b )对于任意 θ∈(0,
2 2

)成立,

则正实数 p 的取值范围为 . 14. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 y=x+2 与 x 轴,y 轴分别交于 M、N 两点, 点 P 在圆(x﹣a) +y =2 上运动,若∠MPN 恒为锐角,则 a 的取值范围是
2 2



二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分) 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a、 b、 c, 已知 sinB= (1)求△ABC 的面积; (2)若 a,b,c 成等差数列,求 b 的值. 16. (14 分) 如图, 在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 侧面 DCC1D1 是菱形, 且平面 DCC1D1 ⊥平面 ABCD,∠D1DC= ,E 是 A1D 的中点,F 是 BD1 的中点. , 且 ? =12.

(1)求证:EF∥平面 ABCD; (2)若 M 是 CD 的中点,求证:平面 D1AM⊥平面 ABCD.

17. (14 分)如图,某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 ABCD,其中 BMN 是 半径为 1 百米的扇形,∠ABC= ,管理部门欲在该地从 M 到 D 修建小路;在 上选一

点 P(异于 M、N 两点) ,过点 P 修建与 BC 平行的小路 PQ. (1)设∠PBC=θ,试用 θ 表示修建的小路 (2)求 l 的最小值. 与线段 PQ 及线段 QD 的总长度 l;

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18. (16 分)已知圆 O:x +y =4,两个定点 A(a,2) ,B(m,1) ,其中 a∈R,m>0.P 为圆 O 上任意一点,且 =k(k 为常数) .
2 2

2

2

(1)求 A,B 的坐标及常数 k 的值; (2)过点 E(a,t)作直线 l 与圆 C:x +y =m 交于 M、N 两点,若 M 点恰好是线段 NE 的 中点,求实数 t 的取值范围. 19. (16 分)已知函数 f(x)= x + x +kx,k∈R,函数 f′(x)为 f(x)的导函数. (1)数列{an}满足 an= (2)数列{bn}满足 bn+1=f′(bn) , ①当 k=﹣ 且 b1>1 时,证明:数列{lg(bn+ )}为等比数列; ,求 a1+a2+a3+a4+a5;
3 2

②当 k=0,b1=b>0 时,证明:

< .

20. (16 分)已知函数 f(x)=xlnx﹣k(x﹣1) ,k∈R. (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间. (2)若函数 y=f(x)在区间(1,+∞)上有 1 个零点,求实数 k 的取值范围. (3)是否存在正整数 k,使得 f(x)+x>0 在 x∈(1,+∞)上恒成立?若存在,求出 k 的 最大值;若不存在,说明理由. 附加题[选修 4-1:几何证明选讲](任选两题) 21. (10 分)如图,☉O1,☉O2 交于两点 P,Q,直线 AB 过点 P,与⊙O1,⊙O2 分别交于 点 A,B,直线 CD 过点 Q,与⊙O1,⊙O2 分别交于点 C,D.求证:AC∥BD.

附加题[选修 4-2:矩阵与变换]

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22. (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,先对曲线 C 作矩阵 A= <2π)所对应的变换,再将所得曲线作矩阵 B=

(0<θ

(0<k<1)所对应的变换,若连续实

施两次变换所对应的矩阵为

,求 k,θ 的值.

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23.在极坐标系中,过点 P( , )作曲线 ρ=2cosθ 的切线 l,求直线 l 的极坐标方程.

[选修 4-5:不等式选讲] 2 2 24.已知实数 a,b 满足|a+b|≤2,求证:|a +2a﹣b +2b |≤4(|a|+2) . 解答题 25. (10 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,已知棱 AB,AD, AP 两两垂直, 长度分别为 1, 2,2.若 =λ ,且向量 与 夹角的余弦值为 .

(1)求实数 λ 的值; (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值.

26. (10 分)设 f(n)=(a+b) (n∈N ,n≥2) ,若 f(n)的展开式中,存在某连续三项, 其二项式系数依次差数列,则称 f(n)具有性质 P. (1)求证:f(7)具有性质 P; (2)若存在 n≤2015,使用 f(n)具有性质 P,求 n 的最大值.

n

*

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2016 年江苏省南通市高考数学模拟试卷(一)
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. (5 分) (2016?南通模拟)设集合 A={1,m},B={2,3},若 A∩B={3},则 m= 【考点】交集及其运算. 【专题】集合思想;定义法;集合. 【分析】由 A,B,以及两集合的交集,确定出 m 的值即可. 【解答】解:∵A={1,m},B={2,3},且 A∩B={3}, ∴m=3, 故答案为:3
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3 .

2. (5 分) (2016?南通模拟)设 a∈R,i 是虚数单位,若(a+i) (1﹣i)为纯虚数,则 a= ﹣ 1 . 【考点】复数的基本概念. 【专题】计算题;方程思想;数学模型法;数系的扩充和复数. 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简,再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值. 【解答】解:∵(a+i) (1﹣i)=(a+1)+(1﹣a)i 为纯虚数,
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,解得 a=﹣1.

故答案为:﹣1. 3. (5 分) (2016?南通模拟) 已知一组数据 4, 6, 5, 8, 7, 6, 那么这组数据的方差为 【考点】极差、方差与标准差. 【专题】对应思想;定义法;概率与统计. 【分析】先求出这组数据的平均数,由此再求出这组数据的方差. 【解答】解:∵数据 4,6,5,8,7,6 的平均数为
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= (4+6+5+8+7+6)=6, ∴这组数据的方差为 S = ×[(4﹣6) +2×(6﹣6) +(5﹣6) +(8﹣6) +(7﹣6) ]= . 故答案为: .
2 2 2 2 2 2

4. (5 分) (2016?南通模拟)某兴趣小组有男生 2 名,女生 1 名,现从中任选 2 名学生去参 加问卷调查,则恰有一名男生与一名女生的概率为
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【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;整体思想;定义法;概率与统计. 【分析】男生 2 名记为 A,B,女生 1 名记为 C,一一列举并根据概率公式计算即可. 【解答】解:男生 2 名记为 A,B,女生 1 名记为 C,
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现从中任选 2 名学生,共有 AB,AC,BC,3 种选择方法, 恰有一名男生与一名女生的有有 AC,BC,2 种 故则恰有一名男生与一名女生的概率为 , 故答案为:

5. (5 分) (2016?南通模拟)等差数列{an}中,a1=﹣3,11a5=5a8,则其前 n 项和 Sn 的最小 值为 ﹣4 . 【考点】等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 【专题】计算题. 【分析】先求出其公差,代入求出其通项公式;根据其单调性即可分析出何时有最小值并求 出其最小值. 【解答】解:由 11a5=5a8,得 6a1 +9d=0,又 a1=﹣3,故 d=2. 故 an =﹣3+(n﹣1)2=2n﹣5,故此数列为递增数列. 故等差数列{an}的前 2 项为负数,从第三项开始为正数, 故前 2 项的和最小为﹣3+(﹣1)=﹣4, 故答案为﹣4.
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6. (5 分) (2013?徐州一模)如图是一个算法的流程图,若输入 n 的值是 10,则输出 S 的 值是 54 .

【考点】程序框图. 【专题】图表型. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是输出满足条件 n<2 时,S=10+9+8+…+2 的值. 【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序, 可知:该程序的作用是输出满足条件 n<2 时,S=10+9+8+…+2 的值. ∵S=10+9+8+…+2=54 的值, 故输出 54. 故答案为:54.
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7. (5 分) (2016?南通模拟)如图,用半径为 2 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆 锥筒的容积是 .

【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【专题】计算题. 【分析】由题意知圆锥筒的母线长为 2,设圆锥筒的底面半径等于 r,圆锥筒的高,利用圆 锥的体积公式进行计算即可.
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【解答】 解: 由题意知圆锥筒的母线长为 2, 设圆锥筒的底面半径等于 r, 则 ×2π×2=2π r, ∴r=1,这个圆锥筒的高为: 这个圆锥筒的容积为: 故答案为: . = = , .

8. (5 分) (2016?南通模拟)不等式组

表示的平面区域的面积为 2,则实数 a 的

值为


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【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;规律型;转化思想;不等式的解法及应用. 【分析】 作出不等式组对应的平面区域, 利用平面区域的形状, 结合面积公式即可得到结论.

【解答】解:作出不等式组

对应的平面区域:是梯形,



可得 A(a,a) ,
2

解得 B(a﹣1,a) ,平面区域的面积是 2, =2.

可得梯形的面积为:a ﹣ 解得 a= , 故答案为: .

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9. (5 分) (2016?南通模拟)已知函数 f(x)=2sin(ωx+

) (ω>0) ,函数 f(x)的图象 [﹣ +2kπ, +2kπ],

与 x 轴两个相邻交点的距离为 π,则 f(x)的单调递增区间是

k∈Z . 【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】函数 f(x)的图象与 x 轴两个相邻交点的距离为 π 等于半个周期,从而可求 ω, 确定函数的解析式,根据三角函数的图象和性质即可求出 f(x)的单调递增区间
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【解答】解:函数 f(x)的图象与 x 轴两个相邻交点的距离为 π= 故函数的最小正周期 T=2π, 又∵ω>0 ∴ω=1 故 f(x)=2sin(x+ 由 2k 故答案为:[﹣ +2kπ, ) , ?﹣ +2kπ],k∈Z +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z

10. (5 分) (2016?南通模拟)如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=3, AD= ,E 为 BC 中点,若 ? =3,则 ? = ﹣3 .

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;数形结合;向量法;平面向量及应用.
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【分析】以 A 为坐标原点,AB,AD 所在直线为 x,y 轴,建立直角坐标系,由向量的数量 积的坐标表示即可得到所求值. 【解答】 解: 以 A 点为原点, AB 所在的直线为 x 轴, AD 为 y 轴, 建立如图所示的坐标系, ∵AB=3,AD= ,E 为 BC 中点, ∴A(0,0) ,B(3,0) ,D(0, ) , 设 C(x, ) , ∴ ∵ =(3,0) , ? =3, =(x, ) ,

∴3x=3, 解得 x=1, ∴C(1, ) , ∵E 为 BC 中点, ∴E( ∴ ∴ , ) , ) ,即为(2, =(﹣2, × ) , ) , =﹣4+1=﹣3

=(2, ?

=2×(﹣2)+

故答案为:﹣3.

11. (5 分) (2016?南通模拟)已知 F1,F2 是椭圆 点 P 在椭圆上,若|PF1|?|PF2|=2 .

+

=1(m>2)的左,右焦点,

m,则该椭圆离心率的取值范围为

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】转化思想;不等式的解法及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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【分析】由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2m,利用基本不等式的性质可得:|PF1|+|PF2| ≥ + + ,化简整理即可得出.另一方面:设∠F1PF2=θ,由余弦定理可得: ﹣2|PF1||PF2|cosθ=(2c) =16. +2|PF1||PF2|=4m .相减利用三角函数的单调性、不等式的解法即可得
2 2

出. 【解答】解:由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2m, ∴2m=|PF1|+|PF2|≥ 化为 ,又 m>2, =2 ,

解得 . 另一方面:设∠F1PF2=θ, 由余弦定理可得: + + ﹣2|PF1||PF2|cosθ=(2c) =16.
2 2

+2|PF1||PF2|=4m .

相减可得:1+cosθ= ∵θ∈[0,π) , ∴0< ∴2≤m≤ ∴ = ≤2.m≥2 + .



= ∈



∴该椭圆离心率的取值范围为 故答案为: .



12. (5 分) (2016?南通模拟) 已知实数 x, y 满足﹣
y

≤x≤

, ﹣

≤y≤

, 若 2?3 +sinx

x

﹣2=0,9 +sinycosy﹣1=0,则 cos(x﹣2y)的值为 1 . 【考点】两角和与差的余弦函数. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值. 3 【分析】设 f(u)=u +sinu,根据题设等式可知 f(x)=2,f(2y)=2,可得 f(x)=f(2y) , 利用单调性进而推断出 x﹣2y=0,进而求得 cos(x﹣2y)的值.
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【解答】 解: 实数 x, y 满足﹣

≤x≤

, ﹣

≤y≤

, 若 2?3 +sinx﹣2=0, 9 +sinycosy

x

y

﹣1=0, u 设 f(u)=2?3 +sinu,由题意得 f(u)=2,f(x)=2. 由 9 +sinycosy﹣1=0,即 3 + sin2y﹣1=0,即 2?3 +sin2y=2,故 f(2y)=2. 因为 f(u)在区间[﹣ , ]上是单调函数,
y 2y 2y

∴f(x)=f(2y) ,∴x=2y,即 x﹣2y=0. ∴cos(x﹣2y)=cos0=1, 故答案为:1. 13. (5 分) (2016?南通模拟)若存在实数 a、b 使得直线 ax+by=1 与线段 AB(其中 A(1, 0) ,B(2,1) )只有一个公共点,且不等式 ∈(0, + ≥20(a +b )对于任意 θ
2 2

)成立,则正实数 p 的取值范围为 [1,+∞) .
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【考点】曲线与方程. 【专题】 数形结合; 转化思想; 函数的性质及应用; 三角函数的求值; 不等式的解法及应用. 【分析】直线 ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点,可知:点 A(1,0) ,B(2,1)在直线 ax+by=1 的两侧,因此(a﹣1) (2a+b﹣1)≤0.画出它们表示的平面区域,如图所示.由 图可知, 当原点 O 到直线 2x+y﹣1=0 的距离为原点到区域内的点的距离的最小值, 可得 dmin= . 由于存在实数 a、 b 使得不等式 成立,可得 +
2 2

≥20 (a +b ) 对于任意 θ∈ (0,

2

2



≥20(a +b )min=4,再利用基本不等式的性质即可

得出答案. 【解答】解:∵直线 ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点, ∴点 A(1,0) ,B(2,1)在直线 ax+by=1 的两侧, ∴(a﹣1) (2a+b﹣1)≤0, 即 ,或 ;

画出它们表示的平面区域,如图所示. 2 2 a +b 表示原点到区域内的点的距离的平方, 由图可知,当原点 O 到直线 2x+y﹣1=0 的距离为原点到区域内的点的距离的最小值, ∵dmin= 那么 a +b 的最小值为:d = . 由于存在实数 a、b 使得不等式 成立, + ≥20(a +b )对于任意 θ∈(0,
2 2 2 2 2



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∴ ∵θ∈(0,

≥20(a +b )min=4, ) ,∴sinθ,cosθ∈(0,1) .
2 2

2

2



+

= (sin θ+cos θ)

=1+p+

+



1+p+2
2

=1+p+2



当且仅当 tan θ= ∴1+p+2

时取等号.

≥4,p>0,解得 1≤p. 时取等号.

∴tanθ=1,即

故答案为:[1,+∞) .

14. (5 分) (2016?南通模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 y=x+2 与 x 轴,y 轴分 2 2 别交于 M、N 两点,点 P 在圆(x﹣a) +y =2 上运动,若∠MPN 恒为锐角,则 a 的取值范 围是 a> 或 a<﹣
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【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 【分析】设以 MN 为直径的圆的圆心为 A,得到 MN 的中点 A(﹣1,1) ;点 P 与 M,N 构 成∠MPN 恒为锐角,则点 P 恒在圆 A 之外,又两个圆半径相等,只要两圆外离,得到圆心 距与半径的关系等式求得 a. 【解答】解:设以 MN 为直径的圆的圆心为 A,则 M(﹣2,0) ,N(0,2) ,所以中点 A (﹣1,1) ; 点 P 与 M,N 构成∠MPN 恒为锐角,则点 P 恒在圆 A 之外,又两个圆半径相等,所以两圆 外离,
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所以(a+1) +1 >(2 ) ,解得 a> 所以 a 的取值范围是 a> 或 a<﹣ 故答案为:a> 或 a<﹣ .

2

2

2

或 a<﹣ ;



二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分) (2016?南通模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a、b、c,已知 sinB= ,且 ? =12.

(1)求△ABC 的面积; (2)若 a,b,c 成等差数列,求 b 的值. 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;转化思想;向量法;解三角形.
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【分析】 (1)展开数量积,可得 cosB>0,由 sinB=

,求得 cosB,进一步得到 ac,代入

三角形面积公式求得答案; (2)由 a,b,c 成等差数列,得 2b=a+c,结合余弦定理即可求得 b 值. 【解答】解: (1)由 由 sinB= ? =12,得 ca?cosB=12,可得 cosB>0, ,

,可得 cosB=

即有 ac=13, ∴ ;

(2)由 a,b,c 成等差数列,得 2b=a+c, 在△ABC 中,由余弦定理得 即 ,解得 b= . ,

16. (14 分) (2016?南通模拟)如图,在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,侧面 DCC1D1 是菱形, 且平面 DCC1D1⊥平面 ABCD, ∠D1DC= , E 是 A1D 的中点, F 是 BD1 的中点.

(1)求证:EF∥平面 ABCD; (2)若 M 是 CD 的中点,求证:平面 D1AM⊥平面 ABCD.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
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【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离. 【分析】 (1)连结 AD1,利用中位线定理得出 EF∥AB,故而 EF∥平面 ABCD; (2)连结 CD1,则△D1DC 为等边三角形,于是 D1M⊥CD,利用面面垂直的性质得出 D1M ⊥平面 ABCD,故而平面 D1AM⊥平面 ABCD. 【解答】证明: (1)连结 AD1, ∵四边形 AA1D1D 是平行四边形,E 是 A1D 的中点, ∴E 是 AD1 的中点,又 F 是 BD1 的中点, ∴EF∥AB, 又 EF?平面 ABCD,AB? 平面 ABCD, ∴EF∥平面 ABCD. (2)连结 CD1. ∵四边形 CDD1C1 是菱形,∠D1DC= ,

∴△D1DC 是等边三角形, ∵M 是 CD 的中点, ∴D1M⊥CD,又平面 DCC1D1⊥平面 ABCD,平面 DCC1D1∩平面 ABCD=CD, ∴D1M⊥平面 ABCD,又 D1M? 平面 D1AM, ∴平面 D1AM⊥平面 ABCD.

17. (14 分) (2016?南通模拟) 如图, 某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 ABCD, 其中 BMN 是半径为 1 百米的扇形, ∠ABC= 在 , 管理部门欲在该地从 M 到 D 修建小路;

上选一点 P(异于 M、N 两点) ,过点 P 修建与 BC 平行的小路 PQ. 与线段 PQ 及线段 QD 的总长度 l;

(1)设∠PBC=θ,试用 θ 表示修建的小路 (2)求 l 的最小值.

【考点】在实际问题中建立三角函数模型. 【专题】综合题;转化思想;综合法;解三角形.
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【分析】 (1)由题意,QP,交 AB 于 E 利用正弦定理,求出 EP,EB,即可用 θ 表示修建的 小路 与线段 PQ 及线段 QD 的总长度 l;

(2)求导数,确定函数的单调性,即可求 l 的最小值. 【解答】解: (1)由题意,延长 QP,交 AB 于 E,则 △BPE 中,∠EPB=θ,∠EBP= ∴EP= ∴PQ=2﹣ ∴l= =4﹣ sin( sin( ﹣θ) ,EB= ﹣θ,∠BEP= sinθ, sinθ, sinθ , =( ﹣θ) ,

﹣θ) ,QD=2﹣ sin( ﹣θ)+2﹣ sinθ+

﹣θ+2﹣ sin(

﹣θ)﹣ )+

﹣θ ) ;

=4﹣2sin(θ+

﹣θ(0<θ< )﹣1, <θ <

(2)l′=﹣2cos(θ+ ∴0<θ< ∴θ=

时,l′<0,

,时,l′>0, + )百米.

时,l 取得最小值,最小值为(4﹣

18. (16 分) (2016?南通模拟)已知圆 O:x +y =4,两个定点 A(a,2) ,B(m,1) ,其中 a∈R,m>0.P 为圆 O 上任意一点,且 =k(k 为常数) .

2

2

(1)求 A,B 的坐标及常数 k 的值; 2 2 (2)过点 E(a,t)作直线 l 与圆 C:x +y =m 交于 M、N 两点,若 M 点恰好是线段 NE 的 中点,求实数 t 的取值范围. 【考点】圆方程的综合应用. 【专题】方程思想;分析法;直线与圆. 【分析】 (1)设 P(x,y) ,由条件运用两点的距离公式,化简整理,可得圆的方程,再由 恒等思想,即可得到所求; 2 2 (2)由圆 x +y =1 的参数方程,可设 N( (cosθ,sinθ) ,由中点坐标公式可得 M 的坐标, 代入圆的方程, 化简整理, 运用辅助角公式和正弦函数的值域, 解不等式即可得到所求范围.
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【解答】解: (1)设 P(x,y) ,由|PA|=k|PB|, (k>0 且 k≠1) 可得
2 2 2

=k
2


2 2 2 2

平方可得, (k ﹣1) (x +y )+(2a﹣2k m)x+(4﹣2k )y+k (m +1)﹣a ﹣4=0, 2 2 由 P 的轨迹方程为 x +y =4,

可得

,解得 k=

,m=1,a=2,

即有 A(2,2) ,B(1,1) ,k= ; 2 2 (2)由圆 x +y =1 的参数方程,可设 N( (cosθ,sinθ) , 由 M 点恰好是线段 NE 的中点,可得 M( 代入圆方程,可得(
2

, ) =1,
2

) ,

) +(

2

化简可得 4cosθ+2tsinθ=﹣1﹣t , 由辅助角公式可得 sin(θ+φ)=﹣1﹣t ,
2 2

由|sin(θ+φ)|≤1,可得|﹣1﹣t |≤ 即为 t ﹣2t ﹣15≤0,即有﹣3≤t ≤5, 解得﹣ ≤t≤ . 则实数 t 的取值范围是[﹣ , ].
4 2 2



19. (16 分) (2016?南通模拟)已知函数 f(x)= x + x +kx,k∈R,函数 f′(x)为 f(x) 的导函数. (1)数列{an}满足 an= (2)数列{bn}满足 bn+1=f′(bn) , ①当 k=﹣ 且 b1>1 时,证明:数列{lg(bn+ )}为等比数列; ,求 a1+a2+a3+a4+a5;

3

2

②当 k=0,b1=b>0 时,证明:

< .

【考点】数列与函数的综合. 【专题】转化思想;分析法;函数的性质及应用;等差数列与等比数列.
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【分析】 (1)求得 f(x)的导数,可得 an= 求和即可得到所求值;

=

= ﹣

,运用裂项相消

(2)求得当 k=﹣ 且 b1>1 时,bn+1=bn +bn﹣ ,两边同加 ,配方后,取常用对数,由 等比数列的定义,即可得证;

2

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②求得 bn+1=bn +bn,即有 和, 可得, ﹣ 即可得证. = +

2

=

﹣ +…+

,即有



=

,运用裂项相消求

, 再将原不等式左边化简, 由不等式的性质,

【解答】解: (1)函数 f(x)= x + x +kx 的导数为 f′(x)=x +x+k, an= = = ﹣ ,

3

2

2

可得 a1+a2+a3+a4+a5=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣ = ; (2)证明:①当 k=﹣ 且 b1>1 时,bn+1=f′(bn)=bn +bn﹣ , 即有 bn+1+ =bn +bn+ =(bn+ ) , 两边取常用对数,可得 lg(bn+1+ )=lg(bn+ ) =2lg(bn+ ) , 则数列{lg(bn+ )}为首项为 lg(b1+ ) ,公比为 2 的等比数列; ②当 k=0,b1=b>0 时,bn+1=bn +bn, 即有 即有 可得 …, = ﹣ ﹣ ﹣ = = = ﹣ = , , , , + +…+ , ﹣ = ,
2 2 2 2 2

相加可得, ﹣

则 = +

=

+ +…+

+…+ = ﹣ < ,

则原不等式成立. 20. (16 分) (2016?南通模拟)已知函数 f(x)=xlnx﹣k(x﹣1) ,k∈R. (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间. (2)若函数 y=f(x)在区间(1,+∞)上有 1 个零点,求实数 k 的取值范围. (3)是否存在正整数 k,使得 f(x)+x>0 在 x∈(1,+∞)上恒成立?若存在,求出 k 的 最大值;若不存在,说明理由. 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;函数零点的判定定理. 【专题】综合题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
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【分析】 (1)将 k=1 代入 f(x) ,求出 f(x)的导数,解关于导函数的不等式,从而求出函 数的单调区间; (2)先求出函数的导数,得到函数的单调区间,根据 y=f(x)在区间(1,+∞)上有 1 个 零点,得到 e >1,解出即可; (3)令 g(x)=f(x)+x=xlnx﹣k(x﹣1)+x,求出 g(x)的导数,得到 g(x)的单调区 间,问题转化为需 e ≤1,解出即可. 【解答】解: (1)k=1 时,f(x)=xlnx﹣x+1,x>0, f′(x)=lnx+1﹣1=lnx, 令 f′(x)>0,解得:x>1, 令 f′(x)<0,解得:1<x<1, ∴f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增; (2)f′(x)=lnx+1﹣k, 令 f′(x)>0,解得:x>e , k﹣1 令 f′(x)<0,解得:x<e , k﹣1 k﹣1 ∴f(x)在(0,e )递减,在(e ,+∞)递增, 而 f(1)=0, ∴只需 e >1,解得:k>1; (3)令 g(x)=f(x)+x=xlnx﹣k(x﹣1)+x, g′(x)=lnx+2﹣k, 令 g′(x)>0,解得:x>e , k﹣2 令 g′(x)<0,解得:0<x<e , k﹣2 k﹣2 ∴g(x)在(0,e )递减,在(e ,+∞)递增, k﹣2 ∴只需 e ≤1,即 k﹣2≤0,解得:k≤2, 故存在正整数 k,使得 f(x)+x>0 在 x∈(1,+∞)上恒成立, k 的最大值是 2. 附加题[选修 4-1:几何证明选讲](任选两题) 21. (10 分) (2016?南通模拟)如图,☉O1,☉O2 交于两点 P,Q,直线 AB 过点 P,与⊙ O1,⊙O2 分别交于点 A,B,直线 CD 过点 Q,与⊙O1,⊙O2 分别交于点 C,D.求证: AC∥BD.
k﹣2 k﹣1 k﹣1 k﹣2 k﹣1

【考点】与圆有关的比例线段. 【专题】选作题;转化思想;综合法;推理和证明. 【分析】运用圆的内接四边形的性质,及圆周角定理,得出∠A=∠PBD,即可证明结论. 【解答】证明:连结 PQ,因为四边形 ACQP 是☉O1 的内接四边形,所以∠A=∠PQD,…3 分
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又在⊙O2 中,∠PBD=∠PQD,…6 分 所以∠A=∠PBD,…8 分 所以 AC∥BD 附加题[选修 4-2:矩阵与变换] 22. (10 分) (2016?南通模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,先对曲线 C 作矩阵 A= (0<θ<2π) 所对应的变换, 再将所得曲线作矩阵 B= (0<k<1)

所对应的变换,若连续实施两次变换所对应的矩阵为 【考点】几种特殊的矩阵变换. 【专题】计算题;转化思想;分析法;矩阵和变换.
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,求 k,θ 的值.

【分析】由题意及矩阵乘法的意义可得:BA= 阵的相等及参数的范围即可求解. 【解答】解:∵A= (0<θ<2π) ,B=

=

,由矩

(0<k<1) ,

∴由题意可得:BA=

=





=

,解得:



∵0<θ<2π,0<k<1, ∴解得:k= ,θ= .

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23. (2016?南通模拟)在极坐标系中,过点 P( , )作曲线 ρ=2cosθ 的切线 l,求直

线 l 的极坐标方程. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【专题】方程思想;转化思想;坐标系和参数方程. 【分析】把极坐标化为直角坐标,判断出点 P 与圆的位置关系,即可得出切线方程.
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【解答】解:点 P(
2



)化为直角坐标:P(1,1) .
2 2

曲线 ρ=2cosθ,即 ρ =2ρcosθ,化为直角坐标方程:x +y =2x, 2 2 配方为(x﹣1) +y =1,可得圆心(1,0) ,半径 r=1. 由于点 P 满足圆的方程,可得切线方程为:y=1. 化为极坐标方程:ρsinθ=1.

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[选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?南通模拟)已知实数 a,b 满足|a+b|≤2,求证:|a +2a﹣b +2b |≤4(|a|+2) . 【考点】不等式的证明. 【专题】转化思想;分析法;不等式的解法及应用. 【分析】运用绝对值不等式可得|b|﹣|a|≤|a+b|≤2,可得|b|≤|a|+2,将原不等式左边分 解因式,结合分析法证明,即可得证. 【解答】证明:由|b|﹣|a|≤|a+b|≤2,可得|b|≤|a|+2,
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2

2

|a +2a﹣b +2b |=|(a+b) (a﹣b)+2(a+b)| =|a+b|?|a﹣b+2|≤2|a﹣b+2|, 2 2 要证|a +2a﹣b +2b |≤4(|a|+2) , 即证|a﹣b+2|≤2(|a|+2) , 由于|a﹣b+2|≤|a|+|b|+2, 即证|a|+|b|+2≤2(|a|+2) , 即为|b|≤|a|+2,显然成立. 故原不等式成立. 解答题 25. (10 分) (2016?南通模拟)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,已知棱 AB,AD,AP 两两 垂直,长度分别为 1,2,2.若 =λ ,且向量 与 夹角的余弦值为 .

2

2

(1)求实数 λ 的值; (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角;空间向量的数量积运算. 【专题】计算题;规律型;数形结合;转化思想;综合法;空间向量及应用. 【分析】 (1)根据已知条件即可建立坐标系:以 A 为坐标原点,分别以边 AB,AD,AP 所 在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,然后即可根据已知条件求出点 P,A,B,C,D
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点的坐标,利用向量



夹角的余弦值为求出 λ 的值.

(2)求出平面 PCD 的法向量,利用向量夹角的余弦公式求解直线 PB 与平面 PCD 所成角 的正弦值. 【解答】解:以 A 为坐标原点,分别以 AB,AD,AP 为 x,y,z 轴建立如图所示空间直角 坐标系; 则:A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,D(0,2,0) ,P(0,0,2) ; 0) .
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,可得 C(λ,2,

(1) 可得

=(λ,2,﹣2) , =

=(﹣1,2,0) ,向量



夹角的余弦值为



,解得 λ=10(舍去)或 λ=2.

实数 λ 的值为 2. ; (2) 则 =(2,2,﹣2) , 且 =(0,2,﹣2) ,平面 PCD 的法向量 =(x,y,z) .

,即:x+y﹣z=0,y﹣z=0,∴x=0,不妨去 y=z=1, =(1,0,2) . .

平面 PCD 的法向量 =(0,1,1) .又 故 cos = =

直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为:



26. (10 分) (2016?南通模拟)设 f(n)=(a+b) (n∈N ,n≥2) ,若 f(n)的展开式中, 存在某连续三项,其二项式系数依次差数列,则称 f(n)具有性质 P. (1)求证:f(7)具有性质 P; (2)若存在 n≤2015,使用 f(n)具有性质 P,求 n 的最大值. 【考点】二项式定理的应用. 【专题】综合题;二项式定理. 7 【分析】 (1)f(7)=(a+b) ,二、三、四项的二项式系数为 7,21,35,依次成等差数列, 可得结论;
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n

*

(2)由题意,2Cn =Cn +Cn ,整理可得 4r(n﹣r)=(n﹣2) (n+1) ,可得(n﹣2) (n+1) 能被 4 整除,从而 n﹣2 或 n+1 为偶数时,必须能被 4 整除,结合 n≤2015,即可求 n 的最 大值. 7 【解答】 (1)证明:f(7)=(a+b) ,二、三、四项的二项式系数为 7,21,35,依次成等 差数列, 所以 f(7)具有性质 P. (2)解:由题意,2Cn =Cn +Cn , 整理可得 4r(n﹣r)=(n﹣2) (n+1) , ∴(n﹣2) (n+1)能被 4 整除,
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r r﹣1 r+1

r

r﹣1

r+1

∵n﹣2、n+1 一奇一偶, ∴n﹣2 或 n+1 为偶数时,必须能被 4 整除, ∵n≤2015 ∴n 的最大值为 2012.

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参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;sxs123;742048;whgcn;caoqz;minqi5;qiss; w3239003;沂蒙松;changq;zhczcb;刘长柏;双曲线;刘老师;lcb001(排名不分先后) 菁优网 2016 年 11 月 9 日

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