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【创新设计】2015高考数学(理)(江西)二轮专题补偿练:平面向量与解三角形


补偿练6
一、选择题

平面向量与解三角形
(建议用时:40 分钟)

→ ⊥AB → ,则实数 k 1.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1,3),B(-2,k),若向量OA = A.4 C.2 解析 B.3 D.1 → =(-3,k-3),因为OA → ⊥AB → ,所以-3 因为 A(1,3),B(-2,k),

所以AB ( ).

+3k-9=0,解得 k=4. 答案 A

2.已知向量 a=(1,2),b=(2,0),c=(1,-2),若向量 λa+b 与 c 共线,则实数 λ 的值为 A.-2 C.-1 解析 1 B.-3 2 D.-3 ( ).

由题知 λa+b=(λ+2,2λ),又 λa+b 与 c 共线,

∴-2(λ+2)-2λ=0,∴λ=-1. 答案 C ).

→ +OQ →=( 3.如图所示的方格纸中有定点 O,P,Q,E,F,G,H,则OP

→ A.OH → B.OG → C.EO

-1-

→ D.FO 解析 以 F 为坐标原点,FP,FG 所在直线为 x,y 轴建系,假设一个方格长为

→ =(2,-2),OQ → =(1,4),所 单位长,则 F(0,0),O(3,2),P(5,0),Q(4,6),则OP → +OQ → =(3,2),而恰好FO → =(3,2),故OP → +OQ → =FO →. 以OP 答案 D

→ +CD → =0,(AB → -AD → )· → =0,则四边形 ABCD 4.在平面四边形 ABCD 中,满足AB AC 是 A.矩形 C.菱形 解析 B.正方形 D.梯形 ( ).

→ +CD → =0,所以AB → =-CD → =DC → ,所以四边形 ABCD 是平行四边 因为AB

→ -AD → )· → =DB →· → =0,所以四边形的对角线互相垂直,所以四边形 形,又(AB AC AC ABCD 是菱形. 答案 C ).

3 5.在△ABC 中,∠A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积为 2 ,则 BC 的长为 ( A. 3 C. 7 解析 1 S=2×AB· ACsin B.3 D.7

1 3 3 60° =2×2× 2 AC= 2 , 所以 AC=1, 所以 BC2=AB2

+AC2-2AB· ACcos 60° =3,所以 BC= 3. 答案 A ).

6.在△ABC 中,若 a=2b,面积记作 S,则下列结论中一定成立的是 ( A.B>30° C.c<b B.A=2B D.S≤b2

1 1 解析 由三角形的面积公式知 S=2absin C=22b· bsin C=b2sin C,因为 0< sin C≤1,所以 b2sin C≤b2,即 S≤b2. 答案 D

7.已知直角坐标系内的两个向量 a=(1,3),b=(m,2m-3),使平面内的任意一个

-2-

向量 c 都可以唯一地表示成 c=λa+μb,则 m 的取值范围是 A.(-∞,0)∪(0,+∞) B.(-∞,-3)∪(-3,+∞) C.(-∞,3)∪(3,+∞) D.[-3,3) 解析 答案

(

).

m 2m-3 由题意可知向量 a 与 b 为基底,所以不共线, 1 ≠ 3 ,得 m≠-3. B

→ 1→ → → 8.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,BD=3BA,E 是 CA 的中点,则CD· BE等于 ( 1 A.- 2 1 C.-3 解析 B.- 2 3 ).

1 D.-6

建立如图所示的直角坐标系,则

? 1 ? A?-2,0?, ? ? ? 3? ?1 ? B?2,0?,C?0, ?,依题意设 D(x1,0), ? ? 2? ? E(x2,y2), → =1BA → ∵BD 3 , 1 ? 1 ? ∴?x1-2,0?=3(-1,0), ? ? 1 ∴x1=6.
-3-

1 3 ∵E 是 CA 的中点,∴x2=-4,y2= 4 . 1 3? ? 3 3? →· → =? ? ,- ?· ?- , ? ∴CD BE 2 ?? 4 4 ? ?6 1 ? 3? ? 3 1 3? =6×?-4?+?- ?× 4 =-2. ? ? ? 2? 答案 A

9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 表示△ABC 的面积,若 1 acos B+bcos A=csin C,S=4(b2+c2-a2),则角 B 等于 A.90° C.45° 解析 B.60° D.30° A=sin Csin C,即 sin(B+A)= ( ).

由正弦定理得 sin Acos B+sin Bcos

sin Csin C,因为 sin(B+A)=sin C,所以 sin C=1,C=90° ,根据三角形面积 1 1 公式和余弦定理得,S=2bcsin A,b2+c2-a2=2bccos A,代入已知得2bcsin A 1 =4· 2bccos A,所以 tan A=1,A=45° ,因此 B=45° . 答案 C

10.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S,且 2S=(a+b)2-c2,则 tan C 等于 3 A.4 4 C.-3 解析 4 B.3 3 D.-4 ( ).

1 由 2S=(a+b)2-c2,得 2S=a2+b2+2ab-c2,即 2×2absin C=a2+b2
2 2 2 2

a2+b2-c2 absin C-2ab +2ab-c , 所以 absin C-2ab=a +b -c , 又 cos C= 2ab = 2ab sin C sin C C C C C = 2 -1,所以 cos C+1= 2 ,即 2cos2 2 =sin 2 cos 2 ,所以 tan 2 =2, C 2tan 2 2×2 4 即 tan C= = 2=- . C 3 1 - 2 1-tan2 2

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答案

C

→ +4OB → +5OC → =0,则△ 11.已知△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若 3OA AOC 的面积为 2 A.5 3 C.10 解析 1 B.2 6 D.5 → +5OC → )2=(-4OB → )2,9OA → 2+25OC → 2+30OA →· →= 依题意得,(3OA OC ( ).

3 → 16OB2, 即 34+30cos∠AOC=16, cos∠AOC=-5, sin∠AOC= 1-cos2∠AOC 4 1→ → =5,△AOC 的面积为2|OA ||OC|sin 答案 A 2 ∠AOC=5.

12.已知向量 a 是与单位向量 b 夹角为 60° 的任意向量,则对任意的正实数 t, |ta-b|的最小值是 A.0 3 C. 2 解析 1 B.2 D.1 ∵a 与 b 的夹角为 60° ,且 b 为单位向量, ( ).

|a| ∴a· b= 2 ,|ta-b|= ?ta-b?2= |a|2t2-|a|t+1= 答案 C 1 ? 3 3 ? |a|2?t-2|a|?2+4≥ 2 . ? ?

二、填空题 13.若向量 m=(1,2),n=(x,1)满足 m⊥n,则|n|=__________. 解析 ∵m⊥n,∴m· n=0,即 x+2=0,∴x=-2,

∴|n|= ?-2?2+12= 5. 答案 5

14.在不等边△ABC(三边均不相等)中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, cos A b c,且有cos B=a,则角 C 的大小为________.
-5-

解析

依题意得 acos A=bcos B,sin Acos A=sin Bcos B,sin 2A=sin 2B,则 2A

π =2B 或 2A=π-2B,即 A=B 或 A+B=2,又△ABC 是不等边三角形,因此 A π π +B=2,C=2. 答案 π 2

→· → =________. 15.在边长为 1 的正方形 ABCD 中, E, F 分别为 BC, DC 的中点, 则AE AF

解析

→ =AB → +1AD → → → 1 → → AB → =0,所以AE →· →= 因为AE AF 2 ,AF=AD+2AB,AD·

→ +1AD → (AD → +1AB → 1→2 1 → 2 (AB 2 )· 2 )=2AB +2AD =1. 答案 1

16.给出以下结论: →· → =20; ①在三角形 ABC 中,若 a=5,b=8,C=60° ,则BC CA → +BC → +AC → |=2 2; ②已知正方形 ABCD 的边长为 1,则|AB → =a+5b,BC → =-2a+8b,CD → =3(a-b),则 A,B,D 三点共线. ③已知AB 其中正确结论的序号为__________. 解析 对于①,B→ C· C→ A =abcos(π-C)=-abcos C=-20;对于②,

→ +BC → +AC → |=|2AC → |=2|AC → |=2 2;对于③,因为AB → =a+5b,BD → =BC → +CD → |AB → =BD → ,则 A,B,D 三点共线.综上可得,②③正确. =a+5b,所以AB 答案 ②③

-6-


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