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高一数学方程的根与函数的零点测试题



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3.1.1 方程的根与函数的零点
练习二 一、选择题 1.函数 f ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 1的零点为( A、 ?1 ? )

2 2

B、 ?1 ?

6 2

C、 ?1 ?

6 2

D、不存在

2.函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2x 的零点个数为( A、0 B、1 C、2 D、3



3.三次方程 x ? x ? 2 x ? 1 ? 0 在下列那些连续整数之间有根(
3 2

) 3)0 与 1 之间

1)-2 与-1 之间 4)1 与 2 之间 A、1)2)3)

2)-1 与 0 之间 5)2 与 3 之间 B、1)2)4) C、1)2)5)

D、2)3)4)

4.若函数 f(x)唯一的一个零点在区间(0,16)(0,8) , ,(0,4),(0,2)内,那么下列命 题中正确的是( )

A、函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B、函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C、函数 f(x)在区间(2,16)内有零点 D、函数 f(x)在区间(1,16)内无零点

5、方程 x ? x ? 1 ? 0 的一个正零点的存在区间可能是(
5

) D、[3,4] ( )

A、[0,1]
3

B、[1,2]

C、[2,3]

6、已知 f ( x) ? ?x ? x, x ??m, n? , 且f (m) ? f (n) ? 0, 则f ( x)在?m, n?内 A、至少有一实数根 B、至少有一实根 C、无实根

D、有唯一实数根

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二、填空题 7.方程 x ? 4 x ? 2 ? 0 在区间[-1,3 内至少有_____________个实数解。
4 2

8、已知 y=x(x-1)(x+1)。令 f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01 则对于 f(x)=0 的叙述正确的序号是 ___________。 1)有三个实根 2)x>1 时恰有一实根 3)当 0<x<1 时恰有一实根

4)当-1<x<0 时恰有一实根
2

5)当 x<-1 时恰有一实根。

9、已知关于 x 的方程 3x +(m-5)x+7=0 的一个根大于 4,而另一个根小于 4,求实数 m 的 取值范围_____________。

三、解答题 10、求函数 f ?x ? ? 2 x 2 ? 3x ? 1 零点的个数。

11、判断方程 x ? x ? 6 ? 0 的解的存在。
2

12、求证:方程 5x ? 7 x ? 1 ? 0 的根一个在区间(-1,0)上,另一个在区间(1,2)上。
2

13、试找出一个长度为 1 的区间,在这个区间上函数 f ( x ) ?

x ?1 至少有一个零点。 3x ? 2

14、已知关于 x 的方程 x +2mx+2m+3=0 的两个不等实根都在区间(0,2)内,求实数 m 的取值范围.

2

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15、国家购买某种农产品的价格为 120 元/担,其中征税标准为 100 元征 8 元(叫做税率为 8 个百分点,即 8%) ,计划可收购 m 万担。为了减轻农民负担,决定税率降低 x 个百 分点,预计收购量可增加 2 x 个百分点。 (1)写出税收 f ?x ? (万元)与 x 的函数关系式; (2)要使此项税收在税率调节后达到计划的 78%,试求此时的 x 的值。

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答案: 一、选择题 1、 C;2、D;3、B;4、C;5、B;6、D 二、填空题 7、2 8、1)5) 9、 m ? ?

35 4

三、解答题 10、解:用计算器或计算机作出 x 、 f ?x ? 的对应值表(如下表)和图象(如下图) 。

x
f ?x ?

-1.5 -1.25

-1 2

-0.5 2.25

0 1

0.5 -0.25

1 0

1.5 3.25

由上表和上图可知, f ?? 1.5? ? 0 , f ?? 1? ? 0 ,即 f ?? 1.5? ? f ?? 1? ? 0 ,说明这个函 数在区间 ?? 1.5,?1? 内有零点。 同量, 它在区间 (0, 0.5) 内也有零点。 另外, f ?1? ? 0 , 所以 1 也是它的零点。由于函数 f ?x ? 在定义域 ?? ?,?1.5? 和(1, ? ? )内是增函数, 所以它共有 3 个零点。 11 、 解 : 考 察 函 数 f(x)= x ? x ? 6 ? 0 知 图 像 为 抛 物 线 , 容 易 看 出
2

f(0)=-6<0,f(4)=6>0,f(-4)=14>0 由于函数 f(x)的图像是连续曲线,因此,点 B(0,-6)与点 C(4,6)之间的那部分 曲线必然穿过 x 轴,即在区间(0,4)内必有一个点 x1 ,使 f( x1 )=0;同样在区间

(-4,0)内也有一个点 x2 使 f( x2 )=0。

所以方程 x ? x ? 6 ? 0 有两个实数解。
2

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12











f ( x) ? 5x2 ? 7 x ?1





f(-1)f(0)= 11? (?1) ? ?11 ? 0, f (1)(2 ? (?3) ? 5 ? ?15 ? 0 。

而二次函数 f ( x) ? 5x2 ? 7 x ?1 是连续的。所以 f(x)在(-1,0)和(1,2)上分别有 零点。即方程 5x ? 7 x ? 1 ? 0 的根一个在(-1,0)上,另一个在(1,2)上。
2

13、解: f ( x ) ?

x ?1 2 2 1 3 的定义域为 ( ??, ? ) ? ( ? , ??) 。取区间 [ , ] 。则易证: 3x ? 2 3 3 2 2 1 3 ?1 ?1 1 3 1 1 3 1 f( )? 2 ? ? ? 0, f ( ) ? 2 ? ? 0 ,所以 f ( ) f ( ) ? 0 ,所以在区 3 9 2 2 2 7 2 ?2 ? 2 13 2 2 1 3 1 3 间 [ , ] 内函数 f(x)至少有一个零点。区间 [ , ] 符合条件。 2 2 2 2

14、解:令 f ( x) ? x2 ? 2mx ? 2m ? 3 有图像特征可知方程 f(x)=0 的两根都在(0,2) 内需满足的条件是

解得 ?

35 ? m ? ?1 。 4

15、解: (1)由题设,调节税率后税率为 ?8 ? x ? %,预计可收购 m(1 ? 2 x%) 万担,总金额 为 120 m(1 ? 2 x%) 万元,所以

f ?x? ? 120m(1 ? 2 x%)(8 ? x)% 。
即 f ?x ? ? ?

3m 2 x ? 42 x ? 400 ?0 ? x ? 8? 。 125

?

?

(2)计划税收为 120 m ? 8% 万元,由题设,有

f ?x? ? 120m ? 8% ? 78% ,
2 即 x ? 42x ? 88 ? 0(0 ? x ? 8) ,解得 x ? 2 。

试 用 函 数 的 图 象 指 出 方 程 x ? 42x ? 88 ? 0(0 ? x ? 8) 的 根 , 即 函 数
2

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g ?x? ? x 2 ? 42x ? 88 ? 0(0 ? x ? 8) 的零点所在的大致区间。

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