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2013-2014版高中数学(人教A版)必修四配套Word版活页训练 第二章 平面向量2.4.1课时作业


基础达标 1.若|a|=4,|b|=3,a· b=-6,则 a 与 b 夹角为( A.150° C.60° 解析 ∵a· b=|a||b|cos θ, B.120° D.30° ).

-6 a· b 1 ∴cos θ=|a||b|= =-2,又 θ∈[0° ,180° ], 4×3 ∴θ=120° . 答案 B

→ → → → 2.(2012· 北京海淀区一模)在四边形 ABCD 中,AB=DC,且AC· =0,则四边 BD 形 ABCD 是( A.矩形 C.直角梯形 解析 ). B.菱形 D.等腰梯形

→ → → → ∵AB=DC即一组对边平行且相等,AC· =0 即对角线互相垂直,∴ BD

四边形 ABCD 为菱形. 答案 B

→ → → → → → → 3.已知平面上三点 A、B、C 满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB· +BC· BC CA → → +CA· 的值等于( AB A.-25 C.-15 解析 ). B.-20 D.-10

→ → → → → → → → → → → ∵AB+BC+CA=0,∴|AB+BC+CA|2=|AB|2+|BC|2+|CA|2+2AB· BC

→ → → → → → → → → → → → +2BC· +2AB· =9+16+25+2(AB· +BC· +AB· )=0,∴AB· CA CA BC CA CA BC → → → → +BC· +CA· =-25. CA AB 答案 A

4.已知|a|=8,e 为单位向量,a 与 e 的夹角为 150° ,则 a 在 e 方向上的投影为 ________. 解析 答案 ? 3? a 在 e 方向上的投影为|a|cos 150° =8×?- ?=-4 3. ? 2? -4 3

5.已知向量 a,b 的夹角为 120° ,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=________. 解 析 |5a - b| = |5a-b|2 = ?5a-b?2 = 25a2+b2-10a· = b

? 1? 25+9-10×1×3×?-2?=7. ? ? 答案 7

6.已知 a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,i,j 为相互垂直的单位向量,那么 a· b =________. 解析 将两已知等式相加得,2a=-6i+8j,所以 a=-3i+4j.同理将两已知

等式相减得,b=5i-12j,而 i,j 是两个互相垂直的单位向量,所以 a· b=(- 3i+4j)· (5i-12j)=-3×5+4×(-12)=-63. 答案 -63

7.(2012· 金华一中高一期中)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61. (1)求|a+b|;(2)求向量 a 在向量 a+b 方向上的投影. 解 (1)∵(2a-3b)· (2a+b)=61,

∴4|a|2-4a· b-3|b|2=61. ∵|a|=4,|b|=3,∴a· b=-6, ∴|a+b|= |a|2+|b|2+2a· b= 42+32+2×?-6?= 13. (2)∵a· (a+b)=|a|2+a· 2-6=10, b=4 ∴向量 a 在向量 a+b 方向上的投影为 a· ?a+b? 10 10 13 = = . 13 |a+b| 13

能力提升 8.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a· b=0 有实根,则 a 与 b 的夹角 的取值范围是( π? ? A.?0,6? ? ? ). ?π ? B.?3,π? ? ?

?π 2π? C.?3, 3 ? ? ? 解析

?π ? D.?6,π? ? ?

设 a, 的夹角为 α.方程有实根, b ∴Δ=|a|2-4a· b≥0, 即|a|2-4|a|· cos |b|·

1 ?π ? α≥0,∴cos α≤2,∴α∈?3,π?. ? ? 答案 B

π 9.已知 a,b,c 为单位向量,且满足 3a+λb+7c=0,a 与 b 的夹角为3,则实 数 λ=________. 解析 由 3a+λb+7c=0,可得 7c=-(3a+λb),即 49c2=9a2+λ2b2+6λa· b,

π 而 a,b,c 为单位向量,则 a2=b2=c2=1,则 49=9+λ2+6λcos3,即 λ2+3λ -40=0,解得 λ=-8 或 λ=5. 答案 -8 或 5

10.设向量 a,b 满足|a|=1,|b|=1,且 a 与 b 具有关系|ka+b|= 3|a-kb|(k>0). (1)a 与 b 能垂直吗? (2)若 a 与 b 夹角为 60° ,求 k 的值. 解 (1)∵|ka+b|= 3|a-kb|,

∴(ka+b)2=3(a-kb)2, 且|a|=|b|=1. 即 k2+1+2ka· b=3(1+k2-2ka· b), k2+1 ∴a· b= 4k .∵k2+1≠0, ∴a· b≠0,即 a 与 b 不垂直. (2)∵a 与 b 夹角为 60° ,且|a|=|b|=1, 1 ∴a· b=|a||b|cos 60° 2. = k2+1 1 ∴ 4k =2. ∴k=1.


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