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龙泉中学2015届高三周练理科数学试卷(25)


龙泉中学 2015 届高三理科数学周练(25)
一、 选择题:本大题共 10 小题,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 请将答案涂在答题卡对应题号 的位置上,答错位置不得分. .......

4 2 3 B. C. D. 3 3 2 |x|(x+4) 2 10.已知函数 f(x)= (x≠-2),下列关于函数 g ( x) ? ? f ( x)? ? f ( x) ? a (其中 a 为常数)的叙 x+2 述中:① ? a>0,函数 g(x)一定有零点;②当 a=0 时,函数 g(x)有 5 个不同零点;③ ? a ∈R, 使得函数 g (x) 有 4 个不同零点; ④函数 g (x) 有 6 个不同零点的充要条件是 0<a<

3 A. 4

-是 z 的共轭复数,若 z+-)=3i(i 为虚数单位),则 z 的实部与虚部之和为( ) 1.z z =3,(z-z
A.0 B.3 C.-3 D.2 a 7 1 1 2.若二项式(x+ ) 的展开式中 的系数与 3 的系数之比是 35:21,则 a=( ) x x x A.1 B.2 C.-1 D.-2 2 2 2 3.设集合 M={y|y=|cos x-sin x|,x∈R},N={x|y=ln(1-x )},则 M∩N= ( ) A.{x|-1≤x≤1} B.{x|-1≤x≤0} C.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x<1} 3π → → → 4.设命题 p:若|→ a |=| b |= 2 ,且→ a 与 b 的夹角是 ,则向量 b 在→ a 方向上的投影是 1;命题 q: “x≥1” 4 1 是“ ≤1”的充分不必要条件,下列判断正确的是 x A.p∨q 是假命题 B.p∧q 是真命题 C.p∨q 是真命题 ( ) D.﹁q 为真命题

1 . 其 4

中真命题的序号是( ). A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①③④ 二、 填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答题卡对 .... 应题号 的位置上 , 答错位置 , 书写不清 , 模棱两可均不得分 . ... (一)必考题 11~14 11.某程序框图如图所示,则输出的 S 的值为_______. 12.现在所有旅客购买火车票必须实行实名制,据不完全统计 共有 28 种有效证件可用于窗口的实名购票,常用的有效 证件有:身份证,户口簿,军人证,教师证等,对 2015 年春运 期间 120 名购票的旅客进行调查后得到下表: 购买火车票方式 旅客人数 身份证 a 户口簿 6 军人证 8 教师证 b 其他证件 19

5.将函数 y ? 3 cos x ? sin x( x ? R) 的图象向左平移α (α >0,且α 值最小)个单位长度后, 所得到 的图象关于 y 轴对称,则 tanα 的值是 A. 2 3 B. 3 C. 3 2 D. 2 ( )

已知 a - b =57,则使用教师证购票的旅客的频率大约为_________.

?x+y-3≥0, ? 13.已知实数 x、y 满足?x-y+1≤0, 且 t=ax+by(0≤a<b)取得最小值 2,则 2 a ? 1 ? 3 2b ? 1 的最 ?x-2y+6≥0. ?
大值为______. 14.对于集合 N={1, 2, 3,?, n}和它的每一个非空子集,定义一种求和称之为“交替和”如下:如集 合{1, 2, 3, 4, 5}的交替和是 5–4+3–2+1=3, 集合{3}的交替和为 3.当集合 N 中的 n=2 时, 集合 N={1, 2}的所有非空子集为{1}, {2}, {1, 2}, 则它的 “交替和” 的总和 S2=1+2+(2–1)=4, 请你尝试对 n=3、 n=4 的情况,计算它的“交替和”的总和 S3、S4,并根据计算结果猜测集合 N={1, 2, 3,?, n}的每 一个非空子集的“交替和”的总和 Sn= .(不必给出证明) (二)选考题(请考生在 15、 16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后 的方框用 2B 钢笔涂黑,如果全选,则按第 15 题作答结果计分) 15(选修 4-1:几何证明选讲) 如图,A,B 是圆 O 上两点,且 OA⊥OB,OA=1,C 为 OA 的中点, 连接 BC 并延长交圆 O 于点 D,则 CD=______. 16(选修 4-4:坐标系与参数方程) ?x=3t-2, ? 2 已知曲线 ? ? 2 ? cos ? ? 2 ? sin ? ? 1 ? 0(0 ? ? ? ) ,则直线? (t 为参数) ?y=4t-1. 2 与曲线的最小距离为_________.

6. 已知直线 ax ? by ? 0 与双曲线

x2 y2 2 - 2 = 1 (0 < a < b) 交于 A,B 两点 , 若 A(x1,y1),B(x2,y2) 满足 a b ( ) D.2

|x1-x2|=3 3 ,且|AB|=6,则双曲线的离心率为 A. 3 B.3 C. 2 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) 2 A. 3 1 C. 3 8.在区间[4 B. 3 1 D. 6 1 1 2 , ]上随机取一个数 x ,则 cos ? x 的值介于 2 2 2 ( 1 C. 5 ) 1 D. 6



3 之间的概率为 2 1 A. 3 1 B. 4

1 2 9.如图,已知抛物线 y= x ,直线 l:x-2y+4=0 与抛物线交于 A、C 两点, 4 弦 AC 的中点为 D,过 D 作直线平行于抛物线的对称轴 Oy,交抛物线于 点 B,则抛物线弓形 ABCD(图中阴影部分)的面积与△ABC 的面积之比是( )

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 11 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin(x ?
(Ⅰ)求函数

?

1 )cosx - , 6 2

x2 y2 21.(本小题满分 14 分)如图.已知 F1,F2 分别为椭圆 2 + 2 = 1 (a>b>0) a b 1 的左,右焦点,其离心率 e= ,且 a+c=3. 2 (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设 A、B 分别为椭圆的上、下顶点,过 F2 作直线 l 与椭圆交于 C、D 两点,并与 y 轴交于点 P(异于 A、B、O 点),直线 AC 与直线 → → BD 交于点 Q,则OP?OQ是否为定值,若是,请证明你的结论; 若不是,请说明理由.

f ( x) 的单调递增区间;

(Ⅱ)在△ABC 中,若

f ( A) ?

? 3 ,∠B= ,AC=2,求△ABC 的面积. 4 2

18.(本小题满分 12 分) 已知等比数列{an}的公比 q ? 1 ,前 n 项和为 Sn,S3=7,且 a1+2,2a2,a3+1 成等差数列,数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 6Tn ? (3n ? 1)bn ? 2 ,其中 n ? N*. (Ⅰ)求数列{an}和数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 A={a1,a2,?,a9},B={b1,b2,?,b38},C=A∪B,求集合 C 中所有元素之和.

19.(本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,四边形 BCC1B1 是边长为 6 的正 方形,直线 AB 与平面 ACC1A1 所成的角的正切值为 3,点 D 为棱 AA1 上的动点,且 AD>DA1. (Ⅰ)当 AD 为何值时,CD⊥平面 B1C1D? (Ⅱ)当 AD=2 3 ,时,求二面角 B1-DC-C1 的正切值. 22.(本小题满分 14 分)设函数 f(x)= 1 -x+alnx(a∈R)(e=2.71828?是一个无理数). x

(Ⅰ)若函数 f(x)在定义域上不单调,求 a 的取值范围; (Ⅱ)设函数 f(x)的两个极值点分别为 x1 和 x2,记过点 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线斜率为 k, 2e 若 k≤ 2 ?a-2 恒成立,求 a 的取值集合. e -1

20.(本小题满分 12 分) 某高中有甲、 乙两个生物兴趣小组,分别独立开展对一种海洋生物离开恒温 3 箱的成活情况进行研究,每次试验一个生物,甲组能使生物成活的概率为 ,乙组能使生物成活的概 4 1 率为 ,假定试验后生物成活,则称该试验成功,如果生物不成活,则称该次试验是失败的. 3 (Ⅰ) 甲小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率; (Ⅱ)若甲、乙两小组各进行 2 次试验,设试验成功的总次数为ξ ,求ξ 的分布列及数学期望.

龙泉中学 2015 届高三理科数学周练(25)参考答案

湖北黄冈 2015 高三 3 月份质量检测数学理
一、选择题 1.B 2.A 3.D 4.C 二、填空题 11.30 12. 0.125 5.B 13. 2 13 6.D 7.A 14.n?2n-1 8.D 9.B 15. 10.B 3 5 10 16. 1 5

19.解法一:(Ⅰ)∵四边形 BCC1B1 是边长为 6 的正方形,∴BC=CC1=AA1=6. ∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC.又易知 AA1⊥平面 ABC,∴AA1⊥BC,又 AC∩AA1=A, ∴BC⊥平面 ACC1A1.∠BAC 就是直线 AB 与平面 ACC1A1 所成的角, BC 6 ∴tan∠BAC= = =3,∴AC=2,又 BC∥B1C1,∴B1C1⊥平面 ACC1A1. AC AC A1C1 AD ∴B1C1⊥CD,故当 CD⊥C1D 时有 CD⊥平面 B1C1D,此时有△C1A1D∽△DAC,设 AD=x,则 = , A1D AC 2 x 即 = , 解得 x=3± 5 ,由于 AD>DA1.故当 AD=3+ 5 时,CD⊥平面 B1C1D.???6 分 6-x 2 (Ⅱ)在平面 ACC1A1 内过点 C1 作 C1E⊥CD,交 CD 的延长线于点 E,连接 EB1,如图. 由(Ⅰ)可知 B1C1⊥平面 ACC1A1,故由三垂线定理可知,B1E⊥CD. 故∠B1EC1 为二面角 B1-DC-C1 的平面角. 1 1 当 AD=2 3 时,DC=4,S△DCC = CC1?AC=6,∴ DC?C1E=6, 2 2 B1C1 解得 C1E=3,故 tan∠B1EC1= = 2, C1E 即二面角 B1-DC-C1 的正切值为 2.???????12 分 解法二:(向量法) (Ⅰ)取 C 为坐标原点,CA,CB,CC1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直线坐标系. 同解法一可求得 AC=2.设 AD=x,则点 C(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,6,6),C1(0,0,6),D(2,0,x). → → → ∴C1B1=(0,6,0),DC1 =(-2,0,6-x),CD=(2,0,x). → ?→ ? CD?C1B1=(2,0,x)?(0,6,0)=0, 由? 解得 x=3± 5 ,由于 AD>DA1. → → ? ?CD?DC1=(2,0,x)?(-2,0,6-x)=0. 故当 AD=3+ 5 时,CD⊥平面 B1C1D.???6 分 → → ( Ⅱ ) 若 AD=2 3 , 则点 D(2,0,2 3 ),CD =(2,0,2 3 ),CB1 =(0,6,6), 设平面 B1CD 的法向量为→ m =(x,y,z). → → ?m ?6y+6z=0, ? ?CB1=0, 由? 得? 令 z=-1, 得 → m =( 3 ,1,-1), 又 平 面 C1DC 的 法 向 量 为 → n → → 2x+2 3 z=0. ? ? ?m?CD=0. =(0,1,0). → → m? n ( 3 ,1,-1)?(0,1,0) 1 设二面角 B1-DC-C1 的大小为θ ,则 cosθ = → → = = , |m|| n | 5 ?1 5 2 sinθ ∴sinθ = ,∴tanθ = =2. 即二面角 B1-DC-C1 的正切值为 2.??????12 分 cosθ 5
1

三、解答题 3 1 1 1 sinx+ cosx)cosx- = 3sinxcosx+cos2x- 2 2 2 2 3 1 π = sinx+ cos2=sin(2x+ )??????????5 分 2 2 6 π π π π π 令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ 得 x∈[- +kπ, +kπ] (k∈Z) 2 6 2 3 6 π π 即函数 f(x)的单调递增区间为[- +kπ, +kπ] (k∈Z)?????6 分 3 6 π π 13 π 3 (Ⅱ)∵0<A<π ∴ <2A+ < π , f(A)=sin(2A+ )= 6 6 6 6 2 π π π 2 π π ∴2A+ = 或 2A+ = π,即 A= 或A= ??????????8 分 6 3 6 3 12 4 6 - 2 3- 3 π 2 1 ② A= 时,C= π,a=2 2sinA= · 2 2= 3-1 , S△ABC= absinC= ???10 12 3 4 2 2 分 π π 1 ②当 A= 时,C= , S△ABC= ab=2 ????????????????11 分 4 2 2 注:得一解只给 9 分 18. 【解析】 (1)∵ S3 ? 7 ,∴ a1 ? a2 ? a3 ? 7 ① ∵a1+2,2a2,a3+1 成等差数列,∴a1+2+a3+1=4a2, ② ???????2 分 ②-①得, a2 ? 2 即 a1q ? 2 ③ 又由①得, a1 ? a1q2 ? 5 ④ 1 消去 a1 得, 2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 或 q ? (舍去) 2 n ?1 ∴ an ? 2 ??????????????????4 分 17. 解:(Ⅰ)f(x)=2( 当 n ?N*时, 6Tn ? (3n ? 1)bn ? 2 ,当 n ? 2 时, 6Tn?1 ? (3n ? 2)bn?1 ? 2 ∴当 n ? 2 时, 6bn ? (3n ? 1)bn ? (3n ? 2)bn ?1 ,即 ∴
b 10 bn 3n ? 2 b2 4 b 7 ? ? , 3 ? , 4 ? , b1 1 b2 4 b3 7 bn ?1 3n ? 5

bn 3n ? 2 ????6 分 ? bn?1 3n ? 5

. b2 b3 b4 bn 4 7 10 3n-2 ∴ ? ? ??? = ? ? ??? b1 b2 b3 bn-1 1 4 7 3n-5 ∵ b1 ? 1 ,∴ bn ? 3n ? 2(n ? 2) ,



bn ? 3n ? 2 b1

故 bn ? 3n ? 2(n ? N*) ??????????????????8 分 9 1-2 38?(1+112) (2)S9= =29-1=511,T38= = 2147. ????????10 分 2 1-2 ∵A 与 B 的公共元素有 1,4,16,64,其和为 85, ∴集合 C 中所有元素之和=S9+T38-85=511+2147-85=2573.???????12 分

20.解:(Ⅰ)设甲小组做了三次实验,至少两次试验成功为事件 A,则 3 2 3 3 3 27 2 3 P(A)=C3 ( ) ?(1- )+C3 ( ) = ??????????5 分 4 4 4 32 (Ⅱ)由题意 ? 的取值为 0,1,2,3,4 . 3 0 1 2 1 0 2 2 4 0 0 P(ξ =0)=C2 ( ) ?( ) ?C2 ( ) ?( ) = , 4 3 3 4 144 1 28 3 1 0 2 2 0 3 0 1 2 1 2 1 0 1 P(ξ =1)=C2 ( )?( )?C2 ( ) ?( ) +C2 ( ) ?( ) ?C2 ( )?( )= , 4 3 3 4 3 3 4 4 144 1 0 1 2 3 2 1 0 2 2 0 3 0 1 2 2 0 1 3 2 0 2 P(ξ =2)=C2 ( ) ?( ) ?C2 ( ) ?( ) +C2 ( ) ?( ) ?C2 ( ) ?( ) +C2 ( )? 4 3 3 4 3 3 4 4 4 1 61 1 2 1 ( )?C2 ( )?( )= , 3 3 4 144

1 1 3 2 1 0 1 2 3 1 2 2 0 42 1 1 2 ) ?( ) ?C2 ( )?( )+C2 ( )?( ) ?C2 ( ) ?( ) = , 4 3 3 4 3 3 4 4 144 3 2 1 0 1 2 2 0 9 2 2 P(ξ =4)= C2 ( ) ?( ) ?C2 ( ) ?( ) = ??????????9 分 4 3 3 4 144 故 ? 的分布列为 P(ξ =3)=C2 (
2

直线 AC 的方程为 y- 3 = y- 3 y+ 3 = x2 (y1- 3 ) x1 (y2- 3 ) =

y1- 3 y2+ 3 x,直线 BD 的方程为 y+ 3 = x,联立消去 x 得 x1 x2

kx1 x2 ? (k ? 3) x2 ,????????????10分 kx1 x2 ? (k ? 3) x1

?
P

0 4 144

1 28 144

2 61 144

3 42 144

4 9 144

由合分比定理得 3 2 y 2kx1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 3( x2 ? x1 ) ,将①代入化简得 y=- ? k 2 3 k ( x2 ? x1 ) ? 3( x1 ? x2 ) 3 → → 故OP?OQ=(0,- k)?(xQ, - )=3(定值) ????????????14 分 k 2 1 a x -ax+1 22.解析: (Ⅰ)∵f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= - 2 -1+ = ,???1 分 2 x x x 2 2 令 g(x)=x -ax+1,其判别式 ? =a -4. ①当-2≤a≤2 时, ? ≤0, f′(x)≤0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递减,不合题意.????2 分 ②当 a<-2 时, ? >0,g(x)=0 的两根都小于零,故在(0,+∞)上, f′(x)<0,故 f(x) 在(0,+∞) 上单调递减,不合题意.???????????????????????????3 分 2 a- a -4 ③当 a>2 时, ? >0,设 g(x)=0 的两个根 x1,x2 都大于零,令 x1= , 2 a+ a -4 x2= ,x1x2=1.当 0<x<x1 时,f′(x)<0,当 x1<x<x2 时, f′(x)>0,当 x>x2 时, 2 f′(x)<0,故 f(x)分别在(0,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增, 综上所述,a 的取值范围是(2,+∞).?????????????????6 分 1 1 1 (Ⅱ)依题意及(Ⅰ)知,a=x1+x2=x2+ >2,∵f(x1)-f(x2)= –x1+alnx1-( –x2+alnx2) x2 x1 x2 x2-x1 = +(x2-x1)+a(lnx1-lnx2), x1x2 f(x1)-f(x2) 1 lnx1-lnx2 lnx1-lnx2 ∴k= =-1+ a? =-2+a? .???8 分 x1-x2 x1x2 x1-x2 x1-x2 2e lnx1-lnx2 2e lnx1-lnx2 2e 若 k≤ 2 a-2,则-2+a? ≤ 2 a-2,∴ ≤ 2 . e -1 x1-x2 e -1 x1-x2 e -1 2 e -1 1 不妨设 x1<x2,则 x1-x2≤ (lnx1-lnx2).又 x1= , 2e x2 2 2 1 e -1 1 e -1 ∴ –x2≤ (-2lnx2),∴ –x2+ ?lnx2≤0(x2>1)①恒成立. x2 2e x2 e 记 F(x)= 1 e -1 1 e -1 –x+ ?lnx(x>1),记 x1′= [ x e 2 e
2 2 2 2 2

4 28 61 42 9 13 ∴E(ξ )=0? +1? +2? +3? +4? = ????????12 分 144 144 144 144 144 6 1 c 2 21.解析:(Ⅰ)由题意得, = ,又 a+c=3,解得 a=2,c=1,∴b =3, 2 a x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 + = 1 .????????4 分 4 3 → → (Ⅱ) OP?OQ是为定值 3.证明如下:???????????6 分 显然,当直线 l 垂直于 x 轴时,不合题意, 当直线 l 不垂直于 x 轴时,由(Ⅰ)得 F2(1,0), 1 设直线 l 的方程为 x=my+1(m≠0),则 P(0,). m 2 2 x y 将直线 x=my+1 代入 + = 1 整理得(3m2+4)y2+6my-9=0.设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 ? >0. 4 3 6m 9 由韦达定理得 y1+y2= ,y y = .?????????????8 分 3m2+4 1 2 3m2+4 直线 AC 的方程为 y- 3 = y- 3 y+ 3 = = x2 (y1- 3 ) x1 (y2- 3 ) y1- 3 y2+ 3 x,直线 BD 的方程为 y+ 3 = x,联立消去 x 得 x1 x2 y- 3 y+ 3 )=
2

,∴(

x2 (y1- 3 ) x1 (y2- 3 )
2

2

2

2

=

(3-y2 )(y1- 3 ) (3-y1 )(y2- 3 )
2

2

2

2

(y1- 3 )(y2- 3 ) (y1+ 3 )(y2+ 3 ) y1y2- 3 (y1+y2)+3 -

9 6m - 3 ()+3 3m2+4 3m2+4 3 m+1 2 = = = ( ) .??????10 分 9 6m y1y2+ 3 (y1+y2)+3 3 m-1 + 3 ()+3 2 2 3m +4 3m +4 ∵3 < y1,y2 < 3 ,∴ y- 3 y+ 3 与 x2 9 2 2 异 号 ,x1x2=m y1y2+m(y1+y2)+1=m ()+m(3m2+4 x1

6m )+1 3m2+4 4(1- 3 m)(1+ 3 m) x2 3 m+1 y- 3 3 m+1 y- 3 = ,∴ 与 异号,∴ 与 同号,∴ 3m2+4 x1 3 m-1 y+ 3 3 m-1 y+ 3 1 解得 y=-3m,因此 Q 点的坐标为(xQ,-3m),又 P(0,), m 1 → → 故OP?OQ=(0,)?(xQ,-3m)=3(定值).????????????14 分 m x2 y2 (2)法二:设直线 l 的方程为 y=k(x-1),P(0,-k), 代入 + = 1 整理得 4 3
2

(

e -1 2 ) -4 ], e

2

=

3 m+1 3 m-1

12 k ? 1 8k2 4k2-12 (3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,x1+x2= ??①???8分 2 ,x1x2= 2 , x1 ? x2 ? 3+4k 3+4k 3 ? 4k 2

1 e -1 e -1 2 [ + ( ) -4 ].由(Ⅰ)③知 F(x)在(1,x2′)上单调递增,在(x2′,+∞)上 2 e e 单调递减,且易知 0<x1′<1<x2′<e.又 F(1)=0,F(e)=0,所以,当 x∈(1,e)时,F(x)>0;当 x∈ [e,+∞)时,F(x)≤0. 1 1 1 2 故由①式可得,x2≥e,代入方程 g(x2)=x2 -ax2+1=0,得 a=x2+ ≥e+ (∵a= x2+ 在 x2∈[e,+∞) x2 e x2 1 上递增).又 a>2,所以 a 的取值集合是{a|a≥e+ }.????????????14 分 e x2′=


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龙泉中学2015届高三周练理科数学试卷(27)_数学_高中教育_教育专区。龙泉中学 ...(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡相应位置上...

龙泉中学2015届高三周练理科数学试卷(2)

龙泉中学2015届高三周练理科数学试卷(2)_数学_高中教育_教育专区。龙泉中学2015...二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 1 11.函数 y ...

龙泉中学2015届高三周练理科数学试卷(15)

龙泉中学2015届高三周练理科数学试卷(15)_数学_高中教育_教育专区。龙泉中学 2015...共 25 分,把答案填在题中的横线上 11.下列结论: 4.已知函数 f ? x ? ...

龙泉中学2015届高三周练理科数学试卷(14)

龙泉中学2015届高三周练理科数学试卷(14)_数学_高中教育_教育专区。龙泉中学 2015...共 25 分.请将答案填在答题 .. 3. “ m ? 8 ”是“方程 x y ? ? ...