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高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第一节 (126)


课时作业
一、选择题 3 1.(2014· 成都模拟)下列各式中,值为 2 的是 ( A.2sin 15°cos 15° C.2sin215°-1 B.cos215°-sin215° D.sin215°+cos215° )

3 B [cos215°-sin215°=cos 30°= 2 .故选 B.] 3 ? π? ? π? 2.已知 cos?x-

?=- 3 ,则 cos x+cos?x- ?的值是 6? 3? ? ? ( 2 3 A.- 3 C.-1 C 2 3 B.± 3 D.±1 )

1 3 ? π? [cos x+cos?x- ?=cos x+2cos x+ 2 sin x 3? ?

3 3 ? 3 ? 1 =2cos x+ 2 sin x= 3? cos x+ sin x? 2 2 ? ? ? π? = 3cos?x- ?=-1.] 6? ? π 3 3.(2014· 昆明调研)已知 sin(x- 4 )=5,则 sin 2x 的值为 ( 7 A.-25 9 C.25 2 3 B [依题意得 2 (sin x-cos x)=5, 1 9 2 2(sin x-cos x) =25, 18 7 1-sin 2x=25,sin 2x=25,选 B.] 7 B.25 16 D.25 )

π? 1 ? 4.(2014· 厦门质检)已知 tan?α + ?=7,则 tan α 等于 4? ? ( 6 A.-5 3 C.-4 C π? π? ?? [由题 tan α=tan??α+ ?- ? 4? 4? ?? B.-1 6 D.5 )

π π? 1 ? tan?α+ ?-tan -1 4 4? 7 3 ? = = =- 1 4,故选 C.] π π? ? 1+tan?α+ ?tan 4 1+7×1 4? ? 7π ? 4 3 ?π ? ? 5.(2014· 合肥模拟)已知 cos? -α?+sin α = 5 ,则 sin?α + ?的值是 6 ? ?6 ? ? ( 2 3 A.- 5 4 C.5 ?π ? D [由条件知 cos? -α?+sin α ?6 ? ? 3 ? ? 3 ? 1 1 =? cos α+ sin α?+sin α= 3? sin α+ cos α? 2 2 ?2 ? ?2 ? π? 4 3 ? = 3sin?α+ ?= 5 . 6? ? π? 4 ? ∴sin?α+ ?=5. 6? ? 7π? π π? ? ? ? ? ∴sin?α+ ?=sin?α+ +π?=-sin?α+ ? 6 ? 6 6? ? ? ? ? 4 =-5.] 3 6.已知 α 为第二象限角,sin α +cos α = 3 ,则 cos 2α = ( 5 A.- 3 5 B.- 9 ) 2 3 B. 5 4 D.-5 )

5 C. 9

5 D. 3

3 1 2 A [将 sin α+cos α= 3 两边平方,可得 1+sin 2α=3,sin 2α=-3,所 5 以(-sin α+cos α)2=1-sin 2α=3. 因为 α 是第二象限角,所以 sin α>0,cos α<0, 15 所以-sin α+cos α=- 3 , 5 所以 cos 2α=(-sin α+cos α)· (cos α+sin α)=- 3 .] 二、填空题 α π? 4 ? 7.(2014· 珠海模拟)若 sin(π -α)= ,α∈?0, ?,则 sin 2α -cos2 的值等于 5 2 2 ? ? __________. 解析 4 4 ∵sin(π-α)=5,∴sin α=5.

π? 3 ? 又∵α∈?0, ?,∴cos α=5. 2? ? ∴sin 2α-cos2 2 =2sin αcos α- 4 3 4 =2×5×5- 2 =25. 答案 4 25 sin α +cos α = 3 , tan(α - β) = 2 , 则 tan(β - 2α) = sin α -cos α 3 1+5

α

1+cos α 2

8 . (2014· 温州模拟)若 __________. 解析 由条件知

sin α+cos α tan α+1 = =3, sin α-cos α tan α-1

∴tan α=2. ∵tan(α-β)=2,∴tan(β-α)=-2, ∴tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]



tan(β-α)-tan α -2-2 = 1+tan(β-α)tan α 1+(-2)×2

4 =3. 答案 4 3

9.(2014· 烟台模拟)已知角 α,β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α, 1 β∈(0,π ),角 β 的终边与单位圆交点的横坐标是-3,角 α+β 的终边与单位 4 圆交点的纵坐标是 ,则 cos α =________. 5 解析 依题设及三角函数的定义得:

1 4 cos β=-3,sin(α+β)=5. π π 2 2 3 又∵0<β<π,∴ 2 <β<π, 2 <α+β<π,sin β= 3 ,cos(α+β)=-5. ∴cos α=cos[(α+β)-β] =cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β 3 ? 1? 4 2 2 3+8 2 =-5×?-3?+5× 3 = 15 . ? ? 答案 3+8 2 15

三、解答题 1 ?π ? 10.(2014· 亳州质检)已知 tan? +α?=2,tan β =2. ?4 ? (1)求 tan 2α 的值; (2)求 解析 sin(α+β)-2sin α cos β 的值. 2sin α sin β +cos(α+β) ?π ? (1)∵tan? +α?=2, ?4 ?

π tan 4 +tan α ∴ =2. π 1-tan 4 tan α ∴ 1+tan α =2. 1-tan α

1 ∴tan α=3. 2tan α = 1-tan2α 3 1=4. 1-9 2 3

∴tan 2α=

(2) = =

sin(α+β)-2sin αcos β 2sin αsin β+cos(α+β)

sin αcos β+cos αsin β-2sin αcos β 2sin αsin β+cos αcos β-sin αsin β cos αsin β-sin αcos β sin(β-α) = cos αcos β+sin αsin β cos(β-α) tan β-tan α 1+tan βtan α

=tan(β-α)=

1 1 2-3 1 = = 1 1 7. 1+2×3 π π? 4 4 ? 11.已知:0<α< 2 <β <π ,cos?β - ?=5.sin(α+β)=5. 4? ? (1)求 sin 2β 的值; π? ? (2)求 cos?α + ?的值. 4? ? 解析 π π π? 2 2 ? (1)解法一:∵cos?β- ?=cos 4 cos β+sin 4 sin β= 2 cos β+ 2 4 ? ?

1 sin β=3, 2 2 7 ∴cos β+sin β= 3 ,∴1+sin 2β=9,∴sin 2β=-9. π? 7 ?π ? ? 解法二:sin 2β=cos? -2β?=2cos2?β- ?-1=-9. 4? ?2 ? ? π (2)∵0<α< 2 <β<π, π π 3 π 3π π? ? ∴ 4 <β- 4 <4π, 2 <α+β< 2 ,∴sin?β- ?>0,cos(α+β)<0. 4? ? π? 1 4 ? ∵cos?β- ?=3,sin(α+β)=5, 4? ?

π? 2 2 3 ? ∴sin?β- ?= 3 ,cos(α+β)=-5. 4 ? ?

π? π?? ? ? ? ∴cos?α+ ?=cos?(α+β)-?β- ?? 4? 4 ?? ? ? ? π? π? ? ? =cos(α+β)cos?β- ?+sin(α+β)sin?β- ? 4 4? ? ? ? 3 1 4 2 2 8 2-3 =-5×3+5× 3 = 15 . x? ? x? ? 12.函数 f(x)=cos?-2?+sin?π -2?,x∈R. ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π? π? 2 10 ? ? (2)若 f(α)= 5 ,α∈?0, ?,求 tan?α + ?的值. 2? 4? ? ? 解析 x? x x ? x π? ? x? ? (1)f(x)=cos?-2?+sin?π-2?=sin2+cos2= 2sin? + ?, ? ? ? ? ?2 4 ?

2π 故 f(x)的最小正周期 T= 1 =4π. 2

α α 2 10 2 10 (2)由 f(α)= 5 ,得 sin 2 +cos 2 = 5 , α?2 ?2 10?2 ? α ? , 则?sin +cos ? =? 2? ? 2 ? 5 ?
8 即 1+sin α=5, 3 解得 sin α=5, π? ? 又 α∈?0, ?, 2? ? 则 cos α= 1-sin2α= 故 tan α= sin α 3 = , cos α 4 9 4 1-25=5,

π? ? 所以 tan?α+ ?= 4? ?

3 4+1 = 3=7. π 1-tan αtan 4 1-4

π tan α+tan 4


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