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高中数学选择题的几种解法


高中数学选择题的几种解法
高中数学选择题注重双基及基本方法、逻辑思维与直觉思维能力,以及观 察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力。解答选择题的基本原则应是小题不 能大做、小题需小做、繁题要简做、难题要巧做。求解选择题的方法是以直接思 路肯定为主,间接思路否定为辅,即求解时除了用直接方法之外还可以用逆向化 策略、特殊化策略、图形化策略、整体化策略等方法求解。此外,还应注意选择 题的特殊性,充分利用题干和选择支提供的信息,灵活、巧妙、快速求解。下面介 绍解答数学选择题时常用的几种方法。 一 直接法
从题设条件出发,通过正确的运算、 推理或判断,直接得出结论再与选择项对照,从而作出选择 的一种方法。运用此方法解题需要扎实的数学基础。 1、已知 f(x)=x(sinx+1)+ax2,f(3)=5,则 f(-3)=????????????????????? ( ) (A)-5 (B)-1 (C)1 (D)无法确定

例 1、 设集合 A 和 B 都是自然数集合 N , 映射 f : A ? B 把集合 A 中的元素 n 映射 到集合 B 中的元素 2 n ? n ,则在映射 f 下,象 20 的原象是 ( )

? A?2

?B ?3

?C ?4

?D ?5

解:由映射概念可知 2n ? n ? 20, 可得 n ? 4 .故选 ?C ? . 例 2、如果 log7 ?log3 ?log2 x?? ? 0 ,那么 x
? 1 2

等于(



? A? 1

3

?B ?

3 6

?C ?

3 9

?D ?

2 4

解:由题干可得: log3 ?log2 x? ? 1 ? log2 x ? 3 ? x ? 23.
?x
? 1 2

?2

?

3 2

?

2 . 故选 (D) . 4

例 1.一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前 6 项均为正数,第 7 项起为负数, 则它的公差是 ( ) (A)-2 (B)-3 (C)-4 (D)-5

? 23 ? ? ?a6 ? 0 ? ?d ? ? 5 23 23 ? ?23 ? 5d ? 0 ? 解:. ?? ?? ?? ? d ? ? ,又 d 为整数, ? 5 6 ?a7 ? 0 ?23 ? 6d ? 0 ?d ? ? 23 ? ? ? 5 ? ? ?

∴d=–4.故选(C).

从以上例题可以看出, 解一元数学选择题,当得出的符合题意的结论与某选择支 相符时,便可断定该选择支是正确的.

二 特例法 运用满足题设条件的某些特殊数值、 特殊位置、 特殊关系、 特殊图形、 特殊数列、 特殊函数等对各选择项进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则它 在一般情况下也不真的原理,由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时, 特例取得越简单、越特殊越好。特例法包括:特殊值法、特殊函数法、特殊方程 法、特殊数列法、特殊位置法、特殊点法等。 1. 特殊值法 2. 例 7、 a ? b ? 1, P ? lg a ? lg b , Q ?
1 ?lg a ? lg b?, R ? lg? a ? b ? ,则 ( ? ? 2 ? 2 ?



? A?R ? P ? Q ?B?P ? Q ? R ?C ?Q ? P ? R ?D?P ? R ? Q
解 : 由
a ? b ? 1,







a ? 100, b ? 10





3 3 ? 100? 10 ? P ? 2 , Q ? , R ? lg? ? ? lg 100?10 ? . 故选 ?B ? . 2 2 ? 2 ?

注:本题也可尝试利用基本不等式进行变换.
例如: (07 全国 2)设 F 为抛物线

y 2 ? 4x 的焦点, A,B,C 为该抛物线上三点,若
) D.3

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? FA ? FB ? FC ? 0 ,则 FA ? FB ? FC ? (
A.9 B.6 C.4

发现有 A、B、C 三个动点,只有一个 FA ? FB ? FC

??? ??? ??? ? ? ?

? 0 条件,显然无法确定 A、B、

C 的位置,可令 C 为原点,此时可求 A、B 的坐标,得出答案 B。 抓住题目叙述的关键点, 往往能够排除很多选项,达到出奇制胜的效果。

? x 2, ≥1, x g ( x) 是 二 次 函 数 , 若 例 如: (07 浙 江 )设 f ( x) ? ? ? x, ? 1, x ? ?

f ( g ( x))的 值域 是

? ?0,∞? ,则 g ( x) 的值域是(
A. C.

) B. D.

? ? ? ?∞,1? ? ?1,∞?

? ? ? ?∞,1? ??0,∞?

? ?0,∞?

? ?1,∞?

看到二次函数的条件,应该排除 A,B 选项。此题最终应选择 C。 例 3.直线 xcosθ -y+1=0 的倾斜角的范围是 ( ) (A)[-

? ? , ] 4 4 3? ? )∪( , π) 4 4

(B)[

? 3? , ] 4 4

(C)(0,

π π (D) ?0, ? ? ? 3 ,π ? ? ? 4? ? 4 ? ? ? ?

解: 因为直线倾斜角的范围是 ?0,π ? ,所以,可将答案(A)淘汰;又因θ =0 时,cosθ =1,满 ? 足条件,而答案(B)与(C)不含 0,所以再淘汰答案(B)与(C).故选答案(D) 例 4. 已知函数 y=

x ,那么( x ?1



(A)当 x∈(-∞,1)或 x∈(1,+∞)时,函数单调递减 (B)当 x∈(-∞,1)∪(1,+∞)时,函数单调递增 (C)当 x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞)时,函数单调递减 (D)当 x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞)时,函数单调递增 解: x=1 时函数无意义,所以淘汰答案(C)、 ;又因为 x=2 时,y=2,而 x=3 时,y= (D) 所以,答案(B)不对.从而选答案(A).

3 . 2

例 6: 体积为 9 的三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M 是侧棱 CC1 上一点, 三棱锥 M-ABC 是体积 2. 则三棱锥 M-A1B1C1 的体积为 A、 3
2

B、1

C、2

D、3

解: 将三棱柱 ABC-A1B1C1 看成正三棱柱,底面面积为 1,高为 9, 则 M C=6, MC1=3. 从而, 三棱锥 S-A1B1C1 的体积为

1 ? 1 ? 3 ? 1 .故选答案(B). 3

.3、图象法 通过画图象作出判断的方法称为图象法. 利用函数图像或数学结果的几何意义, 将数的问题(如解方程、 解不等式、求最值,求取值范围等)与某些图形结合起来, 利用几何图形的直观几性,再辅以简单计算,确定正确答案的方法。 例 3、方程
x ? sin x 的实数解的个数为 ( 100



? A?61
解:令 y ?

?B?62

?C ?63

?D?64

x , y ? sin x ,这两个方程的曲线交点的个数就是原方程实数解的个 100 1 1 x 的斜率为 数.由于直线 y ? ,又 ? 1 ? sin x ? 1. 所以仅当 ? 100 ? x ? 100 时, 100 100

两 图 象 有 交 点 . 由 函 数 y ? sin x 的 周 期 性 , 把 闭 区 间 ?? 100,100? 分 成

??100,2??16 ? 1?? ?, ?2k? ,2?k ? 1?? ?, ?2 ?15? ,1 0 ?0 (k ? ?15,?14,?, .

? 2,?1,0,1,2,?,14),

共 32 个区间,在每个区间上,两图象都有两个交点,注意到原点多计一次,故 实际交点有 63 个.即原方程有 63 个实数解.故选 (C ) 例 11、方程 lg?x ? 4? ? 10x 的根的情况是 ( )

? A? 仅有一根

?B ? 有一正根一负根

?C ? 有两个负根

?D ? 没有实数根

解:令 y1 ? 10x , y2 ? lg?x ? 4?. 画草图(略). 当 x ? 0 时, y1 ? 10x ? 1, y2 ? lg?x ? 4? ? lg 4.? y1 ? y2 .
1 , y 2 ? lg?x ? 4? ? lg 3.? y1 ? y 2 . 10 1 , y 2 ? lg?x ? 4? ? lg1 ? 0.? y1 ? y 2 . 当 x ? ?3 时, y1 ? 10 x ? 1000

当 x ? ?1 时, y1 ? 10 x ?

由此可知,两曲线的两交点落在区间 x ? ?? 3,0? 内.故选 ?C ? . 例 12、已知 E ? ?x, y ? y ? x 2 , F ? ?x, y ? x 2 ? ? y ? a ? ? 1 ,那么使 E ? F ? F 成
2

?

?

?

?

立的充要条件是 (



? A?a ? 5

4

?B ?a ? 5

4

?C ?a ? 1

?D ?a ? 0

2 解:? E 为抛物线 y ? x 2 的内部(包括周界) F 为动圆 x 2 ? ? y ? a? ? 1的内 ,

部(包括周界).该题的几何意义是 a 为何值时,动圆进入区域 E ,并被 E 所覆盖. (图略)

? a 是动圆圆心的纵坐标,显然结论应是 a ? c?c ? R ? ? ,故可排除 ?B?, ?D? ,
而当 a ? 1 时, E ? F ? F . (可验证点 ?0,1? 到抛物线上点的最小距离为

3 ).故选 2

? A? .

从以上例题可以看出,解一元数学选择题,当得出的符合题意的结论与某选 择支相符时,便可断定该选择支是正确的.

四 代入验证法 将选择支中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一验证是否满足题设条件,然后 选择符合题设条件的选择项的一种方法。 将选择支代入题干或将题干代入选择支进行检验,然后作出判断的方法称为 代入法. 例 9、满足 7 x ? 3 ? x ?1 ? 2 的值是 ( )

? A?x ? 3

? B ?x ? 3
7

?C ?x ? 2

?D?x ? 1

分析:找最简单的选择支代入,并根据正确支是唯一的可知选 ?D ? . 注:本问题若从解方程去找正确支实属下策.
1 例 10、已知 0 ? a ? 1, b ? 1且ab ? 1.则M ? log a , N ? log a b, b 1 P ? log b .三数大小关系为 ( ) b

?A?P ? N ? M ?B?N ? P ? M ?C ?N ? M ? P ?D?P ? M ? N
解: 0 ? a ? 1, b ? 1知M ? 0, N ? 0. 又 P ? ?1 ? 0. 代入选择支检验 ?C ?, ?D? 被排 由

1 除; 又由 ab ? 1 ? loga ab ? 0 ? loga b ? loga a ? 0 , a b ? ?1. 即 log a b ? log b .? A? log b

被排除.故选 ?B ? .

五 筛选法
充分利用数学选择题是单选题的特征,从选择项入手,根据题设条件与各选择项之间的关系, 通过分析、推理、计算、判断,对选择项进行筛选,将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除, 从而获得正确结论的方法。 例如: (08 江西)已知函数 f(x)=2mx2-2(4-m)x+l,g(x)=mx,若对于任一实数 x,f(x)与 g(x)的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是 A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8) D.(-∞,0)

我们可以简单的代入数据 m=4 及 m=2,容易检验这两个数都是符合条件的,所以正确 选项为 B。

4、逻辑分析法 根据选择支的逻辑结构和解题指令的关系作出判断的方法称为逻辑分析法. 例 13、若 c ? 1, a ? c ? c ?1, b ? c ?1 ? c .则下列结论中正确的是 ( )

? A?a ? b

?B ?a ? b

?C ?a ? b

?D ?a ? b

分析: 由于 a ? b 的含义是 a ? b或a ? b. 于是若 ?B ? 成立, 则有 ?D ? 成立; 同理, 若 ?C ? 成立,则 ?D ? 也成立,以上与指令“供选择的答案中只有一个正确”相矛 盾,故排除 ?B?, ?C ? .再考虑 ? A?, ?D? ,取 c ? 3 代入得 a ? 3 ? 2 , b ? 2 ? 3 ,显然
a ? b ,排除 ?D ? .故选 ? A? .

例 14、当 x ? ?? 4,0?时, a ? ? x 2 ? 4 x ? ( )

4 x ? 1 恒成立,则 a 的一个可能取值是 3

? A?5

?B ? 5

3

?C ? ? 5

3

?D ? ? 5

解:? ? x 2 ? 4 x ? 0?? A?真 ? ?B ?真 ? ?C ?真 ? ?D?真 .故选 ?D ? . 注:本题由解题指令“只有一个供选答案正确”可知选 ?D ? 才正确.
→ → → → AB AC AB AC 1 → → → 例如: (06 陕西)已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0 且 · = , 则△ → → → → 2 |AB| |AC| |AB| |AC| ABC 为( )

A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 看到此题四个选项,我们比较容易发现 A 选项显然不正确,因为等边三角形是特殊的 等腰三角形,所以排除 C 选项。而 B 选项与 A,C,D 显然不是一个系列,而高考题里正确选 项与干扰项应该是统一的,所以正确答案为 D。

极限法 有时做题,我们可以令参数取到极限位置,甚至不可能取到的位置,此时的结果一般是 我们最后结果的范围或最值。

x2 y2 ? 1 的离心率 e 的取值范围是 例如: (08 全国)设 a ? 1 ,则双曲线 2 ? a (a ? 1) 2
A. ( C.

2 ,2)

B.

( 2, 5)

(2,5)

D. (2, 5 )

我们令 a=1 得到一侧结果,令 a 趋于正无穷,此时是等轴双曲线,可得另一侧结果,选 项为 B。 七 估算法

所谓估算法就是一种粗略的计算方法,利用“式”的放大或缩小,或“变量”的 极端情况(如“端点”、“相等”、“极值点”和“极限状态”),对运算结果确 定出一个范围或作出一个估计的方法。

总之,从考试的角度来看,解答选择题只要选对就行,至于用什么“策略”,“手段”都是无关紧要 的。但平时做题时要尽量弄清每一个选择项正确的理由与错误的原因,另外,在解答一道选择 题时,往往需要同时采用几种方法进行分析、 推理,只有这样,才会在高考时充分利用题目自身 提供的信息,化常规为特殊,避免小题大作,真正做到准确和快速。


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