kl800.com省心范文网

几何概型教案


几何概型 使用说明: 此教案旨在帮助教师理解几何概型的基础上设置的, 从概念的分析, 到例题的设置需要教师花心思针对学生情况重新组织,很多例题需要配套使用, 效果更好。 一.正确区分古典概型与几何概型 题组一: 1. 在区间[0, 10]上任意取一个整数 x , 则 x 不大于 3 的概率为: 。 2. 在区间[0, 10]上任意取一个实数 x , 则 x 不大于 3 的概率为: 。 分析:此题组中,问题 1 因为总的基本事件是[0,10]内的全部整数,所以 基本事件总数为有限个 11,而不大于 3 的基本事件有 4 个,此问题属于古典概 型, 所以所求概率为
4 。 问题 2 中, 因为总的基本事件是[0, 10]内的全部实数, 11

所以基本事件总数为无限个, 此问题属于几何概型,事件对应的测度为区间的长 度,总的基本事件对应区间[0,10]长度为 10,而事件“不大于 3”对应区间[0, 3]长度为 3,所以所求概率为
3 。 10

此题组中的两个问题,每个基本事件都是等可能发生的,但是问题 1 中的总 基本事件是有限个,属于古典概型;而问题 2 中的总基本事件是无限个,属于几 何概型;可见古典概型与几何概型有联系也有区别,但在实际解决问题中,关键 还在于正确区分古典概型与几何概型。 二.准确分清几何概型中的测度 题组二:1.等腰 Rt△ABC 中,∠C=900,在直角边 BC 上任取一点 M,求∠CAM<300 的概率。 2. 等腰 Rt△ABC 中, ∠C=900, 在∠CAB 内作射线交线段 BC 于点 M, 求∠CAM<300 的概率。
C M M A B A B C

分析:此题组中的两个问题,很显然都是几何概型的问题,但是考察的测度不一
3 3 AC ? CB ,合 3 3 CM 0 3 ? 条件的点 M 等可能的分布在线段 CM 0 上,所以所求概率等于 。而问题 CB 3

样。问题 1 的测度定性为线段长度,当∠CAM0=300 时, CM 0 ?

2 的测度定性为角度,过点 A 作射线与线段 CB 相交,这样的射线有无数条,均 匀分布在∠CAB 内,∠CAB=450,所以所求概率等于
?CAM 0 30 0 2 ? 0 ? 。 ?CAB 3 45

此题组中的两个问题都是几何概型的问题,但是选取的测度不一样,在解决 时考察和计算的结果也不一致。可见在解决几何概型问题时,要认真审题,分清 问题考察的测度,从而正确解决问题。

知识巩固: 下列概率问题中哪些属于几何概型? (1)从一批产品中抽取 30 件进行检查,有 5 件次品,求正品的概率。 (2)随机地向四方格里投掷硬币 50 次,统计硬币正面朝上的概率。 (3)箭靶的直径为 1m,其中,靶心的直径只有 12cm,任意向靶射箭,射中靶心 的概率为多少? (4)甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一 人一刻钟,过时才可离去,求两人能会面的概率。 对比古典概型和几何概型的特点,判断(1) 、 (3)属于古典概型; (2) 、 (4) 属于几何概型。 例题 1:⑴ 某人午睡醒后,发现表停了,于是打开收音机等候整点报时,那 么等待时间不多于 10 分钟的概率是多大?1)这是什么概型,为什么?(几何 概型) 2)借助什么样的几何图形来表示随机事件与所有基本事件? (圆或线段) 3)该如何建立数学模型? CB 60 ? 50 1 ? ? 或 解 : 设 A=“ 等 待 时 间 不 超 过 10 分 钟 ”, 则 P( A) ? AB 60 6

P( A) ?

S扇形1 1 ? S圆 6

⑵某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等 待的时间不多于 10 分钟的概率。 分析: 某人醒来在整点间即 60 分钟是随机的,等待的时间不多于 10 分钟可 以看作构成事件的区域,整点即 60 分钟可以看作所有结果构成的区域,因此本 题的变量可以看作是时间的长度,于是可以通过长度比公式计算其概率。 可设“等待的时间不多于 10 分钟”这一事件记作事件 A,则
P( A) ? 等待的时间不多于 10分钟时间长度 10 1 ; = ? 所有在60分钟里醒来的时间长度 60 6

显然这是一个与长度有关的几何概型问题,问题比较简单,学生也易于理 解。 问题拓展:某人午觉醒来,发现表停了,则表停的分钟数和实际分钟数差 异不超过 5 分钟的概率为多少? 分析:本题的特点在于学生易犯固定思维的错误,习惯性的用上题中的时

间长度之比来解决,得到错误的答案

5 1 ? 。学生错误的原因在于没有科 60 12

学的认识题中的变量。本题中包含了两个变量,一个是手表停的分钟数,可以在 [0,60]内的任意时刻,另一个变量是实际分钟数,也可以在[0,60]内的任意时 刻。所以本题的解决应以 x 轴和 y 轴分别表示手表停的分钟数和实际分钟数,那 么差异不超过 5 分钟的充要条件是 | x ? y |? 5 ,从而可以绘制坐标轴,数形结合, 得到结果。 由于 ( x, y ) 的所有可能结果是边长为 60 的正方形,
y 60

差异不超过 5 分钟由图中阴影部分所表示, 记“差异不超过 5 分钟”为事件 A 因此,差异不超过 5 分钟的概率 P( A) ?
60 ? 5 143 ? 。 2 144 60
2 2

5 O 5

x 60

例题 2:射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环。从外向内分为白色、黑色、蓝 色、 红色、 靶心是金色。 金色靶心叫“黄心”。 奥运会的比赛靶面直径为 122cm, 靶心直径为 12.2cm。运动员在 70m 外射箭。假设射箭都能中靶,且射中靶面 内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率为多少?

1、抛阶砖游戏 “抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的“金币”(设 “金币”的半径为 1)抛向离身边若干距离的阶砖平面上,抛出的“金币”若 恰好落在任何一个阶砖(边长为 2.1 的正方形)的范围内(不与阶砖相连的线 重叠) ,便可获大奖. 不少人被高额奖金所吸引,纷纷参与此游戏但很少有人 得到奖品,请用今天所学知识解释这是为什么。 分析: 若中奖, 金币圆心必位于右图的绿色区域 A 内.圆心随机地落在“阶砖” 的任何位置,所以这是一个几何概型。其概率为
2 S小正方形 (2.1-2) ? ? 0.0022 S大正方形 2.12

a

A S a

练习:面上画了一些彼此相距 2a 的平行线,把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这 平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率。 2a



a-r

分析: 首先可以判定此试验为几何概型,我们为了描述每一次随机试验的结果只 需要确定硬币中心 O 的位置即可,一旦中心位置确定,只要当中心 O 到其最近平 行线的距离大于其半径时,就满足事件 A,由此不难想到由中心 O 向靠的的最近 的平行线引垂线,垂足为 M,显然线段 OM 长度是介于 0 到 a 之间的一个实数,接 下来我们做一条长度为 a 的线段,因此这个实数在此线段上就对应着一个点,从 而我们每做一次随机试验就可以理解为在此线段上取一个点, 所以这条线段就可 以理解为区域Ω ,其长度为 a。接下来我们再来看事件 A 所理解的区域,首先看 一种临界状态,就是当硬币与平行线相切时,此时中心 O 到最近平行线的距离 r,显然只有当中心 O 到最近平行线的距离大于 r 时满足事件 A,所以事件 A 理解 的区域其长度应为 a-r,所以

2、抽奖游戏的再思考: 在两种情况下分别求抽中电视机的概率是多少? (1)如果在转盘上,区域 1 缩小为一个单点,那么要求概率是多少? (2)如果在转盘上,区域 1 扩大为整个转盘扣除一个单点,那么所求概率又是 多少? 总结: 用几何概型解释概率为 0 的事件不一定是不可能事件;概率为 1 的事件不 一定为必然事件。 3、甲乙两人相约在 14:00—15:00 在某地会面,假定每人在这段时间内的每 个时刻到达会面地点的可能性是相等的,先到的的等 20 分钟后便可以离开, 试求两个人会面的概率。 分析:以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙两人到达约 定地点的时间,则两人能会面的充要条件为 ︱x-y︱ ? 20,如图所示。 60 故所求概率为阴影面积与正方形面积之比。 0

y

20 0

练习:

x

20 0

60 0

一条直线型街道的 A、B 两盏路灯之间的距离为 120 米,由于光线较暗,想在中 间再随意安装两盏路灯 C、D,顺序为 A、C、D、B. 问 A 与 C、B 与 D 之间的距离 都不小于 40 米的概率是多少? 解: 设 A 与 C、B 与 D 之间的距离分别为 x 米、y 米.则所有可能结果为: ;记 A 与 C、B 与 D 之间的距离都不小于 40 米 为事件 A,则事件 A 的可能结果为 .

如图所示, 试验全部结果构成区域Ω 为直线 与两坐标轴所围成的△ABC. 而事件 A 所构成区域是三条直线 , , 所夹中间的阴影部分.

根据几何概型公式,得到:

所以,A 与 C、B 与 D 之间的距

1 离都不小于 40 米的概率为 . 9


公开课几何概型教案

公开课几何概型教案_数学_高中教育_教育专区。几何概型一、教学目标: 1、 知识与技能: (1)正确理解几何概型的概念; (2)掌握几何概型的概率公式: (3)会根据...

几何概型教学设计

几何概型教学设计---福建龙岩二中 郭小峰 第一课时) 几何概型 (第一课时 第一课时设计者:福建龙岩二中 郭小峰 教学内容分析: 一.教学内容分析本课时教材选自...

《几何概型》教学设计

几何概型教学设计_其它课程_高中教育_教育专区。《几何概型》的教学设计教学内容 本节课选自普通高中课程标准实验教科书《数学》(人教版)必修 3 第 3 章《...

概率中-几何概型教案

概率中-几何概型教案_数学_高中教育_教育专区。概率中-几何概型教案适用学科 适用区域 知识点高中数学 全国通用 1、几何概型的定义 2、与长度(角度)有关的几何...

《几何概型》教学设计及反思

几何概型教学设计及反思一、授课对象 本节课教授的是竹溪二中高二(6)理科班的学生,基础比较薄弱,学习习惯不太好,学习 方法不好或者没有,但思维比较灵活,经...

(李生华)几何概型教学设计

课题: 几何概型教学设计 课题: 几何概型教学设计厦门双十中学 李生华 一、教材依据 教材依据 本节课是人教版普通高中课程标准试验教科书数学(必修 3)第三章第三...

高中数学必修3《3.3.1几何概型》教案设计

教学难点:等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别. 课时安排 1 课时 xkb1.com w w w .x k b 1.c o m 教学过程 导入新课 思路 1 复习古典概型的...

几何概型教案

几何概型教案_其它课程_高中教育_教育专区。3-3.3 几何概型一、教材分析 在人教版高中数学教材的知识体系中, 几何概型被安排在必修 3 的第三章第三节, 是...

几何概型教学设计

几何概型教学设计_高一数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档几何概型教学设计_高一数学_数学_高中教育_教育专区。3.3.1 几何概型 ...

几何概型教学设计

3.3.1 几何概型 (第一课时) 钦州三中 黄美连 一.教学内容分析: 本课时教材选自人教 A 版数学必修 3 第三章概率部分第 3.3 节的内容.几 何概型是概率...