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数列常见问题的处理技巧


数列常见问题的处理技巧
常用求通项的方法: 一、观察法:如:-1,7,-13,19,…的 an = 7,77,777,7777,…的 an ? 二、公式法:对于等差、等比数列 三、用 an 与 Sn 的关系: a n ? ? ;

?a1 ?? n ? 1 注意:这是分段函数,需分段考虑,若能合并则必须 ?S n ? S n?1 ?? n ? 2

r />
合并,否则就用分段函数表示. 四、一些常见递推数列的通项: 递推数列的题型多样, 求递推数列的通项公式的方法也非常灵活, 往往可以通过适当的策略将问题化归 为等差数列或等比数列问题加以解决,亦可采用不完全归纳法的方法,由特殊情形推导出一般情形,进而 加以证明(数学归纳法) ,因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容.所以我 们应试着总结求递推数列通项公式的常见方法策略,诸如:公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数 变换法、迭代法、换元法等等,随着学习的深入,还会积累的更丰富.仔细辨析递推关系式的特征,准确 选择恰当的方法,是迅速求出通项公式的关键. (一)利用公式法求通项公式 1. ?a n ? 是等差数列, (A)

a S m m 2 ? 2m ,则 m 等于( ? 2 an Sn n ? 2n
(B)



2m ? 3 ; 2n ? 3

m?2 ; n?2

(C)

2m ? 1 ; 2n ? 1

(D)

2m ? 1 2n ? 1

2. 数列 ?a n ? 、 ?bn ?的通项公式分别是 a n ? an ? b?a ? 0, a、b ? R ? , bn ? q n?1

?q ? 1? ,则 ?an ? 、?bn ?中使

a n ? bn 的 n 值的个数是
(A)2; (B)1;



) (C)0; (D)0,1,2 都有可能

3.一个等差数列共有 101 项,前 100 项的和为 ? 900 ,后 100 项的和为 ? 1100 ,则 这个等差数列的通项公式是 .

4.已知等差数列 {an } ,若数列 {bn } 满足 bn ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n ,则数列 {bn } 也是等差数列,类比这一 n
,则数列 {d n } 也是等比数列.

性质,相应地已知等比数列 {cn } 中, cn ? 0 ,若 d n =

,a2 ? a3 ? 70 ,求这个数列的通项公式. 5.一个等比数列 ?an ? 中, a1 ? a4 ? 133
6.已知等差数列 {an } 中, a2 ? 8, S10 ? 185, (1)求数列 {an } 的通项公式 an . (2)若从数列 {an } 中依次取出若 2,4,8,……, 2 ,……项,按原来的顺序排成一个新数列{bn } ,试 求 {bn } 的前 n 项和 An ,并比较 An 与 nan 的大小( n ? N )
*
n

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(二)利用累差叠加法求通项公式 1.已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1 ,a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式. 2. 已知数列 {a n } 满足 an?1 ? an ? 3n,a1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式. (三)利用累乘法求通项公式
2 2 * 1.设 {an } 是首项为 1 的正项数列,且 (n ? 1)an 则它的通项公式是 an = ?1 ? nan ? an?1an ? 0(n ? N )

(四)利用构造法求通项公式:换元法、取倒数法、取对数法、待定系数法、同除法 1. 已知数列 {a n } 满足 an?1 ? 3an ? 4,a1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式. 2. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n , a 1 ? 2 ,求数列 {a n } 的通项公式. 3. 已知数列 {a n } 满足 an ?1 ?

2an , a 1 ? 2 ,求数列 {a n } 的通项公式. an ? 2

5 4. 已知数列 {a n } 满足 an?1 ? an , a 1 ? 7 ,求数列 {a n } 的通项公式.

5. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5 n ,a 1 ? 6 ,求数列 {a n } 的通项公式. 6. 已知数列 {a n } 满足 an?1 ? 2an ? 4n ? 5,a1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式. (五)利用迭代法求通项公式
2 1.已知数列 {a n } 满足 an?1 ? an ,a1 ? 5 ,求数列 {a n } 的通项公式.

(六)利用转化法求通项公式 1.已知数列 {a n } 满足 sn ?

1 求数列 {a n } 的通项公式. ? an ? 1?, 3 1 ? an?1 ? 1?,a1 ? 5 求数列 {a n } 的通项公式. 3

2. 已知数列 {a n } 满足 sn ?

数列前 n 项和的常用求法: 一、利用公式法求前 n 项和: 1.在等比数列 ?an ?中, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 2 ? 1(n ? N ), 则
n *

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? __________ .
2. 已 知 f ( x ) 是 一 次 函 数 , 且 f (10) ? 21, 又 f (2), f (7), f (22) 成 等 比 数 列 , 则

2

2

2

2

f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (50) ? _ _ _ _ _ _ _. _ _ _ _
3. 已知数列 ?an ? 是等差数列,且 3?a3 ? a5 ? ? 2?a7 ? a10 ? a13 ? ? 24 ,那么数列 ?an ? 的前 13 项和为 ( ).

? A? 26

?B ? 13

?C ?52

?D ?156

二、利用转化法求前 n 项和:
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1. 分组求和:如:求 1+1,

1 1 1 ? 4 , 2 ? 7 ,…, n ?1 ? 3n ? 2 ,…的前 n 项和. a a a

2. 倒序相加求和:等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的 如设 f ? x ? ?

4x , 求和 4x ? 2

? 1 ? f? ?? ? 2002 ?
3

? 2 ? f? ? ? ??? ? ? 2002 ?
n -1

? 2001 ? f? ?. ? 2002 ?

3. 错位相减法:其特点是 cn =an bn 其中{an }是等差,{bn }是等比 如:求和 Sn =1+3x+5x +7x +……+(2n-1)x 三、拆项相消法求前 n 项和: 常用的裂项有:
2

注意讨论 x,

1 1 1 1 ? ( ? ); n(n ? 2) 2 n n ? 2 1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

如 an ? 专项训练:

1 求 Sn n(n ? 2)

1.等差数列 ?an ?中, a2 ? 5, a6 ? 33, 则 a3 ? a5 ? _________ 2.等差数列 {an } 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27, 则数列 {an }前9 项的和 S9 等于( ) A. 66 B. 99 C. 144 D. 297 ) 3.等比数列 ?an ?中, a2 ? 9, a5 ? 243 , 则 ?an ? 的前 4 项和为( A. 81 B. 120 C. 168 ) D. 192

4. 2 ? 1 与 2 ? 1 ,两数的等比中项是( A. 1 B. ? 1 C. ? 1 D.

1 2 1 是此数列的第( )项 2

5.已知一等比数列的前三项依次为 x,2 x ? 2,3x ? 3 ,那么 ? 13 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

6.在公比为整数的等比数列 ?an ? 中,如果 a1 ? a4 ? 18, a2 ? a3 ? 12, 那么该数列的前 8 项之和为( A. 513 B. 512 C. 510 D.



225 8


7.已知等差数列 ?an ?的公差为 2 ,若 a1 ,a 3 , a4 成等比数列, 则 a2 ? ( A. ?4 B. ? 6 C. ? 8 D. ?10

8.设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 B. ? 1

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5
1 2
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A. 1

C. 2

D.

9.在正项等比数列 ?an ?中, a1a5 ? 2a3a5 ? a3a7 ? 25 ,则 a3 ? a5 ? _______. A. 12 B. 10 C. 1 ? log3 5 D. 2 ? log3 5

10.等差数列中,若 S m ? S n (m ? n), 则 S m? n =_______. 11.等比数列 ?an ?前 n 项的和为 2 n ? 1 ,则数列 an 2 前 n 项的和为______________. 12.两个等差数列 ?an ? , ?bn ?,

? ?

a1 ? a 2 ? ... ? a n 7n ? 2 a ? , 则 5 =___________. b1 ? b2 ? ... ? bn n?3 b5


13.在等差数列 ?an ?中,若 S 4 ? 1, S8 ? 4 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值为( A. 9 B. 12 C. 16 D.17 14.在等比数列 ?an ?中,若 a 2 ? 6 ,且 a5 ? 2a4 ? a3 ? 12 ? 0 ,则 an 为( A. 6 B. 6 ? (?1) n?2 C. 6 ? 2 n ? 2 D. 6 或 6 ? (?1) n?2 或 6 ? 2 n ? 2



15.在等差数列 ?an ?中, a1 ? a2 ? ... ? a50 ? 200 , a51 ? a52 ? ... ? a100 ? 2700, 则 a1 为( A. ?22.5 ) B. ?21.5 C. ?20.5 D. ?20

16.已知等差数列 {an } 的前n 项和为
2 S n , 若m ? 1, 且am?1 ? am?1 ? am ? 0, S 2m?1 ? 38, 则m 等于(

) D. 9 )项之和等于 9 .

A. 38

B. 20

C. 10

17.数列 ?an ?的通项公式 a n ? A. 98 B. 99 C. 96

1 n ? n ?1
D. 97

,则该数列的前(

18.已知数列 ?a n ?中, a1 ? ?1 , an?1 ? an ? an?1 ? an ,则数列通项 an ? ___________. 19.已知数列的 S n ? n 2 ? n ? 1 ,则 a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 =_____________. 20.设等比数列 ?an ?前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? S 6 ? 2S 9 ,求数列的公比 q . 21.已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 3 ? 2 ,求 an
n

22. 已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 1 ? 5 ? 9 ? 13 ? ... ? (?1) 求 S15 ? S 22 ? S 31 的值.

n?1

(4n ? 3) ,

23.若公比为 c 的等比数列 ?a n ?的首项 a1 ? 1 ,且满足 an ? (1)求 c 的值; (2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Sn .

an ?1 ? an ? 2 ? n ? 3, 4, ???? 2

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