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2.2.3独立重复试验与二项分布(一)


2.2.3独立重复试验与二项分布 (一)

复习引入
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独 立事件的意义,这些都是我们在具体求概率时需要 考虑的一些模型,吻合模型用公式去求概率简便 . ⑴ P( A ? B) ? P( A) ? P( B)(当 A与B 互斥时) ; P ( AB ) ⑵ P ( B | A) ? P ( A) ⑶ P( AB)

? P( A) P( B) (当 A与B 相互独立时) 那么求概率还有什么模型呢?

分析下面的试验,它们有什么共同特点? ⑴投掷一个骰子投掷 5 次; ⑵某人射击 1 次,击中目标的概率是 0.8, 他射击 10 次 ; ⑶实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比 赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局 就算胜出并停止比赛); ⑷一个盒子中装有 5 个球( 3 个红球和 2 个 黑球) ,有放回地依次从中抽取 5 个球; ⑸生产一种零件,出现次品的概率是 0.04, 生产这种零件 4 件.

共同特点是: 多次重复地做同一个试验.

基本概念
1、 n 次独立重复试验: n 次试验称 一般地,在相同条件下,重复做的 为 n 次独立重复试验. 在 n 次独立重复试验中, 记 Ai 是“第 i 次试验的结果” 显然, P( A1 A2 ? An ) = P( A1 ) P( A2 )? P( An )
∵“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其 他试验的影响, 独立重复试验的特点: ( 贝努利试验)Bernoulii ∴上面等式成立 .

1)每次试验只有两种结果,要么发生,要么不发生;要么 成功,要么失败。 2)任何一次试验中,某事件A发生的概率是定值,即相互 独立,互不影响试验的结果,结果与顺序无关。

独立重复试验与相互独立事件
(1)对象:独立重复试验研究的对象是同一 个试验多次重复的结果(相互独立),每 一次试验中某事件发生的概率是定值;相 互独立事件研究的对象是多个不同的事件, 这些事件发生的概率多数是不相等的。 (2) 顺序性:独立重复试验的结果与顺序无 关,相互独立事件发生的结果与顺序相关。

探究
投掷一枚图钉,设针尖向上的概率为p,则针尖 向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次,仅出现1次 针尖向上的概率是多少?
连续掷一枚图钉3次,就是做3次独立重复试验。用 Ai (i ? 1, 2,3) 表示第i次掷得针尖向上的事件,用 B1 表示“仅出现一次针尖 向上”的事件,则 B ? ( A A A ) ? ( A A A ) ? ( A A A ).
1 1 2 3 1 2 3 1 2 3

由于事件 A1 A2 A3 , A1 A2 A3和A1 A2 A3 彼此互斥,由概率加法公式 得

P(B1 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? q2 p ? q2 p ? q2 p ? 3q2 p

所以,连续掷一枚图钉3次,仅出现1次针尖向上的概率是

3q p.

2

思考?
上面我们利用掷1次图钉,针尖向上的概率为p,求 出了连续掷3次图钉,仅出现次1针尖向上的概率。类 似地,连续掷3次图钉,出现 k (0 ? k ? 3) 次针尖向 上的概率是多少?你能发现其中的规律吗?

P(B0 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? q3 ,
P(B1 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? 3q2 p,

P(B2 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? 3qp2 ,
P(B3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? p3.
仔细观察上述等式,可以发现

P( Bk ) ? C p q
k 3 k

3? k

, k ? 0,1, 2,3.

基本概念
2、二项分布: ( 贝努利分布)Bernoulii

一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的 次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么 在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为

P( X ? k ) ? C p (1 ? p)
k n k

n?k

, k ? 0,1, 2,..., n.

此时称随机变量X服从二项分布,记作 X~B(n,p),并称p为成功概率。(对比公式与表 示二项式定理的公式,你能看出他们之间的联 系吗?)
k k n Pn ?k ? ? Cn P (1 ? P)n?k , 它是二项式( q ? p) 展开式中的第 K ? 1项,

其中q ? 1 ? p

基本概念

3、 二项分布
在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次 独立重复试验中这个事件恰发生x次,显然x是一个随机 变量? 于是得到随机变量ξ的概率分布如下:
ξ 0
0 n 0 n 1 n

1
1 n ?1

?

k
C pq
k n k n? k

?

n
n n 0 Cn pq

p

C pq C pq

?

?
n? k

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作 其中n,p为参数,并记 C
k n

x ~ B(n, p,)

p (1 ? p)
k

? B(k; n, p)

二项分布与两点分布
(1)区别:①二项分布中试验的次数不限; (至少两次)两点分布中试验的次数只有 一次。②二项分布中变量的取值可以取0, 1,2,3,4,,n这n+1个数值;两点分布 中变量的取值只有0,1两个。 (2)联系:两点分布可以看做是n=1时的二 项分布。(是特殊的二项分布)

二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系?

1.两点分布是特殊的二项分布 x ? ?(1? p )

2.一个袋中放有 M 个红球,( N ? M )个白球,依次从袋中 取 n 个球,记下红球的个数 x .
M ⑴如果是有放回地取,则 x ? B( n, ) N ⑵如果是不放回地取 , 则 x 服从超几何分布.
k n? k CM CN ?M P (x ? k ) ? ( k ? 0,1, 2,? , m ) (其中 m ? min( M , n) n CN

运用n次独立重复试验模型解题

例1某射手每次射击击中目标的概率是0.8.
手在10次射击中。
(1)恰有8次击中目标的概率;

求这名射

(2)至少有8次击中目标的概率。
(结果保留两个有效数字)

练习
3 已知一个射手每次击中目标的概率为 p ? , 5 求他在四次射击中下列事件发生的概率。
(1)命中一次; (2)恰在第三次命中目标; (3)命中两次; (4)刚好在第二、第三两次击中目标。

运用n次独立重复试验模型解题

例2 在图书室中只存放技术书和数学书,任一读者
借技术书的概率为0.2,而借数学书的概率为0.8,设 每人只借一本,有5名读者依次借书,求至多有2人 借数学书的概率。

变式练习
甲投篮的命中率为0.8 ,乙投篮的命中率为0.7 , 每人各投篮3次,每人恰好都投中2次的概率是多 少?

运用n次独立重复试验模型解题

例3 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比
赛,规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜

出并停止比赛).
⑴试求甲打完5局才能取胜的概率. ⑵按比赛规则甲获胜的概率.

解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为 1 1 ,乙获胜的概率为 . 2 2 ⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验, 且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局恰好 2 胜 2 负 ∴甲打完 5 局才能取胜 1 2 1 2 1 3 2 的概率 P1 ? C 4 ? ( ) ? ( ) ? ? . 2 2 2 16
(2) 记事件 A ? “甲打完 3 局才能取胜” , 记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” , 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” . 事件 D =“按比赛规则甲获胜” ,则 D ? A ? B ? C , 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 故 P ( D) ? P ( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P ( B) ? P (C ) 1 3 3 1 1 ? ? ? ? . 答: 按比赛规则甲获胜的概率为 . 8 16 16 2 2

运用n次独立重复试验模型解题

例4 某会议室用5盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型
号相同。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该 型号的灯泡的寿命为1年以上的概率为 p1 ,寿命为2年以上 的概率为 p2 。从使用之日起每满年进行一次灯泡更换工作, 只更换已坏的灯泡,平时不换。 (1)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和 更换2只灯泡的概率;
(2)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说, 求该盏灯需要更换灯泡的概率; (3)当 p1 ? 0.8, p2 ? 0.3 时,求在第二次灯泡更换工作 中,至少需要更换4只灯泡的概率。(结果保留两个有效数 字)

运用n次独立重复试验模型解题

例5 假定人在一年365天中的任一天出生的概率是一
样的,某班级有50名同学,其中有两个以上的同
学生于元旦的概率是多少?(保留四位小数)

变式引申
某人参加一次考试,若5道题中解对4道则为及 格,已知他解一道题的正确率为0.6,是求他能及格 的概率。


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