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【2014淄博市一模】山东省淄博市2014届高三3月模拟考试 数学(理)试题


章丘一中王希刚

2014-12-10 周三--012

14 年淄博一模 14.3 一、选择题:1. 已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 1) ? 0} ,则 A A. ? 0, 1? B. ?1, 2? C. (??, ?1)

B?(



(0, ??)

D. (??, ?1)

(1, ??)
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.在复平面内,复数

2?i 对应的点位于( i

)A.第一象限

3.已知 tan ? =2 ,那么 sin 2? 的值是(

)A. ?

4 5

B.

4 5

C. ?

3 5

D.

3 5
D.28 D.128

4.在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 = (

)A.10

B.18 )A.3

C.20 B.126 C.127

5.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 2 ,则输出的 x 的值为(

6.如图所示,曲线 y ? x 2 ? 1 , x ? 2, x ? 0,y=0 围成的阴影部分的面积为( A.


2

?

2

0

| x 2 ? 1 |dx

B. |

?

2

0

( x 2 ? 1)dx |

C.

?

2

0

( x 2 ? 1)dx

D.

?

1

0

( x 2 ? 1)dx ? ? (1 ? x 2 )dx
1

7.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成的三棱锥 A ? BCD 的正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的 面积为( )A.

2 2

B.

1 2

C.

2 4

D.

1 4
N ? 2, ? 2 ? ,

8.下列说法正确 的是( ..

)A. “ p ? q 为真”是“ p ? q 为真”的充分不必要条件;B.已知随机变量 X
2 2

且 P ? X ? 4? ? 0.84 ,则 P ? X ? 0? ? 0.16 ;C.若 a, b ??0,1? ,则不等式 a ? b ? D.已知空间直线 a, b, c ,若 a ? b , b ? c ,则 a //c .

1 ? 成立的概率是 ; 4 4

2 9.过抛物线 y ? 4 x 焦点 F 的直线交其于 A , B 两点, O 为坐标原点.若 | AF |? 3 ,则 ?AOB 的面积为(



A.

2 2

B. 2

C.

3 2 2

D.2 2

10.若函数 f ( x ) 的导函数在区间 ? a, b ? 上的图像关于直线 x ? 是( )A.①④ B.②④ C.②③

a?b 对称,则函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象可能 2
D.③④

二、填空题 11.不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 5 的解集为
1



章丘一中王希刚

2014-12-10 周三--012

12.已知变量 x, y 满足约束条件 ? ?

x ? y ?5 ? 0 ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ? x ?1 ? 0 ?

,则 z ? x ? 2 y 的最大值是



13.在直角三角形 ABC 中, ?C ? 900 , AB ? 2 , AC ? 1 ,若 AD ?

3 AB ,则 CD ? CB ? 2



14.从 0,1, 2,3, 4 中任取四个数字组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数是

(用数字作答) .

* 15.已知在平面直角坐标系中有一个点列: P .若点 P n ( xn , yn ) n ? N n ( xn , yn ) 到点 1 ? 0,1? , P 2 ( x2 , y2 ) ,??, P

?

?

? xn ?1 ? P n ?1 ? xn?1 , yn?1 ? 的变化关系为: ?

yn ? xn

? yn ?1 ? yn ? xn

? n ? N ? ,则 | P
*

2013 2014

P

| 等于



? ? 三、解答题 16.已知向量 a ? (cos( 2 x ? ), cos x ? sin x) , b ? (1, cos x ? sin x) ,函数 f ( x) ? a ? b . (Ⅰ)求函数 3

?

? ?

? f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 f ( A) ? 3 , a ? 2 , B ? , 3 2
求 ?ABC 的面积 S .

17.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形, AB ∥ CD ,?ABC ? 60 , AB ? 2CB ? 2 .在梯形 ACEF
0 0 中,EF ∥ AC , 且 AC =2EF ,EC ⊥平面 ABCD . (Ⅰ) 求证:BC ? AF ; (Ⅱ) 若二面角 D ? AF ? C 为 45 ,

求 CE 的长.

18.中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜).进入总决赛的甲乙两队中,若每一场比赛甲队 获胜的概率为

2 1 ,乙队获胜的概率为 ,假设每场比赛的结果互相独立.现已赛完两场,乙队以 2 : 0 暂时领先. 3 3

(Ⅰ)求甲队获得这次比赛胜利的概率; (Ⅱ)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量 X ,求随机变量 X 的分布列 和数学期望 EX .

2

章丘一中王希刚

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19.若数列 ? An ? 满足 An?1 ? An 2 ,则称数列 ? An ? 为“平方递推数列”.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 9 ,点 (an, an ?1) 在函数 (Ⅰ)证明数列 ?an ?1 f ( x) ? x2 ? 2x 的图象上,其中 n 为正整数. ? 是“平方递推数列”,且数列 ?lg(an ?1)? 为等 比数列;(Ⅱ)设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前 n 项积为 Tn ,即 Tn ? (a1 ? 1)(a2 ? 1) (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,记 bn ?

(an ? 1) ,求 lg Tn ;

lg Tn ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ,并求使 Sn ? 4026 的 n 的最小值. lg(an ? 1)

20.已知椭圆 C :

2 x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 2 ,且过点(1 , ) ,右焦点为 F2 .设 A , B 是 C 上的两个 2 a b 2
1 ,线段 AB 的中垂线交椭圆 C 于 P , Q 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 2

动点,线段 AB 的中点 M 的横坐标为 ? (Ⅱ)求 F2 P ? F2Q 的取值范围.

21.已知函数 f ( x) ? e

x ?m

? ln(2x) . (Ⅰ)设 x ? 1 是函数 f ( x) 的极值点,求 m 的值并讨论 f ( x) 的单调性;

(Ⅱ)当 m ? 2 时,证明: f ( x) > ? ln 2 .

3

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第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1. 【题文】已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 1) ? 0} ,则 A A. ? 0, 1? B. ?1, 2? C. (??, ?1)

B?(



(0, ??)

D. (??, ?1)

(1, ??)

【结束】 2.【题文】在复平面内,复数 A.第一象限 B.第二象限

2?i 对应的点位于( i
C.第三象限

) D.第四象限

【结束】 3.【题文】已知 tan ? =2 ,那么 sin 2? 的值是( A. ? )

4 5

B.

4 5

C. ?

3 5

D.

3 5

考点:三角函数的同角公式、倍角公式. 【结束】 4.【题文】在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 = (
4



章丘一中王希刚

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A.10

B.18

C.20

D.28

【结束】 5.【题文】执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 2 ,则输出的 x 的值为( )

A.3

B.126

C.127

D.128

【结束】 6.【题文】如图所示,曲线 y ? x ? 1 , x ? 2, x ? 0,y=0 围成的阴影部分的面积为(
2



A.

? |x
0

2

2

? 1 |dx

B. |

? (x
0

2

2

? 1)dx |
5

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C.

? (x
0

2

2

? 1)dx

D.

? (x
0

1

2

? 1)dx ? ? (1 ? x 2 )dx
1

2

【结束】 7.【题文】把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成的三棱锥 A ? BCD 的正视图与俯视图如图所示,则其 侧视图的面积为( )

A.

2 2

B.

1 2

C.

2 4

D.

1 4

【解析】

【结束】 8.【题文】下列说法正确 的是( .. ) A. “ p ? q 为真”是“ p ? q 为真”的充分不必要条件;

6

B.已知随机变量 X

N ? 2, ?

2

? ,且 P ? X ? 4? ? 0.84 ,则 P ? X ? 0? ? 0.16 ;
2

章丘一中王希刚

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C.若 a, b ??0,1? ,则不等式 a ? b ?
2

1 ? 成立的概率是 ; 4 4

D.已知空间直线 a, b, c ,若 a ? b , b ? c ,则 a //c .

【结束】
2 9. 【题文】 过抛物线 y ? 4 x 焦点 F 的直线交其于 A ,B 两点,O 为坐标原点. 若 | AF |? 3 , 则 ?AOB 的面积为 (



A.

2 2

B. 2

C.

3 2 2

D.2 2

7

章丘一中王希刚

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【结束】 10.【题文】若函数 f ( x ) 的导函数在区间 ? a, b ? 上的图像关于直线 x ? 图象可能是( )

a?b 对称,则函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的 2

A.①④

B.②④

C.②③

D.③④

8

章丘一中王希刚

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【结束】

第Ⅱ卷(共 100 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上)
11.【题文】不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 5 的解集为 .

结合数轴 不难看出,不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 5 的解集为 [?2,3] .

9

章丘一中王希刚

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【结束】

? x? y ?5 ? 0 ? x ? 2 y ?1 ? 0 12.【题文】已知变量 x, y 满足约束条件 ? ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是 ? x ?1 ? 0 ?



【结束】
0 13.【题文】在直角三角形 ABC 中, ?C ? 90 , AB ? 2 , AC ? 1 ,若 AD ?

3 AB ,则 CD ? CB ? 2



10

章丘一中王希刚

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【结束】 14.【题文】从 0,1, 2,3, 4 中任取四个数字组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数是 (用数字作答) .

考点:简单 排列问题 【结束】
11

章丘一中王希刚

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15.【题文】已知在平面直角坐标系中有一个点列: P 1 ? 0,1? , P 2 ( x2 , y2 ) ,??,

Pn ( xn , yn ) ? n ? N* ? .若点 P n ( xn , yn ) 到点 P n ?1 ? xn?1 , yn?1 ? 的变化关系为: ?
于 .

? xn?1 ? yn ? xn n ? N * ? ,则 | P2013 P2014 | 等 ? ? yn?1 ? yn ? xn

【结束】

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ? ? ? ? ? 16.【题文】 (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (cos( 2 x ? ), cos x ? sin x) ,b ? (1, cos x ? sin x) ,函数 f ( x) ? a ? b . 3
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间;

(Ⅱ)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 f ( A) ?

? 3 , a ? 2 , B ? ,求 ?ABC 的面积 S . 3 2

【解析】

12

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【结束】 17.【题文】 (本小题满分 12 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形, AB ∥ CD , ?ABC ? 60 ,
0

AB ? 2CB ? 2 .在梯形 ACEF 中, EF ∥ AC ,且 AC =2EF , EC ⊥平面 ABCD .
(Ⅰ)求证: BC ? AF ;
13

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(Ⅱ)若二面角 D ? AF ? C 为 45 ,求 CE 的长.
0

14

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【结束】 18.【题文】 (本题满分 12 分)中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜).进入总决赛的甲乙 两队中,若每一场比赛甲队获胜的概率为 乙队以 2 : 0 暂时领先. (Ⅰ)求甲队获得这次比赛胜利的概率; (Ⅱ)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望 EX .

2 1 ,乙队获胜的概率为 ,假设每场比赛的结果互相独立.现已赛完两场, 3 3

(Ⅱ) X 的概率分布为:

15

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EX ?

488 . 81

【解析】

16

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【结束】 19.【题文】 (本小题满分 12 分)若数列 ? An ? 满足 An?1 ? An 2 ,则称数列 ? An ? 为“平方递推数列”.已知数列 ?an ? 中,

a1 ? 9 ,点 (an , an?1 ) 在函数 f ( x) ? x2 ? 2x 的图象上,其中 n 为正整数.
(Ⅰ)证明数列 ?an ?1 ? 是“平方递推数列”,且数列 ?lg(an ?1)? 为等比数列; (Ⅱ)设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前 n 项积为 Tn , 即 Tn ? (a1 ? 1)(a2 ? 1)

(an ? 1) ,求 lg Tn ;
lg Tn ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ,并求使 Sn ? 4026 的 n 的最小值. lg(an ? 1)

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,记 bn ?

17

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【结束】

2 x2 y2 20. 【题文】 (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 的焦距为 2 , 且过点 (1 , ) , 右焦点为 F2 . 设 a b 2
A , B 是 C 上的两个动点,线段 AB 的中点 M 的横坐标为 ?
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 F2 P ? F2Q 的取值范围.

1 ,线段 AB 的中垂线交椭圆 C 于 P , Q 两点. 2

18

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19

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20

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【结束】 21.【题文】 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ex?m ? ln(2x) . (Ⅰ)设 x ? 1 是函数 f ( x) 的极值点,求 m 的值并讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明: f ( x) > ? ln 2 .

21

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综上,当 m ? 2 时, f ( x) ? ? ln 2 .

??????????14 分

22

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23


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