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2014届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第19讲 两角和与差及二倍角的三角函数


1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、 正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、 余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、 正切公式,了解它们的内在联系. 4.熟练应用公式进行化简、求值、证明.

1.两角和与差的三角函数公式 sin(? ? ? ) ? ① __________. cos(? ? ? ) ? ② __________. tan(? ? ? ) ? ③ __________. 2.二倍角公式 sin 2? ? ④ __________. cos 2? ? ⑤ __________ ? ⑥ __________ ? 1 ? 2sin 2 ? . tan 2? ? ⑦ __________.

3.辅助角公式 b a sin ? ? b cos ? ? ⑧ __________ ,其中 tan ? ? . a b a cos ? ? b sin ? ? ⑨ __________ ,其中 tan ? ? . a 4.降幂公式 cos 2 ? ? ⑩ __________.sin 2 ? ?

【要点指南】 ① sin ? cos ? ? cos ? sin ?;② cos ? cos ? ? sin ? sin ?; tan? ? tan? ③ ;④ 2sin ? cos ?;⑤ cos 2 ? ? sin 2 ?; 1 ? tan? tan? 2tan? 2 ⑥ 2cos ? ? 1;⑦ ;⑧ a 2 ? b 2 sin(? ? ? ); 1 ? tan 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 2 ⑨ a ? b cos(? ? ? );⑩ ; 2 2

1.cos81° cos36° +cos9° sin36° 等于( 2 A. 2 3 C. 2

)

2 B.- 2 3 D.- 2

【解析】原式=sin9° cos36° +cos9° sin36° =sin(9° +36° ) 2 =sin45° = . 2

2.已知 tanα=2,则 tan2α 的值为( 3 A.- 4 3 C.- 2 4 B.- 3 2 D.- 3

)

2×2 2tanα 4 【解析】tan2α= 2 = 2=- . 3 1-tan α 1-2

π π π π 3.(cos12-sin12)(cos12+sin12)=

3 2

.

π π 3 2π 【解析】原式=cos 12-sin 12=cos6= 2 .
2

2 π 1 π 3 4.若 tan(α+β)= ,tan(β- )= ,则 tan(α+ )= . 5 4 4 4 22

π π 【解析】tan(α+ )=tan[(α+β)-(β- )] 4 4 π tan?α+β?-tan?β- ? 4 = π 1+tan?α+β?tan?β- ? 4 2 1 - 5 4 3 = = . 2 1 22 1+ × 5 4



给值求值

π π 3π π 3 3π 5 【例 1】 已知 0<β< , <α< , cos( -α)= , sin( +β)= , 4 4 4 4 5 4 13 求 sin(α+β)的值.

π 3π π π 【解析】因为 <α< ,所以- < -α<0, 4 4 2 4 π 4 所以 sin( -α)=- . 4 5 π 3π 3π 又因为 0<β< ,所以 < +β<π, 4 4 4 3π 12 所以 cos( +β)=- , 4 13

π 所以 sin(α+β)=-cos( +α+β) 2 3π π =-cos[( +β)-( -α)] 4 4 3π π 3π π =-cos( +β)· cos( -α)-sin( +β)· sin( -α) 4 4 4 4 12 3 5 4 =-(- )× - ×(- ) 13 5 13 5 56 = . 65

【点评】“凑角法”是给值求值中常用的技巧,解题时首 先要分析已知条件和结论中各个角之间的相互关系,并根 据这种关系来选择公式.

素材1

1 1 tanα 若 sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 . 2 10 tanβ

1 1 【解析】由 sin(α+β)= ,sin(α-β)= , 2 10
? ?sinαcosβ+cosαsinβ=1 ? 2 得? 1 ? ?sinαcosβ-cosαsinβ=10 ?



3 1 tanα sinαcosβ 3 得 sinαcosβ= ,cosαsinβ= ,所以 = = . 10 5 tanβ cosαsinβ 2

【点评】对于此类给出一些复杂的三角函数式的值,求其他式 子的值的问题,常常运用整体思想来解决.



化简求值

cos10° 【例 2】求 -4cos10° 的值. sin10°

cos10° 【解析】 -4cos10° sin10° cos10° -4sin10° cos10° = sin10° cos10° -2sin20° = sin10° cos10° -2sin?30° -10° ? = sin10° cos10° -2sin30° cos10° +2cos30° sin10° = sin10° cos10° -cos10° 3sin10° + = = 3. sin10°

【点评】给出非特殊角,一般考虑化为特殊角或使非特殊角 三角函数值互相抵消,约分求出值.

素材2

1+tan15° 计算 的值. 1-tan15°

【解析】因为 1=tan45° , 1+tan15° tan45° +tan15° 所以 = = tan(45°+ 15° = ) 1-tan15° 1-tan45° tan15° tan60° 3. =

1 【点评】利用 =sin30° ,1=tan45° 等代换,可简捷地解决 2 1± tanα 此类三角题,特别是解决 型问题. 1?tanα



给式求角

5 10 【例 3】已知 α,β 都是锐角,且 sinα= 5 ,sinβ= 10 , 求 α+β 的值.

5 10 【解析】由 α,β 都是锐角,sinα= 5 ,sinβ= 10 , 2 5 3 10 可得 cosα= 5 ,cosβ= 10 , 2 因此 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= 2 , π 又 0<α+β<π,所以 α+β=4.

【点评】此题若选用求 sin(α+β)的值,则需进一步缩小 α,β 的范围,否则容易导致增解,对于此类问题,一般选择在相 应区间上具有单调性的三角函数来求解.

素材3

已知 α, 都是锐角, β 并且 3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β =0,试求 α+2β 的大小.

【解析】由已知 3sin2α=cos2β,① 3sin2α=2sin2β,② sin2α 2sin2β cosα sin2β ②÷ ①,得 2 = ,所以 = , sin α cos2β sinα cos2β 所以 cosαcos2β-sinαsin2β=0,所以 cos(α+2β)=0, 3π π 又 0<α+2β< ,所以 α+2β= . 2 2

备选例题

(1)已知 8cos(2α+β)+5cosβ=0,求 tan(α+β)· tanα 的 值; 2sinθ+cosθ (2)已知 =-5,求 3cos2θ+4sin2θ 的值. sinθ-3cosθ

【解析】(1)因为 2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α, 所以 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0. 展开得:13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0, 13 同除以 cos(α+β)cosα 得:tan(α+β)tanα= . 3

2sinθ+cosθ 2tanθ+1 (2)因为 = , sinθ-3cosθ tanθ-3 2tanθ+1 所以 =-5,所以 tanθ=2, tanθ-3 3?cos2θ-sin2θ?+8sinθcosθ 所以 3cos2θ+4sin2θ= sin2θ+cos2θ 3-3tan2θ+8tanθ 7 = = . 5 1+tan2θ

1.准确选用两角和与差及二倍角公式的关键是 观察、分析角之间的和、差与二倍关系,同时 应注意角之间的差别是 的整数倍时仍可运用 2 和、差公式与二倍角公式进行三角恒等式变形, 最后运用诱导公式实现目标解决. 2.角的变换常见途径有:? ? (? ? ? ) ? ?, 2 会“正用”“逆用”“变形用”. 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ),? ? 2 ?

?

?

等.对公式

1 ? cos 2? 3.常见变换公式有: ? ? cos , 2 1 ? cos 2? 2 sin ? ? , 2 tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? ? tan ? )等.
2

4.三角函数求值的常见题型有两类: 给角求值和给式求值.


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