kl800.com省心范文网

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:圆锥曲线


广东省 13 市 2015 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编

圆锥曲线
一、选择题 1、 (广州市 2015 届高三)已知双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的直线 3 与双曲线 C 的右支相交于 P , Q 两点,且点 P 的横坐标为 2 ,则△ PF1Q 的周长为
A.

16 3 3

B. 5 3

C.

14 3 3

D. 4 3

2、 (惠州市 2015 届高三)设双曲线 为( A. ).

x2 y 2 ? ? 1 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则此双曲线的离心率 a 2 b2

6 2

B.

3 2

C.

2 2

D.

3 2

3、 (江门市 2015 届高三)在同一直角坐标系中,直线

x y ? ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 的位置 3 4

关系是 A.直线经过圆心 B.相交但不经过圆心 C.相切 D.相离

4、 (汕尾市 2015 届高三) 中心在原点, 焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线与直线 y ? 则它的离心率为( A. 5 ) C.

1 x ? 1 平行, 2

B. 6

6 2

D.

5 2

5、 (韶关市 2015 届高三)过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线,交 a 2 b2
)

双曲线的渐近线于 A, B 两点, 若 ?OAB( O 为坐标原点) 是等边三角形, 则双曲线的离心率为 (

A.

3 3

B.

2 3 3

C. 3

D. 2

二、填空题
2 2 1、 (潮州市 2015 届高三)已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的准线与圆 ? x ? 3? ? y ? 16 相切, 2

则 p 的值为

2、 (佛山市 2015 届高三) 已知点 A ? ?2,0? 、B ? 0,4? 到直线 l : x ? my ? 1 ? 0 的距离相等,则实数 m 的值为_________ 3、 (揭阳市 2015 届高三)抛物线 y ?

1 2 x 学优网 上到焦点的距离等于 6 的点的坐标为 8

4、 (清远市 2015 届高三)已知圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 ,直线:L:x+y+a=0(a>0) ,圆心 到直线 L 的距离等于 2 ,则 a 的值为___ 5、 (深圳市 2015 届高三)已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 8x ? ay ? 5 ? 0 经过抛物线 E: x 2 ? 4 y 的焦点,则 抛物线 E 的准线与圆 C 相交所得弦长为 三、解答题

? 6 1? x2 y 2 2 , ? 1、 (潮州市 2015 届高三) 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 ? ? , 离心率为 , ? ? a b 2 ? 2 2? 动点 ? ? 2, t ? ( t ? 0 ) .

?1? 求椭圆的标准方程; ? 2 ? 求以 ?? ( ? 为坐标原点)为直径且被直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 的圆的方
程; ? 3? 设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 ?? 的垂线与以 ?? 为直径的圆交于点 ? ,证明线段
?? 的长为定值,并求出这个定值.
2、 (佛山市 2015 届高三)已知曲线 E :

x2 y2 ? ? 1. m m ?1
2

(Ⅰ) 若曲线 E 为双曲线,求实数 m 的取值范围;
2 (Ⅱ) 已知 m ? 4 , A ? ?1,0? 和曲线 C : ? x ? 1? ? y ? 16 .若 P 是曲线 C 上任意一点,线段 PA

的垂直平分线为 l ,试判断 l 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

3、 (广州市 2015 届高三)已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且经过点 ? 0,1? .圆 2 a b 2

C1 :x 2 ?y 2 ?a 2 ? b2 .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m ? k ? 0? 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,且 l 与圆 C1 相交于 A, B 两点, 问 AM ? BM ? 0 是否成立?请说明理由.

2 4 、( 惠 州 市 2015 届 高 三 ) 已 知 抛 物 线 C1 : y ? 2 px ( p ? 0 )的 焦 点 F 以 及 椭 圆

C2 :

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的上、下焦点及左、右顶点均在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 上. a 2 b2

(1)求抛物线 C1 和椭圆 C2 的标准方程; (2)过点 F 的直线交抛物线 C1 于 A, B 两不同点,交 y 轴于点 N , 已知 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值; (3)直线 l 交椭圆 C2 于 P, Q 两不同点, P, Q 在 x 轴的射影分别为 P ', Q ' ,

OP ? OQ ? OP ' ? OQ ' ? 1 ? 0 ,若点 S 满足 OS ? OP ? OQ ,
证明:点 S 在椭圆 C2 上. 5、 (江门市 2015 届高三)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A、B 的坐标分别是 ( 0 , ? 3 ) 、 ( 0 , 3 ) ,

直线 AM、BM 相交于点 M,且它们的斜率之积是 ? ⑴求点 M 的轨迹 L 方程;

1 . 2

⑵若直线 l 经过点 P( 4 , 1 ) ,与轨迹 L 有且仅有一个公共点,求直线 l 的方程.

C 经过点 6、 (揭阳市 2015 届高三)已知双曲线 C 的焦点分别为 F 1 (?2 2,0), F 2 (2 2,0) ,且双曲线

P(4 2, 2 7) .
(1)求双曲线 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点,若点 A 在双曲线 C 上,点 B 在直线 x ?

2 上,且 OA ? OB ? 0 ,是否

存在以点 O 为圆心的定圆恒与直线 AB 相切?若存在,求出该圆的方程,若不存在,请说明理由.

7、 (清远市 2015 届高三)已知双曲线 ? 的焦点为(0,-2)和(0,2),离心率为

2 3 ,过双曲线 ? 的 3

上支上一点 P 作双曲线 ? 的切线交两条渐近线分别于点 A, B (A、B 在 x 轴的上方). (1)求双曲线 ? 的标准方程; (2)探究 OA ? OB 是否为定值,若是求出该定值,若不是定值说明理由.

8、 (汕尾市 2015 届高三)椭圆 且| F 1F 2 |? 2 。

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) , F1 , F2 分别为椭圆的左右焦点 2 a b 2

(1)求该椭圆的标准方程; (2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆交于 P , 1, P 2 两点( P 1在P 2 的左侧)

PF 1 1 ?P 2F 2 ?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由。 1 1和 P 2 F2 都是圆的切线且 PF

y2 9、 (韶关市 2015 届高三)设 A 、 B 是焦距为 2 3 的椭圆 C1 : x ? 2 ? 1(a ? 1) 的左、右顶点,曲 a
2

线 C2 上的动点 P 满足 k AP ? kBP ? a ,其中, k AP 和 k BP 是分别直线 AP 、 BP 的斜率. (1)求曲线 C2 的方程; (2)直线 MN 与椭圆 C1 只有一个公共点且交曲线 C2 于 M , N 两点,若以线段 MN 为直径的圆 过点 B ,求直线 MN 的方程.

10、 (深圳市 2015 届高三)已知椭圆 E :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,过左焦点倾斜角 2 a b 2

为 45 ? 的直线被椭圆截得的弦长为 (1)求椭圆 E 的方程;

4 2 . 3

(2)若动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点,过点 M ?1, 0? 作 l 的垂线垂足为 Q ,求点 Q 的 轨迹方程. 11、 (珠海市 2015 届高三)已知抛物线 C1 : x2 ? y ,圆 C2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 1 . (1)在抛物线 C1 上取点 M , C2 的圆周上取一点 N ,求 | MN | 的最小值; (2)设 P( x0 ,y0 ) (2 ? x0 ? 4) 为抛物线 C1 上的动点,过 P 作圆 C2 的两条切线,交抛物线 C1 于 A 、

B 点,求 AB 中点 D 的横坐标的取值范围.

参考答案
一、选择题 1、A 2、A 3、B 4、D 5、

二、填空题 1、2 2、 ?

1 或1 3、 (4 2, 4)或(?4 2, 4) 2

4、3 5、 4 6

三、解答题 1、解: (1)由题意得

c 2 ? a 2



6 1 因为椭圆经过点 P ( , ) ,所以 2 2
又 a 2 ? b2 ? c2 ③

(

6 2 1 ) ( )2 2 ? 22 ? 1 ② a2 b

由①②③解得 a 2 ? 2 , b 2 ? c 2 ? 1 .

x2 ? y 2 ? 1 .……………………………………….…..4 分 所以椭圆的方程为 2
(2)以 OM 为直径的圆的圆心为 (1 ,

t2 t ?1 , ) ,半径 r ? 4 2

故圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? ) ?
2 2

t 2

t2 ? 1 .………………..………………5 分 4

因为以 OM 为直径的圆被直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 ,

t2 t ? 1 ? 1 ? .…7 分 所以圆心到直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离 d ? r ? 1 ? 4 2
2

| 3 ? 2t ? 5 | t ? ,即 2 | 2t ? 2 | ? 5t , 5 2 故 4t ? 4 ? 5t ,或 4t ? 4 ? ?5t ,
所以

解得 t ? 4 ,或 t ? ? 又 t ? 0 ,故 t ? 4 .

4 . 9

所求圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 .………………………….……..9 分
2 2

(3)方法一:过点 F 作 OM 的垂线,垂足设为 K . 直线 OM 的方程为 y ?

t 2 x ,直线 FN 的方程为 y ? ? ( x ? 1) . 2 t

t ? y? x ? 4 2t 4 ? 2 , 2 ) .……11 分 由? ,解得 x ? 2 ,故 K ( 2 t ?4 t ?4 t ?4 ? y ? ? 2 ( x ? 1) ? t ?

16 4t 2 4 ; ? | OK | ? ? 2 ? 2 2 2 2 (t ? 4) (t ? 4) t ?4
| OM | ? 4 ? t 2 .……………………………………….……………12 分
又 | ON | ? | OK | ? | OM | ?
2

4 ? 4 ? t2 ? 2 . 2 4?t

? | ON | ? 2 .
所以线段 ON 的长为定值 2 .…………………………………………14 分 方法二:设 N ( x0 , y0 ) ,则 FN ? ( x0 ? 1 , y0 ) , OM ? ( 2 , t ) ,

MN ? ( x0 ? 2 , y0 ? t ) , ON ? ( x0 , y0 ) .
FN ? OM ,? 2( x0 ? 1) ? ty0 ? 0 . ? 2 x0 ? ty0 ? 2 .…………….11分


MN ? ON ,? x0 ( x0 ? 2) ? y0 ( y0 ? t ) ? 0 .

2 2 ? y0 ? 2 x0 ? ty0 ? 2 . ? x0

? | ON | ?

2 2 x0 ? y0 ? 2 为定值.……………………………………….14分

2、 【解析】(Ⅰ) 因为曲线 E 为双曲线,所以 m ? m ?1? ? 0 ,解得 0 ? m ? 1 , 所以实数 m 的取值范围为 ? 0,1? .…………………………………………………4 分 (Ⅱ)结论: l 与曲线 E 相切.………………………5 分 证明:当 m ? 4 时,曲线 E 为

x2 y 2 ? ? 1 ,即 3x2 ? 4 y 2 ? 12 , 4 3

2 设 P ? x0 , y0 ? ,其中 ? x0 ? 1? ? y0 ? 16 ,……………………………………6 分 2

y ? x0 ? 1 y0 ? , ? ,直线 AP 的斜率为 k ? 0 ,……………………7 分 x0 ? 1 2? ? 2 当 y0 ? 0 时,直线 l 与曲线 E 相切成立.
线段 PA 的中点为 Q ? 当 y0 ? 0 时,直线 l 的方程为 y ? 分
2 2 2 因为 ? x0 ? 1? ? y0 ? 16 ,所以 x0 ? y0 ?1 ? 2x0 ? 14 ,所以 y ? ? 2

2 y0 x ?1 ? x ?1 ? x ?1 x 2 ? y0 ?1 ,…9 ? ? 0 ? x ? 0 ? ,即 y ? ? 0 x? 0 2 y0 ? 2 ? y0 2 y0

x0 ? 1 x ?7 ,………10 分 x? 0 y0 y0

? x ?1 x ?7? x? 0 代入 3x ? 4 y ? 12 得 3 x ? 4 ? 0 ? ? 12 , y0 ? ? y0
2 2
2

2

化简得 ?4 ? x0 ? 1? ? 3 y0 ? x ? 8 ? x0 ? 1?? x0 ? 7 ? x ? 4 ? x0 ? 7 ? ? 12 y0 ? 0 ,…………12 分
2

?

2

?

2

2

2

2 即 ? x0 ? 7 ? x ? 8 ? x0 ? 1?? x0 ? 7 ? x ? 16 ? x0 ? 1? ? 0 , 2 2

所以 ? ? 64 ? x0 ? 1?

2

? x0 ? 7 ?

2

? 4 ? x0 ? 7 ? ? 16 ? x0 ? 1? ? 0
2 2

所以直线 l 与曲线 E 相切.……………………………………………………14 分 说明:利用参数方程求解正确同等给分! 3、 (1)解:∵ 椭圆 C : ∴ b ? 1.
2

x2 y 2 ? ? 1 过点 ? 0,1? , a 2 b2
…………………………………………1 分



c 3 2 ? , a ? b2 ? c 2 , a 2
2

…………………………………………2 分

∴a ? 4. ∴椭圆 C 的方程为

…………………………………………3 分

x2 ? y 2 ? 1. 4

…………………………………………4 分

(2)解法 1:由(1)知,圆 C1 的方程为 x2 ? y 2 ? 5 ,其圆心为原点 O . ………………………5 分 ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,

? y ? kx ? m, ? ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解. 2 ? y ? 1 ? ?4
2 2 2 由(*)得 1 ? 4k x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 .

?

?

……………………………………6 分

从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m2 ? 1 ? 4k 2 .① …………………7 分

4k 2 m m 8km 4km y ? kx ? m ? ? ?m? , . ……………9 分 xM ? ? ?? M M 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ?1 ? 4k ?
∴ 点 M 的坐标为 ? ?

m ? ? 4km . , 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4 k ?

……………………………………10 分

由于 k ? 0 ,结合①式知 m ? 0 ,

m 2 1 ∴ kOM ? k ? 1 ? 4k ? k ? ? ? ?1 . 4km 4 ? 2 1 ? 4k
∴ OM 与 AB 不垂直. ∴ 点 M 不是线段 AB 的中点. ∴ AM ? BM ? 0 不成立.

……………………………………11 分

……………………………………12 分 ……………………………………13 分 ……………………………………14 分 ………………………5 分

解法 2:由(1)知,圆 C1 的方程为 x2 ? y 2 ? 5 ,其圆心为原点 O . ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,

? y ? kx ? m, ? ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解. 2 ? ? y ?1 ?4
2 2 2 由(*)得 1 ? 4k x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 .

?

?

……………………………………6 分

从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m2 ? 1 ? 4k 2 .① …………………7 分
…………………………………………………8 分

xM ? ?

8km 4km , ?? 2 1 ? 4k 2 2 ?1 ? 4k ?

由于 k ? 0 ,结合①式知 m ? 0 , 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 N ? xN , yN ? , 由?

? y ? kx ? m, 2 2 2 消去 y ,得 ?1 ? k ? x ? 2kmx ? m ? 5 ? 0 .………………………………9 分 2 2 ? x ? y ? 5,

x1 ? x2 km ?? . ……………………………………10 分 2 1? k 2 km 4km ?? 若 xN ? xM ,得 ? ,化简得 3 ? 0 ,矛盾. ………………………………11 分 2 1? k 1 ? 4k 2
∴ xN ? ∴ 点 N 与点 M 不重合. ∴ 点 M 不是线段 AB 的中点. ……………………………………12 分 ……………………………………13 分

∴ AM ? BM ? 0 不成立. 4、解: (1)由抛物线 C1 : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F (
2

……………………………………14 分

p , 0) 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上得: 2

p2 ? 1 ,? p ? 2 ,…………………………………………………………..1 分 4
2 ∴抛物线 C1 : y ? 4 x …………..…………………………………………….2 分

同理由椭圆上、下焦点 (0, c), (0, ?c) 及左、右顶点 (?b, 0), (b, 0) 均在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上 可解得: b ? c ? 1,? a ? 得椭圆 C2 : x 2 ?

2.

…………4 分

y2 ? 1 .…………………………………………………..5 分 2

(2)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1), A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 N (0, ? k ) . 联立方程组 ?

? y2 ? 4x ,消去 y 得: k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0, ……….6 分 ? y ? k ( x ? 1)

? 2k 2 ? 4 ?x ? x ? …………………………………..7 分 ?? ? 16k 2 ? 16 ? 0, 且 ? 1 2 k2 ?x x ? 1 ? 1 2
由 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF 得: ?1 (1 ? x1 ) ? x1 , ?2 (1 ? x2 ) ? x2 , 整理得: ?1 ?

x1 x , ?2 ? 2 1 ? x1 1 ? x2

……………………………..…8 分

2k 2 ? 4 ?2 2 x1 ? x2 ? 2 x1 x2 k ? ?1 ? ?2 ? ? ? ?1 .…………………..9 分 2k 2 ? 4 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 1? ?1 k2
(3)设 P ( x p , y p ), Q ( xQ , yQ ),? S ( x p ? xQ , y p ? yQ ) ,则 P '( x p , 0), Q '( xQ , 0) 由 OP ? OQ ? OP ' ? OQ ' ? 1 ? 0 得 2 x p xQ ? y p yQ ? ?1 …………① …….10 分

xp2 ?

yp2 2 yQ 2 2

? 1 ……………………②

…………………………………….11 分

xQ 2 ?

? 1 ……………………③

……………………………………12 分

由①+②+③得 ( x p ? xQ ) 2 ?

( y p ? yQ ) 2 2

?1

…………….……...13 分

∴ S ( x p ? xQ , y p ? yQ ) 满足椭圆 C2 的方程,命题得证.……………....14 分 5、解:⑴设 M( x , y )是轨迹上任意一点, k AM ?

y ?3 y ?3 1 ? ? ? ……4 分 x x 2 x2 y2 ? ? 1 ,其中 x ? 0 ……6 分 整理化简得轨迹方程为 18 9 ⑵显然所求直线 l 存在斜率,设 l : y ? 1 ? k ( x ? 4) ……7 分 ? 3 ?1 ①当直线 l 经过 A 点时, k ? ? 1 ……8 分,代入 y ? 1 ? k ( x ? 4) 得 y ? x ? 3 0?4 ……9 分; 3 ?1 1 ②当直线 l 经过 B 点时, k? ? ? … … 10 分 , 代 入 y ? 1 ? k ( x ? 4) 得 0?4 2 1 y ? ? x ? 3 ……11 分 2 ? x2 y2 ?1 ? ? ③当点 P 为切点时,由 ? 18 得 9 ? y ? 1 ? k ( x ? 4) ? 2 2 (2k ? 1) x ? 4k (4k ? 1) x ? (32k 2 ? 16k ? 16) ? 0 ……12 分
依题意, k AM ? k BM ? 解 ? ? [?4k (4k ? 1)] 2 ? 4(2k 2 ? 1)(32k 2 ? 16k ? 16) ? k 2 ? 4k ? 4 ? 0 得 k ? ?2 ……13 分 1 代入 y ? 1 ? k ( x ? 4) 得 y ? ?2 x ? 9 , 综上所述, 直线 l 的方程为 y ? ? x ? 3 或 y ? x ? 3 或 2 y ? ?2 x ? 9 ……14 分 (注:①②③三种情况独立给分)

y?3 y ?3 , k BM ? ……2 分 x x

x2 y 2 6、解:(1)解法一:依题意知双曲线 C 的焦点在 x 轴,设其方程为 2 ? 2 ? 1.(a ? 0, b ? 0) a b
-------------------------------------------------------------------------------1 分 ∵点 P(4 2, 2 7) 在双曲线 C 上, ∴ 2a ?| PF 1 | ? | PF 2 | ?

(6 2) 2 ? (2 7) 2 ? (2 2) 2 ? (2 7) 2 ? 4

∴ a ? 2 ----------------------------------------------------------------------3 分 又 c ? 2 2 ,∴ b ? c ? a ? 4 ,
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1. ----------------------------------------------4 分 ∴所求双曲线 C 的方程为 4 4
解法二:依题意知双曲线 C 的焦点在 x 轴,设其方程为

x2 y 2 ? ? 1.(a ? 0, b ? 0) ---------1 分 a 2 b2

∵点 P(4 2, 2 7) 在双曲线 C 上, ∴

32 28 ? ? 1 ,--------------------------------------------① a 2 b2
2 2

又 b ? 8 ? a ,---------------------------------------------② ②代入①去分母整理得: a ? 68a ? 32 ? 8 ? 0 ,又 a ? c ,解得 a 2 ? 4, b ? 4 ----------3 分
4 2 2

∴所求双曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. ---------------------------------------------4 分 4 4

(2) 设点 A,B 的坐标分别为 ( x0 , y0 ) , ( 2, t ) ,其中 x0 ? 2 或 x0 ? ?2 .-----------------5 分 当 y0 ? t 时,直线 AB 的方程为 y ? t ?

y0 ? t x0 ? 2

( x ? 2) ,

即 ( y0 ? t ) x ? ( x0 ? 2) y ? tx0 ? 2 y0 ? 0 -------------------------------------------6 分 若存在以点 O 为圆心的定圆与 AB 相切,则点 O 到直线 AB 的距离必为定值, 设圆心 O 到直线 AB 的距离为 d ,则 d ?

| tx0 ? 2 y0 | ( y0 ? t ) ? ( x0 ? 2)
2 2

.----------------------7 分

∵ OA ? OB ? 0 , ∴ 2x0 ? ty0 ? 0 , ∵ y0 ? 0
2 2 又 x0 ? y0 ?4,
2 2 x0 ? 2 y0 | y0
2 y0 ?2 | y0

∴t ? ?

2 x0 ,------------------------------------------------8 分 y0

|?
故d ?

2 2| ?

( y0 ?
2 y0 ?2 2 2| | y0 2 2( y0 ? 2) 2 2 y0

2 x0 2 2 2 ) ? x0 ? 2 2 x0 ?2 y0

4 2 2 y0 ? 8 y0 ?8 2 2 y0

=

2 y0 ?2 2 2| | y0 ? ? 2 ----------------------------------------------11 分 2 y0 ?2 2| | y0

此时直线 AB 与圆 x ? y ? 4 相切,-----------------------------------------------12 分
2 2

当 y0 ? t 时, x0 ? ?

t2 4 2 ,代入双曲线 C 的方程并整理得 t ? 2t ? 8 ? 0 , 2

即 (t 2 ? 4)(t 2 ? 2) ? 0 ,解得 t ? ?2 , 此时直线 AB: y ? ?2 .也与圆 x2 ? y 2 ? 4 也相切.----------------------------------13 分 综上得存在定圆 x2 ? y 2 ? 4 与直线 AB 相切.--------------------------------------14 分

y2 x2 7、解: (1)依题意可设双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )………1 分 a b
∵c=2,………2 分

c 2 3 ………3 分 ∴ a ? 3, b ? 1 ? a 3

………4 分

∴双曲线的标准方程为

y2 ? x2 ? 1 . 3

………5 分

(2) OA ? OB 是定值 2,理由如下:………6 分 设直线 AB: y ? kx ? b, b ? 0 (没有 b>0,不得分这 1 分)………7 分

由?

? y ? kx ? b ? y ? 3x ? 3
2 2

得 k 2 ? 3 x 2 ? 2kbx ? b 2 ? 3 ? 0

?

?

k 2 ? 3 ? 0, ? ? (2kb) 2 ? 4(k 2 ? 3)(b 2 ? 3) ? 0 ………8 分
解得 k ? b ? 3 ………9 分 设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ),则y1 ? 0,y2 ? 0 双曲线渐近线方程: y 2 ? 3x 2 ? 0 与 y ? kx ? b 联立,………10 分 得(k 2 ? 3) x 2 ? 2kbx ? b 2 ? 0 , k 2 ? 3 ? 0, ? ? (2kb) 2 ? 4(k 2 ? 3)b 2 ? 0 …11 分
2 2

x1 x2 ?

b2 k2 ?3

? -1 ,………12 分

y1 y2 ? 3 | x1 ? x2 | =3 ………13 分

∴ OA ? OB = x1 x2 ? y1 y 2 =2

………14 分

(没有 y1、y2 ? 0 导致情况多种的扣 2 分) 8、

9、

10、解: (1)因为椭圆 E 的离心率为 故椭圆 E 的方程可设为

a 2 ? b2 2 2 ,所以 ,解得 a 2 ? 2b2 , ? 2 a 2

的直线方程为 l ? : y ? x ? b .

x2 y2 ? ? 1, 则椭圆 E 的右焦点坐标为 ? b, 0 ? , 过右焦点倾斜角为 45 ? 2b 2 b 2
………………………………………2 分

? x2 y2 ? ? 1, ? 设直线 l ? 与椭圆 E 的交点记为 A, B ,由 ? 2b 2 b 2 消去 y ,得 3x 2 ? 4bx ? 0 , ? y ? x ? b, ?
4b 4 2b 4 2 , 因为 AB ? 1 ? 12 x1 ? x2 ? ,解得 b ? 1 . ? 3 3 3 x2 ? y 2 ? 1. ……………………………………………………4 分 故椭圆 E 的方程为 2 (2) (法一) (i)当切线 l 的斜率存在且不为 0 时,设 l 的方程为 y ? kx ? m , ? y ? kx ? m ? 联立直线 l 和椭圆 E 的方程,得 ? x 2 , ……………………………………5 分 2 ? ? y ?1 ?2 2 2 2 消去 y 并整理,得 2k ? 1 x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 , …………………………6 分
解得 x1 ? 0, x2 ?

?

?

?? ? 16k 2 m 2 ? 4 ? 2k 2 ? 1?? 2m 2 ? 2 ? ? 0 ,
化简并整理,得 m2 ? 2k 2 ? 1 .

因为直线 l 和椭圆 E 有且仅有一个交点,

………………………………………7 分 …………………………………………8 分

因为直线 MQ 与 l 垂直,所以直线 MQ 的方程为: y ? ?

1 ? x ? 1? , k

1 ? km ? x? , ? ? 1? k 2 解得 ? ………………………9 分 k ? m ?y ? , ? 1? k 2 ? (1 ? km)2 ? (k ? m)2 k 2 m2 ? k 2 ? m2 ? 1 (k 2 ? 1)(m2 ? 1) m2 ? 1 , ? x2 ? y 2 ? ? ? ? (1 ? k 2 )2 (1 ? k 2 )2 (1 ? k 2 )2 1? k 2 m2 ? 2k 2 ? 1 代入上式得 x2 ? y2 ? 2 . ① …………………………………11 分 (ii)当切线 l 的斜率为 0 时,此时 Q(1,1) ,符合①式. …………………………12 分

1 ? ? y ? ? ? x ? 1? , 联立 ? k ? y ? kx ? m, ?



(iii)当切线 l 的斜率不存在时,此时 Q( 2, 0) 或 (? 2,0) ,符合①式. ………13 分 综上所述,点 Q 的轨迹方程为 x ? y ? 2 . ………………………………………14 分
2 2

(法二) :设点 Q 的坐标为 Q( x0 , y0 ) , (i)当切线 l 的斜率存在且不为 0 时,设 l 的方程为 y ? kx ? m ,
2 2 同解法一,得 2k ? m ? 1 ? 0 ,



…………………………………………8 分

因为直线 MQ 与 l 垂直,所以直线 MQ 的方程为: y ? ?

1 ? x ? 1? , k

1 ? ? y ? ? ? x ? 1? , 联立 ? k ? ? y ? kx ? m,

1 ? x0 ? ?k ? y , ? 0 解得 ? ② 2 2 ? m ? x0 ? x0 ? y0 , ? y0 ?

…………………9 分

②代入①并整理,有 y0 4 ? 2 x0 2 ? 2 x0 ? 1 y0 2 ? x0 2 ? 2 x0 ? 1 x0 2 ? 2 ? 0 ,…10 分 即 y0 2 ? x0 2 ? 2

?

?? y

2 0

? x0 2 ? 2 x0 ? 1? ? 0 ,

?

?

?

??
2

?

2 2 2 由点 Q 与点 M 不重合, ? y0 ? x0 ? 2 x0 ? 1 ? y0 ? ? x0 ? 1? ? 0 ,

? x02 ? y02 ? 2 ? 0 , ③

……………………………………………………11 分 …………………………12 分

(ii)当切线 l 的斜率为 0 时,此时 Q(1,1) ,符合③式.

(iii)当切线 l 的斜率不存在时,此时 Q( 2, 0) 或 (? 2,0) ,符合③式. ………13 分 综上所述,点 Q 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 2 . ………………………………………14 分 (法三) :设点 Q 的坐标为 Q( x0 , y0 ) , ( i )当切线 l 的斜率存在且不为 0 时,设 l 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,整理,得 l 的方程为

y ? kx ? kx0 ? y0 ,5 分
? y ? kx ? kx0 ? y0 ? 联立直线 l 和椭圆 E 的方程,得 ? x 2 , 消去 y 并整理, 2 ? ? y ?1 ?2 2 2 2 得 ? 2k ? 1? x ? 4k ? y0 ? kx0 ? x ? 2 ? y0 ? kx0 ? ? 2 ? 0 , ……………………6 分
2 2 ?? ? 16k 2 ? y0 ? kx0 ? ? 8 ? 2k 2 ? 1? ?? y0 ? kx0 ? ? 1? ? 0 , ………………………7 分 ? ? 2 2 2 化简并整理,得 ? y0 ? x0 ? 2kx0 y0 ? 2k ? 1 ? 0 , ① ………………………8 分 1 ? x0 因为 MQ 与直线 l 垂直,有 k ? , ②……………………………………9 分 y0
4 2 2 2 2 ②代入①并整理,有 y0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 1 y0 ? x0 ? 2 x0 ? 1 x0 ? 2 ? 0 ,…10 分 2 2 即 y0 ? x0 ? 2

因为直线 l 和椭圆 E 有且仅有一个交点,

?

?? y

2 0

? x0 2 ? 2 x0 ? 1? ? 0 ,

?

?

?

??

?

2 2 2 x0 ? 1 ? y02 点 Q 与点 M 不重合, ? y0 ? x0 ?

??

x0 1 ??
2

0 ? ,

? x0 ? y0 ? 2 ? 0 , ③………………………………………………………………11 分 (ii)当切线 l 的斜率为 0 时,此时 Q(1,1) ,符合③式. …………………………12 分
2 2

(iii)当切线 l 的斜率不存在时,此时 Q( 2, 0) 或 (? 2,0) ,符合③式. ………13 分 综上所述,点 Q 的轨迹方程为 x ? y ? 2 . ………………………………………14 分 【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系,弦长问 题,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查数形结合、化归与转化思 想.
2 2

2 11、解:(1).设 M ( x0 ,y0 ) ,则 x0 4) ? y0 , C2 (0 ,


2 2 2 | MC2 |? x0 ? ( y0 ? 4) 2 ? x0 ? ( x0 ? 4)2 ………………………………………………………………

1分

7 15 4 2 2 ? x0 ? 7 x0 ? 16 ? ( x0 ? )2 ? 2 4
号………………………3 分

?

15 2

, 当 且 仅 当

M (?

14 7 ,) 是 取 等 2 2

?

| MN |











| MC2 |











1





15 ? 1 ……………………………………………………5 分 2
(2). 由题设知,切线与 x 轴不垂直,
2 2 P( x0 ,x0 ) (2 ? x0 ? 4) ,?设切线 l1, 2 : y ? k ( x ? x0 ) ? x0
2 2 设 A( x1 ,x1 ) ,B( x2 ,x2 ) , AB 中点 D( x ,y) ,则 x ? 2 2 将 l1, 2 与 C1 的方程联立消 y 得 x ? kx ? kx0 ? x0 ? 0

x1 ? x2 2

即 ( x ? x0 )[ x ? (k ? x0 )] ? 0 得 x ? x0 (舍)或 x ? k ? x0 设二切线的斜率为 k1 、k2 ,则 x1 ? k1 ? x0 , x2 ? k2 ? x0

? x1 ? x2 ? k1 ? k2 ? 2x0 ………………………………………………………………………8 分
又 C2 (0 , 4) 到 l1, 2 的距离为 1,有
2 | kx0 ? x0 ?4|

1? k 2

?1,

2 2 2 两边平方得 ( x0 ?1)k 2 ? 2x0 (4 ? x0 )k ? ( x0 ? 4)2 ?1 ? 0

“ ?” ………………………9 分

“?” 则 k1 、k2 是 的二根,则 k1 ? k2 ? ?

2 2 x0 (4 ? x0 ) ………………………………………10 分 2 x0 ? 1

则 x1 ? x2 ? k1 ? k2 ? 2 x0 ?

2 2 x0 ( x0 ? 4) 6x ? 2 x0 ? ? 2 0 2 x0 ? 1 x0 ? 1

?x ? ?

3 x0 3 ?? ……………………………………………………11 分 2 1 x0 ? 1 x0 ? x0

x0 ?

1 在 x0 ?[2 , 4] 上为增函数 x0

? ? x0 ?

3 2

1 15 ? , x0 4
4 5

?

4 1 2 3 4 ? ? ? ?2 ? ? ? ? …………………13 分 1 15 x ? 1 3 5 x0 ? 0 x0 x0

? ] ……………………………………14 分 ? x 的范围是 [?2 ,


广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇...

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:圆锥曲线 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。广东省 13 市 2017 届高三上学期期末考试数学理试题分类...

广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇...

广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:圆锥曲线_高三数学_数学_高中教育_教育专区。广东省各地级市2016届高三期末考试理科数学分类 ...

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇...

广东省 13 市 2015 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 立体几何一、选择、填空题 1、(潮州市 2015 届高三)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的...

...广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编--...

【恒心】2015届广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编---三角函数【纯word精品版】_数学_高中教育_教育专区。2015届广东省13市高三上学期期末考试数学理...

广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇...

广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:圆锥曲线_数学_初中教育_教育专区。广东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 圆锥曲线 ...

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇...

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:统计与概率_数学_高中教育_教育专区。广东省 13 市 2015 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 统计与概...

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇...

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:不等式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。学科网( w w w .z x x k .c o m ) 全国最大的教学资...

...市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:数...

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:数列 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。广东省 13 市 2017 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇 ...

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学文试题分类汇...

广东省 13 市 2017 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 圆锥曲线一、选择、填空题 1、 (潮州市 2017 届高三上学期期末)已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,...

...广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编--...

2015 届广东省 13 市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 导数及其应用 整理:李炳璋 一、填空题 1、 (潮州市 2015 届高三)曲线 y ? ? x3 ? 3x2 在点...