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函数的最大值和最小值


函数的最大值和最小值
教材分析 函数的最大 (小) 值是函数的一个重要性质。 它和求函数的值域有密切的关系, 对于在闭区间上连续的函数,只要求出它的最值,就能写出这个函数的值域。通 过对本课的学习, 学生不仅巩固了刚刚学过的函数单调性,并且锻炼了利用函数 思想解决实际问题的能力; 同时在问题解决的过程中学生还可以进一步体会数学 在生活、实际中的应用,体会到函数问题处处存

在于我们周围。 学情分析 在初中学生对已经经历了中学函数学习的第一阶段, 学习了函数的 描述性概念接触了正比例函数,反比例函数 一次函数 二次函数等最简单的函 数, 了解了他们的图 像和性质。 鉴于学生对二次函数已经有了一个初步的了解。 因此本节课从学生接触过的二次函数的图象入手, 这样能使学生容易找出最高点 或最低点。 但这只是感性上的认识。为了让学生能用数学语言描述函数最值的概 念,先从具体的函数 y=x2 入手,再推广到一般的函数 y=ax2+bx+c (a≠0)。让 学生有一个从具体到抽象的认识过程。对于函数最值概念的认识,学生的理解还 不是很透彻,通过对概念的辨析,让学生真正理解最值概念的内涵。例 1 与它的 变式是本节的重点, 通过对区间的改变,让学生对求二次函数的最值有一个更深 的认识。同时让学生体会到数形结合的魅力。 教学目标分析 1、 知识与技能目标:掌握函数最大、最小值的概念,能够解决与二次函数 有关的最值问题, 以及利用函数单调性求最值,会用函数的思想解决一些简单的 实际问题。 2、 过程与方法目标:通过函数最值的学习进一步研究函数,感悟函数的最 值对于函数研究的作用。 3、 情感态度、价值观目标:培养学生积极进行数学交流,乐于探索创新的 科学精神。 教学重点和难点 教学重点:函数的最大(小)值及其几何意义 教学难点:利用函数的单调性求函数的最大(小)值. 四、教学方法 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小 值之后,引导学生通过观察闭区间内的连续函数的图象,自己归纳、总结出函数 最大值、最小值存在的可能位置,进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与 步骤,并优化解题过程,让学生主动地获得知识,老师只是进行适当的引导,而 不进行全部的灌输.为突出重点,突破难点,这节课主要选择以合作探究式教学 法组织教学. 五、学习方法

对于求函数的最值, 高中学生已经具备了良好的知识基础,剩下的问题就是 有没有一种更一般的方法, 能运用于更多更复杂函数的求最值问题?教学设计中 注意激发起学生强烈的求知欲望,使得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以 形成认识,参与到课堂活动中,充分发挥他们作为认知主体的作用. 在本堂课学习中, 学生发挥主体作用, 主动地思考探究求解最值的最优策略, 并归纳出自己的解题方法,将知识主动纳入已建构好的知识体系,真正做到“学 会学习”。 教学过程: [提出问题 引入目标] 引入:请同学们画出函数 y=x2 的图象,指出图象的最高点或最低点,并说明它 能反映函数的什么性质呢? 生: 函数 y=x2 的图象上有一个最低点(0,0),0 是所有函数值中最小的。 师: 很好,这就是今天这节课我们要学习的内容:函数的最值。 开门见山,引出课题。 [] 1、 函数最值的定义 问题 1:怎样用数学语言描述我们所发现的结论呢? 生:对于函数 y=f(x0)在定义域R内的任意一个 x,都有 f(x)≥f(x0),那么 f (x0)为函数的最小值。 问题2:你能给出函数最大值的定义吗? 生: 学生思考、讨论、交流后回答。 师: 教师补充、归纳给出函数最小值的定义。 问题 3:你能仿照函数最小值的定义,给出函数 y=f(x)的最大值定义吗? 让学生学会类比。得出把 f(x)≥f(x0)。改为 f(x)≤f(x0)。,最小值改为最大 值,就能得到函数最大值的定义。 问题 4:命题“设函数在 x0 处的函数值为 f(x0),如果对于定义域内无数个 x, 使得不等式 f(x) ≥f(x0`)成立,那么 f(x0)就叫做函数 y=f(x)的最小值”是 否正确?如果正确,请说明理由,若不正确,请说明理由。 体会“任意”与“无数”的区别。 问题 5:对于每个确定的函数,其最大、最小值是否一定存在?函数的最值可能 出现哪些情况, 请你思考并对每种情况给出一个实例。 理解函数最值是否存在? (存在性)同时借助几何画板画出函数图象加以说明,让学生能一目了然。 问题 6:对于每个确定的函数,其最大、最小值是否唯一?取到最大或最小值 时函数的自变量是否唯一? 生: 学生进行小组交流、讨论,学生举例。 师: 教师在学生活动中给于一定的引导。利用几何画板绘出函数图象,结 合函数的单调性加以说明最大值:一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果 存在实数 M 满足:

(1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M . 那么,称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值. 思考:依照函数最大值的定义,结出函数 y ? f ( x) 的最小值的定义. 注意: ①函数最大 (小) 首先应该是某一个函数值, 即存在 x0 ? I , 使得 f ( x0 ) ? M ; ②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? M ( f ( x) ? m) . 。 通过对问题的回答、辨析,让学生对函数最值的概念有一个更深的认识。 2、二次函数的最值 变式 1:已知函数 y=x2,当的定义域为下列区间时,求函数的最大值和最小值。 (1)[-1,4] (2)[6,10] (3)[-10,10] (2)变式 2:在变式 1 中,若将区间改为“[-2,a]”,情形如何? (3) 变式 3:在变式 1 中,若将区间改为“[a,b]”求函数 y=x2 的最小值的解 析式。 (4) 变式 1 中代表了在给定的区间上有单调递减、单调递增、有增有减三种情 况。 (5)变式 2 是在变式 1 的基础上,利用二次函数的图象求最值,同时渗透分类 讨论、数形结合的思想。 (6)变式 3 既可以巩固变式 2 的成果又对学生的能力提出更高的要求,学会用 运动变化的眼光来思考问题。 (7)师: 从刚才的解题过程中你能归纳、总结出求二次函数 y=a(x-h)2+k (a≠0)在闭区间[m,n]上的最值的一般步骤吗? (8)生: 学生自主归纳总结。 培养学生归纳概括的能力。 (9) 师: 若把 y=a(x-h)2+k 改成 y=ax2+bx+c (a≠0), 情形又如何呢? (可 让学生回去思考) 培养学生举一反三的能力。 [实例联系 能力形成] 利用函数的单调性求最值 2.利用函数单调性来判断函数最大(小)值的方 法. ①配方法 ②换元法 ③数形结合法

3. 例 2.求函数 y=x2+3x+5 在区间[2,6]上的最大值和最小值。 师: 借助几何画板画出函数图象。 生: 借助单调性知识加以证明。从而得出对于在给定的闭区间上单调的

函数都有最大值和最小值。 让学生学会根据函数图象的单调性求最值,渗透数 形结合的思想。 例 2.将进货单价 40 元的商品按 50 元一个售出时,能卖出 500 个,若此商 品每个涨价 1 元,其销售量减少 10 个,为了赚到最大利润,售价应定为多少? 解:设利润为 y 元,每个售价为 x 元,则每个涨( x -50)元,从而销售量 减少 10( x ? 50)个, 共售出500-10(x-50)=100-10x(个) ∴ y=(x-40)(1000-10x)

=-10(x-70)2 ? 9000 (50 ? x <100)
∴ x ? 70时

ymax ? 9000

答:为了赚取最大利润,售价应定为 70 元. 例 4.求函数 y ? x ? 1 ? x 的最大值. 解:令 t ? 1 ? x ? 0 有x ? ?t 2 ? 1则
1 5 y ? ?t 2 ? t ? 1 ? ?(t ? ) 2 ? ?t ? 0 2 4 1 ??(t ? ) 2 ? 0 2 1 5 5 ??(t ? ) 2 ? ? 2 4 4

5 ? 原函数的最大值为 . 4 (五)归纳小结

求函数最值的常用方法有: (1)配方法:即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后 根据变量的取值范围确定函数的最值. (2)换元法:通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值. (3)数形结合法:利用函数图象或几何方法求出最值. 六)设置问题,留下悬念. 1.课本 P45(A 组) 6.7.8

2.求函数 y ? x ? 2x ?1 的最小值.

3.求函数 y ? x2 ? 2x ? 3当自变量x在下列范围内取值时的最值 . ① ?1 ? x ? 0 ② 0? x?3 ③ x ? (??, ??)


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