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初中数学培优辅导资料(1-10)讲


初中数学竟赛辅导资料(1)

数的整除(一)
内容提要: 如果整数 A 除以整数 B(B≠0)所得的商 A/B 是整数,那么叫做 A 被 B 整除. 0 能被所有 非零的整数整除. 一些数的整除特征 除 数 2或5 4 或 25 8 或 125 3或9 11 7,11,13 能被整除的数的特征 末位数能被 2 或 5 整除 末两位数能被 4 或 25

整除 末三位数能被 8 或 125 整除 各位上的数字和被 3 或 9 整除(如 771,54324) 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被 11 整除 (如 143,1859,1287,908270 等) 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减 , 其差能被 7 或 11 或 13 整除.(如 1001,22743,17567,21281 等)

能被 7 整除的数的特征: ①抹去个位数 ②减去原个位数的 2 倍 ③其差能被 7 整除。 如 1001 100-2=98(能被 7 整除) 又如 7007 700-14=686, 56(能被 7 整除) 能被 11 整除的数的特征: ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被 11 整除 如 1001 100-1=99(能 11 整除) 又如 10285 1028-5=1023 =99(能 11 整除)

68-12=

102-3

例 1 已知两个三位数 328和 2 x9 的和仍是三位数 5 y7 且能被 9 整除。求 x,y 解:x,y 都是 0 到 9 的整数,∵ 5 y7 能被 9 整除,∴y=6. ∵328+ 2 x9 =567,∴x=3

例 2 己知五位数 1234x 能被 12 整除,

求X

解:∵五位数能被 12 整除,必然同时能被 3 和 4 整除, 当 1+2+3+4+X 能被 3 整除时,x=2,5,8 4,8 ∴X=8 例 3 求能被 11 整除且各位字都不相同的最小五位数 解:五位数字都不相同的最小五位数是 10234, 但(1+2+4)-(0+3)=4,不能被 11 整除,只调整末位数仍不行 调整末两位数为 30,41,52,63,均可, ∴五位数字都不相同的最小五位数是 10263。 练习 1.分解质因数: (写成质因数为底的幂的連乘积) 当末两位 4 X 能被 4 整除时,X=0,

①593



1859

③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296

2.若四位数 987a 能被 3 整除,那么 a=_______________ 3.若五位数 12 X 34 能被 11 整除,那么 X=__________4.当 m=_________时, 35m5 能被 25 整除 5.当 n=__________时, 9610 n 能被 7 整除 6.能被 11 整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7.能被 4 整除的最大四位数是____________,能被 8 整除的最小四位数是_________ 8.8 个数:①125,②756,③1011,④2457,⑤7855,⑥8104,⑦9152,⑧70972 中,能被 下列各数整除的有(填上编号) :6________,8__________,9_________,11__________ 9. 从 1 到 100 这 100 个自然数中,能同时被 2 和 3 整除的共_____个, 能被 3 整除但不是 5 的倍数的共______个。 10.由 1,2,3,4,5 这五个自然数,任意调换位置而组成的五位数中,不能被 3 整除的数 共有几个?为什么? 11.己知五位数 1234 A 能被 15 整除,试求 A 的值。 12.求能被 9 整除且各位数字都不相同的最小五位数。 13.在十进制中,各位数码是 0 或 1,并能被 225 整除的最小正整数是____(1989 年全 国初中联赛题)

初中数学竞赛辅导资料(2)

倍数

约数

内容提要 1.两个整数 A 和 B(B≠0) ,如果 B 能整除 A(记作 B|A) ,那么 A 叫做 B 的倍数,B 叫 做 A 的约数。 例如 3|15,15 是 3 的倍数,3 是 15 的约数。 2.因为 0 除以非 0 的任何数都得 0,所以 0 被非 0 整数整除。0 是任何非 0 整数的倍数,非 0 整数都是 0 的约数。 如 0 是 7 的倍数,7 是 0 的约数。 3.整数 A(A≠0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,±A,±2A,…… 都是 A 的倍数, 例如 5 的倍数有±5,±10,……。 4.整数 A(A≠0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括± 1 和±A。 例如 6 的约数是±1,±2,±3,±6。 5.通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约 数。 6.公约数只有 1 的两个正整数叫做互质数(例如 15 与 28 互质) 。 7.在有余数的除法中,被除数=除数×商数+余数 若用字母表示可记作:A=BQ+R,当 A,B,Q,R 都是整数且 B≠0 时,A-R 能被 B 整除 例如 23=3×7+2 则 23-2 能被 3 整除。 例题 例 1 写出下列各正整数的正约数,并统计其个数,从中总结出规律加以 应用:2,22,23,24,3,32,33,34,2×3,22×3,22×32 。 解:列表如下 正整数 2 22 23 24 正约数 1,2 1,2,4 1,2, 4,8 个数计 2 3 4 正整数 3 32 33 34 正约数 1,3 1,3,32 1,3, 32,33 个数计 2 3 4 正整数 2×3 22×3 22×32 正约数 1,2, 3,6 1,2,3, 4,6,12 个数计 4 6

1,2,3,4,6, 9 9,12,18,36

1,2,4, 5 8,16

1,3,32, 5 33,34

其规律是:设 A=ambn (a,b 是质数,m,n 是正整数) 那么合数 A 的正约数的个是(m+1)(n+1) 例如 求 360 的正约数的个数 解:分解质因数:360=23×32×5,360 的正约数的个数是(3+1)×(2+1)×(1+1) =24(个) 例 2 用分解质因数的方法求 24,90 最大公约数和最小公倍数 解:∵24=23×3,90=2×32×5 ∴最大公约数是 2×3, 记作(24,90)=6 最小公倍数是 23×32×5=360, 记作

[24,90]=360 例 3 己知 32,44 除以正整数 N 有相同的余数 2,求 N 解:∵32-2,44-2 都能被 N 整除,∴N 是 30,42 的公约数 ∵(30,42)=6,而 6 的正约数有 1,2,3,6 经检验 1 和 2 不合题意,∴N=6,3 例 4 一个数被 10 余 9,被 9 除余 8,被 8 除余 7,求适合条件的最小正整数 分析:依题意如果所求的数加上 1,则能同时被 10,9,8 整除,所以所求的数是 10,9,8 的最小公倍数减去 1。 解: ∵[10,9,8]=360, ∴所以所求的数是 359 练习 2 1.12 的正约数有_________,16 的所有约数是_________________ 2.分解质因数 300=_________,300 的正约数的个数是_________ 3. 用分解质因数的方法求 20 和 250 的最大公约数与最小公倍数。 4. 一个三位数能被 7,9,11 整除,这个三位数是_________ 5. 能同时被 3,5,11 整除的最小四位数是_______最大三位数是________ 6. 己知 14 和 23 各除以正整数 A 有相同的余数 2,则 A=________ 7. 写出能被 2 整除,且有约数 5,又是 3 的倍数的所有两位数。答____ 8. 一个长方形的房间长 1.35 丈,宽 1.05 丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满,问正方形最 大边长可以是几寸?若用整数寸作国边长,有哪几种规格的正方形瓷砖适合? 9. 一条长阶梯,如果每步跨 2 阶,那么最后剩 1 阶,如果每步跨 3 阶,那么最后剩 2 阶, 如果每步跨 4 阶,那么最后剩 3 阶,如果每步跨 5 阶,那么最后剩 4 阶,如果每步跨 6 阶, 那么最后剩 5 阶,只有每步跨 7 阶,才能正好走完不剩一阶,这阶梯最少有几阶?

初中数学竞赛辅导资料(3)

质数
内容提要

合数

? 1 ? 1.正整数的一种分类: ? 质数 ? 合数 ?
质数的定义:如果一个大于 1 的正整数,只能被 1 和它本身整除,那么这个正整数叫做质 数(质数也称素数) 。 合数的定义:一个正整数除了能被 1 和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正 整数叫做合数。 2. 根椐质数定义可知 1) 质数只有 1 和本身两个正约数, 2) 质数中只有一个偶数 2 如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是 2, 如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是 2, 3 任何合数都可以分解为几个质数的 积。 能写成几个质数的积的正整数就是合数。 例题 例 1 两个质数的和等于奇数 a (a≥5)。求这两个数 解:∵两个质数的和等于奇数,∴必有一个是 2.所求的两个质数是 2 和 a-2。 例 2 己知两个整数的积等于质数 m, 求这两个数 解:∵质数 m 只含两个正约数 1 和 m, 又∵(-1) (-m)=m,∴所求的两个整数是 1 和 m 或者-1 和-m. 例 3 己知三个质数 a,b,c 它们的积等于 30,求适合条件的 a,b,c 的值 解:分解质因数:30=2×3×5

?a ? 2 ? 适合条件的值共有: ?b ? 3 ?c ? 5 ?

?a ? 2 ? ?b ? 5 ?c ? 3 ?

?a ? 3 ?a ? 3 ?a ? 5 ?a ? 5 ? ? ? ? ?b ? 2 ?b ? 5 ?b ? 2 ?b ? 3 ?c ? 5 ?c ? 2 ?c ? 3 ?c ? 2 ? ? ? ?

应注意上述六组值的书写排列顺序,本题如果改为 4 个质数 a,b,c,d 它们的积等于 210,即 abcd=2×3×5×7 那么适合条件的 a,b,c,d 值共有 24 组,试把它写出来。 例 4 试写出 4 个連续正整数,使它们个个都是合数。 解: (本题答案不是唯一的) 设 N 是不大于 5 的所有质数的积,即 N=2×3×5, 那么 N+2,N+3,N+4,N+5 就是适合条件的四个合数. 即 32,33,34,35 就是 所求的一组数。 本题可推广到 n 个。 令 N 等于不大于 n+1 的所有质数的积,那么 N+2,N+3,N+4,……N+(n+1)就是所求 的合数。 练习 3 1.小于 100 的质数共___个,它们是__________________________________

2.己知质数 P 与奇数 Q 的和是 11,则 P=__,Q=__ 3.己知两个素数的差是 41,那么它们分别是_____ 4. 如果两个自然数的积等于 19,那么这两个数是___ 如果两个整数的积等于 73,那么它们是____ 如果两个质数的积等于 15,则它们是_____ 5.两个质数 x 和 y,己知 xy=91,那么 x=______,y=______,或 x=______,y=______.

6.三个质数 a,b,c 它们的积等于 1990. 那么

?a ? ? ?b ? ?c ? ?
A B + 的值 B A

7. 能整除 311+513 的最小质数是__ 8.己知两个质数 A 和 B 适合等式 A+B=99,AB=M。求 M 及

9.试写出 6 个連续正整数,使它们个个都是合数。 10.具备什么条件的最简正分数可化为有限小数? 11.求适合下列三个条件的最小整数:1)大于 1 2)没有小于 10 的质因数 3)不是质数 12.某质数加上 6 或减去 6 都仍是质数,且这三个质数均在 30 到 50 之间,那么这个质数是 ___ 13,一个质数加上 10 或减去 14 都仍是质数,这个质数是__。

初中数学竞赛辅导资料(4)

零的特性
内容提要 一 零既不是正数也不是负数,是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数,是整数, 是偶数。 1.零是表示具有相反意义的量的基准数。 例如:海拔 0 米的地方表示它与基准的海平面一样高;收支衡可记作结存 0 元。 2. 零是判定正、负数的界限。 若 a >0 则 a 是正数,反过来也成立,若 a 是正数,则 a>0 记作 a>0 b<0 c≥0 d?0 e?0

? a 是正数 ? b 是负数

读作 a>0 等价于 a 是正数

? c 是非负数(即 c 不是负数,而是正数或 0) ? d 是非正数 (即 d 不是正数,而是负数或 0) ? e 不是 0
(即 e 不是 0,而是负数或正数)

3.在一切非负数中有一个最小值是 0。 例如 绝对值、平方数都是非负数,它们的最小值都是 0。 记作:|a|≥0,当 a=0 时,|a|的值最小,是 0; a2≥0,a2 有最小值 0(当 a=0 时) 。 3. 在一切非正数中有一个最大值是 0。 例如 -|X|≤0,当 X=0 时,-|X|值最大,是 0, (∵X≠0 时都是负数) , 2 2 -(X-2) ? 0,当 X=2 时,-(X-2) 的值最大,是 0。 二 零具有独特的运算性质 1.乘方:零的正整数次幂都是零。 2.除法:零除以任何不等于零的数都得零;零不能作除数。从而推出,0 没有倒数,分数 的分母不能是 0。 3.乘法:零乘以任何数都得零。 即 a×0=0,反过来 如果 ab=0,那么 a、b 中至少有一 个是 0。 要使等式 xy=0 成立,必须且只需 x=0 或 y=0。 4. 加法 互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。 即 a、b 互为相反数 ? a+b=0 5. 减法 两个数 a 和 b 的大小关系可以用它们的差的正负来判定, 若 a-b=0,则 a=b; 若 a-b>0,则 a>b; 若 a-b<0,则 a<b。 反过来也成立,当 a=b 时,a-b=0;当 a>b 时,a-b>0;当 a<b 时,a-b<0.

三 在近似数中,当 0 作为有效数字时,它表示不同的精确度。 例如 近似数 1.6 米与 1.60 米不同,前者表示精确到 0.1 米(即 1 分米),误差不超过 5 厘米; 后者表示精确到 0.01 米(即 1 厘米) ,误差不超过 5 毫米。

可用不等式表示其值范围如下: 1.55

? 近似数 1.6<1.65

1.595≤近似数 1.60<1605

例题 例 1 两个数相除,什么情况下商是 1?是-1? 答:两个数相等且不是 0 时,相除商是 1;两数互为相反数且不是 0 时,相除商是-1。 例 2 绝对值小于 3 的数有几个?它们的和是多少?为什么? 答:绝对值小于 3 的数有无数多个,它们的和是 0。因为绝对值小于 3 的数包括大于-3 并 且小于 3 的所有数,它们都以互为相反数成对出现,而互为相反数的两个数相加得零。 例 3 要使下列等式成立 X、 Y 应取什么值?为什么? ①X (Y-1) =0, 2 +(Y+2) =0 答:①根据任何数乘以 0 都得 0,可知当 X=0 时,Y 可取任何数; 当 Y=1 时,X 取任何数等式 X(Y-1)=0 都是能成立。 ②∵互为相反数相加得零,而|X-3|≥0, (Y+2)2≥0 , ∴它们都必须是 0,即 X-3=0 且 Y+2=0,故当 X=3 且 Y=-2 时,等式|X| +(Y+2)2 =0 成立。 ② |X-3|

练习 4 1. 有理数 a 和 b 的大小如数轴所示: b 0 a 比较下列左边各数与 0 的大小(用>、<、=号連接) 2a 0, -3b 0, a-b 0,

1 a

0,



2 b

0, 0,

-a2 0,

-b3 0,

a+b 0,

ab 0,

(-2b)3

a b

0,

a ?b

0

2.a 表示有理数,下列四个式子,正确个数是几个?答:__个。 |a|>a, a2> -a2, a>-a, a+1>a 3.x 表示一切有理数,下面四句话中正确的共几句?答:________句。 1) (x-2)2 有最小值 0,2)-|x+3|有最大值 0, 3)2-x2 有最大值 2, 4)3+|x-1|有最小 3。 4.绝对值小于 5 的有理数有几个?它们的积等于多少?为什么? 6. 要使下列等式成立,字母 X、Y 应取什么值?① -1|+(Y+3)2=0 7. 下列说法正确吗?为什么?

0 =0, ②X(X-3)=0, ③|X X

1)a 的倒数是 1 a ;

2)方程(a-1)X=3 的解是 X=

3 a ?1

3)n 表示一切自然数,2n-1 表示所有的正奇数;4)如果 a>b, 那么 m2a>m2b (a 、b 、 m 都是有理数 ) 8. X 取什么值时,下列代数式的值是正数? ① X(X-1) ② X(X+1) (X+2)

初中数学竞赛辅导资料(5)

an 的个位数
内容提要 1.整数 a 的正整数次幂 an,它的个位数字与 a 的末位数的 n 次幂的个位数字相同。 例如 20023 与 23 的个位数字都是 8。 2.0,1,5,6,的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如 57 的个位数是 5,620 的个位数是 6。 3.2,3,7 的正整数次幂的个位数字的规律见下表: 指 1 底 数 2 3 7 2 3 7 2 4 9 9 3 8 7 3 4 6 1 1 5 2 3 7 6 4 9 9 7 8 7 3 数 8 6 1 1 9 2 3 7 10 4 9 9 …… …… …… ……

其规律是:2 的正整数次幂的个位数是按 2、4、8、6 四个数字循环出现, + + + 即 24k+1 与 21,24K 2 与 22,24K 3 与 23,24K 4 与 24 的个位数是相同的(K 是正整数) 。 3 和 7 也有类似的性质。 4.4,8,9 的正整数次幂的个位数,可仿照上述方法,也可以用 4=22,8=23,9=32 转化 为以 2、3 为底的幂。 + 5.综上所述,整数 a 的正整数次幂的个位数有如下的一般规律:a4K m 与 am 的个位数相同 (k,m 都是正整数。 例题 例1 20032003 的个位数是多少? 解:20032003 与 32003 的个位数是相同的, ∵2003=4×500+3,∴32003 与 33 的个位数是相同的,都是 7,∴2003 的个位数是 7。 例2 试说明 632000+1472002 的和能被 10 整除的理由 解:∵2000=4×500,2002=4×500+2 ∴632000 与 34 的个位数相同都是 1,1472002 与 72 的个位数相同都是 9, ∴632000+1472002 的和个位数是 0,∴632000+1472002 的和能被 10 整除。 例3 K 取什么正整数值时,3k+2k 是 5 的倍数? 解:列表观察个位数的规律 K= 3 的个位数 2 的个位数 3 +2 的个位数
k k

1 3 2 5

2 9 4
k

3 7 8 5
k

4 1 6

…… …… …… ……

从表中可知,当 K=1,3 时,3 +2 的个位数是 5, ∵am 与 a4n+m 的个位数相同(m,n 都是正整数,a 是整数) , ∴当 K 为任何奇数时,3k+2k 是 5 的倍数。 练习 5 1. 在括号里填写各幂的个位数(K 是正整数)

220 的个位数是( ) 45 的个位数是( ) 330 的个位数是( ) 87 的个位数是( ) 74K+1 的个位数是( ) 311+79 的个位数是( ) 216×314 的个位数是( ) 32k-1+72k-1 的个位数是( ) 72k-32k 的个位数是( ) 74k-1-64k-3 的个位数是( ) 7710×3315×2220×5525 的个位 数是( ) 2. 目前知道的最大素数是 2216091-1,它的个位数是___。 3. 说明如下两个数都能被 10 整除的理由。 ①5353-3333 ②19871989-19931991 m 4. 正整数 m 取什么值时,3 +1 是 10 的倍数? 5. 设 n 是正整数,试说明 2 n +7n+2 能被 5 整除的理由。 6. 若 a4 的个位数是 5,那么整数 a 的个位数是___ 若 a4 的个位数是 1,那么整数 a 的个位数是___ 若 a4 的个位数是 6,那么整数 a 的个位数是___ 若 a2k-1 的个位数是 7,那么整数 a 的个位数是___ 7.12+22+32+……+92 的个位数是__,12+22+32+……+192 的个位数是__,12+22+32+…… +292 的个位数是__。 8. a,b,c 是三个连续正整数,a2=14884,c2=15376,那么 b2 是( ) (A)15116 (B)15129 (C)15144 (D)15321

初中数学竞赛辅导资料(6)

数学符号
内容提要 数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义,即当我们把它规定 为某种意义后,就不再表示其他意义。 数学符号一般可分为: 1.元素符号:通常用小写字母表示数,用大写字母表示点,用⊙和△表示园和三角形等。 2.关系符号:如等号,不等号,相似∽,全等≌,平行∥,垂直⊥等。 3.运算符号:如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。 4.逻辑符号:略 5.约定符号和辅助符号:例如我们约定正整数 a 和 b 中,如果 a 除以 b 的商的整数部份 记作 Z(

a a 10 10 ) ,而它的余数记作 R( ) , 那么 Z( )=3,R( )=1;又如设 ?x ? 表 b b 3 3

示不大于 x 的最大整数,那么 ?5.2? =5, ?? 5.2? =-6, ? ? =0, ?? 3? =-3。 3 正确使用符号的关健是明确它所表示的意义(即定义) 对题设中临时约定的符号,一定要扣紧定义,由简到繁,由浅入深,由具体到抽象,逐步 加深理解。 在解题过程中为了简明表述,需要临时引用辅助符号时,必须先作出明确的定义,所用符 号不要与常规符号混淆。 例题 例 1 设 ?Z ? 表示不大于 Z 的最大整数,<n>为正整数 n 除以 3 的余数 计算: ①〔4.07〕+〔- 2

?2? ? ?

3 〕-〈13;〉+〈2004〉 7

②〈 〔14.7〕 〉+〔

? 34 ? 〕 。 2

解:①原式=4+(-3)-1+0=0

②原式=<14>+〔

1 〕=2+0=2 2

例 2 ①求 19871988 的个位数 ②说明 19871989-19931991 能被 10 整除的理由 解:设 N(x)表示整数 x 的个位数, × ① N(19871988)=N(74 497)=N(74)=1 × + × + ② ∵N(19871989)-N(19931991)=N(74 497 1)-N(34 497 3)=N(71)-N(33) =7-7=0 ∴19871989-19931991 能被 10 整除 由于引入辅助符号,解答问题显得简要明瞭。 例 3 定义一种符号★的运算规则为:a★b=2a+b 试计算:①5★3 ②(1★7)★4 解:①5★3=2×5+3=13 ②(2×1+7)★4=9★4=2×9+4=22

例 4 设 a※b=a(ab+7), 求等式 3※x=2※(-8)中的 x 解:由题设可知:等式 3※x=2※(-8)就是 3(3x+7)=2〔2×(-8)+7〕 ∴9x+21=-18 ∴x=-4

1 3

练习 6 1.设 Q<x >表示有理数 x 的整数部分,那么 Q<2.15>=______ Q<-12.3>=_______ Q<-0.03>=_______ Q< 15 >=________

2.设{n}表示不小于 n 的最小整数,那么{4.3}=___{-2.3}=___ {-2}=___ {- 0.3}+{0.3}=___ 3.设〔m〕表示不大于 m 的最大整数 ① 若 m=2 则〔m〕=_____ ② 若 n= -3.5 则〔n〕=_____ ③ 若-1<Y<0 则〔Y〕=_____ ④ 若 7≤b<8 则〔b〕=_____ ⑤ 若〔x〕=4 则__≤x<__ ⑥ 若 n≤C<n+ 1 则〔C〕=_____ 4.正整数 a 和 b 中,设 a 除以 b 的商的整数部分记作 Z( a b )余数记作 R( a b ) ,ab 的 个位数记作 n(ab),写出下列各数的结果:① R( 33 7 )+R( 2 5 )=_____ +Z( 2 5 )=_____ ③n(19891990)=_____ ② Z( 33 7 )

5.设 n!表示自然数由 1 到 n 的连乘积。例如 5!=1×2×3×4×5=120。 计算:①120÷3! ②

5! 3!(5 ? 3)!
计算:①

6.设=

a1 a2

b1 b2

= a1b2-a2b1

1 2

3 = 4



1 ?1

?1 = 0

7.定义一种符号#的运算法则为 a#b=

a ? 2b 那么 2a ? b

①3#2=______ ②2#3=______ ③(1#2)#3=______ ④(-3)#(1 #0)=______ 8.a,b 都是正整数,设 a ⊕b 表示从 a 起 b 个連续正整数的和。 例如 2⊕3=2+3+4;5⊕4=5+6+7+8。 己知:X⊕5=2005,求 X

?? +? -? ? 9. 设[x]表示不大于 x 数的最大整数且 ?x?=x-[x] ,求 ?
10.设[a]表示不大于数 a 的最大整数,例如[ 2 ]=1, [- 2 ]=-2 那么, [3x+1]=2x-

1 的所有的根的和是__(1987 年全国初中联赛题) 2

初中数学竞赛辅导资料(7)

用字母表示数
内容提要和例题 1. 用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来,从具体的数字 计算到用抽象的字母概括运算规律上,是一种飞跃。 2. 用字母表示数时, 字母所取的值, 应使代数式有意义, 并使它所表示的实际问题有意义。 例如①写出数 a 的倒数 ②用字母表示一切偶数 解:①当 a≠0 时, a 的倒数是

1 a

②设 n 为整数, 2n 可表示所有偶数。

3. 命题中的字母,一般要注明取值范围,在没有说明的情况下,它表示所学过的数,并且 能使题设有意义。 例 1 化简:⑴|x -3|(x<3) ⑵| x+5| 解:⑴∵x<3,∴x-3<0, ∴|x-3|=-(x-3)=-x+3 ⑵当 x≥-5 时,|x+5|=x+5,当 x <-5 时,|x+5|=-x-5(本题 x 表 示所有学过的数) 例 2 己知十位上的数是 a,个位数是 b ,试写出这个两位数 解:这个两位数是 10a+b (本题字母 a、b 的取值是默认题设有意义,即 a 表示 1 到 9 的整数,b 表示 0 到 9 的整数) 4. 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式时,一般左边作为题设,所用的字母是使 左边代数式有意义的,所以只对变形到右边所增加的字母的取值加以说明。 例如用字母表示:①分数的基本性质 ②分数除法法则 解:①分数的基本性质是 另说明 a≠0, ②

b bm b b?m ? (m≠0), ? (m≠0) a am a a?m

a 作为左边的分母不

b d b c ? ? ? (d≠0) d 在左边是分子到了右边变分母,故另加说明。 a c a d

5. 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式,不仅可从左到右顺用,还可从右到左逆 用;公式可以变形,变形时字母取值范围有变化时应加说明。例如: 乘法分配律,顺用 a(b+c)=ab+ac, 逆用 5a+5b=5(a+b),

1 16 8 2 24 12 (16 ? 24 ? ) ? 2 ? = 8 17 17 17 17 17 S S (T≠0), T= (V≠0) T V

6.25×3.14-5.25×3.14=3.14(6.25-5.25)=3.14 V=

路程 S=速度 V×时间 T,

6. 用因果关系表示的性质、法则,一般不能逆用。 例如:加法的符号法则 如果 a>0,b>0, 那么 a+b>0,不可逆 绝对值性质 如果 a>0,那么|a|=a 也不可逆(若|a|=a 则 a≥0) 7. 有规律的计算,常可用字母表示其结果,或概括成公式。 例题 例 1:正整数中不同的五位数共有几个?不同的 n 位数呢? 解:不同的五位数可从最大 五位数 99999 减去最小五位数 10000 前的所有正整数,即 99999-9999=90000. 推广到 n 位正整数,则要观察其规律

一位正整数,从 1 到 9 共 9 个, 记作 9×1 二位正整数从 10 到 99 共 90 个, 记作 9×10 三位正整数从 100 到 999 共 900 个, 记作 9×102 四位正整数从 1000 到 9999 共 9000 个, 记作 9×103 (指数 3=4-1) …… …… ∴n 位正整数共 9×10 n-1 个 例 2 _____________________________________________________ A C D E B 在线段 AB 上加了 3 个点 C、D、E 后,图中共有几条线段? 加 n 点呢? 解:以 A 为一端的线段有: AC、AD、AE、AB 共4条 以 C 为一端的线段有:(除 CA 外) CD、CE、CB 共3条 以 D 为一端的线段有:(除 DC、DA 外) DE、DB 共2条 以 E 为一端的线段有:(除 ED、EC、EA 外) EB 共1条 共有线段 1+2+3+4=10 (条) 注意:3 个点时,是从 1 加到 4, 因此 如果是 n 个点,则共有线段 1+2+3+……+n+1= 练习 7 1. 右边代数式中的字母应取什么值? ①

1? n ?1 n ( n ? 2) n= 条 2 2
②S 正方形=a2 ③3 的倍数 3n

4 x?2

2.用字母表示:①一切奇数 ②所有正偶数 ③一个三位数 ④n 个 a 相乘的结果 ⑤负 数的绝对值是它的相反数. 3.写出:⑴ 从 1 开始,n 个自然数的和是______________________ ⑵ 从 11 开始到 2n+1 連续奇数的和( n>5)是__________ ⑶ m 个球队进行单循环赛所需场数是_________________ 4.已知 999=103-1, 9999=104-1, 那么各位数都是 9 的 n 位数 999 ? 9 =_________ ? ? ? ? ?
n

O

5. 计算 112=

1112=

(n≤10 时) 111 ? 12 =____________________ ? ? ? ? ?
n

6. 写出图中所有三角形并计算其个数,如果线段上有 10 个点呢?

A

B

C

D

初中数学竞赛辅导资料(8)

抽屉原则
内容提要 1. 4 个苹果放进 3 个抽屉, 有一种必然的结果: 至少有一个抽屉放进的苹果不少于 2 个 (即 等于或多于 2 个) ;如果 7 个苹果放进 3 个抽屉,那么至少有一个抽屉放进的苹果不少 于 3 个(即的等于或多于 3 个) ,这就是抽屉原则的例子。 2. 如果用 m 定义为:

? n?表示不小于 m n 的最小整数,例如 ?7 3?=3, ?6 3?? 2

。那么抽屉原则可

m 个元素分成 n 个集合(m、n 为正整数 m>n),则至少有一个集合里元素不少于 m 个。

? n?

3. 根据 m

? n?的定义,己知 m、n 可求 ?m n?; m ?,则可求 m 的范围,例如己知 ? m ?=3,那么 2< m ≤3; 己知 ? n n n n 己知 ?x ?=2,则 1< x ≤2,即 3<x≤6,x 有最小整数值 4。 3 3 ? n?个

例题 例 1 某校有学生 2000 人,问至少有几个学生生日是同一天? 分析: 我们把 2000 名学生看作是苹果, 一年 365 天 (闰年 366 天) 看作是抽屉, 即把 m (2000) 个元素,分成 n(366)个集合,至少有一个集合的元素不少于 m 解:∵

2000 17 ?5 366 366

∴ 2000

?

366

?=6

答:至少有 6 名学生的生日是同一天

例 2 从 1 到 10 这十个自然数中,任意取出 6 个数,其中至少有两个是倍数关系,试说明这 是为什么。 解:我们把 1 到 10 的奇数及它们的倍数放在同一集合里,则可分为 5 个集合, 它们是: {1,2,4,8, } , {3,6, } , {5,10} , {7} , {9} 。 ∵要在 5 个集合里取出 6 个数, ∴至少有两个是在同一集合,而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。 (本题的关键是划分集合,想一想为什么 9 不能放在 3 和 6 的集合里) 。 例 3 袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各 6 个,请你从袋中取出一些球,要求至少有 3 个颜色相同,那么至少应取出几个才有保证。 分析:我们可把 4 种球看成 4 个抽屉(4 个集合) ,至少有 3 个球同颜色,看成是至少有一 个抽屉不少于 3 个(有一个集合元素不少于 3 个) 。 解:设至少应取出 x 个,用{ x }表示不小于 x 的最小整数,那么{ x }=3,

4

4

4

∴2< x ≤3, 即 8<x ≤12, 最小整数值是 9。

4

答:至少要取出 9 个球,才能确保有三个同颜色。 例 4 等边三角形边长为 2,在这三角形内部放入 5 个点,至少有 2 个点它们的距离小于 1, 试说明理由。

解:取等边三角形各边中点,并連成四个小三角形(如图)它们边长等于 1, ∵5 个点放入 4 个三角形, ∴至少有 2 个点放在同一个三角形内, 而同一个三角形内的 2 个点之间的距离必小于边长 1。 练习 8 1. 初一年新生从全县 17 个乡镇招收 50 名,则至少有_人来自同 一个乡镇。 2. 任取 30 个正整数分别除以 7,那么它们的余数至少有__个是相同的。 3. 在 2003m 中,指数 m 任意取 10 个正整数,那么这 10 个幂的个位数中相同的至少于__ 个. 4. 暗室里放有四种不同规格的祙子各 30 只, 为确保取出的祙子至少有 1 双 (2 只同规格为 1 双)那么至少要取几只?若要确保 10 双呢? 5. 袋子里有黑、白球各一个,红、蓝、黄球各 6 个.请你拿出一些球,要确保至少有 4 个同颜 色,那么最少要取几个? 6. 任意取 11 个正整数,至少有两个它们的差能被 10 整除,这是为什么? 7. 右图有 3 行 9 列的方格, 若用红、 蓝两种颜色涂上, 则至少有 2 列的涂色方式是一样的, 试说明这是为什么。 8. 任意取 3 个正整数,其中必有两个数它们的平均数也是正整数。试说明理由。 9. 90 粒糖果分给 13 个小孩,每人至少分 1 粒,不管怎样分,总有两人分得同样多,这是 为什么? 10.11 个互不相同的正整数,它们都小于 20,那么一定有两个是互质数。 (最大公约数是 1 的两个正整数叫互质数) 11. 任意 6 个人中, 或者有 3 个人他们之间都互相认识, 或者有 3 个人他们之间都互不相识, 两者必居其一,这是为什么?

初中数学竞赛辅导资料(9)
一元一次方程解的讨论
甲内容提要 1, 方程的解的定义:能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的 解也叫做根。 例如:方程 2x+6=0, x(x-1)=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2 的解 分别是: x=-3, x=0 或 x=1, x=±6, 所有的数,无解。 2, 关于 x 的一元一次方程的解(根)的情况:化为最简方程 ax=b 后, 讨论它的解:当 a≠0 时,有唯一的解 x=

b ; a

当 a=0 且 b≠0 时,无解; 当 a=0 且 b=0 时,有无数多解。 (∵不论 x 取什么值,0x=0 都成立) 3, 求方程 ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解 当 a|b 时,方程有整数解; 当 a|b,且 a、b 同号时,方程有正整数解; 当 a、b 同号时,方程的解是正数。 综上所述,讨论一元一次方程的解,一般应先化为最简方程 ax=b 乙例题

例1 a 取什么值时,方程 a(a-2)x=4(a-2) ①有唯一的解?②无解? ③有无数多解?④是正数解? 解:①当 a≠0 且 a≠2 时,方程有唯一的解,x= ②当 a=0 时,原方程就是 0x= -8,无解; ③当 a=2 时,原方程就是 0x=0 有无数多解 ④由①可知当 a≠0 且 a≠2 时,方程的解是 x=

4 a

4 ,∴只要 a 与 4 同号, a

即当 a>0 且 a≠2 时,方程的解是正数。 例2 k 取什么整数值时,方程 ①k(x+1)=k-2(x-2)的解是整数? ②(1-x)k=6 的解是负整数? 解:①化为最简方程(k+2)x=4 当 k+2 能整除 4,即 k+2=±1,±2,±4 时,方程的解是整数 ∴k=-1,-3,0,-4,2,-6 时方程的解是整数。 ②化为最简方程 kx=k-6, 当 k≠0 时 x=

k ?6 6 =1- , k k

只要 k 能整除 6, 即 k=±1,±2,±3,±6 时,x 就是整数 当 k=1,2,3 时,方程的解是负整数-5,-2,-1。 例 3 己知方程 a(x-2)=b(x+1)-2a 无解。问 a 和 b 应满足什么关系? 解:原方程化为最简方程: (a-b)x=b ∵方程无解,∴a-b=0 且 b≠0 ∴a 和 b 应满足的关系是 a=b≠0。 例 4 a、b 取什么值时,方程(3x-2)a+(2x-3)b=8x-7 有无数多解? 解:原方程化为最简方程: (3a+2b-8)x=2a+3b-7, 根据 0x=0 时,方程有无数多解,可知 当

?3a ? 2b ? 8 ? 0 时,原方程有无数多解。 ? ?2a ? 3b ? 7 ? 0 ?a ? 2 ?b ? 1

解这个方程组得 ?

答当 a=2 且 b=1 时,原方程有无数多解。 丙练习(9) 1, 根据方程的解的定义,写出下列方程的解: ① (x+1)=0, ②x2=9, ③|x|=9, ④|x|=-3, ⑤3x+1=3x-1, ⑥x+2=2+x 2,关于 x 的方程 ax=x+2 无解,那么 a__________ 3,在方程 a(a-3)x=a 中, 当 a 取值为____时,有唯一的解; 当 a___时无解; 当 a_____时,有无数多解; 当 a____时,解是负数。 4, k 取什么整数值时,下列等式中的 x 是整数?

① x=

4 k

②x=

6 k ?1

③x=

2k ? 3 k

④x=

3k ? 2 k ?1

5, k 取什么值时,方程 x-k=6x 的解是 ①正数? ②是非负数? 6, m 取什么值时,方程 3(m+x)=2m-1 的解 ①是零? ②是正数?

3x ? 6 a?2 ?1 ? 的根是正数,那么 a、b 应满足什么关系? 4 2 x 2 8, m 取什么整数值时,方程 ( ? 1)m ? 1 ? m 的解是整数? 3 3 b 3 9, 己知方程 ( x ? 1) ? 1 ? ax 有无数多解,求 a、b 的值。 2 2
7, 己知方程

初中数学竞赛辅导资料(10)
二元一次方程的整数解
甲内容提要 1, 二元一次方程整数解存在的条件:在整系数方程 ax+by=c 中, 若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即 如果(a,b)|c 则方程 ax+by=c 有整数解 显然 a,b 互质时一定有整数解。 例如方程 3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6 都有整数解。 返过来也成立,方程 9x+3y=10 和 4x-2y=1 都没有整数解, ∵(9,3)=3,而 3 不能整除 10; (4,2)=2,而 2 不能整除 1。 一般我们在正整数集合里研究公约数, (a,b)中的 a,b 实为它们的绝对值。 2, 二元一次方程整数解的求法: 若方程 ax+by=c 有整数解,一般都有无数多个,常引入整数 k 来表示它的通解(即所有的 解) 。k 叫做参变数。 方法一,整除法:求方程 5x+11y=1 的整数解 解:x=

1 ? 11 y 1 ? y ? 10 y 1 ? y ? ? 2 y (1) , = 5 5 5 1? y ? k (k 是整数) 设 ,则 y=1-5k (2) , 5

把(2)代入(1)得 x=k-2(1-5k)=11k-2 ∴原方程所有的整数解是 ? 方法二,公式法: 设 ax+by=c 有整数解

? x ? 11k ? 2 (k 是整数) ? y ? 1 ? 5k

? x ? x0 ? x ? x0 ? bk 则通解是 ? (x0,y0 可用观察法) ? y ? y ? ak ? y ? y0 0 ?

3, 求二元一次方程的正整数解: ① 出整数解的通解,再解 x,y 的不等式组,确定 k 值 ② 用观察法直接写出。

乙例题 例 1 求方程 5x-9y=18 整数解的能通解

18 ? 9 y 15 ? 10 y ? 3 ? y 3? y ? ? 3 ? 2y ? 5 5 5 3? y ? k (k 为整数) 设 ,y=3-5k, 代入得 x=9-9k 5
解 x= ∴原方程整数解是 ?

? x ? 9 ? 9k ? y ? 3 ? 5k

(k 为整数)

又解:当 x=o 时,y=-2, ∴方程有一个整数解 ?

?x ? 0 ? 9 y ?x ? 0 它的通解是 ? (k 为整数) ? y ? ?2 ? 5k ? y ? ?2

从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。 例 2,求方程 5x+6y=100 的正整数解 解:x= 设

100 ? 6 y y ? 20 ? y ? (1), 5 5

y ? k (k 为整数),则 y=5k,(2) 5

把(2)代入(1)得 x=20-6k, ∵?

?x ? 0 ?20 ? 6k ? 0 解不等式组 ? ?y ? 0 ?5k ? 0
20 ,k 的整数解是 1,2,3, 6

得 0<k<

∴正整数解是 ?

? x ? 14 ? x ? 8 ? x ? 2 ? ? ? y ? 5 ? y ? 10 ? y ? 15

例 3,甲种书每本 3 元,乙种书每本 5 元,38 元可买两种书各几本? 解:设甲种书买 x 本,乙种书买 y 本,根据题意得 3x+5y=38 (x,y 都是正整数) ∵x=1 时,y=7,∴ ?

?x ? 1 是一个整数解 ?y ? 7

∴通解是 ?

? x ? 1 ? 5k (k 为整数) ? y ? 7 ? 3k ?1 ? 5k ? 0 1 7 得解集是 ? ? k ? 5 3 ?7 ? 3k ? 0
∴整数 k=0,1,2

解不等式组 ?

把 k=0,1,2 代入通解,得原方程所有的正整数解 ?

? x ? 1 ? x ? 6 ? x ? 11 ? ? ?y ? 7 ?y ? 4 ?y ? 1

答:甲、乙两种书分别买 1 和 7 本或 6 和 4 本或 11 和 1 本。

丙练习 10 1, 求下列方程的整数解 ①公式法:x+7y=4, 5x-11y=3 ②整除法:3x+10y=1, 11x+3y=4 2, 求方程的正整数解:①5x+7y=87, ②5x+3y=110 3,一根长 10000 毫米的钢材,要截成两种不同规格的毛坯,甲种毛坯长 300 毫米,乙种毛 坯长 250 毫米,有几种截法可百分之百地利用钢材? 4, 兄弟三人,老大 20 岁,老二年龄的 2 倍与老三年龄的 5 倍的和是 97,求兄弟三人的岁 数。 5, 下列方程中没有整数解的是哪几个?答:________(填编号) ① 4x+2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111, ④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324. 6, 一张试巻有 20 道选择题,选对每题得 5 分,选错每题反扣 2 分,不答得 0 分,小这军 同学得 48 分,他最多得几分? 7. 用观察法写出方程 3x+7y=1 几组整数解: y= x= 1 4 -2

1? 7y ? 3


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