kl800.com省心范文网

2012高考考前数学测试题及答案(人大附中学)


2012 高考考前数学热身练习题
(请认真完成每一道题) 1、命题“存在 x0 ? R, 2
x0

? 0”的否定是

( D )
x0

复习量词、命题的否定

(A)不存在 x0 ? R, 2 0 >0 (B)存在 x0 ? R, 2
x x

/>
?0
x

开始

(C)对任意的 x?R, 2 ? 0 (D)对任意的 x ? R, 2 >0 2、设函数 f ( x) ?

S=0,T=0,n=0 是

1 x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x) ( D ) 3

T>S 否 S=S+5 n=n+2

1 什么是零点? e 1 B 在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点。 e 1 C 在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点。 e 1 D 在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点。 e
A 在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点。

输出 T 结束

T=T+n

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

3、执行右边的程序框图,输出的 T= 30 . 读懂程序框图,逐步推演。 4、如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a ? ____ 3 ___ 三视图:注意还原几何体 5、 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得 身高数据的茎叶图如图 7. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (乙) (2)计算甲班的样本方差 (57) (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名 身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的 同学被抽中的概率. (

2 ) 5

读懂茎叶图,学会算平均数、方差,标准差,将两者进行比较。

6、 ?? cos xdx ? ?1 x2dx 的值为 0 0

1 3

学会求简单的定积分。 B
·

C

?x ? t 2 7、点 P(1,0)到曲线 ? (其中参数 t∈R)上的点的最短距 y ? 2t ?
离为 1 参数方程与极坐标相关知识请读教材与笔记

O

E D

A

P

8、极坐标方程 ? ? 2cos ? 化成直角坐标方__ x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 _________.

9、 如图, PC 切 ? O 于点 C ,割线 PAB 经过圆心 O ,弦 CD ? AB 于点 E ,已知 ? O 的 半径为 3 , PA ? 2 ,则 PC ? __4__, OE ? ___ 题 10、某单位为了了解用电量 y(度)与气温 x(°C)之间的关系,随机统计了某 4 天的用电 量与当天气温,并 表: 气温 x(°C) 用电量 y(度) 18 24 13 34 10 38 -1 64 制作了对照

9 __. 5

几何证明:相似、圆的简单问

? 由表中数据得线性回归方程 y ? bx ? a 中 b ? ?2 , 预测当气温为 ?4?C 时, 用电量的度数约
为 _ ( x, y ) ___. .68 注意:线性回归方程(读教材) 。线性回归方程 y=bx+a 过定点

11、已知随机变量 ? 服从正态分布 N (3, ? 2 ), 则 P(? ? 3) ? 题 (A)

( D) 理解正态分布简单问

1 5

(B)

1 4

(C)

12、在区间[-1,1]上随机取一个数 x, cos A.

?x 1 的值介于 0 到 之间的概率为 ( 2 2
w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

1 3

(D)

1 2

A ).

1 3

B.

2

?

C.

1 2

D.

2 3

请复习几何概型、条件概率
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

频率/组 13、某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 0.150 距 产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品 0.125 净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98) ,[98,100), 0.100 [100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于 0.075 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且 0.050 小于 104 克的产品的个数是 ( A ). A.90 B.75 C. 60 D.45 读懂频率分布直方图 96 98 100 102 104 106 克 14、设 a、b、c、d∈ R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 ( D ) A.ad-bc=0 B.ac-bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0 复数必考简单题,要准确 复数 (? 为 3

1 3 2 ? i) 对应的点位于第 二 象限 2 2

i ? i 2 ? i3 ? i 4 ?

0

复数

1 ? 7i 的虚部 2?i

15、 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是 圆 A.36 B. 18 C. 6 2 D. 5 2 与圆相关问题注意利用圆的平面几何性质解决!

C

若圆 x2 ? y 2 ? 4 与圆 x2 ? y 2 ? 2ay ? 6 ? 0 (a>0)的公共弦的长为 2 3 ,则 a ? _1_ 16、设直线 l ? 平面 ? ,过平面 ? 外一点 P 与 l , ? 都成 30 0 角的直线有且只有:( B ) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

.k.s.5.u.c. o.m

? x ? 1, ? 17、已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x 2 ? y 2 的最小值是 5 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
域 已知实数 x 、 y 满足 ? 1

“线性规划问题”要准确画出可行

? y ? 1, ? 则 x ? 2 y 的最大值是 4 ? y ? x ?1 , ?

表示的平面区域的面积是



m 为实数,若

? ? x ? 2 y ? 5 ? 0? ? ? ? 2 2 ?( x, y ) ? 3 ? x ? 0 ? ? {( x, y ) | x ? y ? 25} , 则 m ? ? mx ? y ? 0 ? ? ? ?

的取值范围是

__

? 4? ?0, 3 ? ______。 ? ?

18、有限集合 S 中元素的个数记做 card ( S ) ,设 A, B 都为有限集合,给出下列命题:

A ① ? B ? ? 的充要条件是 card ( A ? B) ? card ( A) ? card ( B) ; A ② ? B 的必要条件是 card ( A) ? card ( B) ;③ ? B 的充分条件是 card ( A) ? card ( B) ; A
A ④ ? B 的充要条件是 card ( A) ? card ( B) ;
A.③ ④ B.① ② 其中真命题的序号是 D.② ③ ( A ) D.既不充分也不必要条件 B

C.① ④

“a=1”是“函数 f ( x) ?| x ? a | 在区间[1, +∞)上为增函数”的 A.充分不必要条件
2

B.必要不充分条件

C.充要条件

设 p:x -x-20>0,q:

1? x2 <0,则 p 是 q 的 A x ?2

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条 件 19、已知( x ?
2

1 x

) 的展开式中第三项与第五项的系数之比为

n

3 ,则展开式中常数项是 14

D (A) - 1
r Tr ?1 ? Cn a n? rb

(B)1
r

(C) - 45

(D)45

注意准确利用通项公式:第 r ?1 项:

20、 安排 5 名歌手的演出顺序时, 要求某名歌手不第一个出场, 另一名歌手不最后一个出场, 不同排法的总数是 78 .(用数字作答) 排列组合问题注意“分类计数” D

21、已知函数 y ? e x 的图象与函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 y ? x 对称,则 A. f ? 2x ? ? e ( x ? R)
2x

B. f ? 2x ? ? ln 2 ? ln x( x ? 0) D. f ? 2x ? ? ln x ? ln 2( x ? 0) 2

C. f ? 2x ? ? 2e ( x ? R)
x

?2e x ?1 , x<2, ? 22、设 f ( x) ? ? 则f ( f (2))的值为 2 ?log 3 ( x ? 1),x ? 2. ?
23、函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? f ?5? ? ? f ? x?

?

1 5
AOB 内,且∠ AOC=30°,设 3 , OA? OB =0,点 C 在∠

24、已知︱ OA ︱=1,︱ OB ︱= R),则 OC =m OA +n OB (m、n∈

m 等于 3 n ??? ??? ? ? ??? ? 设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则( B )

A. PA ? PB ? 0

??? ??? ? ?

?

B. PC ? PA ? 0

??? ??? ? ?

?

C. PB ? PC ? 0

??? ??? ? ?

?

D. PA ? PB ? PC ? 0

??? ??? ??? ? ? ?

?

设向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,(a-b)⊥ b,若|a|=1,则|a| 2 ? | b | 2 +|c| 的值是 c,a⊥
2

4

25、已知等腰 △ ABC 的腰为底的 2 倍,则顶角 A 的正切值是( D )A.

3 2

B.

3

C.

15 8

D.

15 7

26、设 M 是椭圆 的 最小值等于

???? ???? ? ? x2 y 2 ? ? 1 上的动点, A1 和 A2 分别是椭圆的左、右顶点,则 MA1 ? MA2 4 3
?1

.

已知 F 是双曲线

2 y x ? ? 1 的左焦点,定点 A(1,4) 是双曲线右支上的动点,则 ,P 4 12

2

| PF | ? | PA | 的最小值为_ 9_ (掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识,定准 a, b, c, p ,注意用定义解题)
27、已知等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是 (A)? ??, ?1? (B)? ??,0? ? ?1, ??? (C)?3, ?? ? (D )

(D)? ??, ?1? ? ?3, ???

设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , S4 ? 10, S5 ? 15 , a4 的最大值为______4_____。 若 则 28、已知 cos ? ?

? 1 13 , cos( ? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14
(?8 3 ) 47 (Ⅱ)求 ? .( ? ?

(Ⅰ)求 tan 2? 的值. 29、已知 tan ? ? ?

?
3

) 变角: ? ? ? ? (? ? ? ) ) (=1)

1 5 , cos ? ? , ? , ? ? (0, ? ) 3 5

(1)求 tan( ? ? ?) 的值;

( 2 ) 求 函 数 f ( x) ? 2 sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) 的 最 大 值. 5 ) ( (先化简为: ? 5 sin x ) 30、已知函数 f ( x) ? cos ? x ?
2

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ?

(I) x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴, g ( x0 ) 设 求 的 值 .( 提 示 : 2 x0 ? kπ ?

π ,当 k 为偶数时, 6

1 π 1 5 1 ? π? 1 3 ) g ( x0 ) ? 1 ? sin ? ? ? ? 1 ? ? ,当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ? sin ? 1 ? ? . 2 6 4 4 2 ? 6? 4 4
(II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间. ( ? kπ ? ,kπ ? ? ( k ? Z )) . 12 12

? ?



π? ?

在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (II) 求 sin ? 2 A ?

w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

(I) 求 AB 的值:

w.w

.w (.k.s. 5.u. c

2 5

.o.m

? ?

??

? 的值 4?

w.w.w.k.s.5.u. c. o.m

2 10

31、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的 40 件产品 作为样本称出它们的重量(单位:克) ,重量的分组区间为(490,495】(495,500】 , ,??, (510,515】 ,由此得到样本的频 率分布直方图,如图 4

(1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量; (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过 505 克的产品数量,求 Y 的 分 布列; (3)从该流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率。 ( 1 )

Y

0

1

2

40 ? (0.05 ? 5 ? 0.01? 5) ? 12
P
(3)

231 703

63 130

56 130

11 130

32、某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4,0.5, 0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设ξ 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有 游览的景点数之差的绝对值.(Ⅰ)求ξ 的分布及数学期望;

E? ? 1.48

(Ⅱ)记“函数 f(x)=x2-3ξ x+1 在区间[2,+∞ ) 上单调递增”为事件 A,求事件 A 的概 率. ( 0.76 ) 33、某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科目 B 的考试. 已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加 这项考 试,科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 假设各次考试成绩合格与否均互不影响. (Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率; (

2 1 ,科目 B 每次考试成绩合格的概率均为 . 3 2 1 ) 3

(Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ? , 求 ? 的数学期望 E ? . (

8 ) 3

34、矩形 ABCD 中, A ? , ? ,沿对角线 BD 将三角形 ABD B 6 B 23 C 向上折起, 使点 A 移动到点 P, 使点 P 在平面 BCD 上的射影 F 在 DC 上 (如 右图).(I)求证:PD⊥PC; (II)求二面角 P—DB—C 的大小; arcsin

2 2 3 2 3

(III)求直线 CD 与平面 PBD 所成角的大小。 arcsin

35、 四棱锥 S-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC⊥底面 ABCD。 已知∠ABC=45°, AB=2,BC= 2 2 ,SA=SB= 3 。 (Ⅰ)证明:SA⊥BC;
C1 A1 D E B B1

C A

(Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小; ( arcsin

22 ) 11

36、如图,在直三棱柱 ABC ? A B1C1 中, AB ? BC , D 、 E 分 1 别为 BB1 、 AC1 的中点。 (I)证明:ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线; (II)设 AA ? AC ? 2 AB, 求二面角 A1 ? AD ? C1 的大小。 60 1 37、已知集合 A ? {x | (Ⅰ )求 A ? B ;
?

2x ? 2 < 1} , B={x| x2+4x -5>0 }, C ? {x || x ? m | <1, m ? R} . x?2
A ? B ? {x | 1< x < 2}
( 1 ≤ m ≤2 )

(Ⅱ )若 ( A ? B) ? C ,求 m 的取值范围.

38、已知函数 f(x)=ln(x2 +1) ?ax(a?R) . (Ⅰ )若函数 f(x)在 R 上是增函数,求 a 的取值范围; ((?∞,?1]) (Ⅱ )若|a|<1,求 f(x)的单调增区间. (提示:分类讨论) 39、设函数 f ( x) ? x 2 ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 . (Ⅰ)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; 2

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值点; 40、已知动点 P 到直线 x ? ?

4 2 3 3 的距离是到定点( ? 3,0 )的距离的 倍. 3 3

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程;

x2 ? y2 ? 1) ( 4

(Ⅱ)如果直线 l : y ? k ( x ? 1) ( k ? 0) 与 P 点的轨迹有两个交点 A、B,求弦 AB 的垂直平 分线在 y 轴上的截距 y0 的取值范围.
2

( [?

3 3 ,0) ? (0, ] 4 4



41、 已知抛物线 x ? 4 y 及定点 P (0, , B 是抛物线上的两动点, AP ? ? PB(? ? 0) 。 8) A、 且 过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M. (Ⅰ)证明:点 M 的纵坐标为定值; (点 M 的纵坐标为定值 ?8 ) (Ⅱ)是否存在定点 Q,使得无论 AB 怎样运动,都有 ?AQP ? ?BQP ?证明你的结 论. Q(0, ?8) 42、已知抛物线 C : y ? 4 x 的准线与 x 轴交于 M 点,过 M 点斜率为 k 的直线 l 与抛物线
2

C 交于 A 、 B 两点( A 在 M 、 B 之间). 3 5 (1) F 为抛物线 C 的焦点,若 | AM |? | AF | ,求 k 的值; ( k ? ? 4 4



(2) 如 果 抛 物 线 C 上 总 存 在 点 Q , 使 得 QA ? QB , 试 求 k 的 取 值 范 围. ?? (

? ?

5 ? ? 5? ,0 ? ? ? 0, ?) 5 ? ? 5 ? ? ?

x2 y 2 43、 设 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右焦点 分 别 为 F,F2,A 是 椭 圆 上 的一点 , 1 a b
1 AF2 ? F1F2 ,原点 O 到直线 AF1 的距离为 OF1 . 3
2 2

(Ⅰ)证明 a ?
2

2b ;

(Ⅱ)求 t ? (0,b) 使得下述命题成立:设圆 x ? y ? t 上任意点 M ( x0,y0 ) 处的切线交 椭圆于 Q1 , Q2 两点,则 OQ1 ? OQ2 .

(t ?

6 b) 3

44、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S1 = 2, S n+1 = 3S n + 2 ? n= 1, 3?? . 2, (Ⅰ)求证:数列 S n + 1 为等比数列; (Ⅱ)求通项公式 an ; an ? 2 ? 3n?1 , n ? N* ) ( (Ⅲ)设 bn ?

{

}

an ,求证: b1 ? b2 ? ... ? bn ? 1 . 2 Sn

45、无穷数列 ?an ? 满足:

an?1 ?n 2 ? 2n ( ? ? 0 为常数). ? an n ?1
( ? ?0 )

(1)若 a1 ? 1, 且数列 ?nan ?为等比数列,求 ? ;

(2)已知 a1 ? 1, ? ? 3 ,若 50 ? am ? 80 ,求 m ; m ? 5 ) ( (3) 若存在正整数 N , 使得当 n ? N 时, an ?1 ? a n , 有 求证: 存在正整数 M , 使得当 n ? M 时,有 a n ? 0. 46、现有一组互不相同且从小到大排列的数据: a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,其中 a0 ? 0 .为提取 反映数据间差异程度的某种指标,今对其进行如下加工:记 T ? a0 ? a1 ? ? ? a5 ,

xn ?

n 1 , y n ? (a 0 ? a1 ? ? ? a n ) ,作函数 y ? f (x) ,使其图象为逐点依次连接点 5 T

Pn ( xn , yn )(n ? 0,1,2,?,5) 的折线.

(Ⅰ)求 f (0) 和 f (1) 的值; (0, 1 ) ( Ⅱ ) 设 Pn?1 Pn 的 斜 率 为 k n (n ? 1,2,3,4,5) , 判 断 k1 , k 2 , k3 , k 4 , k5 的 大 小 关 系 ; (k1<k2<k3<k4<k5.) (Ⅲ)证明:当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? x ; 47. 给定平面上的点集 P ? ?P , P , P ,?, P ? (n ? 6) .点集 P 中任意三点不共线,将 P 中 1 2 3 n 所有的点任意分成 k (k ? 2) 组,使得每组至少三个点,且每个点恰属于一组.然后将同一组 的任意两点都用线段相连,不同组的点间不用线段连接.这样得到一个图案 G ,不同的方式得 到不同的图案,将图案 G 中所含的以点集 P 中的点为顶点的三角形的个数记为 m(G) . (Ⅰ)当 n ? 7, k ? 2 时,求 m(G) 的值; (5 )

(Ⅱ) 当 n ? 13, k ? 3 时,求 m(G) 的最小值; (18 ) (Ⅲ) 当 n ? 2010, k ? 100 时,求 m(G) 的最小值; (115900)

高考前热身练习 参考答案
28、已知 cos ? ?

? 1 13 , cos( ? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14

(Ⅰ)求 tan 2? 的值. (Ⅱ)求 ? . 解: (Ⅰ)由 cos ? ?
2 1 ? , 0 ? ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 4 3 ? ? 7 2 7 ?7?

∴ tan ? ?

sin ? 4 3 7 ? ? ? 4 3 ,于是 tan 2? ? 2 tan ? ? 2 ? 4 3 2 ? ? 8 3 cos ? 7 1 1 ? tan 2 ? 1 ? 4 3 47

?

?

(Ⅱ)由 0 ? ? ? ? ? 又∵ cos ?? ? ? ? ?

?
2

,得 0 ? ? ? ? ?

?
2
2

13 3 3 13 ,∴ sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 14 14 ? 14 ?

由 ? ? ? ? ?? ? ? ? 得:

cos ? ? cos ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos? cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ? ? ?

1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? 7 14 7 14 2

所以 ? ?

?
3

1 5 , cos ? ? , ? , ? ? (0, ? ) 3 5 (1)求 tan(? ? ? ) 的值;
29、已知 tan ? ? ? (2)求函数 f ( x) ? 2 sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) 的最大值. 解: (1)由 cos ? ?

5 , ? ? (0, ? ) 5 2 5 5

得 tan ? ? 2 , sin ? ?

1 ? ?2 tan ? ? tan ? 于是 tan(? ? ? ) = ? 3 ? 1. 2 1 ? tan ? tan ? 1? 3 1 (2)因为 tan ? ? ? , ? ? (0, ? ) 3
所以 sin ? ?

1 3 , cos ? ? ? 10 10

f ( x) ? ?

3 5 5 5 2 5 sin x ? cos x ? cos x ? sin x 5 5 5 5

? ? 5 sin x
f ( x) 的最大值为 5 .
30、已知函数 f ( x) ? cos ? x ?
2

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ?

(I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间. 解: (I)由题设知 f ( x) ?

1 π [1 ? cos(2 x ? )] . 2 6
π ? kπ , 6

因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 ?

π (k ?Z ) . 6 1 1 π 所以 g ( x0 ) ? 1 ? sin 2 x0 ? 1 ? sin( kπ ? ) . 2 2 6
即 2 x0 ? kπ ?

当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? 1 ? 当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ? (

1 ? π? 1 3 sin ? ? ? ? 1 ? ? , 2 ? 6? 4 4
1 π 1 5 sin ? 1 ? ? . 2 6 4 4


II

h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1? π ?? 1 ? ?1 ? cos ? 2 x ? 6 ?? ? 1 ? 2 sin 2 x 2? ? ??

?

? 3 1? ? π? ? 3 1? 3 1 ?cos ? 2 x ? 6 ? ? sin 2 x ? ? 2 ? 2 ? 2 cos2x ? 2 sin 2 x ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? ? ?

1 ? π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? . 2 ? 3? 2
当 2kπ ?

π π π 5π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, 2 3 2 12 12

函数 h( x) ?

1 ? π? 3 sin ? 2 x ? ? ? 是增函数, 2 ? 3? 2 ? ? 5π π? . ,kπ ? ? ( k ? Z ) 12 12 ?

故函数 h( x) 的单调递增区间是 ? kπ ?

31、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的 40 件产品 作为样本称出它们的重量(单位:克) ,重量的分组区间为(490,495】(495,500】 , ,??, (510,515】 ,由此得到样本的频 率分布直方图,如图 4 (4)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量, (5)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过 505 克的产品数量,求 Y 的 分 布列; (6)从该流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率。 分析: (1)重量超过 505 克的产品数量是 40 ? (0.05 ? 5 ? 0.01? 5) ? 12 件; (2)Y 的所有可能取值为 0,1,2;

P(Y ? 0) ?

2 C28 63 C1 C1 C2 56 11 , P(Y ? 1) ? 12 2 28 ? , P(Y ? 1) ? 12 ? , ? 2 2 C40 130 C40 130 C40 130

Y 的分布列为

Y P

0

1

2

63 130

56 130

11 130

(3)从流水线上任取 5 件产品,恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率为

12 ?11 28 ? 27 ? 26 ? 2 3 C12C28 2 ?1 3 ? 2 ?1 ? 21?11 ? 231 。 ? 5 40 ? 39 ? 38 ? 37 ? 36 37 ?19 703 C40 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1

31、解: (I)分别记“客人游览甲景点”“客人游览乙景点”“客人游览丙景点” , , 为事件 A1,A2,A3. 由已知 A1,A2,A3 相互独立,P(A1)=0.4,P(A2)=0.5, P(A3)=0.6. 客人游览的景点数的可能取值为 0,1,2,3. 相应地,客人没有游览的景点数的可能取 值为 3,2,1,0,所以 ? 的可能取值为 1,3. P( ? =3)=P(A1·A2·A3)+ P( A1 ? A2 ? A3 ) = P(A1)P(A2)P(A3)+P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ) =2×0.4×0.5×0.6=0.24, P( ? =1)=1-0.24=0.76. 所以 ? 的分布列为 E ? =1×0.76+3×0.24=1.48. (Ⅱ)解法一 因为 f ( x) ? ( x ?

?
P

1 0.76

3 0.24

3 2 9 ?) ?1? ? 2, 2 4 3 2 所以函数 f ( x) ? x ? 3?x ? 1在区间[ ? ,?? ) 上单调递增, 2 3 4 要使 f ( x)在[2,??) 上单调递增,当且仅当 ? ? 2, 即? ? . 2 3 4 从而 P ( A) ? P (? ? ) ? P (? ? 1) ? 0.76 . 3

32、解:设“科目 A 第一次考试合格”为事件 A, “科目 A 补考合格”为事件 A2; “科目 B 第 一次考试合格”为事件 B, “科目 B 补考合格”为事件 B. (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为 A1·B1,注意到 A1 与 B1 相互独立, 则 P( A1 ?B1 ) ? P ( A1 ) ? P ( B1 ) ?

2 1 1 ? ? . 3 2 3
1 . 3

答:该考生不需要补考就获得证书的概率为

(Ⅱ)由已知得, ? =2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得

2 1 1 1 1 1 4 P(? ? 2) ? P( A1 ?B1 ) ? P( A1 ?A2 ) ? ? ? ? ? ? ? . 3 2 3 3 3 9 9

P(? ? 3) ? P( A1 ?B1 ?B2 ) ? P( A1 ?B1 ?B2 ) ? P( A1 ?A2 ?B2 )
2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 2 2 3 2 2 3 3 2 6 6 9 3

P(? ? 4) ? P( A1 ?A2 ?B2 ?B2 ) ? P( A1 ?A2 ?B1 ?B2 )
1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 3 2 2 3 3 2 2 18 18 9 4 4 1 8 故 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 9 9 9 3 8 答:该考生参加考试次数的数学期望为 . 3
33、 【解】 :记 A 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲种商品, 记 B 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买乙种商品, 记 C 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种, 记 D 表示事件:进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种, (Ⅰ) C ? A ? B ? A ? B

P ? C? ? P A B A ? P A ? B ? P A? B ? ? ? B ? P ? A? ? P B ? P ? A? ? P B ? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5
(Ⅱ) D ? A ? B

?

?

?

? ?

?

? ?

? ?

P D ? P A ? B ? P A ? P B ? 0.5 ? 0.4 ? 0.2 P ? D? ? 1 ? P D ?0 . 8
(Ⅲ) ? ? B ?3,0.8? ,故 ? 的分布列

? ?

?

?

? ? ? ?

? ?

P ?? ? 0? ? 0.23 ? 0.008

1 P ?? ? 1? ? C3 ? 0.8? 0.22 ? 0.096

2 P ?? ? 2? ? C3 ? 0.82 ? 0.2 ? 0.384

P ?? ? 3? ? 0 .38 ? 0 . 5 1 2

所以 E? ? 3 ? 0.8 ? 2.4 34、解: (I)证明:∵四边形 ABCD 为矩形,∴BC⊥CD,DA⊥AB,∵A 点移动到了 P 点 ∴PD⊥PB,又∵P 点在平面 BCD 上的射影在 CD 上,∴过 P 点作 PF⊥CD, ∴PF⊥面 BCD, ∴BC⊥面 PCD, ∴BC⊥PD, ∴PD⊥面 PBC, ∴PD⊥PC; (II)解:∵PF⊥面 BCD,∴过点 F 作 FE⊥BD,连结 PE,∴∠PEF 为二面角 P—BD—C

的平面角, ∵PD⊥PC,∴△CPD 为 Rt△, ? P D? 2 3 C D 6 ? P C 2 , ? , ? 6

? F? 2,又∵在 R D 中, P 2, ,4 , ∴PE=3 P 2 D 3B B 3 ? P6 D ? ? t P ? B
22 22 , ? P F aci ; ?in P F? s ∠E ∠ ? r sn E 3 3
(III)解:过 F 点作 FG⊥PE,由(2)可知 FG⊥面 PBD,连结 GD,∴∠GDF 为直线 CD 与平面 PDB 所成的角, ∵在 R PF D23 P 22 F t D中, P? ,? ,∴DF=2, ? ∵在 R PE F 22 P 3 E t F 中, P ? , ? , ?

? EF ? 1,? FG ?
2 . 3

2 2 , 3

F G 2 ?n GF s ∠ ? i D ? , D F 3

? G F?aci ∠D r sn

35、 四棱锥 S-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC⊥底面 ABCD。 已知∠ABC=45°, AB=2,BC=2 2 ,SA=SB= 3 。 (Ⅰ)证明:SA⊥BC; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小; 解答:解法一: (Ⅰ)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ,得 SO ⊥ 底 面 ABCD . 因为 SA ? SB ,所以 AO ? BO , 又 ∠ABC ? 45 ,故 △ AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ BO ,
?

由三垂线定理,得 SA ⊥ BC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 SA ⊥ BC ,依题设 AD ∥ BC , 故 SA ⊥ AD ,由 AD ? BC ? 2 2 , SA ? 3 , AO ? 2 ,得

S

SO ? 1 , SD ? 11 .
C

O
B A

1 ?1 ? △SAB 的面积 S1 ? AB ? SA2 ? ? AB ? ? 2 .D 2 ?2 ?
连结 DB ,得 △DAB 的面积 S 2 ?

2

1 AB?AD sin135? ? 2 2

设 D 到平面 SAB 的距离为 h ,由于 VD?SAB ? VS ? ABD ,得

1 1 h?S1 ? SO?S 2 , 3 3
解得 h ?

2.

设 SD 与平面 SAB 所成角为 ? ,则 sin ? ?

h 2 22 . ? ? SD 11 11
22 . 11

所以,直线 SD 与平面 SBC 所成的我为 arcsin

解法二: (Ⅰ)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ,得 SO ⊥ 平 面 ABCD . 因为 SA ? SB ,所以 AO ? BO . 又 ∠ABC ? 45 , △ AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ OB .
?

如图,以 O 为坐标原点, OA 为 x 轴正向,建立直角坐标系 O ? xyz ,

z
S

??? 0, A( 2,0) , B(0,2, , C (0, 2, , S (0,1) , SA ? ( 2, ?1) , 0, 0) ? 0) 0,
??? ??? ? ??? ? CB CB ? (0, 2, , SA? ? 0 ,所以 SA ⊥ BC . 2 0)
(Ⅱ)取 AB 中点 E , E ?

G
C

? 2 2 ? 0? ? 2 ,2 ,? , ? ?

O
A

E

B

y

D

连结 SE ,取 SE 中点 G ,连结 OG , G ?

? 2 2 1? ? 4 ,4 , ? . 2? ? ?

x

? 2 2 1? ? 2 2 ? OG ? ? , , ? , SE ? ? 1? 0) ? 4 4 2? ? 2 ,2 , , AB ? (? 2,2, . ? ? ? ? ?

SE? ? 0 , AB? ? 0 , OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE , AB 垂直. OG OG
所以 OG ? 平面 SAB , OG 与 DS 的夹角记为 ? , SD 与平面 SAB 所成的角记为 ? , 则 ? 与 ? 互余.

D( 2, 2, , DS ? (? 2, 21) . 2 0) 2 ,
cos ? ? OG?DS OG ?DS ? 22 22 , sin ? ? , 11 11

所以,直线 SD 与平面 SAB 所成的角为 arcsin

22 . 11

1 ∥ 36、 解法一: (Ⅰ) O 为 AC 中点, 设 连接 EO, BO, EO∥2C1C, C1C=B1B, 则 = 又 所以 EO∥DB, = EOBD 为平行四边形,ED∥OB. ∵AB=BC,∴BO⊥AC,

又平面 ABC⊥平面 ACC1A1,BO?面 ABC,故 BO⊥平面 ACC1A1, ∴ED⊥平面 ACC1A1,BD⊥AC1,ED⊥CC1, ∴ED⊥BB1,ED 为异面直线 AC1 与 BB1 的公垂线. (Ⅱ)连接 A1E,由 AA1=AC= 2AB 可知,A1ACC1 为正方形, ∴A1E⊥AC1,又由 ED⊥平面 ACC1A1 和 ED?平面 ADC1 知平面 ADC1⊥平面 A1ACC1,∴A1E⊥平面 ADC1.作 EF⊥AD,垂足为 F, 连接 A1F,则 A1F⊥AD,∠A1FE 为二面角 A1-AD-C1 的平面角. AE×ED 2 不妨设 AA1=2,则 AC=2,AB= 2ED=OB=1,EF= AD = , 3

C1 A1

B1 D E F B O A

C

tan∠A1FE= 3,∴∠A1FE=60°.所以二面角 A1-AD-C1 为 60°. 解法二: (Ⅰ)如图,建立直角坐标系 O-xyz,其中原点 O 为 AC 的中点. 设 A(a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c). 则 C(-a,0,0),C1(-a,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c). ??3 分 → → ED =(0,b,0) ,BB1=(0,0,2c). →→ ED · 1=0,∴ED⊥BB1. BB → 又AC1=(-2a,0,2c), →→ ED · 1=0,∴ED⊥AC1, AC ??6 分 E C O A B x C1 z B1 A1 D y

所以 ED 是异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线. (Ⅱ)不妨设 A(1,0,0),则 B(0,1,0),C(-1,0,0),A1(1,0,2), → → → BC =(-1,-1,0), AB =(-1,1,0),AA1=(0,0,2), →→ →→ BC ·AB =0, BC · 1=0,即 BC⊥AB,BC⊥AA1,又 AB∩AA1=A, AA ∴BC⊥平面 A1AD. 又 E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,1), → → → EC =(-1,0,-1), AE =(-1,0,1), ED =(0,1,0), →→ →→ EC ·AE =0, EC ·ED =0,即 EC⊥AE,EC⊥ED,又 AE∩ED=E, ∴ EC⊥面 C1AD. ??10 分 →→ → → → → EC ·BC 1 cos< EC , BC >= → → =2,即得 EC 和 BC 的夹角为 60°. | EC |· BC | | 所以二面角 A1-AD-C1 为 60°. 37.解: )∵ ? {x | (Ⅰ A 2x+2 x-2 <1 ?

2x ? 2 <1 } 得 x?2
(x+4)(x?2)<0 …… 2 分 …… 3 分

A ∴ ? {x | ?4 < x <2 }

x2+4x ?5>0

?

(x+5)(x?1)>0

B ∴ ? {x | x ? ?5或x ? 1}
(Ⅱ C ? {x || x ? m | <1, m ? R} )∵ 即 C ? {x | m ? 1 < x < m ? 1, m ? R}

A ∴ ? B ? {x | 1< x < 2}

…… 8 分

( ∵ A ? B) ? C



m ? 1 ≤1 m ? 1 ≥2 m ?1< m ?1
1 ∴ ≤ m ≤2
…… 2 分

…… 10 分 …… 12 分

2x 38.解: ) fˊ(x) = 2 (Ⅰ ?a x +1 2x fˊ(x) = 2 ? a>0 在( ??, ?? )上恒成立 x +1 2x ?a< 2 在( ??, ?? )上恒成立, x +1 2x 令 g(x)= 2 x +1 当 x 的值等于 0 时,g(x)的值等于 0, 当 x ? 0 时, g ( x) ?

(ⅰ) 当 fˊ(x)>0, x∈( ??, ?? )时,f(x)是( ??, ?? )上的增函数

…… 3 分

2 x?

1 x 由上述,当 x ? (??, ??) 时, g ( x) ?[?1,1] ,

,由于 x ? ? (??, ?2] ? [2, ??) ,故 g ( x) ?[?1,0) ? (0,1]

1 x

2x 所以,当 a ? ?1 时, 即 a< 2 在( ??, ?? )上恒成立 x +1 (ⅱ)当 a = ?1 时, f(x)的值等于 ln(x2+1)+x 2x fˊ(x) = 2 +1?0 x +1

…… 5 分

所以 f(x)是( ??, ?? )上的增函数, …… 6 分 (ⅲ) 当 a> ?1 时,在( ??, ?? )上存在一个区间其上有 fˊ(x)<0 所以 f(x)不是( ??, ?? )上的增函数 综上所求 a 的取值范围是(?∞,?1]. …… 7 分 (Ⅱ )① 当 a=0 时,解 f ' (x)>0 得 x>0,即函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增;…8 分 ② a≠0 时,令 f ' (x)=0,△ 1-a2 当 = 1- 1-a2 1+ 1-a2 因为|a|<1,所以 x= 或 x= a a 当 0<a<1 时,由△ >0,f ' (x)>0 1- 1-a2 1+ 1-a2 函数 f(x)在( , )上单调递增; a a 当-1<a<0 时,由△ >0,f ' (x)>0 ……12 分 …… 10 分

1+ 1-a2 1- 1-a2 函数 f(x)在(-∞, )( 、 ,+∞)上单调递增. a a 39、设函数 f ( x) ? x 2 ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 . (Ⅰ)当 b ?

……14 分

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; 2

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值点;

(Ⅲ)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln ?

?1 ? 1 1 ? 1? ? 2 ? 3 都成立. ?n ? n n

解(I) 函数 f ( x) ? x 2 ? b ln( x ? 1) 的定义域为 ? ?1, ?? ? .

f '( x) ? 2 x ?

b 2 x2 ? 2 x ? b ? , x ?1 x ?1

令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ,则 g ( x) 在 ? ?
2

1? ? 1 ? ? , ?? ? 上递增,在 ? ?1, ? ? 上递减, 2? ? 2 ? ?

1 1 1 1 g ( x) min ? g (? ) ? ? ? b .当 b ? 时, g ( x) min ? ? ? b ? 0 , 2 2 2 2

g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? b ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上恒成立.? f ' ( x) ? 0,
1 时,函数 f ( x ) 在定义域 ? ?1, ?? ? 上单调递增。 2 1 (II)分以下几种情形讨论: (1)由(I)知当 b ? 时函数 f ( x ) 无极值点. 2
即当 b ?

1 2( x ? )2 1 2 ,? x ? ? ?1, ? 1 ? 时, f ' ( x) ? 0, (2)当 b ? 时, f '( x) ? ? ? 2 2? x ?1 ?
1 ? 1 ? x ? ? ? , ?? ? 时, f ' ( x) ? 0, ? b ? 时,函数 f ( x) 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点。 2 ? 2 ?
(3)当 b ?

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ' 时,解 f ( x) ? 0 得两个不同解 x1 ? , x2 ? . 2 2 2

当 b ? 0 时, x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1 , x2 ? ? ?1 , 2 2

? x1 ? ? ?1, ??? , x2 ? ? ?1, ??? ,
此时 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一的极小值点 x2 ?

?1 ? 1 ? 2b . 2

当0 ? b ?

1 时, x1, x2 ? ? ?1, ??? , 2

f ' ( x) 在 ? ?1, x1 ? , ? x2 , ??? 都大于 0 , f ' ( x) 在 ( x1 , x2 ) 上小于 0 ,
此时 f ( x ) 有一个极大值点 x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 和一个极小值点 x2 ? . 2 2 ?1 ? 1 ? 2b ; 2

综上可知, b ? 0 时, f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一的极小值点 x2 ?

0?b?
b?

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时, f ( x ) 有一个极大值点 x1 ? 和一个极小值点 x2 ? ; 2 2 2

1 时,函数 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点。 2

(III) 当 b ? ?1 时, f ( x) ? x2 ? ln( x ? 1). 令 h( x) ? x3 ? f ( x) ? x3 ? x2 ? ln( x ? 1), 则 h ( x) ?
'

3x3 ? ( x ? 1)2 在 ?0, ??? 上恒正, x ?1

? h( x) 在 ?0, ??? 上单调递增,当 x? ? 0, ??? 时,恒有 h( x) ? h(0) ? 0 .
即当 x? ? 0, ??? 时,有 x3 ? x2 ? ln( x ? 1) ? 0, ln( x ? 1) ? x2 ? x3 , 对任意正整数 n ,取 x ?

1 1 1 1 得 ln( ? 1) ? 2 ? 3 n n n n

40、解: (Ⅰ)设动点 P( x, y ) ,由题意知 x ?

4 2 3 3 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 . 3 3

x2 ? ? y 2 ? 1. 4

x2 ? y2 ? 1. 即动点 P 的轨迹方程是 4
? y ? k ( x ? 1), ? 2 ?x 2 ? ? y ? 1. ?4





















(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 .

从而

? ?? ? 48k 2 ? 16 ? 0, ? 4k 2 k 8k 2 ? (? , ) ,弦 AB 的中点坐标为: 2 ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? ? 4k 2 ? 4 x1 ? x2 ? . ? 1 ? 4k 2 ?

k 1 4k 2 弦 AB 的线段垂直平分线方程为 y ? 1 ? 4k 2 ? ? k ( x ? 1 ? 4k 2 ) .
3k y0 ? ? 所以垂直平分线在 y 轴上的截距为: 1 ? 4k 2 , ? k ? 0 ? .
故弦 AB 的线段垂直平分线在 y 轴上的截距的取值范围为 [ ?
3 3 ,0) ? (0, ] . 4 4

1 2 1 x ,求导得 y ? ? x , 4 2 1 所 以 , 过 抛 物 线 上 A 、 B 两 点 的 切 线 方 程 分 别 为 : y ? x1 ( x ? x1 ) ? y1 , 2
41、 解: (1)方法 1:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,抛物线方程为 y ?

y?

x ? x 2 x1 x 2 1 1 1 2 1 1 2 x 2 ( x ? x 2 ) ? y 2 ,即 y ? x1 x ? x1 , y ? x 2 x ? x 2 ,解得 M ( 1 , )。 2 2 4 2 4 2 4

又 AP ? ? PB(? ? 0) ,得 (? x1 ,8 ? y1 ) ? ? ( x2 , y 2 ? 8) ,即 ? 将式(1)两边平方并代入 y1 ? 解得 y1 ? 8? , y 2 ?

?? x1 ? ?x2 ?8 ? y1 ? ? ( y 2 ? 8)

(1) (2)

1 2 1 2 x1 , y 2 ? x 2 得 y1 ? ?2 y2 ,再代入(2)得 ?y2 ? 8 , 4 4
2

8

?

且有 x1 x2 ? ??x2 ? ?4?y2 ? ?32 ,所以,点 M 的纵坐标为-8。

方法 2: (II)?直线AB与x轴不垂直, 设AB : y ? kx ? 8. A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).

? y ? kx ? 8, ? 由? 可得 x2 ? 4kx ? 32 ? 0 , 1 y ? x2 . ? ? 4
抛物线方程为 y ?

x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?32

1 2 1 x , 求导得y? ? x. 4 2


1 1 x1 , k 2 ? x2 2 2 1 2 1 1 2 1 ? MA : y ? x1 ? x1 ( x ? x1 ); MB : y ? x2 ? x2 ( x ? x2 ) 4 2 4 2
所以过抛物线上 A、B 两点的切线斜率分别是 k1 ?

1 1 2 ? x12 x2 ? x1 x2 1 4 ? x1 x2 ? ?8 解得: yM ? 4 x2 ? x1 4

即点 M 的纵坐标为定值 ?8 (2)考虑到 AB//x 轴时,显然要使 ?AQP ? ?BQP ,则点 Q 必定在 y 轴上, 设点 Q(0, t ) ,此时 k AQ ?

y1 ? t y ?t , kBQ ? 2 , x1 x2

结合(1)中? x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?32

x12 x2 2 ?t ?t x x ( x ? x ) ? 4t ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 1 2 1 2 ? 0 对一切 k 恒成立 故 k AQ ? k BQ ? 4 x1 x2 4 x1 x2 即: k (8 ? t ) ? 0 故当 t ? ?8 ,即 Q(0, ?8) 时,使得无论 AB 怎样运动,都有 ?AQP ? ?BQP
42、(1)法一:由已知 M (?1,0) 设 A( x1 , y1 ) ,则 | AM |? 1 ? k 2 | x1 ? 1 | ,

| AF |? ( x1 ? 1) 2 ? y1 ? ( x1 ? 1) 2 ? 4 x1 ?| x1 ? 1 | ,
2

由 4 | AM |? 5 | AF | 得, 4 1 ? k 2 ? 5 ,

3 ?????????2 分 4 法二:记 A 点到准线距离为 d ,直线 l 的倾斜角为 ? ,
解得 k ? ? 由抛物线的定义知 | AM |? ∴ k ? tan ? ? ?

5 d 4

∴ cos? ? ?

d 4 ?? , | AM | 5

3 4

(2)设 Q( x0 , y0 ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 )

? y 2 ? 4x 由? 得 ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0 ? y ? k ( x ? 1)
首先由 ?

?k ? 0
2 ?16 ? 16k ? 0

得 ?1 ? k ? 1且 k ? 0

k QA ?

y 0 ? y1 y 0 ? y1 4 4 ? 2 ? ,同理 k QB ? 2 x0 ? x1 y 0 ? y1 y0 ? y2 y0 y ? 1 4 4

由 QA ? QB 得

4 4 ? ? ?1 , y 0 ? y1 y0 ? y 2

即: y0 ? y0 ( y1 ? y2 ) ? y1 y2 ? ?16 ,
2

∴ y0 ?
2

4 y 0 ? 20 ? 0 k

4 5 5 ? ? ( ) 2 ? 80 ? 0 ,得 ? 且k ? 0, ?k? k 5 5
由 ? 1 ? k ? 1 且 k ? 0 得,

? 5 ? ? 5? k 的取值范围为 ?? ,0 ? ? ? 0, ? ? ? ? 5 ? ? 5 ?
43、 设 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右焦点 分 别为 F1,F2,A 是 椭 圆 上 的一点 , a 2 b2

1 AF2 ? F1F2 ,原点 O 到直线 AF1 的距离为 OF1 . (Ⅰ)证明 a ? 2b ; 3
(Ⅱ)求 t ? (0,b) 使得下述命题成立:设圆 x ? y ? t 上任意点 M ( x0,y0 ) 处的切线交
2 2 2

椭圆于 Q1 , Q2 两点,则 OQ1 ? OQ2 . (Ⅰ)证法一:由题设 AF2 ? F F2 及 F1 (?c, , F2 (c, ,不妨设点 A(c,y ) ,其中 0) 0) 1

y ? 0 ,由于点 A 在椭圆上,有

c2 y 2 ? ? 1, a 2 b2

a 2 ? b2 y 2 ? 2 ? 1, a2 b
解得 y ?

? b2 ? b2 ,从而得到 A ? c, ? , a ? a?
b2 ( x ? c) ,整理得 2ac

直线 AF2 的方程为 y ?

b2 x ? 2acy ? b2c ? 0 .
由题设,原点 O 到直线 AF1 的距离为

1 OF1 ,即 3

c b2c , ? 3 b4 ? 4a 2c 2
2 2 2 2 2 将 c ? a ? b 代入原式并化简得 a ? 2b ,即 a ?

2b .

证法二:同证法一,得到点 A 的坐标为 ? c, ? , 过点 O 作 OB ? AF ,垂足为 H ,易知 △F BC ∽△F F2 A ,故 1 1 1

? b2 ? ? a?

y

A

BO OF1

?

F2 A F1 A
1 OF1 ,所以 3

H

F1 O

F2

x

由椭圆定义得 AF ? AF2 ? 2a ,又 BO ? 1

F2 A 1 F2 A , ? ? 3 F1 A 2a ? F2 A
解得 F2 A ?

b2 b2 a a ? ,即 a ? 2b . ,而 F2 A ? ,得 2 a 2 a
2 2 2

(Ⅱ)解法一:圆 x ? y ? t 上的任意点 M ( x0,y0 ) 处的切线方程为 x0 x ? y0 y ? t 2 . 当 t ? (0,b) 时,圆 x2 ? y 2 ? t 2 上的任意点都在椭圆内,故此圆在点 A 处的切线必交椭圆 于两个不同的点 Q1 和 Q2 ,因此点 Q1 ( x1,y1 ) , Q2 ( x2,y2 ) 的坐标是方程组

? x0 x ? y0 y ? t 2 ? ? 2 2 2 ? x ? 2 y ? 2b ?

① ②

的解.当 y0 ? 0 时,由①式得

t 2 ? x0 x y? y0
? t 2 ? x0 x ? 2 x ? 2? 代入②式,得 ? ? 2b ,即 ? y0 ?
2 2

2 2 2 (2x0 ? y0 ) x2 ? 4t 2 x0 x ? 2t 4 ? 2b2 y0 ? 0 ,

于是 x1 ? x2 ?

2 4t 2 x0 2t 4 ? 2b2 y0 , x1 x2 ? 2 2 2 2 2 x0 ? y0 2 x0 ? y0

t 2 ? x0 x1 t 2 ? x1 x2 y1 y2 ? ? y0 y1
? 1 4 2 ?t ? x0t 2 ( x1 ? x2 ) ? x0 x1 x2 ? 2 ? y0 ?
4 2 2 4t 2 x 1 ? 4 2 2t ? 2b y0 ? t ? x0t 2 2 0 2 ? x0 2 ? 2 2 ? y0 ? 2 x0 ? y0 2 x0 ? y0 ?

?

?

2 t 4 ? 2b 2 x0 . 2 2 2 x0 ? y0

若 OQ1 ? OQ2 ,则
2 2 2 2 2t 4 ? 2b2 y0 t 4 ? 2b2 x0 3t 4 ? 2b2 ( x0 ? y0 ) x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? ?0. 2 2 2 2 2 2 2 x0 ? y0 2 x0 ? y0 2 x0 ? y0
2 2 2 2 所以, 3t 4 ? 2b2 ( x0 ? y0 ) ? 0 .由 x0 ? y0 ? t2 ,得 3t 4 ? 2b 2t 2 ? 0 .在区间 (0,b) 内此方

程的解为 t ?

6 b. 3
6 b. 3

当 y0 ? 0 时,必有 x0 ? 0 ,同理求得在区间 (0,b) 内的解为 t ?

另一方面,当 t ?

6 b 时,可推出 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,从而 OQ1 ? OQ2 . 3

综上所述, t ?

6 b ? (0,b) 使得所述命题成立. 3

44、证明: (Ⅰ)? S n+1 = 3S n + 2 , 又 ? S1 + 1 = 3

∴ S n+1 + 1 = 3(S n + 1) .

∴{S n + 1} 是 首 项 为 3 , 公 比 为 3 的 等 比 数 列 且

Sn ? 3n ?1, n ? N* .
(Ⅱ) n = 1 时, a1 = S1 = 2 ,

n > 1 时, an ? S n ? S n?1 ? (3n ? 1) ? (3n?1 ? 1)

? 3n?1 (3 ? 1) ? 2 ? 3n?1 .
故 an ? 2 ? 3n?1 , n ? N* .

2 ? 3n?1 2 ? 3n?1 1 1 (Ⅲ) ? bn ? n ? n?1 ? n?1 ? n , ? n ? 1? 2 n (3 ? 1) (3 ? 1)(3 ? 1) 3 ? 1 3 ? 1
1 1 1 1 1 1 1 ?( 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? n ) 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1

? b1 ? b2 ? ... ? bn ? ?

1 1 1 ? ? n ? 1. 2 2 3 ?1

45、解: (1)?

(n ? 1)an?1 an?1 ? n2 ? 2n ? ? ? n ? 2. ? , nan an n ?1

由 ?nan ?为等比数列,知 ?n ? 2 与 n 无关,故 ? ? 0 . 当 ? ? 0 时,数列 ?nan ?是以1为首项,以 ? 2 为公比的等比数列. (2)当 ? ? 3 时,

(n ? 1)a n ?1 ? 3n ? 2 . nan

取 n 为1,2,3, ?, n ? 1 ,累乘得:

nan ? 1 ? 4 ? 7 ? ? ? (3n ? 5) ( n ? 2 ). 1a1

? a1 ? 1,
?1? 4 ??? (3n ? 5) (n ? 2), ? ? an ? ? n ?1 (n ? 1). ?
当 n ? 2 时,

an?1 (3n ? 2)n ? ? 1 ? an?1 ?a n . an n ?1

而 a4 ? 50, a5 ? 56, a6 ? 80 ,? m ? 5 (3)当 ? ? 0 时,

a n ?1 ? 2n ? ? 0 ,说明 an?1与an 异号,此时不存在正整数 N ,使得当 an n ?1

n ? N 时,有 an?1 ? an .
当 ? ? 0 时,必存在正整数 N 0 (取大于

3 ? 9 ? 4? 的正整数即可) ,使得当 n ? N0 时, 2?



?n 2 ? 2 n
n ?1

? 1 ,即存在正整数 N 0 ,使得当 n ? N0 时,有

a n?1 ? 1; an

因为存在正整数 N ,使得当 n ? N 时,恒有 an ?1 ? a n 成立, 取 N1 为 N 0 与 N 的较大者,则必存在正整数 M ? N1 ,使得当 n ? M 时, an ? 0 .

? 存在正整数 M ,使得当 n ? M 时,有 an ? 0.
46、现有一组互不相同且从小到大排列的数据: a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,其中 a0 ? 0 .为提取

反映数据间差异程度的某种指标,今对其进行如下加工:记 T ? a0 ? a1 ? ? ? a5 ,

xn ?

n 1 , y n ? (a 0 ? a1 ? ? ? a n ) ,作函数 y ? f (x) ,使其图象为逐点依次连接点 5 T

Pn ( xn , yn )(n ? 0,1,2,?,5) 的折线.
(Ⅰ)求 f (0) 和 f (1) 的值; (Ⅱ)设 Pn?1 Pn 的斜率为 k n (n ? 1,2,3,4,5) ,判断 k1 , k 2 , k3 , k 4 , k5 的大小关系; (Ⅲ)证明:当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? x ; (Ⅰ)解: f (0) ?

a0 ? 0, a 0 ? ? ? a5 a 0 ? ? ? a5 ? 1, a 0 ? ? ? a5

f (1) ?

(Ⅱ)解: k n ?

y n ? y n?1 5 ? an , n ? 1,2,?,5, xn ? xn?1 T

因为 a1<a2<a3<a4<a5, 所以 k1<k2<k3<k4<k5. (Ⅲ)证明:由于 f (x)的图象是连接各点 Pn ( xn , yn )(n ? 0,1,?,5) 的折线,要证明

f ( x) ? x(0 ? x ? 1),只需证明f ( xn ) ? xn (n ? 1,2,3,4).事实上,当x ? ( xn?1 , xn )时,
f ( x) ? f ( x n ) ? f ( x n ?1 ) ( x ? x n ?1 ) ? f ( x n ?1 ) x n ? x n ?1 ? ? xn ? x x ? x n ?1 f ( x n ?1 ) ? f ( xn ) x n ? x n ?1 x n ? x n ?1 xn ? x x ? x n ?1 x n ?1 ? xn ? x x n ? x n ?1 x n ? x n ?1

下面证明 f ( xn ) ? xn . 证法一: 对任何 n (n=1,2,3,4),

5(a1 ? ? ? a n ) ? [n ? (5 ? n)](a1 ? ? ? a n ) ? n(a1 ? ? ? a n ) ? (5 ? n)(a1 ? ? ? a n ) ? n(a1 ? ? ? a n ) ? (5 ? n)nan ? n[a1 ? ? ? a n ? (5 ? n)a n ] ? n(a1 ? ? ? a n ? a n ?1 ? ? ? a5 ) ? nT 所以f ( x n ) ? a1 ? ? ? a n n ? ? xn . T 5

证法二: 对任何 n (n=1,2,3,4)

当k n ? 1时 y n ? ( y1 ? y 0 ) ? ( y 2 ? y1 ) ? ? ? ( y n ? y n ?1 ) 1 n ? ( k1 ? k 2 ? ? ? k n ) ? ? x n . 5 5 当k n ? 1时, y n ? y5 ? ( y5 ? y n ) ? 1 ? [( y n ?1 ? y n ) ? ( y n ? 2 ? y n ?1 ) ? ? ? ( y 5 ? y 4 )] 1 1 n ? 1 ? (k n ?1 ? k n ? 2 ? ? ? k 5 ) ? 1 ? (5 ? n) ? ? x n , 5 5 5 综上, f ( x n ) ? x n .
47. 给定平面上的点集 P ? ?P , P , P ,?, P ? (n ? 6) .点集 P 中任意三点不共线,将 P 中 1 2 3 n 所有的点任意分成 k (k ? 2) 组,使得每组至少三个点,且每个点恰属于一组.然后将同一组 的任意两点都用线段相连,不同组的点间不用线段连接.这样得到一个图案 G ,不同的方式得 到不同的图案,将图案 G 中所含的以点集 P 中的点为顶点的三角形的个数记为 m(G) . (Ⅰ)当 n ? 7, k ? 2 时,求 m(G) 的值; (Ⅱ) 当 n ? 13, k ? 3 时,求 m(G) 的最小值; (Ⅲ) 当 n ? 2010, k ? 100 时,求 m(G) 的最小值; 20、解: (I)当 n=7,k=2 时,分组方法只能是其中一组 3 个点,另一组 4 个点, 于是 m(G)= C3 ? C4 ? 5
3 3

(Ⅱ)当 n=13,k=3 时,由于 13=3+3+7=3+4+6=3+5+5=4+4+5 于是 m(G)= C3 ? C3 ? C7 ? 37
3 3 3

或 m(G)= C3 ? C4 ? C6 ? 25
3 3 3

或 m(G)= C3 ? C5 ? C5 ? 21
3 3 3

3 3 3 或 m(G)= C4 ? C4 ? C5 ? 18

由上可知:所求 m(G)的最小值为 18. (III)由(Ⅱ)可受到启发:分组越均匀,m(G)的值越小. 设 m(G)的最小值为 m0 ,G 由分组 X1 , X 2 ,?, X100 得到,其中 X i ? i ? 1,2,?,100? 为 第 i 组的点构成的集合.设 X i ? xi ?i ? 1,2,?,100? .
3 3 3 则 x1 ? x2 ? ? ? x100 ? 2010 ,且 m0 ? Cx1 ? Cx2 ? ?? Cx100 .

下面证明:当 1 ? i ? j ? 100 时,有 xi ? x j ? 1 (即 m(G)取最小时,任意两组的点的个数之差不超过 1) . 事实上,若存在 1 ? i ? j ? 100 ,使得 xi ? x j ? 2 ,不妨设 xi ? x j . 则作点集 P 的另一种分组 Y1 , Y2 ,?, Y100 ,其中 Yi ?i ? 1,2,?,100? 为第 i 组的点构成

? xk ? 的集合.使得 yk ? Yk ? ? xi ? 1 ?x ?1 ? j

? k ? i, k ? j ? ?k ? i? . ?k ? j?
3 3 3

于是,对于由分组 Y1 , Y2 ,?, Y100 得到的图案 G ? ,有 m ?G?? ? Cy1 ? Cy2 ??? Cy100 . 从而

? m ? G? ? m 0
3 3 3 3 ? Cyi ? Cy j ? Cxi ? Cx j 3 3 3 3 ? Cxi ?1 ? Cx j ?1 ? Cxi ? Cx j
3 3 2 3 2 3 ? Cxi ?1 ? Cx j ? Cx j ? Cxi ?1 ? Cxi ?1 ? Cx j

?

?

2 2 ? Cx j ? Cxi ?1 ? 0

?? x

j

? xi ? 1?

∴ m ? G?? ? m0 ,这与 m0 的最小性矛盾. 故:对任何 1 ? i ? j ? 100 ,都有 xi ? x j ? 1 . 又 2010=100?20+10=90?20+10?21, ∴m(G)的最小值 m0 ? 90 ? C20 ? 10 ? C21 ? 115900 .
3 3


人大附中2012高考考前数学热身练习题(上)

人大附中2012高考考前数学热身练习题(上)_高中教育_教育专区。2012 高考考前数学...100 时,求 m(G) 的最小值; (115900) 高考前热身练习 参考答案 28、已知 ...

2012年5月北京人大附中高考前热身练习题(数学)

2012年5月北京人大附中高考前热身练习题(数学)_高考_高中教育_教育专区。2012 高考考前数学热身练习题 1、命题“存在 x0 ? R, 2 x0 ? 0”的否定是 ( D ...

2012人大附中三模数学(理科) 理数试题

中国权威高考信息资源门户 www.gaokao.com 中国人民大学附属中学高三模拟考试 数学试题(理科) 2012.5 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分,考试时长 120 ...

(学生) 人大附中2011-2012学年度第一学期高一年级数学...

(学生) 人大附中2011-2012学年度第一学期高一年级数学必修1模块考试试题_数学_高中...本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将填空题的答案写在 答题纸...

人大附中朝阳学校2012-2013学年第一学期期中考试(高二)...

人大附中朝阳学校2012-2013学年第一学期期中考试(高二)数学试卷_高二数学_数学_高中教育_教育专区。人大附中朝阳学校2012-2013学年第一学期期中考试(高二)数学试卷人...

人大附中2011-2012学年度第一学期高一年级数学必修1模...

人大附中2011-2012学年度第一学期高一年级数学必修1模块考核试卷_数学_高中教育_教育专区。人大附中高一期中数学人大附中 2011-2012 学年度第一学期高一年级数学 必修...

人大附中2012-2013学年度第二学期高一年级数学必修5模...

人大附中2012-2013学年度第二学期高一年级数学必修5模块考核试卷2013年4月25日_...本试卷共三道大题 19 道小题,共 6 页;满分 100 分,考试时间 90 分钟;请...

人大附中2011-2012学年度第二学期高一年级期中数学必修...

人大附中2011-2012学年度第二学期高一年级期中数学必修...填空题的答案须写在答题纸上相应位置. 3. 考试...【数学】2011-2012学... 5页 免费 【数学】...

北京人大附中2013高三5月模拟数学理试题 Word含答案

中国人民大学附属中学高三模拟考试 数学试题(理科)第...f (2012) ? f (2013) ? f (1) ? f (2)...△ABC 斜边 AC 上的为 5 cm,PC 1 1 12 3...

...2012-2013学年八年级下期中考试数学试题及答案(扫描...

北京市人大附中2012-2013学年八年级下期中考试数学试题及答案(扫描版)_数学_初中教育_教育专区。 今日推荐 157份文档 2015国家公务员考试备战攻略 ...