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江西师大附中、临川一中2013届高三12月联考 数学文


江西师大附中、临川一中 2013 届高三 12 月联考

文科数学
命题:张园和 注意事项
1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写好自己的准考证号、姓名等相关信息。 2.选择题的答案选出后,把答案填在答题卡的相应位置,不能答在试题卷上。 3.答第 II 卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔

迹清晰。作 图时可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所 指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。

审题:闻家君

第Ⅰ卷
(本卷共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中有且只 有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置. ) 1.设全集为 R,集合 A ? ?x || x |? 2?, B ? {x | A. [?2 , 2] 2.如果 B. [?2 , 1)

1 ? 0} ,则 A ? B ? ( ) x ?1 C. (1 , 2] D. [?2 , ??)

2 ? 1 ? mi ( m ? R , i 表示虚数单位) ,那么 m ? ( ) 1? i A.1 B. ? 1 C.2 D.0 2? 0.5 3.若 a ? 2 , b ? log? 3 , c ? log 2 sin ,则( ) 5 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. b ? c ? a 2 2 x y 2 4.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y ? 4 x 的焦点重合,且双曲线的离心率等 a b 于 5 ,则该双曲线的方程为( ) x2 y2 y2 x2 4 2 5 2 2 2 ?1 ?1 A.5 x ? y ? 1 B. ? C. ? D.5 x ? y ? 1 5 4 5 4 5 4

?x ? 1 ? , 则x ? y 的最小值为( 5.已知实数 x, y 满足 ? y ? 2 ?x ? y ? 0 ?
A.2 B.3 C.4

)

D.5 ) D. 25 ①若 ? ∥ ? , l ? m ; 则

6.在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? a 7 ,则 k ? ( ? A. 22 B. 23 C. 24 7. 已知直线 l , m , 平面 ? , ? , l ? ? , m ? ? , 且 给出四个命题:
f x = sin(2?x)

②若 l ? m ,则 ? ∥ ? ;③若 ? ? ? ,则 l∥m;④若 l∥m,则 ? ? ? .其中真命题的 ( ) 个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 8.已知偶函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图像如图所示.若△EFG ... y

O

E
G

F

x

为等腰直角三角形,且 | EF |? 1 ,则 f ( ) 的值为 A. ?

??? ?

1 6

(

)

3 1 1 C. ? D. 4 4 2 ?(3 ? a) x ? 3 ( x ? 7) 9.已知函数 f ( x) ? ? x ?6 ,若数列 满足 ,且对任 (x ? 7) an ? f (n) (n ? N? ) {an } ?a
B. ? 意正整数 m, n A. [ ,3)

3 4

(m ? n) 都有 (m ? n)(am ? an ) ? 0 成立,则实数 a 的取值范围是(
B. ( ,3)

)

9 4

9 4

C. (2,3)

D. (1,3)

10.已知 a, b, c, d 为常数,若不等式 式

bx dx ? 1 ? ? 0 的解集为( ax ? 1 cx ? 1 1 A. (1,3) ? ( ?1, ? ) 2 1 1 C. ( ?1, ? ) ? ( ,1) 2 3

b x?d 1 1 ? ? 0 的解集为 ( ?1, ? ) ? ( ,1) ,则不等 x?a x?c 3 2
) B. (??, ?1) ? (? , ) ? (1, ??) D. (?3, ?1) ? (1, 2)

1 1 3 2

第Ⅱ卷
(本卷共 11 小题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.过曲线 y ? x3 上一点 P(1,1) 作其切线,则切线的方程是 .

12.已知四点 A(1, 2),B (3, 4), ?( 2, 2), ? ( 3, 5) ,则向量 AB 在向量 CD 方向上的射影 C D 为 .
2

??? ?

??? ?

13.若一个圆台的的主视图如图所示,则其侧面积等于 . ... 14.已知数列 {an },{bn } 的通项公式分别是 an ? (?1)n?2012 ? a ,

bn ? 2 ?

(?1) n ? 2013 * ,若 an ? bn 对任意 n ? N 恒成立,则 n
4

2

实数 a 的取值范围是

1 ? ?x ? , x ? 0 15.已知函数 f ( x) ? ? ,则关于 x 的方程 f (2x2 ? x) ? a ( a ? 2 )的解的个数 x ? x3 ? 3, x ? 0 ?
可能为 (写出所有可能的结果) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答写在答题卡相位置,应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)设锐角△ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知向 量

? ?? ? ?? 3 m ? (1, sin A ? 3 cos A) , n ? (sin A, ) ,且 m ∥ n . 2
(1) 求角 A 的大小;

(2) 若 a ? 2 , c ? 4 3 sin B ,且△ABC 的面积小于 3 ,求角 B 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分)已知命题 p:函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 2 在 [?1,1] 内有且仅有一个零 点.命题 q: x2 ? 3(a ? 1) x ? 2 ? 0 在区间 [ , ] 内恒成立.若命题“p 且 q”是假命题, 求实数 a 的取值范围.

1 3 2 2

18. (本小题满分 12 分)如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC. .... (1) 求证:平面 AB1C1⊥平面 AC1; (2) 若 AB1⊥A1C,求线段 AC 与 AA1 长度之比; (3) 若 D 是棱 CC1 的中点, 问在棱 AB 上是否存在一点 E, DE∥平面 AB1C1?若存在, 使 试确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由.
A

A1

C
B

D

C1

B1

19. (本小题满分 12 分)南昌市在加大城市化进程中,环境污染问题也日益突出。据环保局 测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比.现已知 相距 18 km 的 A,B 两家工厂(视作污染源)的污染强度分别为 a , b ,它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两家工厂对该处的污染指数之和.设 AC ? x ( km ) . (1) 试将 y 表示为 x 的函数; (2) 若 a ? 1 ,且 x ? 6 时, y 取得最小值,试求 b 的值.

20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x ? b (其中 k ,b ? R 且 k , b 为常数)的图像经
k

过点 A (4, 2) 、 (16, 4) . 1 , P , P ,?, P ,? 是函数 f ( x ) 图像上的点, 1 , Q2 , Q3 ,?, Qn ,? B P 2 3 Q n 是 x 正半轴上的点. (1) 求 f ( x ) 的解析式; (2) 设 O 为坐标原点, ?OQ1P , ?Q1Q2 P ,?, ?Qn?1Qn P ,? 是一系列正三角形,记 1 2 n ....

它们的边长是 a1 , a2 , a3 ,?, an ,?,求数列 {an } 的通项公式; (3) 在(2)的条件下,数列 {bn } 满足 bn ?

an 4 ,记 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,证明: S n ? 。 n 2 3

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? k | ln x? 1 |,g (x ) x | x? k ? ,其中 ? | 2

0 ? k ? 4.
(1) 讨论函数 f ( x ) 的单调性,并求出 f ( x ) 的极值; (2) 若对于任意 x1 ?[1, ??) ,都存在 x2 ?[2, ??) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 k 的取 值范围.

江西师大附中、临川一中 2013 届高三联考

文科数学参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中有且只 有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置. ) 1.设全集为 R,集合 A ? ?x || x |? 2?, B ? {x | A. [?2 , 2] 2.如果 B. [?2 , 1)

1 ? 0} ,则 A ? B ? ( C ) x ?1 C. (1 , 2] D. [?2 , ??)

2 ? 1 ? mi ( m ? R , i 表示虚数单位) ,那么 m ? ( A ) 1? i A.1 B. ? 1 C.2 D.0 2? 0.5 3.若 a ? 2 , b ? log? 3 , c ? log 2 sin ,则( A ) 5 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. b ? c ? a 2 2 x y 2 4.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y ? 4 x 的焦点重合,且双曲线的离心率等 a b 于 5 ,则该双曲线的方程为( D ) x2 y2 y2 x2 4 2 5 2 2 2 ?1 ?1 A.5 x ? y ? 1 B. ? C. ? D.5 x ? y ? 1 5 4 5 4 5 4

?x ? 1 ? , 则x ? y 的最小值为( A ) 5.已知实数 x, y 满足 ? y ? 2 ?x ? y ? 0 ?

A.2

B.3

C.4

D.5 D. 25 ①若 ? ∥ ? , l ? m ; 则

6.在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? a7 ,则 k ? ( A ) A. 22 B. 23 C. 24 7. 已知直线 l , m , 平面 ? , ? , l ? ? , m ? ? , 且 给出四个命题:
f x = sin(2?x)

②若 l ? m ,则 ? ∥ ? ;③若 ? ? ? ,则 l∥m;④若 l∥m,则 ? ? ? .其中真命题的 ( ) 个数是( C ) A.4 B.3 C.2 D.1 8.已知偶函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图像如图所示.若△EFG ... y 为等腰直角三角形,且 | EF |? 1 ,则 f ( ) 的值为 A. ?

??? ?

1 6

(C)
O
E
F

3 1 1 C. ? D. 4 4 2 G ?(3 ? a) x ? 3 ( x ? 7) 9.已知函数 f ( x) ? ? x ?6 ,若数列 满足 ,且对任 (x ? 7) an ? f (n) (n ? N? ) {an } ?a
B. ? 意正整数 m, n A. [ ,3)

3 4

x

(m ? n) 都有 (m ? n)(am ? an ) ? 0 成立,则实数 a 的取值范围是( C )
B. ( ,3)

9 4

9 4

C. (2,3)

D. (1,3)

10.已知 a, b, c, d 为常数,若不等式 式

bx dx ? 1 ? ? 0 的解集为( D ) ax ? 1 cx ? 1 1 A. (1,3) ? ( ?1, ? ) 2 1 1 C. ( ?1, ? ) ? ( ,1) 2 3

b x?d 1 1 ? ? 0 的解集为 ( ?1, ? ) ? ( ,1) ,则不等 x?a x?c 3 2

B. (??, ?1) ? (? , ) ? (1, ??) D. (?3, ?1) ? (1, 2)

1 1 3 2

第Ⅱ卷
(本卷共 11 小题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 3 11.过曲线 y ? x 上一点 P(1,1) 作其切线,则切线的方程是 3x ? y ? 2 ? 0 或

3x ? 4 y ? 1 ? 0 .
(答错或漏答均不能给分) 12.已知四点 A(1, 2), B(3, 4), C(?2, 2), D(?3,5) ,则向量 AB 在向量 CD 方向上的射影为

??? ?

??? ?

2 10 5 .
13.若一个圆台的的主视图如图所示,则其侧面积等于 3 5? . ... 14.已知数列 {an },{bn } 的通项公式分别是 an ? (?1)n?2012 ? a ,
2 2

4

(?1) n ? 2013 ,若 an ? bn 对任意 n ? N * 恒成立,则 n 3 实数 a 的取值范围是 [ ?2, ) . 2 bn ? 2 ?

1 ? ?x ? , x ? 0 15.已知函数 f ( x) ? ? ,则关于 x 的方程 f (2x2 ? x) ? a ( a ? 2 )的解的个数 x ? x3 ? 3, x ? 0 ?
可能为 4、5、6 (填错或漏填均不能给分) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答写在答题卡相位置,应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)设锐角△ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知向 量

? ?? ? ?? 3 m ? (1, sin A ? 3 cos A) , n ? (sin A, ) ,且 m ∥ n . 2
(1) 求角 A 的大小; (2) 若 a ? 2 , c ? 4 3 sin B ,且△ABC 的面积小于 3 ,求角 B 的取值范围. 解析: (1)因为 m ∥ n ,则 sin A(sin A ? 3 cos A) ? 所以

??

?

3 3 2 ,即 sin A ? 3 sin A cos A ? . 2 2

? 1 ? cos 2 A 3 3 3 1 ? sin 2 A ? ,即 sin 2 A ? cos 2 A ? 1 ,即 sin(2 A ? ) ? 1 . 6 2 2 2 2 2 ? ? ? A 是锐角,则 2 A ? ? ,所以 A ? . 6 2 3 (2)因为 a ? 2 , c ? 4 3 sin B ,则 1 1 S? ABC ? ac sin B ? ? 2 ? 4 3 sin 2 B ? 4 3sin 2 B 2 2 1 ? cos 2 B ? 4 3? ? 2 3 ? 2 3 cos 2B . 2 1 由已知, 2 3 ? 2 3 cos 2B ? 3 ,即 cos 2 B ? . 2 ? ? ? 因为 B 是锐角,所以 0 ? 2 B ? ,即 0 ? B ? ,故角 B 的取值范围是 (0, ) . 3 6 6
17. (本小题满分 12 分)已知命题 p:函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 在 [?1,1] 内有且仅有一个零
2 2 点.命题 q: x ? 3(a ? 1) x ? 2 ? 0 在区间 [ , ] 内恒成立.若命题“p 且 q”是假命题,

1 3 2 2

求实数 a 的取值范围. 解析:先考查命题 p: 若 a=0,则容易验证不合题意; a?0 故? ,解得:a≤-1 或 a≥1. ? ? f (?1) ? f (1) ? 0 再考查命题 q: 1 3 2 1 3 ∵x∈?2,2?,∴3(a+1)≤-?x+x ?在?2,2?上恒成立. ? ? ? ? ? ?

1 9 9 5 易知?(x+x )?max= ,故只需 3(a+1) ≤- 即可.解得 a≤- . ? ? 2 2 2 ∵命题“p 且 q”是假命题,∴命题 p 和命题 q 中一真一假。 5 当 p 真 q 假时,- <a≤-1 或 a≥1; 2 当 p 假 q 真时, a ?? . 5 综上,a 的取值范围为{a| - <a≤-1 或 a≥1} 2 18. (本小题满分 12 分)如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC. .... (1) 求证:平面 AB1C1⊥平面 AC1; (2) 若 AB1⊥A1C,求线段 AC 与 AA1 长度之比; (3) 若 D 是棱 CC1 的中点, 问在棱 AB 上是否存在一点 E, DE∥平面 AB1C1?若存在, 使 试确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由. 解析: (1)由于 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 B1C1⊥CC1; ....
A

A1

又因为 AC⊥BC ,所以 B1C1⊥A1C1,所以 B1C1⊥平面 AC1 . 由于 B1C1 ? 平面 AB1C1,从而平面 AB1C1⊥平面 AC1 . E C1 D C (2)由(1)知,B1C1⊥A1C .所以,若 AB1⊥A1C,则可 得:A1C⊥平面 AB1C1,从而 A1C⊥ AC1 . 由于 ACC1A1 是矩形,故 AC 与 AA1 长度之比为 1:1. B B1 F (3)点 E 位于 AB 的中点时,能使 DE∥平面 AB1C1. 证法一:设 F 是 BB1 的中点,连结 DF、EF、DE.则易证:平面 DEF//平面 AB1C1,从 而 DE∥平面 AB1C1. 证法二:设 G 是 AB1 的中点,连结 EG,则易证 EG DC1. 所以 DE// C1G,DE∥平面 AB1C1. 19. (本小题满分 12 分)南昌市在加大城市化进程中,环境污染问题也日益突出。据环保局 测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比.现已知 相距 18 km 的 A,B 两家工厂(视作污染源)的污染强度分别为 a , b ,它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两家工厂对该处的污染指数之和.设 AC ? x ( km ) . (1) 试将 y 表示为 x 的函数; (2) 若 a ? 1 ,且 x ? 6 时, y 取得最小值,试求 b 的值. 解析: (1)设点 C 受 A 污染源污染程度为 中k ? 0. 从而点 C 处受污染程度 y ?

kb ka ,点 C 受 B 污染源污染程度为 ,其 2 (18 ? x) 2 x

ka kb ? . 2 x (18 ? x) 2
k kb ? , 2 x (18 ? x) 2

(2)因为 a ? 1 ,所以, y ?

?2 2b 18 ? ] ,令 y ' ? 0 ,得 x ? 。 x3 (18 ? x)3 1? 3 b 又此时 x ? 6 ,解得 b ? 8 ,经验证符合题意. y ' ? k[

所以,污染源 B 的污染强度 b 的值为 8. 20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? xk ? b (其中 k ,b ? R 且 k , b 为常数)的图像经 过点 A (4, 2) 、 (16, 4) . 1 , P , P ,?, P ,? 是函数 f ( x ) 图像上的点, 1 , Q2 , Q3 ,?, Qn ,? B P 2 3 Q n 是 x 正半轴上的点. (1) 求 f ( x ) 的解析式; (2) 设 O 为坐标原点, ?OQ1P , ?Q1Q2 P ,?, ?Qn?1Qn P ,? 是一系列正三角形,记 1 2 n .... 它们的边长是 a1 , a2 , a3 ,?, an ,?,求数列 {an } 的通项公式; (3) 在(2)的条件下,数列 {bn } 满足 bn ? 解析: (1) ? (2)由 ?

an 4 ,记 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,证明: S n ? 。 n 2 3

? 2 ? 4k ? b ? 4 ? 16 ? b
k

? b ? 0, k ?

1 ? f ( x) ? x . 2

?y? x ?

? y ? 3x ? ? y? x 1 ? 6Sn?1 ? 1 ? 12Sn?1 ? 由? ? 3x ? x ? 3Sn?1 ? 0 ? x ? 6 ? y ? 3( x ? Sn?1 ) ? 1 1 1 ? 12S n ?1 ,由此原问题转化为: 将 x 代人 an ? 2( x ? S n ?1 ) ? ? 3 3 1 2 1 2 “已知 (an ? ) ? ? (1 ? 12 S n ?1 ) 且 a1 ? ,求 an ”. 3 9 3 1 2 1 1 2 1 2 4 又 (an ?1 ? ) ? ? (1 ? 12 S n ) ,两式相减可得: (an ?1 ? ) ? (an ? ) ? an 3 9 3 3 3 1 1 2 ? (an ?1 ? ) 2 ? (an ? ) 2 ? (an ?1 ? an )(an ?1 ? an ? ) ? 0 3 3 3 2 又,因为 an ? 0 ,所以 an ?1 ? an ? ? 0 , 3 2 2 2n 从而 {an } 是以 为首项, 为公差的等差数列,即 an ? . 3 3 3 1 2 3 n (3) 3S n ? 0 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ,所以 2 2 2 2 3 1 2 n? 1 n Sn ? ? 2 ? ? ? n ? 1? n . 1 2 2 2 2 2 3 1 1 1 n 两式相减得: S n ? 1+ ? 2 ? ? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 4 n?2 4 ? . 整理得: S n ? ? 3 3 ? 2 n ?1 3
21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? k | ln x? 1 |,g (x ) x | x? k ? ,其中 ? | 2
2

?x?

1 2 ? a1 ? . 3 3

0 ? k ? 4.
(1) 讨论函数 f ( x ) 的单调性,并求出 f ( x ) 的极值; (2) 若对于任意 x1 ?[1, ??) ,都存在 x2 ?[2, ??) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 k 的取 值范围.

? 2x2 ? k (0 ? x ? e) ? x ? x ? k ln x ? k (0 ? x ? e) ? ' 解析:(1) f ( x) ? ? 2 ,所以 f ( x) ? ? 。 2 ? x ? k ln x ? k ( x ? e) ? 2 x ? k ( x ? e) ? x ?
2

易知, f ( x ) 在 (0, 所以 f 极小 (2)

k k ) 单调递减,在 ( , ??) 单调递增。 2 2 k 3k k k ? f ( ) ? ? ln . 2 2 2 2

1 ?k ?4. 3


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